CC BY
9
УДК 539.12.01
РЕГУЛЯРИЗОВАННОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ КОМПЛЕКСНОЙ ЭНЕРГИИ КВАЗИСТАЦИОНАРНЫХ НЕРЕЛЯТИВИСТСКИХ ФЕРМИОННЫХ СИСТЕМ ВО ВНЕШНИХ СТАЦИОНАРНЫХ
ПОЛЯХ
В. Н. Родионов*), A.M. Мандель, Г. А. Кравцова
(.кафедра теоретической физики) E-mail: thl80@phys.msu.su
Построены точные решения уравнений Шредингера и Паули для заряженных частиц во внешнем стационарном электромагнитном поле. Рассчитаны причинные функции Грина скалярной и спинорной частиц. С их помощью методом аналитического продолжения получено уравнение для комплексной энергии частиц, связанных короткодействующим потенциалом. Показано, что это уравнение не содержит расходимостей и позволяет корректно учесть спиновые состояния частиц.
Влияние внешних электромагнитных полей на нерелятивиетекие реакции е участием заряженных частиц и на поведение связанных систем (типа атомов, ионов и атомных ядер) исследуется уже достаточно давно [1-6]. Тем не менее ряд вопросов, на наш взгляд, требует дополнительного изучения. Во-первых, в рамках традиционного подхода, основанного на использовании граничных условий ¿-потенциала, в уравнениях для комплексной энергии связанных квазистационарных состояний возникают физически бессмысленные расходимости. Во-вторых, энергия взаимодействия спиновых магнитных моментов с внешним магнитным полем в нерелятивистских реакциях, как правило, не учитывается. В частности, такой подход приводит к неадекватному представлению о стабилизирующей роли магнитного поля в процессах ионизации и внутреннего фотоэффекта в полупроводниках [7-9]. В настоящей работе предлагается путь устранения указанных пробелов.
Рассмотрим заряженную частицу, связанную короткодействующим потенциалом типа ¿-ямы и находящуюся при этом во внешнем стационарном электромагнитном поле произвольной конфигурации. Отметим, что потенциал нулевого радиуса — достаточно распространенное в литературе приближение поля многоэлектронного атома и особенно отрицательного иона, а также поля ядерных сил [4-6]. В общем случае внешнее поле задается тремя независимыми параметрами: напряженностями магнитного Н и электрического Е полей и углом между
НИМИ (р.
Процесс выхода частицы из ¿-ямы сводится к ее переходу с изолированного уровня энергии на уровень в сплошном спектре, т.е. к распаду связанного состояния. Внешнее электромагнитное поле влияет на этот переход двояким образом: во-первых, формируются волновые функции конечного состояния и, во-вторых, происходит сдвиг и уширение связанного
уровня в ¿-яме. В результате начальное состояние частицы во внешнем поле становится квазистационарным. Как известно, удобным инструментом для исследования таких состояний является понятие комплексной энергии [4-6]
= + Ш-%Т/2, (1)
где < 0 — энергия невозмущенного связанного уровня, АШ — сдвиг уровня энергии, обусловленный влиянием внешних полей, а Г — ширина уровня, пропорциональная вероятности распада связанного состояния. Важно, что рассматривать раздельно сдвиг уровня и его ширину можно только в слабом внешнем поле. В интенсивном поле необходимо проводить совместное изучение этих величин.
Обычно, чтобы получить замкнутое уравнение для комплексной энергии, используется характерное для ¿-ямы граничное условие [2, 4, 10-16]. Например, для скалярной частицы в рассматриваемой конфигурации внешнего поля такое уравнение получено в работе [15]:
(А)
1/2
х I -тгр; ехр ( '-WI
t3/2
LUHt
2sm(ooHt/2) 6ХР V П
iS
(2)
где шн = еН/тс — циклотронная частота, е и т — соответственно модуль заряда и масса частицы, переменная интегрирования £ имеет размерность времени и
S =
(еЕ cos ip)2t3 24 т
(eEsm(p)2t 2тш2н
cvHt
ctg
wHt
(3)
Кафедра общей физики Московского государственного геологоразведочного университета.
Принимая во внимание выражение (1), легко увидеть, что интеграл в правой части (2) экспоненциально расходится. Удовлетворительной процедуры регуляризации уравнений типа (2), насколько нам известно, пока не предложено.
Главная задача предлагаемой работы — методом аналитического продолжения вывести уравнение для комплексной энергии в стационарном внешнем поле, не содержащее упомянутой расходимости. При этом мы также последовательно учтем взаимодействие спина частицы с внешним магнитным полем.
Начнем с решения нестационарного уравнения Шредингера для свободной скалярной заряженной частицы во внешнем поле. Гамильтониан такого уравнения можно представить в виде*)
^ Й2 Л 9 1 о 2
iiSch = ~~ ду + 2ти>нХ +
+ еЕх simp + eEz cos ip. (4)
Здесь предполагается, что магнитное поле ориентировано вдоль оси г, а вектор напряженности электрического поля лежит в плоскости (ж, z).
Уравнение Шредингера с гамильтонианом (4) можно решить стандартным методом разделения переменных. Непосредственной подстановкой легко убедиться, что волновая функция заряженной частицы в поле рассматриваемой конфигурации имеет вид
фп{г, t) = Nun(p)B(£) exp
'-h{w,-tw
(5)
где N — нормировочный коэффициент; ип(р) функции Эрмита с аргументом
/тшну/2 Р{Х) = {IT)
ру еЕ sirup
тшн
тш
я
удовлетворяющие уравнению и"(р) + (2п + 1 — р) х хип(р) =0; ру — сохраняющаяся компонента поперечного импульса. В свою очередь функция В(£) в (5) пропорциональна регулярной на бесконечности функции Эри Ак
в(0 =
(2т)1/3
к(еЕ cosipY^h2!3
Ai(0
с аргументом'
*)
. {2теЕсо8ср\1/3 . -р-)
где го характеризует константу разделения переменных в уравнении Шредингера; Ш — полная энергия
*•' Поскольку в подобных задачах, как правило, приходится иметь дело с электронами, в дальнейшем полагаем заряд частиц отрицательным.
**-) При г = го аргумент функции Эри меняет знак. Нетрудно видеть, что это — точка поворота для классического движения частицы по оси г.
скалярной частицы во внешнем поле:
W = Тшн ( п
eEzo cos ip.
(6)
Построенное таким образом решение уравнения Шредингера относится к скалярной частице. Для того чтобы учесть в рассматриваемом нерелятивистском приближении ее спиновые состояния, необходимо перейти к уравнению Паули (см., напр., [6, 17]) для спинорной волновой функции фпа(г, ¿)
д —
Ш-фЩ(Т(г,1) = ( ffsdi
eh 2 mc
THUJM), (7)
где гамильтониан Паули включает энергию взаимодействия спина с внешним стационарным магнитным полем Н, а т — матрицы Паули. Учитывая конкретную ориентацию магнитного поля в рассматриваемой задаче, этот гамильтониан легко привести к следующему матричному виду:
Hp =
Hsch + Лад/2 0
0
H-Sch — h-LOH/2
Решение уравнения Паули с таким гамильтонианом представимо в форме
ai(t) exp(^iouHt/2) a2(t)exp(iwHt/2)
(8)
где скалярная функция фп(г, t) определяется формулой (5), а спиновые функции а\ и а2 зависят только от времени. Условие нормировки волновой функции требует, чтобы а\ + а| = 1 • Непосредственная подстановка (8) в уравнение (7) дает ai, = const. Это означает, что, во-первых, сохраняется проекция спина частицы на ось г. Такое сохранение обусловлено однородностью и стационарностью магнитного поля [17], а во-вторых, полная энергия частицы вместо выражения (6) определяется более общей формулой
W = Кшн
П 2
а 1 + eEzo cos ip,
(9)
где о = 0 для скалярной и о = ±1/2 для спинорной частицы.
Построим теперь временную функцию Грина заряженной частицы в данном поле. С целью некоторого упрощения вычислений мы, не ограничивая общности, полагаем один из пространственно-временных аргументов двухточечной функции Грина нулевым. Необходимо провести свертку по параметрам ру, го, п (а для частицы со спином — и по а), задающим решения (5), (8) в данном внешнем поле. Функция Грина будет диагональной матрицей вида
G(r, t; 0,0) =
оо ^
/ dz<>
п=0_
dpyGSch(n,zo,Py) х
О
О
eщ>{шнt|2)
(10)
где скалярная функция Грина Сэсь относится к уравнению Шредингера
Сэсъ(п,г0,ру) ~
~ ип(х)ип(0) А^о) ЩО) ехр
-Лр«>-т
Входящий в (10) интеграл по го легко вычисляется с использованием свойств функций Эри. Интеграл по ру с функциями Эрмита аналогичен интегралу, впервые рассмотренному в работе [18]. Образующийся после этого ряд по полиномам Лагер-ра суммируется по п с помощью описанного в [19] алгоритма (см. также [20, 21]). В результате скалярная часть временной функции Грина в стационарном электромагнитном поле выражается в элементарных функциях:
сь(М;0,0) =
т\3/2 а)ц = к) ЪЙ2
Бт
—)ехрЫ
(н)
где
5 =
тг
2*
тшн
еЕгЬ (еЕ
СОБ (р —
4 {х еЕзтср шн
2
2 , „,2
24т
У
аJнt ,
2
шнЪ
2 ху
¿л
2тшд
(12)
Если принять в (11), (12) массу частицы за единицу и проделать очевидные переобозначения, мы в точности воспроизведем формулы (А.7)-(А.9) из работы [15]. При <р = 7г/2 соотношения (11), (12) описывают функцию Грина скалярной частицы в скрещенном поле [14, 21, 22].
Вероятность Р распада связанного состояния частицы в единицу времени в данном внешнем поле можно получить, интегрируя по времени пропагатор легкой заряженной частицы [23, 24]:
р = л
3/2
(I) /^(0^0,0)
X/,
а и(шнт
х / - ~ —-ехр
шн {\№о\\1/2 ( .Зтг
7ГЙ
ехр[-»— ]х
^/2 sm{шнt|2)
п
(13)
где 1¥о — энергия невозмущенного связанного уровня (1), а 5 при нулевых координатах определяется
формулой (3). Полюсы подынтегральной функции в точках = 2тт/шн обходятся снизу.
Функция /а в (13) тождественно равна единице для скалярных частиц, а для епинорных зависит от их поляризации. В общем случае
f<т(uнt/2) = а? exp{-шнt|2) + а| exp{шнt|2),
(14)
где ах, <22 — введенные в решение (8) амплитуды вероятности того, что спин частицы ориентирован по магнитному полю или против поля. Например, если не интересоваться поляризацией электронов в процессе ионизации, то а2 = а| = 1/2 и ¡а = С08(шН^2).
Как известно, ширина связанного уровня пропорциональна вероятности его распада Г = НР [6]. Для аналитического продолжения (13) перепишем это соотношение таким образом, чтобы интегрирование в нем проводилось по положительной полуоси. С этой целью следует представить экспоненту в (13) как сумму действительной и мнимой частей. Интеграл, содержащий мнимую часть, конечен, а интеграл с действительной частью расходится в нуле как Поэтому необходимо провести
его регуляризацию, совершив обход нулевой точки снизу по бесконечно малому контуру. В результате такого обхода расходимость в нуле сокращается. В обоих слагаемых при переходе к положительной полуоси возникает вопрос выбора регулярной ветви корня из-за точки ветвления в нуле. Отметим, что наличие такой точки, обусловленное полуцелой степенью £ в знаменателе, — неотъемлемый признак нерелятивистского приближения при описании пороговых явлений [6, 19, 25]. Выбор нужной ветви определяется требованием действительности вклада рассматриваемого слагаемого в вероятность.
После простых преобразований формулу для ширины уровня можно свести к виду
Г
1 (%
1/2
Г м
4|И/о|1/2 2\тт) У *з/2\2 8т(ия*/2)
о
£
к=1,2
ак Бт
7Г
Б111 ■
(15)
Ясно, что левая часть (15) представляет собой мнимую часть разложения (1) при Г <С (И^о], \А1У\ « \Wq\i
(-2 = (-Жо - АРГ + ¿Г/2)1/2 и
Г
I-
2\Шо\1!2 4|И7о|1/2
а правая является мнимои частью выражения для комплексной энергии
1 /о 00
о
CVHt
t3/2\2sm(ooHt/2)
Yl alexp
k=1,2
exp
iix
(16)
Очевидно, что действительная часть (16) определяет сдвиг уровня внешним полем. Используя тождественное преобразование, справедливое при любом действительном Wo,
dt W2
exp г
.tW0
= ^2
7Г
ft
|^о|У/2
h J
exp
ITT
sign(Wo)
(17)
получим окончательное уравнение для комплексной энергии связанного уровня в стационарном внешнем поле общего вида
1/2 00
да (А)
UHt fa(ujHt/2) f iS_ 2 sm{ojHt/2) 6XP V ft
x exp [ -Wq t
(18)
причем Б задается формулой (3).
Видно, что полученное уравнение явно разрешено относительно W. Подчеркнем, что все интегралы в используемых при выводе промежуточных соотношениях (13)—(17), как и в итоговой формуле (18), конечны. Ограничения относительной малости ширины и сдвига исходного уровня не являются недостатком описываемой схемы, ибо они заложены в самом понятии квазистационарного уровня энергии [6].
Таким образом, получено замкнутое регулярное уравнение для комплексной энергии квазистационарного уровня заряженной частицы, связанной короткодействующими силами, в стационарном внешнем электромагнитном поле общего вида. От аналогичного уравнения (2) оно отличается кроме регулярности тем, что описывает не только скалярные частицы, но и частицы со спином 1/2. В заключение отметим, что уравнение, аналогичное (18), для скрещенного внешнего поля было получено в работе [7], а для внешнего поля конфигурации Редмонда — в работе [25]. В этих же работах приведен ряд яв-
ных решении упомянутых уравнении для различных частных случаев конфигурации внешних полей.
Работа выполнена при финансовой поддержке ведущих научных школ (грант Президента РФ НШ-5332.2006.2), а также РФФИ (грант 05-02-16535).
Литература
1. Тернов И.М., Халилов В.Р., Родионов В.Н. Взаимодействие заряженных частиц с сильным электромагнитным полем. М„ 1982.
2. Делоне Н.Б., Крайнов В.П. Атом в сильном световом поле. М„ 1978.
3. Никишов А.И., Ритус В.И. // Тр. ФИАН. 1986.168. С. 247.
4. Демков Ю.Н., Островский В.Н. Метод потенциала нулевого радиуса в атомной физике. Л., 1975.
5. Базь А.И., Зельдович Я.Б., Переломов A.M. Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике. М„ 1971.
6. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. М., 1974.
7. Родионов В.Н., Кравцова Г.А., Мандель A.M. // Письма в ЖЭТФ. 2002. 75. С. 435.
8. Родионов В.Н., Кравцова Г.А., Мандель A.M. // Докл. РАН. 2002. 386. С. 753.
9. Родионов В.Н., Кравцова Г.А., Мандель A.M. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2002. №5. С. 6 (Moscow University Phys. Bull. 2002. N 5. P. 6).
10. Демков Ю.Н., Друкарев Г.Ф. // ЖЭТФ. 1964. 47. С. 918. И. Демков Ю.Н., Друкарев Г.Ф. // ЖЭТФ. 1965. 49. С. 257.
12. Манаков Н.Л., Рапопорт Л.П. // ЖЭТФ. 1975. 69. С. 842.
13. Berson I.J. // J. Phys. В: Atom. Molec. Phys. 1975. 8. P. 3078.
14. Друкарев Г.Ф., Монозон Б.С. // ЖЭТФ. 1971. 61. С. 956.
15. Попов B.C., Карнаков Б.М., Мур В.Д. // ЖЭТФ. 1998. 113. С. 1579.
16. Манаков П.П., Фролов М.В., Борка Б., Старасе А.Ф. // Письма в ЖЭТФ. 2000. 72. С. 426.
17. Тернов И.М. Введение в физику спина релятивистских частиц. М., 1997.
18. Клепиков Н.П. // ЖЭТФ. 1954. 26. С. 19.
19. Родионов В.Н. Ц ЖЭТФ. 1998. 113. С. 21.
20. Ансельм А.И. Введение в теорию полупроводников. М., 1978.
21. Фейнман Р., Хибс А. Квантовая механика и интегралы по траекториям. М., 1986.
22. Ритус В.И. // ЖЭТФ. 1966. 51. С. 1544.
23. Родионов В.Н. Ц ЖЭТФ. 1997. 111. С. 3.
24. Никишов А.И., Ритус В.И. // ЖЭТФ. 1983. 85. С. 1544.
25. Кадышевский В.Г., Родионов В.Н. // ТМФ. 2000. 125. С. 432.
Поступила в редакцию 25.03.05
