Введение в геометрическую алгебру Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВВЕДЕНИЕ В ГЕОМЕТРИЧЕСКУЮ АЛГЕБРУ*

А. СЫРОМЯСОВ, студент

Описание объектов и процессов, рассматриваемых современной математикой и физикой, часто оказывается формальным и ненаглядным. Это затрудняет понимание многих математических моделей. Привлечение аппарата геометрической алгебры позволяет существенно упростить математические выкладки. В широком смысле геометрическая алгебра — научная дисциплина, в более узком — множество с определенной структурой (в этом случае будем обозначать ее ГА). Привлечение геометрической алгебры, например, позволяет:

— описывать вращения в пространстве с произвольной размерностью и сигнатурой, что дает возможность затем церейти к преобразованиям Лоренца и группам Ли;

— объединить четыре уравнения Максвелла в одно простое уравнение, которое также решается методами геометрической алгебры.

Начало формирования геометрической алгебры как научной дисциплины можно отнести к первой половине XIX века. Центральной проблемой, рассматриваемой в то время, было описание вращений в трехмерном пространстве. В 1844 году Гамильтон опубликовал работу о кватернионах, представляющих собой обобщение комплексных чисел. В этом же году Грассман ввел понятие внешнего произведения. Его работа дала толчок исследованию дифференциальных форм и антикоммутирующих переменных. В 1878 году Клиффорд построил ГА, объединив внутреннее и внешнее произведения в одной операции — геометрическом произведении. В 1920-е годы алгебра Клиффорда нашла применение в количественной теории спина. В частности, незаменимыми в квантовой механике стали алгебры матриц Паули и Дирака. Но

они рассматривались только как алгебры — их геометрическйй смысл был потерян. В 1966 году Дэвид Хестенис восстановил геометрический смысл алгебры Паули и Дирака и опубликовал свои результаты в книге «Алгебра пространства-времени». В настоящее время исследования в области ГА ведутся в ряде зарубежных университетов, в том числе в Кембридже, Генте и Хельсинки [3; 4].

Цель этой статьи — дать методическое введение в геометрическую алгебру и рассмотреть простейший случай ГА — ГА на плоскости.

Рассмотрим множество свободных векторов евклидовой плоскости. Будем считать, что они являются в ГА элементами первой степени (1-векторами)..

Внутренним произведением двух векторов а • Ь назовем их скалярное произведение: а Ь = (а, Ь). Таким образом, внутреннее произведение векторов коммутативно и является числом. Будем считать, что действительные числа также принадлежат ГА и являются элементами степени 0. Внутреннее умножение понижает степени элементов: перемножая 1-векторы, мы получаем скаляр, т. е. 0-вектор [3].

Внешним произведением векторов а и Ь а а Ь назовем бивектор (2-вектор) с выбранным направлением обхода, т. е. ори-ентированный параллелограмм, натянутый на а и Ь (рис. 1). В ГА бивектор является элементом второй степени. Внешнее умножение, в отличие от внутреннего, повышает степени элементов: внешним произведением двух 1-векторов является 2-вектор. Применяя эту операцию, мы можем получить элемент новой природы и оказаться «вовне» исходного множества (в нашем случае — множества свободных векторов плоскости). ;

* Работа выполнена на кружке топологии и геометрии математического факультета Мордовского университета. Выражаю искреннюю благодарность Петру Николаевичу Кочугаеву за консультации при подготовке статьи.

© А. Сыромясов, 2002

а

Рис. 1

Модулем бивектора |а л Ь| назовем площадь соответствующего ориентированного параллелограмма. Если |а л Ь| = 0, то бивектор назовем нулевым. Площадь параллелограмма равна нулю, если он вырожден в отрезок или точку, то есть векторы, на которые натянут бивектор, коллинеар-ны. При этом один из них или оба сразу могут быть нулевыми.

Если векторы коллинеарны, то направление обхода бивектора не играет роли (рис. 2). Таким образом, корректно считать, что нулевой бивектор одинаково ориентирован с любым бивектором плоскости (аналогично тому, что нулевой вектор сонаправлен любому вектору).

В

с

Рис. 2

Теперь введем отношение равенства на множестве бивекторов. Будем считать, что два бивектора на плоскости равны, если:

1) они имеют одинаковую ориентацию, т. е. направления их обхода совпадают;

2) их модули равны [2].

На рис. 3 показаны случаи равенства и неравенства бивекторов. Так, а л Ь = с л с1, поскольку их ориентации совпадают, а модули равны; е д £ * g л Ь, так как хотя их модули равны, но направления обхода различны.

Можно указать только два направления обхода бивектора — по часовой стрелке и против нее. Будем считать обход против часовой стрелки положительным, а по часовой стрелке — отрицательным. Таким образом, ориентация бивектора играет роль, аналогичную направлению вектора.

а

а

с

е

Рис. 3

Очевидно, введенное отношение равенства рефлексивно, симметрично и транзи-тивно, поэтому оно разбивает множество бивекторов на классы эквивалентности (бивекторы принадлежат одному классу, если они равны). Исходя из этих соображений, в дальнейшем под словом «бивектор» будем иметь в виду произвольный представитель соответствующего класса, т. е. так называемый свободный бивектор.

Продолжая аналогию с векторами, введем операции сложения бивекторов и умножения бивектора на число.

Суммой двух бивекторов назовем бивектор, удовлетворяющий следующим условиям.

1. Если исходные бивекторы ориентированы одинаково, то ориентация суммы совпадает с их ориентацией, а модуль суммы равен сумме модулей.

2. Если слагаемые противоположно ориентированы, то их сумма ориентирована так же, как слагаемое, модуль которого больше. При этом модуль суммы равен разности модулей слагаемых (мы предполагаем, что модуль любого бивектора неотрицателен , поэтому из большего модуля надо вычитать меньший) (рис. 4).

Из данного определения следует, что сложение бивекторов ассоциативно:

А + (В + С) = (А + В) + С и коммутативно: А + В = В + А. Нулевой бивектор является нулем по сложению: для любого бивектора В имеем В + 0 = 0 + В =

= В.

Для каждого бивектора В найдется бивектор С, имеющий тот же модуль, но

противоположную ориентацию. В таком определить С как бивектор, противополож-случае В + С = С + В = 0, и можно ный В: С = -В.

+

Я

С

а

Ориентации бивекторов совпадают

d

К

b

+

а

с

е

б

Ориентации бивекторов противоположны

Рис. 4

Таким образом, множество бивекторов плоскости образует абелеву группу относительно сложения.

Рассмотрим бивекторы адЬиЬда. Их модули равны, а ориентации противоположны. Поэтому бивектор а л b = -b л а. Следовательно, внешнее произведение векторов антикоммутативно. В частности, а л а = 0.

Произведением бивектора В на число X назовем бивектор С, для которого выполнены следующие условия.

1. Его модуль равен произведению модулей числа и бивектора: |С| = \Х\\В\.

2. Если À > 0, то ориентации В и С совпадают; если À < 0, ориентации проти-

воположны.

Потребуем, чтобы умножение бивектора на число было коммутативным: АВ = В А для любых Л и В.

Очевидно, при X = 0 ХВ — нулевой бивектор, а при X = -1 бивекторы В и ХВ

противоположны. Кроме того, исходя из данных нами определений сложения бивекторов и умножения бивектора на число, получим, что для любых бивекторов А и В и действительных чисел Хи\ы справедливы равенства

X(ixA) = (X[i)А; (X + ц)А = XА + цА;

Х(А + В) = ХА + ХВ.

Обобщим вышесказанное: множество бивекторов с введенными операциями сложения и умножения на число является линейным пространством.

Теперь докажем важное утверждение — внешнее произведение билинейно:

а л (ХЬ + ц,с) = А(а л b) + |i(a л с);

(Xsl + |iib) л с = Ма л с) + ц(Ь л с).

Операция кососимметрична, поэтому достаточно доказать, что внешнее произведение векторов аддитивно и однородно по второму аргументу.

На рис. 5 векторы ОА = а, ОВ = Ь,

ВС = с, ОС = ОВ + ОС . Очевидно, площадь параллелограмма ОАЕС 5(ОАЕС) =

= 5(ОАБВ) + 5(ВБЕС), а ориентации бивекторов ОАлОСи ОА л ОВ + ВБ лВС совпадают. Непосредственно отсюда получаем, что ал(Ь + с) = алЬ + алс. Однородность внешнего произведения следует непосредственно из определения умножения бивектора на число и равенства бивекторов (рис. 6). Итак, внешнее произведение векторов линейно по второму аргументу, что и требовалось доказать.

С

Е

В

О

Б

Рис. 5

а

а

Рис. 6

Выясним размерность пространства бивекторов. Пусть векторы и {2 некол-линеарны и в базисе л, i2> а имеет координаты {а^ а2}у Ь — {¿1, Ь2}. Тогда, воспользовавшись билинейностью внешнего произведения, получим:

адЬ = + а2{ 2)а(Ь1^ + Ь2{2) =

= (ахЬ2 ~ Ь\а2) д i2.

Следовательно, на плоскости любой бивектор можно выразить через заранее выбранный базисный бивектор.

Как упоминалось выше, скаляры (числа), векторы и бивекторы являются элементами ГА на плоскости. Поэтому ГА можно рассматривать как линейное пространство, представляющее собой прямую сумму пространств скаляров, векторов и бивекторов. Размерность ГА на плоскости равна 4: одно число, два неколлинеарных вектора и один ненулевой бивектор (например, натянутый на выбранные векторы) образуют базис [3].

До сих пор мы рассматривали операции внутреннего и внешнего умножения применительно к векторам. Теперь распространим эти операции на все элементы ГА. Все свойства, которые мы сейчас введем формально, позднее будут истолкованы

геометрически. Итак, \/Х, [х е И, V а, Ь, с, с1,

X = ц X = Х\х; аа\1 = |хлХ = 0;

X а = а X = 0; Хла = а л X = Ха;

Х(а д Ь) = (а а Ь) X = 0;

X л (а а Ь) = (а а Ь) а X = Х(а л Ь);

а а (Ь а с) = (а а Ь) а с;

а (Ьас) - (а Ь)с - (а с)Ь;

(Ь а с) а = -а (Ь а с);

(а а Ь)-(с а (1) = а (Ь (с а с!)).

Кроме того, потребуем, чтобы операции внутреннего и внешнего умножения были дистрибутивны относительно сложения элементов разных степеней [1]. Это позволит нам перемножать элементы ГА (ли-

нейные комбинации скаляров, векторов и бивекторов) как многочлены.

Теперь можно дать следующее определение. Геометрическим произведением вектора на элемент ГА назовем сумму их

о

внешнего и внутреннего произведении: аХ = а Х + алХ[1]. Оно билинейно, как сумма билинейных функций и, очевидно, дистрибутивно относительно сложения. Геометрическое произведение двух векторов включает в себя числовую и бивекторную составляющие и в общем случае не является ни коммутативным, ни антикоммутативным. Указанные выше формулы позволяют сделать вывод, что геометрическое произведение векторов ассоциативно: (аЬ)с = а(Ьс).

Рассмотрим частные случаи геометрического умножения двух векторов.

1. а и Ь коллинеарны. Тогда Ь = Яа, аЬ = А,(а а + а а а) = А,а а = а Ь, т. е. геометрическое произведение векторов совпадает с внутренним. В этом случае геометрическое произведение коммутативно.

2. а и Ь перпендикулярны. Теперь уже а Ь = 0,аЬ = аАЬи геометрическое произведение антикоммутативно.

Рассмотрим плоскость, на которой выбран ортонормированный базис , е2

В этом случае е2 = е2 = 1 (под квадратом понимается геометрическое произведение вектора на себя); е^е2= е\ а е2. Нетрудно заметить, что еДе^о) = (с^еЛ е2 = е2; (е^оХе^о) =е1(е2е1)е2= -е1(е1е2)е2 = = -(е1е1Де2е2) = -1.

Таким образом, мы не можем более получить элементы новой природы. На плоскости бивектор является элементом наивысшей (второй) степени.

Обобщим сказанное. В силу того что бивектор является элементом наивысшей степени, ГА замкнута относительно сложения и геометрического умножения. ГА со введенной операцией сложения является абелевой группой. Геометрическое умножение дистрибутивно относительно сложения и ассоциативно. Единица (1) является нейтральным элементом по умножению. Следовательно, ГА вместе с операциями сложения и геометрического умножения представляет собой кольцо с единицей. Обозначим это множество С2.

Выясним, являются ли элементы коль-

ца обратимыми. Пусть В = ае^е2 + Ь

ех + се2 + </, В' = а'е<е2 + Ъ'ех + с'е2 + д!\

ВВ' = 1. Считая а, Ь, с, й известными, найдем а', V, с', Я Перемножив бивекторы В и В' и воспользовавшись методом неопределенных коэффициентов, придем к системе линейных уравнений:

й - с Ь а\ ГаЛ ГО)

- с й а Ь * V 0

Ъ - а й с с' 0

- я Ь с й У ¿Г К )

Эта система имеет решение, когда ее определитель В = (а1 - Ъ2 - с2 + (I2)2 Ф О, т. е. а2+ (12Ф Ь2 + с2 Это и есть условие обратимости произвольного бивектора. Заметим, что в данном случае мы искали правый обратный элемент, который в общем случае может не совпасть с левым обратным элементом. Это является следствием некоммутативности геометрического произведения.

Например, вектор е^ + е2 обратим, так как для него выполнен критерий обратимости (1*0). Пользуясь методом неопределенных коэффициентов, получаем (е^ + е2)(<2е1е2 + Ьех + се2 +б?) = 1,я = </ = = 0, Ь = с = 0,5. Поэтому (е! + е2)-1 = = 0,5(6! + е2). Элемент 1 + е^ необратим, так как для него критерий не выполняется (12 = I2). Покажем его необратимость, не используя этот критерий. Пусть (1 + е1)(ае1е2+ Ье1се2 + Л) = 1. Раскрыв скобки и перегруппировав слагаемые, получим: (а + с)е^е2 + (Ь + сОе^ + (а + с)е2+ (Ь + (1) = 1. Тогда одновременно Ь + б? = 0иЬ + с?=1> что невозможно.

Выведем еще две формулы, которые в некоторых случаях могут оказаться полезными. Рассмотрим равенства: аЬ = а Ь + + а а Ь; Ьа = Ь а + Ьла. Второе равенство равносильно следующему: Ьа = аЬ -- а а Ь, откуда получаем:

а Ь = 0,5(аЬ + Ьа), а а Ь = 0,5(аЬ - Ьа).

Теперь докажем важное утверждение,

которое будет использовано впоследствии:

подалгебра в2, натянутая на скаляр и

бивектор (т. е. ее элементы имеют вид

X + ц е1е2), изоморфна полю комплексных чисел С.

Для доказательства установим биек-цию /* между рассматриваемыми множествами: ДА, + \х еге2) = X + цг, где г — мнимая единица.

+ В2)= (Xt + х2) + (щ + 112)г

+ Л2щ)г = ДВ1)ДВ2). Таким образом, би-

. W +

Пусть Bt = Xj + щ ete2, В

+ m2 е|е2.

2

= Х2 +

екция /* сохраняет операции сложения и умножения. Значит, она является изоморфизмом.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Казанова Г. Векторная алгебра / Пер. с фр. А. В. Булинского; Под ред. М. К. Поливанова М.: Мир, 1979. 120 с.

2. Постников М. М. Аналитическая геометрия. М.: Наука, 1979. 336 с.

3. www.mrao.cam.ac.uk/~clifford/ptlll.course/ (19.10.1999).

4. www.hit.fi/~lounesto/ (5.11.2000).

Поступила 01.04.02.

РАЗРАБОТКА МЕТОДИКИ ПРОГНОЗА УРОВНЯ ВОДЫ ВЕСЕННИХ ПОЛОВОДИЙ РЕК МОРДОВИИ

А. М. ШУТОВ, консультант Академии проблем

водохозяйственных наук РФ

В последние годы на территории Республики Мордовия наблюдались высокие весенние половодья. В 1997 г. в этот период в зонах затопления оказалось 510 домов с населением свыше 9 ООО человек, пострадали Ромодановский, Лямбир-ский, Болыпеберезниковский, Ичалковский районы, сложнейшая обстановка наблюдалась в г. Саранске. Общий ущерб от стихии составил 12 млрд руб. Не менее опасным было весеннее половодье 1999 г. В связи с этим своевременность поставленной задачи очевидна, так как заблаговременное предупреждение промышленных и сельскохозяйственных предприятий, населения, служб МЧС республики позволяет принять соответствующие меры по предотвращению или уменьшению ущерба. Возможность предвидеть рассматриваемое гидрологическое явление на исследуемой территории возникла в результате накопления гидрометеослужбой данных наблюдений за гидрологическим режимом рек республики, позволяющим вести численные расчеты интересующего элемента водного режима.

Для прогноза элементов водного режима рек требуется разработка методики прогнозирования, отражающей гидрологические условия рассматриваемой территории. Одним из важнейших элементов режима является уровень воды весеннего половодья, проблема прогноза которого имеет большое практическое значение: позволяет определять оптимальные режимы эксплуатации водохранилищ и привязанных к ним массивов орошения; планировать режимы водоснабжения; предотвращать наводнения.

Разработка методики прогноза связана с характером и объемом имеющейся гидрометеорологической информации, с теоретическим и физическим анализом формирования предсказуемого гидрологического явления. Все факторы, влияющие на характер весеннего половодья, можно разделить на метеорологические, определяющие интенсивность снеготаяния и образования талых вод, и прочие факторы подстилающей поверхности, обусловливающие величину аккумуляции талых вод на поверхности бассейнов и инфильтрации

© А. М. Шутов, 2002