Об одном примере векторного пространства Текст научной статьи по специальности «Математика»

тическая работа, квалифицированные педагоги позволят школьникам в короткие сроки получить новое качественное понимание и восприятие стереометрии.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Глейзер Г.Д. Развитие пространственных представлений школьников при обучении геометрии. - М.: Педагогика, 1978. - 104 с.

2. Сидорякина, В.В., Кружилина, Е.В. Формирование эвристических приемов у учащихся при изучении векторов в средней школе // Вестник Таганрогского государственного педагогического института. 2016. № 2. - С. 130-134.

3. Бузнякова А.А., Макарченко М.Г., Сидорякина В.В. Основные принципы построения объяснения доказательства теоремы школьного курса математики// Вестник Таганрогского государственного педагогического института. 2017. № 1.-С. 179-184.

4. Сидорякина В.В., Тулинова О.А., Кружилина Е.В. О некоторых методических особенностях обучения школьников решению геометрических задач векторным методом // Вестник Таганрогского государственного педагогического института. 2017. № 1.- С. 261-266.

5. Сидорякина В.В., Аксайская Л.Н., Кумакова Е.А. Специфика использования метода координат при решении стереометрических задач в средней школе // Вестник Таганрогского государственного педагогического института. 2017. № 2.-С. 241-245.

6. Сенников Г.П. Наглядно-конструктивный метод обучения геометрии и развитие пространственных представлений учащихся // Некоторые вопросы воспитания в связи с обучением математики в школе: Ученые записки Горьковского государственного педагогического института им. М.Горького. Серия: математические науки. Вып.72. - Горький: Волго-Вятское книжное издательство, 1967 - 79-137 с.

7. Щепин О.Н. Наглядно-конструктивный подход к изучению стереометрии в старших классах средней школы: автореферат дис. кандидата педагогических наук: 13.00.02 / Моск. пед. гос. ун-т. - Москва, 1998. - 16 с.

А.В. Забеглов, Н.В. Склярова

ОБ ОДНОМ ПРИМЕРЕ ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА

Аннотация. Рассмотрены геометрические объекты, представляющие собой двумерные площадки в трехмерном пространстве. Определены операции сложения и умножения на число в данном множестве. Проведена проверка аксиом линейного пространства.

Ключевые слова: бивектор, вектор, линейное пространство, двумерные площадки.

A.V. Zabeglov, N.V. Sklyarova

ON ONE EXAMPLE OF THE VECTOR SPACE

Annotation. Geometric objects, representing two-dimensional areas in three-dimensional space, are considered. The operations of addition and multiplication by a number in a given set are defined. A verification of the axioms of a linear space is carried out.

Key words, bivector, vector, linear space, two-dimensional areas.

Одним из основных понятий, которое востребовано в различных разделах математики является понятие вектора. Впервые с ним знакомятся в школьном курсе математики. В школьном курсе вектор определяется различными способами, как набор координат [3], как параллельный перенос [1],но наиболее часто, как множество направленных отрезков. Такой подход вполне оправдан. В нем используется наиболее наглядная модель векторного пространства, которая доступна школьникам, и может быть ими вполне применена при практическом использовании векторного метода решения задач. Однак, замена математического понятия его моделью приводит к тому, что начав изучение разделов высшей математики, понятие линейного пространства полностью отождествляется учащимися с множеством направленных отрезков. Аксиоматика Вейля, которая задает основу построения любого линейного пространства, не дает той степени наглядности, которая бы обеспечивала результат, потому уместными можно считать примеры линейного пространства с объектами, отличными от направленных отрезков. Примером построения одной такой модели линейного пространства является построение линейного пространства бивекторов или линейных площадок. В данной работе рассматривается линейное пространство таких объектов, определяются операции на их множестве, и проводится проверка аксиом линейного пространства. Для выполнения этой задачи необходимо: определить множество объектов, которые будут играть роль векторов, ввести операции сложения и умножения на число, и проверить выполнение аксиом линейного пространства. 1.1. Ориентированные площадки. Бивектор.

Рассмотрим ориентированные площадки в пространстве. Такой площадкой является параллелограмм, построенный на упорядоченной паре неколлинеарных векторов: его плоскость

имеет определенную ориентацию в пространстве, а первый из векторов задает определенное направление обхода контура параллелограмма.

Упорядоченная пара векторов (а, Ь) задает ориентированную двумерную площадку, построенную на векторах а и Ь

Б

Ь

Следует отметить, что ориентированной двумерной площадке можно поставить в соответствие вектор, построенный по правилу векторного произведения, однако данное соответствие не будет взаимнооднозначным. Действительно, существует множество площадок, имеющих одинаковую ориентацию и площадь, определяющих одно и то же векторное произведение. Определим элементы этого множества.

Определение: Пусть а, Ь, а1 и Ь1 - векторы произвольного линейного пространства V. Говорят, что пара (а1, Ь1) получена из пары (а, Ь) элементарным преобразованием, и пишут (а, Ь) ^ (а1, Ь1), если

1) а1 = а, Ь1 = Ь + аа или а1 = а + аЬ, Ь1 = Ь ,где а -произвольное число

^ ^ _ 1 ^

2) а = аа, Ь1 = —Ь ,где аФ 0.

а

Замечание. Если а ^ Ь , то и а1 ^ Ь1.

Определение. Две пары векторов будем называть унимодулярно эквивалентными, если одна может быть получена из другой некоторой последовательностью элементарных преобразований, либо каждая из них состоит из коллинеарных векторов.

Определение. Каждая пара векторов или ориентированная площадка является представителем класса эквивалентности, который будем называть бивектором и обозначать а А Ь. Множество всех бивекторов будем обозначать V А V. 1.2. Линейные операции над бивекторами.

Пусть р - произвольный бивектор, а к - произвольное действительное число. Определение: Произведением кр бивектора р на число к, назовем бивектор, удовлетворяющий следующим условиям:

а) бивектор кр параллелен той же плоскости, что и бивектор р ;

б) ориентация этой плоскости, определенная бивектором кр, совпадает с ориентацией, определенной бивектором р , при к > 0, и противоположна этой ориентации при к < 0;

в) площадь бивектора кр выражается формулой |кр| = |к| • |р| при к = 0 или р = 0 по определению положим 0 • р = к • 0 = 0

Для определения суммы бивекторов, необходимо рассмотреть ряд фактов и утверждений.

Однородность бивектора.

Из определения следует, что при умножении одного их векторов, составляющих бивектор, на некоторое число весь бивектор умножается на это число, т. е.

"а, Ь и "к е Я (ка) а Ь = а а(кЬ) = к (а а Ь) Антикоммутативность бивектора.

По определению, бивектор — р = (— 1)р имеет ту же площадь и параллелен плоскости (при р Ф 0), что и бивектор а, но определяет на этой плоскости противоположную ориентацию. Но при а = а А Ь теми же свойствами обладает и бивектор Ь А а . Поэтому Ь а а = —а а Ь,

т. е. при перестановке множителей бивектор меняет знак.

Бивекторы р и q в пространстве называются коллинеарными, если они параллельны одной и той

же плоскости. Все бивекторы на плоскости, по определению, коллинеарны. В частности, бивекторы коллинеарны, если хотя бы один из них равен нулю.

Определение. Бивекторы р и q коллинеарны тогда и только тогда, когда существует такое число к, что либо р = kq, либо q = кр .

Лемма 1. Для вектора е и бивектора р тогда и только тогда существует такой вектор а, что р = е а а ,

когда либо бивектор р = 0 , либо вектор е Ф 0 и параллелен плоскости бивектора р .

Лемма 2. Для любых двух бивекторов р и q существуют такие векторы е, а и Ь, что

р = е а а , q = е а Ь .

Замечание: Векторы а , е , Ь мы всегда можем выбрать так, чтобы вектор е был ортогонален векторам а и Ь .

Определение. Суммой бивекторов р и q, представленных в виде е А а и е А Ь, называется бивектор р + q = е а( а + Ь)

Определение суммы бивекторов можно записать в виде равенства

а а (Ь + с) = а а Ь + а а с 1.3. Построение линейного пространства бивекторов. Теорема. Множество V А V при П = 3 является линейным пространством.

Доказательство: Для доказательства проверим выполнение аксиом 1 - 8 линейного пространства. А1. "р, q еV а V р + q = q + р

Пусть р = е а а , q = е а Ь

р + q = е а а + е а Ь = е (а + Ь)

q + р = е а Ь + е а а = е (Ь + а ) = е (а + Ь) т. к. правые части равенства равны, значит

р + д = q + р

A2. "р, д, г е¥ л V (р + д) + г = р + (д + г) Проверим верность равенства в случае

1) р = е л а , д = е л Ь , г = е л с

(р + д) + г = е л (а + Ь) + е л г = е л(( а + Ь) + с ) = е л (а + (Ь + с )) = е л а + е л( Ь + с ) = д + (р + г)

2) Пусть теперь векторы р, д, г некомпланарны, т.е. д Ф е л Ь , тогда д = Ь1 л Ь2 т.к. д ф 0 , то е, Ь1, Ь2 - линейно независимы.

Разложим а = ке + к1Ь1 + к2Ь2

Тогда е л а = е л а' где а = к1Ь1 + к2Ь2

Следовательно а □ д ,аналогично с □ д Таким образом а = к1Ь1 + к2Ь2, с = 11Ь1 + 12Ь2 ,тогда

к1 11 к2 12

а л с = а(Ь1 л Ь2 ) = ад ,где а = к112 - к211 Если а = 0, то

р + д = е л а + — (а л с ) = | е - — с | л а и г = е л с = | е -—с | л с а ^ а ) ^ а 1

Сложив, получим

1

(р + д) + г = ^ е--с) л( а + с)

аналогично

1

р = е л а = I —+ е | л а

\ а )

д + г = — (а л с) + е л с = I — а + е | л с

а

а

1

р(д + г) = I — а + е |л(а + с)

у а )

Учитывая, что разность правых частей равна нулю

| е - — с | л (а + с) - (—а + е) л (а + с) = (е -—с -—а - е) л (а + с) = - — (а + с) л (а л с) У а ) а а а а

3) В случае, если а = 0, то Зк, тогда с = На так как а □ д , ЗЬ, что д = а л Ь , тогда (р + д) + г = (е л а - Ь л а) + е л На = (е - Ь) л а + ке л а = ((к + 1)е - Ь) л а Аналогично р + (д + г) = е л а + (-Ь л а + ке л а) = ((к + 1)е - Ь) л а

A3."ре V л V 30е Vл¥, что р + 0 = р

е л а + о л о = е л а + о л 0 • а = е л а + 0 • о л а = (е + 0 • о) л а = (е + 0 • о) л а = е л а

А4. "р еV л V 3(-р) е V л V , р + (-р) = 0

р = е л а - р = а л е

Тогда р + (-р) = е л а + а л е = е л а - е л а = е л (а - а) = е0 = 0

Покажем единственность противоположного элемента.

Предположим для р есть два противоположных элемента р1 и р2, тогда

р + р1 = 0 р + р2 = 0

Рассмотрим р2

Г2 = Г2 + 0 = Г2 + (р + = (Р2 + Р) + Р1 = 0 + Л = Л

А5. "р еV а V и 1 е Я 1 • р = р при р = е А а

а) 1 • р □ р

б) т.к. к = 1, 1 > 01 • р ТТ р

в) |1 • р\ = 1 р\ = |р|

А6. "р еV а V и "к, I е Як • (I • р) = (к • I) • р

а) к • (I • р) □ (к • I) • р по определению умножения вектора на число р □ I • р, I • к = тт • р = р

б) пусть I > 0, тогда I • р ТТ р

к > 0, тогда к • (I • р) ТТ I • р ТТ р пусть I < 0, тогда I • р Т^ р

к < 0, тогда к • (I • р) ПI • р Т^ р

м > 0 к • (I • р) ТТ р

пусть I > 0, тогда I • р ТТ р

к < 0, тогда к • (I • р) ПI • р Т^ р пусть I < 0, тогда I • р Т^ р

к > 0, тогда к • (I • р) ТТ I • р ТТ р

м < 0 к • (I • р) Т^ р

при I = 0, к = 0 равенство очевидно.

в) покажем равенство длин

\к • (I • р)|=к • \1 • р|=к • Щ •! р\

\(к • I) • р=\к • щ •! р|=к • Щ •! р

А7. "р еV а V и "к, I е Я (к +1) • р = к • р +1 • р 1) Если к, I - одного знака

(к +1) • р □ р , к • р □ р , I • р □ р, следовательно (к • р +1 • р) □ р. Покажем равенство длин

|(к +1) • р| = |к + Щ •! р|

к • р+1 • р=к • р|+\1 • р=кр+щ •! р=(к+Щ )р=

= \к + Щ •) р|

Если (к +1) > 0 , тогда (к +1) • р ТТ р

к • р ТТ р, I • р ТТ р к • р +1 • р ТТ р

Значит (к +1) • р ТТ к • р +1 • р б) (к +1) < 0 (к +1) • р Т^ р

к • р +1 • р Т^ р тогда

(к +1) • р ТТ к • р +1 • р

2) если к, l - разных знаков

к > И

а)|(к +1)• p| = \к +1\ \p\

к • р+1 • р\=к • p\ - |i • p=к-i P - и-i P=(I к - и)-IP=\к+i-i p

б) (к +1) • p TT к • p к • p +1 • p TT к • p

Следовательно (к +1) • p TT к • p +1 • p Если |к| = |l|, то к -1 = 0 и (к +1) • p = 0 l = -к

к • p +1 • p = к • p + (-к • p) = 0

А8. "p eV a V и "к e R к(p + q) = к • p + к • q

1)При к = 0 или p = q = 0 равенство очевидно.

2) Рассмотрим, когда они нулю не равны, p = e a a , q = e a b

к(e a a + e a b) = к(e a (a + b)) = ке a (a + b) = ке a a + ке a b

Таким образом, операции сложения бивекторов и умножения на число удовлетворяют требованиям восьми аксиом линейного пространства. Теорема доказана.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Геометрия. Учеб. пособие для 7-го кл. сред. школы. Под.ред. А.Н. Колмогорова. Изд. 5-е.-М.:Просвещение, 1976.,-160с.

2. Ефимов Н.В. Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и геометрия, М., 1980. - 526с.

3. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел: Учеб.пособие для педагогических институтов.-М.,1979. - 559с.

4. Фоменко Л.П. Лекции по аналитической геометрии, учебное пособие, Таганрог, 1997. - 117 с.

А.Л. Леонтьев, А.В. Кохановская, Н.В. Драимым

ВИЗУАЛИЗАЦИЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА С ПОМОЩЬЮ MATHCAD

Аннотация. Статья посвящена рассмотрению способов визуализации задач курса «Уравнения математической физики». Для визуализации разработаны алгоритмы построения графических моделей гиперболических уравнений разной сложности, с использованием метода разделения переменных и сеточного метода. Средством визуализации и средой программирования выбрана программа MathCAD.

Ключевые слова: Уравнения математической физики, гиперболические уравнения, визуализация, MathCAD, графики функций.

A.L. Leontyev, A.V. Kohanovskaya, N.V. Dragnysh

VISUALIZATION OF SOLUTIONS OF EQUATIONS OF MATHEMATICAL PHYSICS HYPERBOLIC TYPE WITH MATHCAD

Abstract. The article is devoted to the ways of visualizing the tasks of the course "Equations of Mathematical Physics". For visualization algorithms for constructing graphical models of hyperbolic equations of different complexity have been developed using the method of separation of variables and the grid method. The MathCAD program was chosen as the visualization tool and the programming environment.