CC BY
35
4
Физика
мание, что время — равноправный (вместе с пространственными координатами) параметр полученного распределения вероятности. Сходимость интеграла по временной переменной Х1() обеспечена множителем перед экспонентой в (23), который убывает пропорционально ~ Х^2 при Хт поэтому условие нормировки (35) имеет смысл. После этого квадрат мо-
I |2
дуля амплитуды А(р0,Х|) мы принимаем
в качестве плотности вероятности срабатывания какого-либо детектора на поверхности экрана (когда-либо).
Мы рассмотрели в данной работе простейшую задачу движения свободной релятивист-
ской частицы. Движение во внешнем электромагнитном поле описывается действием
/= (36)
(Л '
Формулировка КП НД и постановка соответствующей задачи рассеяния для действия (36) не вызывают принципиальных затруднений и могут быть реализованы с помощью теории возмущений по заряду е • Принципиальный интерес для формулировки КПНД представляет задача взаимодействия релятивистской частицы с квантованным электромагнитным полем. Она будет рассмотрена в рамках обобщенной канонической формулировки многовременной динамики [5] в следующей работе.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бъеркен, Дж.Д. Релятивистская квантовая теория. Т. 1 [Текст] / Дж.Д. Бъеркен, С.Д. Дрелл,— М.: Наука, 1978. - 295 с.
2. Gorobey, N.N. On a New Form of Quantum mrchanics (II) [Текст] / N.N. Gorobey, A.S. Lukya-nenko, I.A. Lukyanenko.— arXiv:0912.3095vl[quant-ph].- 3 p.
3. Gorobey, N.N. Quantum Action Principle in Relativistic Mechanics [Текст] / N.N. Gorobey, A.S. Lukyanenko /arXiv:0812.1336 [quant-ph].— 3 p.
4. Фадцеев, Л.Д. Лекции по квантовой механике для студентов-математиков [Текст] / Л.Д. Фаддеев, О .А. Якубовский,- Л.: Изд-во ЛГУ, 1980,- 199 с.
5. Gorobey, N.N. Generalized Canonical Form of a Multi-Time Dynamical Theory and Quantization [Текст] / N.N. Gorobey, A.S. Lukyanenko, LA. Lukyanenko /arXiv:0910.2157vl [quant-ph].— 5 p.
6. Gorobey, N.N. Two-Time Quantum Mechanics [Текст] / N.N. Gorobey, A.S. Lukyanenko, LA. Lukyanenko /arXiv:1003.2830vl[quant-ph].— 5 p.
7. Фок, B.A. Работы по квантовой теории поля [Текст] / В.А. Фок,- Л.: Изд-во ЛГУ, 1957,- 157 с.
8. Фейнман, Р. Квантовая механика и интегралы по траекториям [Текст] / Р. Фейнман, А. Хибс,— М.: Мир, 1968, 382 с.
9. Дирак, П. Принципы квантовой механики [Текст] / П. Дирак,- М.: Наука, 1979,- 479 с.
10. Швингер, Ю. Теория квантованных полей [Текст] / Ю. Швингер,— М.: Изд-во иностранной литературы, 1956,— 252 с.
11. Де Витт, Б.С. Квантовая гравитация: новый синтез [Текст] / Б.С. де Витт // Сб.: Общая теория относительности / Под ред. С. Хокинга и В. Изра-эля,- М.: Мир, 1983,- С. 296-362.
12. Govaerts J. A note on the Fradkin—Vilkovisky theorem [Текст] / J.Govaerts // CERN-TH.5010/ 88,- 1988.- 21 p.
13. Дирак, П.А.М. К созданию квантовой теории поля [Текст] / П.А.М. Дирак. — М.: Наука, 1990. - 366 с.
УДК 539.3
В.А. Палъмов
К ДВУХСОТЛЕТИЮ ФОРМУЛЫ коши
В этой заметке речь будет идти о формуле, т _ „. х. (1)
дающей представление вектора внутренних напряжений т на элементарной площадке в дефор- Здесь п _ внешняя нормаль к площадке, а Т — мирующейся сплошной среде: тензор напряжении.
Формула была выведена Огюстеном Луи Коши немногим меньше двухсот лет тому назад, аименнов 1827 году (об этом сказано в [1]). Вто время Коши преподавал в Политехнической школе и в Коллеж де Франс [2].
Эта формула является фундаментальной для механики деформирующейся сплошной среды. Она служит основанием для введения в механику такого важного понятия, как тензор напряжений. Коши вывел ее, рассматривая равновесие элементарного тетраэдра, выделенного из сплошной среды. Рассуждения Коши о равновесии тетраэдра настолько убедительны и безупречны, что вот уже почти двести лет они воспроизводятся в книгах по механике деформирующейся среды и по ее частной области — теории упругости. Читатель найдет их в изданных книгах, например [3]. Встретит он их и в книгах, вышедших совсем недавно [4—7]. Само собой разумеется, он встретит их в книгах девятнадцатого века.
Такая удивительная живучесть рассуждений Коши вызывает неподдельное восхищение гениальностью их автора. Вместе с тем в стройном хоре восхищения в последнее время появляются и нотки сомнения. Так в книге [8] читаем: «Простой, но не самый убедительный вывод формулы (1) основан на балансе сил для малого тетраэдра, три грани которого параллельны координатным плоскостям X/ = const, а наклонная четвертая грань имеет нормаль п».
К. Трус, 1С.'i.i в [9] также высказывает сомнение в убедительности рассуждений Коши о тетраэдре и приводит альтернативное. По моему мнению, тоже его нельзя признать убедительным. Я должен отметить, что сомнение вызывает не сама формула Коши, а метод ее вывода. Более того, этот вывод нельзя признать доказательством. Итак, сомнения появились! Попытаюсь сформулировать, в чем они состоят.
Во-первых, неужели рассуждение Коши о равновесии тетраэдра — это единственный путь в этой трудной области механики?
Во-вторых, ведь это частный случай равновесия, жестко привязанный к вполне определенной фигуре тела, а именно — к тетраэдру.
В предлагаемой заметке приводится альтернативный и, как представляется, более простой, чем у Коши, способ получения формулы. Второе обстоятельство, на которое следует обратить
внимание: этот способ никак не привязан к вполне конкретной форме тела, не привязан к тетраэдру.
Чтобы разобраться во всех поставленных вопросах, привожу ниже основные классические положения теории напряжений, которые принимал и использовал Коши и которые принимаются и используются сейчас. Кроме того, мы с вами, дорогой читатель, не будем ограничиваться только статикой, как это делал Коши, а будем рассматривать динамику.
1. Рассматриваем произвольный кусок сплошной среды в актуальном состоянии в произвольный момент времени I. Полагаем, что интегральные уравнения динамики этого куска имеют вид
+{р (Р -V = 0; (2)
5 V
|гх тек +|гхр(Р-¥ = 0. (3)
5 V
Здесь V — объем, занимаемый выбранным куском среды в момент времени I, а 5 — ограничивающая его поверхность; Р — массовая сила; V — ускорение точек среды; р — массовая плотность; г — эйлерова координата материальной точки.
Уравнения (2) и (3) — это классические интегральные уравнения динамики сплошной среды. В них не учитываются моментные напряжения, массовые моменты и, наконец, независимые от перемещений повороты материальных частиц. Говоря короче, это не уравнения динамики сплошной среды Коссера. Статический вариант именно этих уравнений рассматривал Коши.
В классической механике сплошной среды предполагается, что вектор т , входящий в поверхностные интегралы уравнений (2) и (3), — это вектор внутренних напряжений на площадке поверхности 5 с нормалью п. Он зависит от направления этой нормали п и поэтому имеет представление в виде векторной функции векторного аргумента п:
т = т (м,п). (4)
Аргументы г и I указывают на то, что представление имеет место в каждой точке г поверхности 5 в произвольный момент времени I Коши предполагал, что функция (4) непрерывна по этим аргументам. Везде ниже первые два аргу-
Физика -►
мента — г и / — не будем указывать, хотя, подразумевая их, для сокращения записи будем писать
т = т (п). (5)
Это утверждение носит название постулат Коши.
Коши рассмотрел динамику куска сплошной среды в форме тонкого малого диска и получил уравнение
т (-П) = -т (п). (6)
Это соотношение называют в литературе по-разному. Одни авторы называют его фундаментальной леммой Коши [9], другие — первой теоремой Коши [3]. Замечу, что при выводе уравнения (6) не использовалось предположение о непрерывности функций по аргументам г и t.
Коши рассмотрел также кусок сплошной среды в форме тетраэдра, три грани которого расположены параллельно координатным плоскостям и имеют нормали е,, причем е,- — базисные векторы системы координат, которые взаимно перпендикулярны. Четвертая грань тетраэдра имеет нормаль п. Уравнение динамики привело его к следующему результату:
т (п) = щт (е,) + «2т (е2) + «3т (е3), (7)
где itj — проекции нормали п на оси координат е,-, то есть
Я/ = п-е;., (8)
а т (е,-) — векторы напряжений на площадках с нормалями е,-
Сам Коши интегрировал формулу (7) и выдвинул утверждение о том, что напряжения на любых трех ортогональных площадках, проходящих через некоторую точку г, вполне определяют напряжения на любых других площадках, проходящих через избранную точку.
Формулу (7) можно записать по-другому, а именно так:
т (п) = п-Т, (9)
вводя в рассмотрение тензор напряжений
з
т = Xе/х Ы = е Iх (ei) + e 2х Ы + ез х (е3).(10)
/=1
Тензорную запись (9) Коши не использовал, поскольку в его время понятие тензора еще не
было введено в обиход математиков и механиков. Оно появилось позже — лишь в середине XIX века. Вместе с тем формула носит имя Коши. Эту формулу в литературе называют по-разному. Для большинства это просто формула Коши [4, 7, 8], для других (например, в [9]) — фундаментальная теорема Коши, а для третьих (например в [3]) — вторая теорема Коши. Именно об этой знаменитой формуле и будет идти речь в предлагаемой заметке.
Отмечу факты, которые активно использовались Коши при выводе формулы для вектора напряжений (9):
а) постулат Коши (4) или (5);
б) непрерывность (более того, равномерная) функций (4) или (5) по аргументам г и
в) уравнение статики;
г) тетраэдр как фигура, которая позволяет построить формулу Коши.
Выскажу критические замечания по поводу всех сформулированных фактов. Наиболее уязвимым, но в то же время и наиболее плодотворным, является последний пункт из перечисленных выше. Вывод формулы по Коши сложен. Я — лектор по механике деформируемых тел. Вот уже больше 40 лет я рассказываю студентам об этой формуле и подробно воспроизвожу вывод Коши. Во-первых, для этого вывода необходим чертеж тетраэдра со всеми его гранями. Во-вторых, необходимо внимательное вычисление площадей граней такого тетраэдра в зависимости от расположения их нормалей по отношению к нормали п главной площадки. Но что такое мои проблемы лектора в сравнении с тем, что делается в литературе? Вот уже почти двести лет авторы воспроизводят рассуждение Коши в оригинале! Естественно, возникает желание найти по возможности более простой альтернативный путь получения формулы Коши.
При рассмотрении формулы Коши создается впечатление, что она справедлива только в частном случае — для тетраэдра. Об этом свидетельствует тот факт, что в выражение (10) для тензора напряжений входят присущие только тетраэдру значения векторов напряжений по координатным плоскостям. Ведь, если рассмотреть равновесие или динамику какого-нибудь другого многогранника, нам тоже удастся выразить напряжения на одной грани через напряжения
1 77
на других гранях, как это сделал Коши. Но формула (9) для вектора напряжений окажется другой — в ней будет больше слагаемых. Поэтому возникает желание иметь такой вывод формулы Коши, который бы не был связан с конкретной формой куска сплошной среды, рассматриваемого в (2) и (3).
Обратимся теперь к пункту «в» — рассмотрению равновесия. Сей пункт не нуждается ни в каком усовершенствовании, ибо это незыблемый закон природы. Точно также никаких усовершенствований не следует применять и в пункте «б». Дело в том, что понятие непрерывности и даже равномерной непрерывности — это хорошо установившееся понятие математики. Но самым неубедительный в рассуждении Коши — пункт «а», т. е. представление о постулате Коши (5). Коши декларирует то, что вектор напряжет
нормали, но ни разу не обмолвился о том, какой вид может иметь эта функция в самом общем случае. Как же можно говорить о том, что формула Коши имеет общий характер, если не иметь представления о том, какой вид может иметь эта функция вообще. Несомненно, что пункт «а» нуждается в усовершенствовании.
Итак, в серьезном усовершенствовании нуждаются первый и последний пункты из представленного выше перечня.
Обратим свое внимание, дорогой читатель, на постулат Коши. Зададим себе вопрос: «Како-т
Это самый простой вопрос из серии более сложных вопросов: «Какова структура тензорной функции нескольких тензорных аргументов?» Последний вопрос в самом общем виде рассматривался, например, в статьях [10, 11]. Однако,
т
самый простой, то нам не придется обращаться к трудным рассуждениям и рассмотрениям статей [10, И].
Поставим перед собой вопрос: «Из каких комбинаций вектора аргумента п можно составить другие векторы, которые было бы можно принять за функции п?» Ответ на него чрезвычайно прост: «Во-первых, это вектор *П, вообще не зависящий от п. Далее, это вектор, линейно зависящий от п, т. е. п П, и, далее, векторы пп П,
ппп4П, и, далее, ппп...-^+1 П,... Индекс вверху слева обозначает, как обычно, ранг тензора.
Напоминаю, что *П — это тензор первого ранга, т. е. вектор, П — тензор второго ранга, к+х П — тензор к + \ ранга. Сумма таких векторов представляет общий вид степенной функции
т (п) = 'п + п-2 П + ПП-3 П + ППП---4 П +..., или
N X х (п )= X X +1П-
к=О^Г"1
Теперь, когда мы имеем формулу для векторной функции векторного аргумента, т. е. формулу, аналитически выражающую постулат Коши , мы получаем возможность дополнить рассуждение Коши и тем самым превратить его в полноценное доказательство. Доказательство построим методом «отпротивного». Допустим, что формула Коши для вектора напряжений (9) ошибочна и на самом деле имеет место более общая формула (11), в которой не равно нулю хоть одно слагаемое, отличающее (11) от (9). Так будет при выполнении хотя бы одного из следующих неравенств:
"ПшП(к>2). (12)
Обратимся теперь к тетраэдру Коши. С од-
т
иметь представление (11), а с другой, как это показал Коши, она должна иметь вид (9)
т (п) = п-Т.
Разумеется, они должны быть равны. Приравнивая (11) и (9), получим равенство
N X
X(п)= X X■■■*П = П т.
к=о'~ТГ
Его следует рассматривать как тождество, и тогда найдем
>П = 0; 2П = Т; ... шП = 0, к >2. (13)
Мы пришли к противоречию. Равенства (13) противоречат принятому нами предположению (12). Следовательно, наше предположение (12) должно быть отвергнуто. Подставив значения тензоров (13) в (11), получим, наконец, формулу Коши
т(п) = п-Т. (14)
4
Физика
Может возникнуть впечатление, что выражение (14) ничем не отличается от (9). Выражение (9) получил Коши только для тетраэдра, а выражение (14) — это общее представление вектора напряжений.
Итак, мы смогли добавить к рассуждению Коши о равновесии тетраэдра рассуждение о векторной функции векторного аргумента и получить в конце концов доказательство формулы Коши, однако мы не смогли избавиться от обращения к тетраэдру Коши.
Перед нами, дорогой читатель, открывается другая возможность. Мы можем продолжить исследование, принимая за основу представление векторной функции векторного аргумента (11), и избежать вообще обращения к тетраэдру Коши.
Обратим внимание на то, что уравнение динамики (2) должно выполняться для тела любой формы. Следуя Коши, рассмотрим динамику куска сплошной среды в форме тонкого малого диска. Естественно, мы получим уравнение (6). Если подставить в него разложение (11) и выделить четные и нечетные слагаемые, придем к уравнению
X пп п • • •
£=0,2,4,...
к+1
П - X ппп • ••
=
£+1
П =
иии ••• ^+1 П.
= - X ППП" П - X
£=0,2,4,... £=1,3,5,...
Сумма нечетных слагаемых в левой части равна сумме нечетных слагаемых в правой и имеет тот же знак, поэтому они взаимно уничтожаются. Сумма четных слагаемых в левой части равна сумме четных слагаемых в правой части, но имеет противоположный знак. Следовательно, сумма всех четных слагаемых равна нулю, т. е.
к+1
П = 0,
X ппп• •
=
и разложение (11) принимает более простой вид
N
£=1,3,5,.
х П.
(15)
Сохранились только нечетные слагаемые! Таким образом, разложение (15) полностью заменяет разложение (11). Используем его для исследования динамики тела произвольной фор-
мы. Уравнение динамики (2) принимает следующий вид:
N
X х••• п
£=1,3,5,... "Г"1
|р(Е-у) = 0. (15)
Далее рассмотрим последовательность сумм (15) при различных значениях числа членов N. При N = 1 получаем из (15)
т(п) = п- 2 П.
Это выражение уже имеет вид формулы Коши.
Продолжим наше исследование. Рассмотрим случай, когда Л?= 3. В этом случае разложение (15) выглядит так:
т(п) = п- 2П + ппп---4П, (17)
а уравнение
|(п-2 П + шш — 4 П )йу + ]р(Е-у)Л> = 0,
или
|п-2 П^ + |ппп--4 П^ + |р (Е -V )0у = 0.
5 5 V
Первое слагаемое преобразуем по формуле Гаусса — Остроградского, и тогда это равенство примет вид
|ппп--4Пс1э + |(у-2П + р(Е-у))л> = 0. (18)
5 V
Положим теперь, что тензор 4П , а также скобка в объемном интеграле в (18) равномерно непрерывны в пределах рассматриваемого тела и, значит, почти постоянны. Тогда они могут быть вынесены из-под знаков интегралов, что приведет к уравнению / \
|ппп<& -4П + (V-2п + р(Е-у)) = 0. (19)
У V
Выявим асимптотические свойства интегралов, входящих в (19), при малом диаметре тела 25. Очевидно, что
|ппп^ = 3А52, ¡¿у = У83,
3 V
где А и К —постоянные величины, не завися -5
Подставим эти асимптотические представле-
л
ния в (19) и разделим обе части на 5 . Получим
3А---4П + (У-2П + р(Е-у))К5 = 0. (20) Устремляя § к нулю, придем к заключению:
3А--4П = 0. (21)
Это векторное уравнение служит для опре-П
родных уравнения. А число неизвестных? Оно равно числу координат тензора четвертого ранга П
го три однородных уравнения для определения 81 неизвестной. Как известно, эта задача не имеет единственного решения. Во всяком случае, мы
П
Итак, если 4П ^0, то создается впечатление, что мы нашли скорректированное выражение формулы Коши, а именно, выражение (17).
П
этого введем в рассмотрение М разных пробных тел, для которых запишем уравнение динамики. Это значит, что для каждого из них мы напишем уравнение (21). Получим систему уравнений
3А^ ••• 4П = 0 (к = 1,2,...,М). (22)
Это ЗМуравнений в проекциях, а неизвестных — всего 81. Если сделать ЗМ >81, то окажется, что число однородных уравнений больше числа неизвестных. Это позволит, в принципе, заключить
4П = 0, (23)
Тогда пропадет соответствующее слагаемое в скорректированном выражении формулы Коши (17), и она примет вид
т (п) = п-2 П,
или
т (п) = п-Т, (24)
где Т — тензор напряжений, а если внести (23) в (22) и далее в (20), то получим важный попутный результат — уравнение динамики сплошной среды
У-Т + р(Е-у) = 0. (25)
Продолжим начатое исследование и рассмотрим случай, когда N =5. Тогда сумма (15) примет ВИД
т(п) = п •2П + ппп •••4П + ппшш.....6П, (26)
а уравнение (16) окажется таким:
|п -2 П + |(ппп ••• 4 П + 1111111111.....6 П +
+ |р (Е -V = 0.
V
Как и ранее, при И= 3, первое слагаемое преобразуем по формуле Гаусса — Остро градского, и тогда это уравнение примет вид
|(ппп ••• 4П + ппшш.....6 П +
+ {(V-2 П + р(Е-у))л> = 0.
V
ПП
и выражение в скобке в объемном интеграле здесь равномерно непрерывны в пределах рассматриваемого тела, а значит, почти постоянны. Тогда их можно вынести из-под знаков интегралов. Это приведет к уравнению
/ ^ ( ^
|ппп -4 П + .....6 П +
У У
+ (V-2П + р(Е -V)) |^ = 0. (27)
V
Асимптотические свойства интегралов, входящих в это уравнение, при малом диаметре тела таковы:
|ппп (¡я = 3А52; |ппппп (¡я = 5В52; = К53,
5 5 V
где 3А, 3В и V— постоянные величины, не зависящие от 5.
Подставим эти асимптотические представ-
л
ления в (27) и разделим обе части на 5 . Получим
3А-4 П + 5В.....6 П +
+(у-2П + р(Е-у))К5 = 0. (28)
5
3А-4 П + 5В.....6 П = 0.
Полученное векторное уравнение служит для ПП
три однородных уравнения. Асколько неизвестных входит в него? Очевидно, что их число равно
П П П
П
= 729. Полное число этих неизвестных величин равно 810.
Физика -►
Итак, мы имеем всего 3 уравнения для определения 810 неизвестных. Но мы уже знаем что делать, чтобы все-таки вычислить такое безумное количество неизвестных. Для этого нужно ввести в рассмотрение М разных пробных тел и для каждого тела записать уравнение динамики. Получим систему уравнений
ъАк ••• 4П +5Вк.....6П = 0,
{к = 1,2,3,..., М). (29)
Уравнений — 3М, а неизвестных — 810. Если сделать 3М > 810, то окажется, что число однородных линейных уравнений больше числа неизвестных. Это позволит высказать суждение о том, что все неизвестные равны нулю, то есть
4П = 0; 6П = 0, (30)
и тогда пропадают соответствующие слагаемые в скорректированном выражении формулы Коши (26), причем последняя примет вид (24). А если внести (30) в (28), то получим дополнительно уравнение динамики сплошной среды (25).
Точно так же рассмотрим случаи N = 7,9 и т. д. Во всех случаях получим формулу Коши (24) и уравнение динамики сплошной среды.
Этим завершается доказательство формулы Коши, ибо в разложении остается всего одно слагаемое, а именно слагаемое Коши.
Обращаю внимание читателя на то, что в представленном весьма сложном доказательстве мы избавились от необходимости обращаться к тетраэдру Коши.
Проанализируем выполненное доказательство. Обратим внимание на то, что в процессе этого доказательства мы существенно использовали два уравнения — уравнение, конкретизирующее функцию, выражающую постулат Коши (5) вформе(15), и уравнение динамики (2) в форме (25).
Совершенно очевидно, что если пренебречь хоть одним из этих уравнений, то представленное доказательство развалится. Но ведь именно так поступил Коши! Ведь он использовал только уравнение динамики, а разложения (11) он вообще не знал и не употреблял. Как же тогда он получил правильный результат? Гениальность Коши в том, что он отказался от рассмотрения равновесия куска сплошной среды произвольной формы и избрал для своего рассуждения именно тетраэдр. А тетраэдр — специфическая фигура; это многогранник, имеющий всего четыре грани. Значит, функция, выражающая постулат Коши (5), представлена лишь только своими значениями для четырех граней. Только эти четыре значения входят в уравнение динамики, составленное Коши (7). В этом я вижу разгадку загадки Коши — он использовал рассуждение о тетраэдре для того, чтобы избежать рассуждений о форме представления постулата. Так поступают и все авторы книг по механике сплошной среды вот уже почти двести лет. Вот в чем причина живучести рассуждения Коши о тетраэдре.
Обращаю внимание читателя на то, что вопрос об альтернативном построении формулы Коши рассматривался ранее в работе [12] автора этой заметки.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Лурье, А.И. Теория упругости [Текст] / А.И. Лурье.^ М.: Наука, 1970.— 939 с.
2. Большая Советская Энциклопедия. Т. 13 [Текст].— М.: Советская энциклопедия, 1973.— С. 895—-896.
3. Димитриенко, Ю.И. Нелинейная механика сплошной среды [Текст] / Ю.И. Димитриенко,- М.: Физматлит, 2009.— 623 с.
4. Ziegler, F. Mechanics of solids and Fluids [Текст] / F. Ziegler.— New-York, Vienna.: Springer-Verlag, 1995.— 845 p.
5. Седов, Jl.И. Механика сплошной среды. Т. 1 [Текст] /Л.И. Седов.— М.: Наука, 1970.— 492 с.
6. Новацкий, В. Теория упругости [Текст] / В. Но-вацкий,- М.: Мир, 1975,— 872 с.
7. Лурье, А.И. Пространственные задачи теории упругости [Текст] / А.И. Лурье,— М.: ГИТТЛ, 1955.
8. Елисеев, В.В. Механика деформируемого твер-
дого тела [Текст] / В.В. Елисеев.— СПб.: Изд-во Политехи. ун-та, 2006.— 231 с.
9. Труеделл, К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред [Текст] / К. Труеделл.— М.: Мир, 1975,- 592 с.
10. Spenser, A.I. The theory of matrix polynomials and its application to the mechanics of isotropic continua [Текст] / A.I. Spenser, R.S Rivlin // Archive for rational mechanics and analysis.— 1959. Vol. 2, №4,— R 309-336.
11. Лохин, В.В. Нелинейные тензорные функции от нескольких тензорных аргументов [Текст] / В.В. Лохин, Л .И. Седов // В кн.: Седов, Л.И. Механика сплошной среды,- Т. 1,- М.: Наука, 1970,- С. 436-464.
12. Мальмов, В.А. Фундаментальные законы природы в механике деформируемых тел [Текст]: Учебное посо-бие/В.А. Пальмов,- СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2008,-141 с.
