Научная статья на тему 'Регуляризованное уравнение для комплексной энергии квазистационарных нерелятивистских фермионных систем во внешних стационарных полях'

Регуляризованное уравнение для комплексной энергии квазистационарных нерелятивистских фермионных систем во внешних стационарных полях Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
40
9
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Родионов В. Н., Мандель A. M., Кравцова Г. А.

Построены точные решения уравнений Шредингера и Паули для заряженных частиц во внешнем стационарном электромагнитном поле. Рассчитаны причинные функции Грина скалярной и спинорной частиц. С их помощью методом аналитического продолжения получено уравнение для комплексной энергии частиц, связанных короткодействующим потенциалом. Показано, что это уравнение не содержит расходимостей и позволяет корректно учесть спиновые состояния частиц.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Регуляризованное уравнение для комплексной энергии квазистационарных нерелятивистских фермионных систем во внешних стационарных полях»

УДК 539.12.01

РЕГУЛЯРИЗОВАННОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ КОМПЛЕКСНОЙ ЭНЕРГИИ КВАЗИСТАЦИОНАРНЫХ НЕРЕЛЯТИВИСТСКИХ ФЕРМИОННЫХ СИСТЕМ ВО ВНЕШНИХ СТАЦИОНАРНЫХ

ПОЛЯХ

В. Н. Родионов*), A.M. Мандель, Г. А. Кравцова

(.кафедра теоретической физики) E-mail: [email protected]

Построены точные решения уравнений Шредингера и Паули для заряженных частиц во внешнем стационарном электромагнитном поле. Рассчитаны причинные функции Грина скалярной и спинорной частиц. С их помощью методом аналитического продолжения получено уравнение для комплексной энергии частиц, связанных короткодействующим потенциалом. Показано, что это уравнение не содержит расходимостей и позволяет корректно учесть спиновые состояния частиц.

Влияние внешних электромагнитных полей на нерелятивиетекие реакции е участием заряженных частиц и на поведение связанных систем (типа атомов, ионов и атомных ядер) исследуется уже достаточно давно [1-6]. Тем не менее ряд вопросов, на наш взгляд, требует дополнительного изучения. Во-первых, в рамках традиционного подхода, основанного на использовании граничных условий ¿-потенциала, в уравнениях для комплексной энергии связанных квазистационарных состояний возникают физически бессмысленные расходимости. Во-вторых, энергия взаимодействия спиновых магнитных моментов с внешним магнитным полем в нерелятивистских реакциях, как правило, не учитывается. В частности, такой подход приводит к неадекватному представлению о стабилизирующей роли магнитного поля в процессах ионизации и внутреннего фотоэффекта в полупроводниках [7-9]. В настоящей работе предлагается путь устранения указанных пробелов.

Рассмотрим заряженную частицу, связанную короткодействующим потенциалом типа ¿-ямы и находящуюся при этом во внешнем стационарном электромагнитном поле произвольной конфигурации. Отметим, что потенциал нулевого радиуса — достаточно распространенное в литературе приближение поля многоэлектронного атома и особенно отрицательного иона, а также поля ядерных сил [4-6]. В общем случае внешнее поле задается тремя независимыми параметрами: напряженностями магнитного Н и электрического Е полей и углом между

НИМИ (р.

Процесс выхода частицы из ¿-ямы сводится к ее переходу с изолированного уровня энергии на уровень в сплошном спектре, т.е. к распаду связанного состояния. Внешнее электромагнитное поле влияет на этот переход двояким образом: во-первых, формируются волновые функции конечного состояния и, во-вторых, происходит сдвиг и уширение связанного

уровня в ¿-яме. В результате начальное состояние частицы во внешнем поле становится квазистационарным. Как известно, удобным инструментом для исследования таких состояний является понятие комплексной энергии [4-6]

= + Ш-%Т/2, (1)

где < 0 — энергия невозмущенного связанного уровня, АШ — сдвиг уровня энергии, обусловленный влиянием внешних полей, а Г — ширина уровня, пропорциональная вероятности распада связанного состояния. Важно, что рассматривать раздельно сдвиг уровня и его ширину можно только в слабом внешнем поле. В интенсивном поле необходимо проводить совместное изучение этих величин.

Обычно, чтобы получить замкнутое уравнение для комплексной энергии, используется характерное для ¿-ямы граничное условие [2, 4, 10-16]. Например, для скалярной частицы в рассматриваемой конфигурации внешнего поля такое уравнение получено в работе [15]:

(А)

1/2

х I -тгр; ехр ( '-WI

t3/2

LUHt

2sm(ooHt/2) 6ХР V П

iS

(2)

где шн = еН/тс — циклотронная частота, е и т — соответственно модуль заряда и масса частицы, переменная интегрирования £ имеет размерность времени и

S =

(еЕ cos ip)2t3 24 т

(eEsm(p)2t 2тш2н

cvHt

ctg

wHt

(3)

Кафедра общей физики Московского государственного геологоразведочного университета.

Принимая во внимание выражение (1), легко увидеть, что интеграл в правой части (2) экспоненциально расходится. Удовлетворительной процедуры регуляризации уравнений типа (2), насколько нам известно, пока не предложено.

Главная задача предлагаемой работы — методом аналитического продолжения вывести уравнение для комплексной энергии в стационарном внешнем поле, не содержащее упомянутой расходимости. При этом мы также последовательно учтем взаимодействие спина частицы с внешним магнитным полем.

Начнем с решения нестационарного уравнения Шредингера для свободной скалярной заряженной частицы во внешнем поле. Гамильтониан такого уравнения можно представить в виде*)

^ Й2 Л 9 1 о 2

iiSch = ~~ ду + 2ти>нХ +

+ еЕх simp + eEz cos ip. (4)

Здесь предполагается, что магнитное поле ориентировано вдоль оси г, а вектор напряженности электрического поля лежит в плоскости (ж, z).

Уравнение Шредингера с гамильтонианом (4) можно решить стандартным методом разделения переменных. Непосредственной подстановкой легко убедиться, что волновая функция заряженной частицы в поле рассматриваемой конфигурации имеет вид

фп{г, t) = Nun(p)B(£) exp

'-h{w,-tw

(5)

где N — нормировочный коэффициент; ип(р) функции Эрмита с аргументом

/тшну/2 Р{Х) = {IT)

ру еЕ sirup

тшн

тш

я

удовлетворяющие уравнению и"(р) + (2п + 1 — р) х хип(р) =0; ру — сохраняющаяся компонента поперечного импульса. В свою очередь функция В(£) в (5) пропорциональна регулярной на бесконечности функции Эри Ак

в(0 =

(2т)1/3

к(еЕ cosipY^h2!3

Ai(0

с аргументом'

*)

. {2теЕсо8ср\1/3 . -р-)

где го характеризует константу разделения переменных в уравнении Шредингера; Ш — полная энергия

*•' Поскольку в подобных задачах, как правило, приходится иметь дело с электронами, в дальнейшем полагаем заряд частиц отрицательным.

**-) При г = го аргумент функции Эри меняет знак. Нетрудно видеть, что это — точка поворота для классического движения частицы по оси г.

скалярной частицы во внешнем поле:

W = Тшн ( п

eEzo cos ip.

(6)

Построенное таким образом решение уравнения Шредингера относится к скалярной частице. Для того чтобы учесть в рассматриваемом нерелятивистском приближении ее спиновые состояния, необходимо перейти к уравнению Паули (см., напр., [6, 17]) для спинорной волновой функции фпа(г, ¿)

д —

Ш-фЩ(Т(г,1) = ( ffsdi

eh 2 mc

THUJM), (7)

где гамильтониан Паули включает энергию взаимодействия спина с внешним стационарным магнитным полем Н, а т — матрицы Паули. Учитывая конкретную ориентацию магнитного поля в рассматриваемой задаче, этот гамильтониан легко привести к следующему матричному виду:

Hp =

Hsch + Лад/2 0

0

H-Sch — h-LOH/2

Решение уравнения Паули с таким гамильтонианом представимо в форме

ai(t) exp(^iouHt/2) a2(t)exp(iwHt/2)

(8)

где скалярная функция фп(г, t) определяется формулой (5), а спиновые функции а\ и а2 зависят только от времени. Условие нормировки волновой функции требует, чтобы а\ + а| = 1 • Непосредственная подстановка (8) в уравнение (7) дает ai, = const. Это означает, что, во-первых, сохраняется проекция спина частицы на ось г. Такое сохранение обусловлено однородностью и стационарностью магнитного поля [17], а во-вторых, полная энергия частицы вместо выражения (6) определяется более общей формулой

W = Кшн

П 2

а 1 + eEzo cos ip,

(9)

где о = 0 для скалярной и о = ±1/2 для спинорной частицы.

Построим теперь временную функцию Грина заряженной частицы в данном поле. С целью некоторого упрощения вычислений мы, не ограничивая общности, полагаем один из пространственно-временных аргументов двухточечной функции Грина нулевым. Необходимо провести свертку по параметрам ру, го, п (а для частицы со спином — и по а), задающим решения (5), (8) в данном внешнем поле. Функция Грина будет диагональной матрицей вида

G(r, t; 0,0) =

оо ^

/ dz<>

п=0_

dpyGSch(n,zo,Py) х

О

О

eщ>{шнt|2)

(10)

где скалярная функция Грина Сэсь относится к уравнению Шредингера

Сэсъ(п,г0,ру) ~

~ ип(х)ип(0) А^о) ЩО) ехр

-Лр«>-т

Входящий в (10) интеграл по го легко вычисляется с использованием свойств функций Эри. Интеграл по ру с функциями Эрмита аналогичен интегралу, впервые рассмотренному в работе [18]. Образующийся после этого ряд по полиномам Лагер-ра суммируется по п с помощью описанного в [19] алгоритма (см. также [20, 21]). В результате скалярная часть временной функции Грина в стационарном электромагнитном поле выражается в элементарных функциях:

сь(М;0,0) =

т\3/2 а)ц = к) ЪЙ2

Бт

—)ехрЫ

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(н)

где

5 =

тг

2*

тшн

еЕгЬ (еЕ

СОБ (р —

4 {х еЕзтср шн

2

2 , „,2

24т

У

аJнt ,

2

шнЪ

2 ху

¿л

2тшд

(12)

Если принять в (11), (12) массу частицы за единицу и проделать очевидные переобозначения, мы в точности воспроизведем формулы (А.7)-(А.9) из работы [15]. При <р = 7г/2 соотношения (11), (12) описывают функцию Грина скалярной частицы в скрещенном поле [14, 21, 22].

Вероятность Р распада связанного состояния частицы в единицу времени в данном внешнем поле можно получить, интегрируя по времени пропагатор легкой заряженной частицы [23, 24]:

р = л

3/2

(I) /^(0^0,0)

X/,

а и(шнт

х / - ~ —-ехр

шн {\№о\\1/2 ( .Зтг

7ГЙ

ехр[-»— ]х

^/2 sm{шнt|2)

п

(13)

где 1¥о — энергия невозмущенного связанного уровня (1), а 5 при нулевых координатах определяется

формулой (3). Полюсы подынтегральной функции в точках = 2тт/шн обходятся снизу.

Функция /а в (13) тождественно равна единице для скалярных частиц, а для епинорных зависит от их поляризации. В общем случае

f<т(uнt/2) = а? exp{-шнt|2) + а| exp{шнt|2),

(14)

где ах, <22 — введенные в решение (8) амплитуды вероятности того, что спин частицы ориентирован по магнитному полю или против поля. Например, если не интересоваться поляризацией электронов в процессе ионизации, то а2 = а| = 1/2 и ¡а = С08(шН^2).

Как известно, ширина связанного уровня пропорциональна вероятности его распада Г = НР [6]. Для аналитического продолжения (13) перепишем это соотношение таким образом, чтобы интегрирование в нем проводилось по положительной полуоси. С этой целью следует представить экспоненту в (13) как сумму действительной и мнимой частей. Интеграл, содержащий мнимую часть, конечен, а интеграл с действительной частью расходится в нуле как Поэтому необходимо провести

его регуляризацию, совершив обход нулевой точки снизу по бесконечно малому контуру. В результате такого обхода расходимость в нуле сокращается. В обоих слагаемых при переходе к положительной полуоси возникает вопрос выбора регулярной ветви корня из-за точки ветвления в нуле. Отметим, что наличие такой точки, обусловленное полуцелой степенью £ в знаменателе, — неотъемлемый признак нерелятивистского приближения при описании пороговых явлений [6, 19, 25]. Выбор нужной ветви определяется требованием действительности вклада рассматриваемого слагаемого в вероятность.

После простых преобразований формулу для ширины уровня можно свести к виду

Г

1 (%

1/2

Г м

4|И/о|1/2 2\тт) У *з/2\2 8т(ия*/2)

о

£

к=1,2

ак Бт

Б111 ■

(15)

Ясно, что левая часть (15) представляет собой мнимую часть разложения (1) при Г <С (И^о], \А1У\ « \Wq\i

(-2 = (-Жо - АРГ + ¿Г/2)1/2 и

Г

I-

2\Шо\1!2 4|И7о|1/2

а правая является мнимои частью выражения для комплексной энергии

1 /о 00

о

CVHt

t3/2\2sm(ooHt/2)

Yl alexp

k=1,2

exp

iix

(16)

Очевидно, что действительная часть (16) определяет сдвиг уровня внешним полем. Используя тождественное преобразование, справедливое при любом действительном Wo,

dt W2

exp г

.tW0

= ^2

ft

|^о|У/2

h J

exp

ITT

sign(Wo)

(17)

получим окончательное уравнение для комплексной энергии связанного уровня в стационарном внешнем поле общего вида

1/2 00

да (А)

UHt fa(ujHt/2) f iS_ 2 sm{ojHt/2) 6XP V ft

x exp [ -Wq t

(18)

причем Б задается формулой (3).

Видно, что полученное уравнение явно разрешено относительно W. Подчеркнем, что все интегралы в используемых при выводе промежуточных соотношениях (13)—(17), как и в итоговой формуле (18), конечны. Ограничения относительной малости ширины и сдвига исходного уровня не являются недостатком описываемой схемы, ибо они заложены в самом понятии квазистационарного уровня энергии [6].

Таким образом, получено замкнутое регулярное уравнение для комплексной энергии квазистационарного уровня заряженной частицы, связанной короткодействующими силами, в стационарном внешнем электромагнитном поле общего вида. От аналогичного уравнения (2) оно отличается кроме регулярности тем, что описывает не только скалярные частицы, но и частицы со спином 1/2. В заключение отметим, что уравнение, аналогичное (18), для скрещенного внешнего поля было получено в работе [7], а для внешнего поля конфигурации Редмонда — в работе [25]. В этих же работах приведен ряд яв-

ных решении упомянутых уравнении для различных частных случаев конфигурации внешних полей.

Работа выполнена при финансовой поддержке ведущих научных школ (грант Президента РФ НШ-5332.2006.2), а также РФФИ (грант 05-02-16535).

Литература

1. Тернов И.М., Халилов В.Р., Родионов В.Н. Взаимодействие заряженных частиц с сильным электромагнитным полем. М„ 1982.

2. Делоне Н.Б., Крайнов В.П. Атом в сильном световом поле. М„ 1978.

3. Никишов А.И., Ритус В.И. // Тр. ФИАН. 1986.168. С. 247.

4. Демков Ю.Н., Островский В.Н. Метод потенциала нулевого радиуса в атомной физике. Л., 1975.

5. Базь А.И., Зельдович Я.Б., Переломов A.M. Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике. М„ 1971.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

6. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. М., 1974.

7. Родионов В.Н., Кравцова Г.А., Мандель A.M. // Письма в ЖЭТФ. 2002. 75. С. 435.

8. Родионов В.Н., Кравцова Г.А., Мандель A.M. // Докл. РАН. 2002. 386. С. 753.

9. Родионов В.Н., Кравцова Г.А., Мандель A.M. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2002. №5. С. 6 (Moscow University Phys. Bull. 2002. N 5. P. 6).

10. Демков Ю.Н., Друкарев Г.Ф. // ЖЭТФ. 1964. 47. С. 918. И. Демков Ю.Н., Друкарев Г.Ф. // ЖЭТФ. 1965. 49. С. 257.

12. Манаков Н.Л., Рапопорт Л.П. // ЖЭТФ. 1975. 69. С. 842.

13. Berson I.J. // J. Phys. В: Atom. Molec. Phys. 1975. 8. P. 3078.

14. Друкарев Г.Ф., Монозон Б.С. // ЖЭТФ. 1971. 61. С. 956.

15. Попов B.C., Карнаков Б.М., Мур В.Д. // ЖЭТФ. 1998. 113. С. 1579.

16. Манаков П.П., Фролов М.В., Борка Б., Старасе А.Ф. // Письма в ЖЭТФ. 2000. 72. С. 426.

17. Тернов И.М. Введение в физику спина релятивистских частиц. М., 1997.

18. Клепиков Н.П. // ЖЭТФ. 1954. 26. С. 19.

19. Родионов В.Н. Ц ЖЭТФ. 1998. 113. С. 21.

20. Ансельм А.И. Введение в теорию полупроводников. М., 1978.

21. Фейнман Р., Хибс А. Квантовая механика и интегралы по траекториям. М., 1986.

22. Ритус В.И. // ЖЭТФ. 1966. 51. С. 1544.

23. Родионов В.Н. Ц ЖЭТФ. 1997. 111. С. 3.

24. Никишов А.И., Ритус В.И. // ЖЭТФ. 1983. 85. С. 1544.

25. Кадышевский В.Г., Родионов В.Н. // ТМФ. 2000. 125. С. 432.

Поступила в редакцию 25.03.05

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.