К вероятностной интерпретации релятивистской квантовой механики Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 530.12:51 7.988.38(075.8)

H.H. Горобей, А.С.Лукьяненко

К ВЕРОЯТНОСТНОЙ ИНТЕРПРЕТАЦИИ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

Предмет обсуждения в статье — проблема вероятностной интерпретации релятивистской квантовой механики (РКМ) [1]. Эта проблема возникла уже в случае простейшего волнового уравнения для одной частицы — уравнения Клейна — Гордона (КГ)

F' =

2^

' = 0

(1)

(здесь скорость света полагаем равной единице;

= (+1, — 1, — 1, — 1) — сигнатура метрики Мин-ковского, по повторяющимся индексам предполагается суммирование). Однако для ее решения пришлось отказаться от одночастичной задачи. В квантовой теории поля, которая заменила РКМ, динамическим объектом является не одна частица, а квантовое поле. Поводом вернуться к проблеме РКМ в данной статье послужила новая формулировка квантовой механики, основанная на квантовом принципе наименьшего действия (КПНД) [2]. В работе [3] обращено внимание на то, что КПНД позволяет решить проблему вероятностной интерпретации одночастичной РКМ за счет отказа от понятия волновой функции ' (х), рассматриваемой как решение уравнения (1). Вместо волновой функции

вводится волновой функционал т[х(с)] на мировых линиях частицы хц (с), с е [0,С] с фиксированными граничными точками х0ц =хц (0),

ХМ =хц (С). Волновой функционал имеет естественную вероятностную интерпретацию на пространстве мировых линий. Однако в работе [3] не установлена связь новой конструкции с реальными измерениями, в частности остается неопределенным параметр С. Чтобы фиксировать С, нам придется изменить постановку задачи рассеяния введением волновых пакетов вместо асимптотических состояний в виде плоских волн, а также более внимательно отнестись

к экспериментальным процедурам формирования начального состояния и детектирования частиц. Отметим, что и в нерелятивистской квантовой механике вероятностная интерпретация одночастичной задачи рассеяния требует введения волновых пакетов для асимптотических состояний [4]. В новом подходе к РКМ начальное и конечное состояния частицы задаются волновыми пакетами в пространстве Минковского. При этом описание эксперимента усложняется введением дополнительных параметров, характеризующих пространственно-временную форму пакетов (параметры когерентности). Рассматриваемая здесь одночастичная задача — первый шаг в постановке более сложной многочастичной задачи рассеяния, которая в рамках КПНД предполагает использование многовременной формулировки динамики [5, 6].

КПНД в релятивистской механике

Начнем рассмотрение с канонической формы классического действия свободной релятивистской частицы

с

1= \{р^~%р1+т2 )) (2)

о

где, следуя Фоку [7], верхний предел интегрирования С будем рассматривать в качестве независимого динамического параметра. Этот параметр определяется из условия стационарности действия (2) после подстановки в него решения классических уравнений движения и оказывается пропорционален собственному времени движения частицы между заданными граничными точками:

С = ±

2т

(3)

В предлагаемом здесь подходе к РКМ параметр Стакже будет определен после решения всех динамических уравнений из условия стационарности квантового действия.

Отличие нового подхода от стандартного, прежде всего, в операторной реализации основных канонических переменных. Теперь вводим их операторную реализацию на пространстве волновых функционалов следующим образом:

а

^ (с)т^ (с)Т; рц (с)^-^, (4)

где вариационная производная волнового функционала определяется равенством

(5)

О5*ц (с)

а постоянная а отличается от «обычной» постоянной Планка Н. В частности, ее физическая размерность — Дж-с2/кг (в соответствии с размерностью параметра с). Связь между этими двумя постоянными будет установлена ниже. Введем в пространстве волновых функционалов эрмитово скалярное произведение

(^2) - [*(С)] [*(*)]• (6)

1Х¥ = ЛХ¥. (8)

Собственные значения Л оператора действия, будучи вещественными, являются функцией граничных точекХ0,Х|, инвариантного параметра С, а также бесконечного набора параметров, определяющих квантовое состояние движения частицы. Соответствующий собственный функционал (с)] также зависит от всех указанных

параметров.

Для явного решения задачи (8) введем экспоненциальное представление волнового функционала

Ч[х (с)] = ехр||5 [х (с)] + Я[х (с)]} (9)

и примем так называемое локальное приближение [2], в котором вещественные функционалы

^[х(с)],7?[х(с)] имеют вид

с

5[х(с)] = [у(с,х(с))с, (10)

о

Если выполнено условие нормировки Ж =

= ^) = 1, волновой функционал Т[х(с)] имеет естественную вероятностную интерпретацию: [х (с)] | есть плотность вероятности движения частицы по какой-либо мировой линии из малой окрестности х(с). Операторы, определенные равенствами (4), формально эрмитовы относительно скалярного произведения (6).

Теперь сформулируем КП НД как основной динамический принцип, определяющий волновой функционал частицы, а также соответствующее квантовое действие. Введем оператор действия, заменив в (2) канонические переменные операторами (4):

с

М

+a е„

-2

hMC)bx„{c)- >5х„(с)

+

л[х (с )]={r (с,х(с )) de. (И)

о

Отметим, что искомое решение в локальном приближении является сингулярным, поскольку повторная вариационная производная в операторе действия (7) оказывается пропорциональной 5(О). Однако надлежащей регуляризацией КПНД в локальном приближении может быть сведен к волновому уравнению Шредингера [2]. Это достигается разбиением интервала [0,С] на малые части равной длины е = С/п и аппроксимацией мировой линии частицы хн (с) ломаной с вершинами = хн (kе). Тогда экспоненциальный функционал (9) может быть аппроксимирован произведением

йс. (7)

Этот оператор можно считать формально эрмитовым, если в первом слагаемом под знаком интеграла произведение некоммутирующих множителей симметризовано. КПНД формулируем в форме задачи на собственные значения для оператора действия:

к=\

(12)

где обозначено

' (с,х) = expp (с,х), p (с,х) a (с,х) + ег (с,х)

и введено соотношение

(13)

В последующем предполагается предельный переход е^ 0, в котором произведение ег следует рассматривать как единый символ. Формально этот предел не имеет смысла, поскольку й ^0, что является следствием сингулярности принятого нами локального приближения. Однако новая операторная реализация основных канонических переменных (4), как и оператор действия (7), имеют смысл в дискрет ой аппроксимации. В этой аппроксимации волновой функционал (12) является функцией многих переменных — координат вершин ломаной хк , так что вариационная производная может быть аппроксимирована частной производной [8]

1 ЭТ

гдх^

(15)

йх11 {к е)

Этим, в частности, достигается регуляризация выражения (7) для оператора действия. Результатом этих построений является равенство [2] (в пределе е^ 0)

а ,с ^СЬу(с,х(с))

^ ,• х1о Л / ' ^ '

У

((с))

(16)

где

5с11'(с,х(с)) = Ш 5'(с^х(с))_ /-'(х(с)).(17)

Необходимым условием того, что правая часть

(16) есть собственное значение оператора действия (7), является равенство нулю выражения

(17) для любой мировой линии х(с) частицы с фиксированными граничными точками. Это выполняется для любого решения '(с,*) уравнения Шредингера

Ш — = Р'.

дс

(18)

При этом, если произведение пеком мутирующих множителей в первом слагаемом под знаком интеграла в (7) симметризовано, собственное значение вещественно и равно

Л^, (19)

где 5 — (вещественная) фаза решения '(с,х) уравнения (18), которое мы будем теперь называть волновой функцией. Таким образом, КП НД в данном случае сводится к волновому уравнению Шредингера (18) с инвариантным параметром се[0,С] в качестве параметра времени, а

квантовое действие (собственное значение оператора действия) определяется граничными значениями фазы волновой функции. Упомянутые выше параметры квантового движения частицы — это начальные данные задачи Коши для уравнения (18).

Понятие квантового действия впервые было введено Дираком [9], который отождествлял его с (комплексной) фазой волновой функции (13) (й//)х- Мы берем в качестве действия лишь вещественную часть этой фазы. Наша формулировка КПНД в форме задачи на собственные значения (8) в пространстве волновых функционалов отличается также от принципа наименьшего действия Швингера [ 10], который определяет квантовое действие как эрмитов оператор в пространстве волновых функций. Однако условия стационарности квантового действия относительно внутренних параметров динамической системы в данном случае будут идентичны.

Уравнение (18) может быть получено и без обращения к КП НД как результат формального применения стандартных правил квантования к классической теории, основанной на действии [2]. Такое квантование будет формальным, поскольку параметр с не является наблюдаемым. Это уравнение также возникает на промежуточном этапе определения пропагатора Фейнмана релятивистской частицы [11, 12], причем на заключительном этапе предполагается интегрирование по длине промежутка времени С. Однако в рамках КП НД интегрирование волновой функции по параметру Сне имеет смысла, поскольку результат интегрирования теряет связь с волновым функционалом и возможность вероятностной интерпретации. Вместо этого мы фиксируем параметр С с помощью дополнительного условия стационарности квантового действия. Таким образом, КПНД в данном случае позволяет связать решения уравнения (18) с реальными измерениями.

Вероятностная интерпретация волнового функционала Т [х (с)], очевидно, порождает вероятностную интерпретацию волновой функции:

'(с,х)|2 есть плотность вероятности того, что в заданный момент «внутреннего времени» с частица будет зарегистрирована в окрестности точки х пространства Минковского. Это вероятностная мера не имеет прямого физического смысла, пока

не установлена ее связь с измерениями. Мы «привяжем» инвариантный параметр времени с к измерениям следующим образом: будем трактовать с = О как момент возникновения свободной частицы, а с = Скак момент ее исчезновения. До момента с = О частица находилась в связанном состоянии в источнике (например, электрон в катоде), а после момента с = С она опять попадает в связанное состояние в детекторе (цилиндр Фарадея). Таким образом, параметр С можно отождествить со временем жизни свободной частицы.

Вероятностная интерпретация РКМ

Вероятностная интерпретация волновой функции в квантовой механике обоснована дифференциальным законом сохранения вероятности, который является следствием уравнения

Шредингера. В нашей теории величина (с,х)| также подчиняется дифференциальному закону сохранения, который следует из (18). Эта вероятность «течет» в пространстве Минковского, а не в обычном пространстве. Чтобы связать ее с реальными процессами в пространстве — времени, фиксируем время жизни частицы С с помощью условия стационарности квантового действия. Тогда амплитуда перехода между начальным и конечным состояниями частицы будет выражена через наблюдаемые величины. Само квантовое действие мы определим ниже как (вещественную) фазу этой амплитуды перехода.

В предыдущем разделе квантовое действие для произвольного решения '(с,*) уравнения Шредингера (18) мы определили как разность фаз (19) при заданных начальных данных задачи Коши. Здесь мы подправим это формальное определение, взяв вместо решения задачи Коши комплексную амплитуду перехода частицы из данного начального состояния '¡п (х0) в источнике в заданное конечное состояние 'ош (х[) в детекторе. Мы рассматриваем детектирование частицы как редукцию ее волновой функции ' (С, х) в состояние, отвечающее детектору:

-—Рс

6 = ('ш Ыс = {'ш \е Й к/я) • <2°) Имеющаяся в (20) симметрия между начальным и конечным состояниями потребуется в дальнейшем при рассмотрении процессов аннигиляции.

Теперь зададим начальное и конечное состояния частицы. Частица высвобождается из источника в результате процесса (например, электронная эмиссия в катоде), который локализован в конечной области пространства — времени. Сопоставим ее начальному состоянию гауссов волновой пакет в пространстве Минковского

Уш(*о) =

= Д)ехр

2а,

2 а

0ц

(21)

Согласно (21) частица возникает в области пространства — времени, имеющей форму эллипсоида вращения (в фиксированной системе отсчета) с центром в точке Пространственно-временные размеры эллипсоида являются параметрами когерентности начального состояния (21). Такое состояние может возникнуть, например, на выходе коллимационного отверстия в экране, окружающем источник частиц. В импульсном представлении это состояние также является гауссовым пакетом с центром в точке Роц и с минимальными из допускаемых принципом неопределенности размерами

Можно назвать это состояние волной Де-Брой-ля с импульсом р^ и параметрами когерентности В соответствии с требованием симметрии конечное состояние следует параметризовать таким же образом. В этом случае для амплитуды перехода (20) получаем представление

= А§А, |й?4рехр

--ец^С + -т2С + а н н а

х ехр

2Г

+ а

2

а м м м-

(22)

где = х^ -х0^. Первая экспонента под знаком интеграла в (22) — это оператор эволюции для уравнения (18), записанный в импульсном представлении. Однако в нашей статье равноправие начального и конечного состояний мы

нарушим, полагая а,. << а0.. Процесс детектирования частицы (если мы говорим о частице) не должен занимать большой области в пространстве — времени. В этом случае амплитуда перехода совпадает с решением уравнения (18), и ее окончательный вид таков:

('»г ки)с =А

П1+2 /й

,с

2

а0ц

х ехр

>0ц

ец ^г ц А>ц +2

°0ц .

2г

\+2 т-Ц

_ +—т2С

с а

2 >0ц

(23)

Л = -

2Й0„С

Оц

еХ - а

С- е^о, 9С,

1+4 а

с

2

„4

+

Классический предел квантового действия (й = 0) совпадаете исходным классическим действием (2) частицы, движущейся с постоянным

4-импульсом р0 между заданными граничными точками:

л0 = еЛ9г(1-(еХ-ю2 )с. (25)

Условие стационарности классического действия (25) относительно С дает классическое уравнение связи для начального импульса частицы

-т2=0,

-> (26)

выполнение которого вначале не требовалось. В классической релятивистской механике уравнение (26) позволяет определить С, если воспользоваться соотношением

Р()а =

(27)

Множители, не зависящие от параметров ДХ. и С, мы включили в общую нормировочную константу А В показателе экспоненты по-прежнему предполагается суммирование по пространственно-временному индексу й•

Таким образом, в этой схеме эксперимента корпускулярно-волновой дуализм отражен в полной мере: приготовляем в источнике волну Де-Бройля, а детектором регистрируем частицу. Вероятность этого процесса равна квадрату модуля амплитуды (23) при условии, что определено время жизни частицы С. Роль квантового действия для нашего эксперимента играет (вещественная) фаза этой амплитуды

и^ 2С

В квантовой теории соотношение (27) в точном виде отсутствует, но оно может быть получено как результат нашего эксперимента. Действительно, вещественная часть амплитуды (23) пропорциональна экспоненте

ехр

((ц -2Ср0ц)2 2(( ц + 4 Й2С2/а2 ц

(28)

откуда следует, что максимальной вероятность регистрации частицы будет для тех детекторов, для которых вектор Д(.. удовлетворяет соотно-

М-

шению (27). Тогда в классическом пределе для времени жизни частицы С получаем требуемое выражение (3).

Однако, полное квантовое действие (24) все же позволяет однозначно определить С с помощью условия стационарности

— = о

д

(29)

без обращения к каким-либо дополнительным уравнениям движения. Пользуясь его квазиклассическим разложением (24), или

где

л2 = -

Л = Л0 + Й л2 +...,

(30)

с

^цл

_4

а0ц

С

(31) 173

находим в нулевом порядке по а стационарное значение С:

£ ±уГ5

с=-

„4

24!

(32)

где

2) = 64

Г Л2

у вц/у^У

ц а0ц

-48

Е

%Р0и

„4

V

\\

у0н ))

(33)

Здесь мы впервые явно используем знак суммирования по индексу ц. Для выбора знака в (32) можно использовать классический предел (3). Если детекторы достаточно удалены от источника частиц, так что

Я

ц

АХ,,

>>

^0ц

Я

ц

1

ц 2

°0ц

(34)

С.

АТ0

2т

ты (28) пренебрегаем слагаемым с ^ = 0 и получаем волновой пакет, распространяющийся с течением обычного времени в обычном трехмерном пространстве. Фаза волнового пакета согласно (25) в этом пределе равна тАХ0, поэтому его динамика подчиняется уравнению Шредин-гера с гамильтонианом

Н = -

г а:

т +—А

V 2т /

и выполняется классическое соотношение (27) (а это является следствием эксперимента), то при выборе знака + в (32) получим правильный классический предел (3). Квантовые поправки для параметра Сполучим, учитывая следующие члены разложения квантового действия (24). Найденное таким образом значение С следует подставить в исходную амплитуду перехода (23), которая становится функцией только динамических параметров частицы в данном эксперименте: А = А (р0 ).

Посмотрим, что получится в нерелятивистском пределе для амплитуды перехода А =

= А(р0,ДХ). Полагая в (32) рт^т, и

>> \АХк\, получим

как и должно быть.

Возвращаясь к нашей основной задаче, завершим описание эксперимента. Как это принято, например, в низковольтной электронографии, поместим источник частиц внутрь экрана £ больших размеров, так что соотношение (34) заведомо выполнено. Таким образом, источник, характеризуемый также временным параметром процесса испускания частицы а00, целиком заключен в пространственно-временном цилиндре бесконечной протяженности в направлении оси времени лс0. Экран плотно «заставим» детекторами, так что частица, возникшая в источнике, рано или поздно будет зарегистрирована одним из них. Наша уверенность в этом основана на упомянутом выше законе сохранения вероятности. Эволюция волнового пакета, возникшего при с = 0 в источнике, описывается экспонен-той (28): его центр движется по прямой

*Лс) = Х{

0 к ■

Р(1к т

в трехмерном пространстве, а сам пакет расплывается. Таким образом, пакет «покидает» упомянутый цилиндр с течением времени с. Это можно выразить иначе: вероятность того, что мировая линия частицы, имеющая начало в районе источника, будет оставаться в пределах цилиндра, стремится к нулю при с^ да. Остается только соответствующим образом нормировать амплитуду А (ръ,Х{):

=1,

(35)

т. е. время жизни частицы в этом пределе пропорционально обычному промежутку времени между граничными точками ее мировой линии. В этом же приближении в показателе экспонен-

где первый интеграл берется по угловым переменным на поверхности экрана Е, а второй интеграл — по всему времени ожидания срабатывания какого-либо детектора. Обратим вни-

4

Физика

мание, что время — равноправный (вместе с пространственными координатами) параметр полученного распределения вероятности. Сходимость интеграла по временной переменной Х1() обеспечена множителем перед экспонентой в (23), который убывает пропорционально ~ Х^2 при Хт поэтому условие нормировки (35) имеет смысл. После этого квадрат мо-

I |2

дуля амплитуды А(р0,Х|) мы принимаем

в качестве плотности вероятности срабатывания какого-либо детектора на поверхности экрана (когда-либо).

Мы рассмотрели в данной работе простейшую задачу движения свободной релятивист-

ской частицы. Движение во внешнем электромагнитном поле описывается действием

/= (36)

(Л '

Формулировка КП НД и постановка соответствующей задачи рассеяния для действия (36) не вызывают принципиальных затруднений и могут быть реализованы с помощью теории возмущений по заряду е • Принципиальный интерес для формулировки КПНД представляет задача взаимодействия релятивистской частицы с квантованным электромагнитным полем. Она будет рассмотрена в рамках обобщенной канонической формулировки многовременной динамики [5] в следующей работе.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бъеркен, Дж.Д. Релятивистская квантовая теория. Т. 1 [Текст] / Дж.Д. Бъеркен, С.Д. Дрелл,— М.: Наука, 1978. - 295 с.

2. Gorobey, N.N. On a New Form of Quantum mrchanics (11) [Текст] / N.N. Gorobey, A.S. Lukya-nenko, l.A. Lukyanenko.— arXiv:0912.3095vl[quant-ph].- 3 p.

3. Gorobey, N.N. Quantum Action Principle in Relativistic Mechanics [Текст] / N.N. Gorobey, A.S. Lukyanenko /arXiv:0812.1336 [quant-ph].— 3 p.

4. Фадцеев, Л.Д. Лекции по квантовой механике для студентов-математиков [Текст] / Л.Д. Фаддеев, О .А. Якубовский,- Л.: Изд-во ЛГУ, 1980,- 199 с.

5. Gorobey, N.N. Generalized Canonical Form of a Multi-Time Dynamical Theory and Quantization [Текст] / N.N. Gorobey, A.S. Lukyanenko, LA. Lukyanenko /arXiv:0910.2157vl [quant-ph].— 5 p.

6. Gorobey, N.N. Two-Time Quantum Mechanics [Текст] / N.N. Gorobey, A.S. Lukyanenko, LA. Lukyanenko /arXiv:1003.2830vl[quant-ph].— 5 p.

7. Фок, B.A. Работы по квантовой теории поля [Текст] / В.А. Фок,- Л.: Изд-во ЛГУ, 1957,- 157 с.

8. Фейнман, Р. Квантовая механика и интегралы по траекториям [Текст] / Р. Фейнман, А. Хибс,— М.: Мир, 1968, 382 с.

9. Дирак, П. Принципы квантовой механики [Текст] / П. Дирак,- М.: Наука, 1979,- 479 с.

10. Швингер, Ю. Теория квантованных полей [Текст] / Ю. Швингер,— М.: Изд-во иностранной литературы, 1956,— 252 с.

11. Де Витт, Б.С. Квантовая гравитация: новый синтез [Текст] / Б.С. де Витт // Сб.: Общая теория относительности / Под ред. С. Хокинга и В. Изра-эля,- М.: Мир, 1983,- С. 296-362.

12. Govaerts J. A note on the Fradkin—Vilkovisky theorem [Текст] / J.Govaerts // CERN-TH.5010/ 88,- 1988.- 21 p.

13. Дирак, П.А.М. К созданию квантовой теории поля [Текст] / П.А.М. Дирак. — М.: Наука, 1990. - 366 с.

УДК 539.3

В.А. Палъмов

К ДВУХСОТЛЕТИЮ ФОРМУЛЫ коши

В этой заметке речь будет идти о формуле, т = п. х. (1)

дающей представление вектора внутренних напряжений т на элементарной площадке в дефор- Здесь п _ внешняя нормаль к площадке, а Т — мирующейся сплошной среде: тензор напряжении.