Геометрическая алгебра трехмерного пространства Текст научной статьи по специальности «Математика»

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА ТРЕХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА1

Н. ИГОШЕВА, студентка, А. СЫРОМЯСОВ, студент

В предыдущей статье [4] была введена геометрическая алгебра на плоскости С2- В данной статье мы определим геометрическую алгебру трехмерного пространства С3.

1. Бивекторы в ¿?3 и операции над ними. Напомним некоторые понятия и правила, введенные для случая геометрической алгебры на плоскости. Степенью элемента А = а^д.^да,, (с^ А) будем называть количество векторов во внешнем произведении а^д.-.да^: с^ А = п. Бивектором адЬ называется ориентиро-

о

ванный параллелограмм, построенный на векторах а и Ь. Под модулем бивектора |адЬ| понимается площадь соответствующего параллелограмма. Бивектор, модуль которого равен 0, называется нулевым [5].

Рассмотрим бивекторы, лежащие в одной плоскости (или в параллельных плоскостях). В зависимости от ориентации их можно разбить на два класса эквивалентности. Для этого выберем в пространстве правый базис е, f, g так, чтобы векторы е и f лежали в рассматриваемой плоскости п. Пусть адЬ е п. Если а, Ь, g — правый базис, то ориентация адЬ совпадает с ориентацией ел{ и считается положительной. При этом если смотреть с конца вектора g, то кратчайший поворот

Ь

отакЬиотекГ осуществляется против часовой стрелки. В противном случае ориентация адЬ считается отрицательной.

При решении некоторых задач удобно рассматривать ориентированную площадь параллелограмма, то есть |адЬ|, взятый со знаком «+», если ориентация адЬ положительна, и со знаком «-», если она отрицательна. Это означает, что ориентированная площадь является координатой в разложении адЬ по базису С1де2, где е1> е2 правый ортонормированный базис в выбранной плоскости.

Далее будем считать, что нулевой бивектор параллелен любой плоскости и ориентирован одинаково с каждым бивектором этой плоскости.

На множестве бивекторов трехмерного пространства определено отношение равенства, а также операции сложения и умножения на число.

Определение. Два бивектора в пространстве называются равными, если они лежат в параллельных плоскостях, одинаково ориентированы и их модули равны (рис. 1). Бивекторы, лежащие в параллельных плоскостях, равные по модулю и имеющие противоположную ориентацию, называются противоположными.

алЬ = сл<1

Рис. 1

Определение. Произведением бивек- бивектор А (или параллельной), для ко-

тора А на число Я называется бивектор АА, лежащий в той же плоскости, что и

торого выполняются следующие уело вия:

1 Авторы искренне благодарны членам кружка геометрии и топологии за критику и ценные за мечания.

© Н. Игошева, А. Сыромясов, 2003

1)|АА| = |Л||А|;

2)если Я

О, то ориентации бивекторов совпадают; если Я < 0, то ориента-

ции противоположны.

Замечание. Ранее было доказано, что на плоскости внешнее умножение дистрибутивно. Продолжим свойство дистрибутивности на бивекторы, лежащие в непараллельных плоскостях.

Теперь можно определить операцию сложения бивекторов в трехмерном пространстве. Рассмотрим два случая.

6

а

1. Слагаемые бивекторы лежат в параллельных плоскостях.

Чтобы сложить два бивектора алЬ и слс1, лежащие в параллельных плоскостях, необходимо:

1) заменить бивектор слс! на равный ему ал£; очевидно, на плоскости всегда найдется вектор ( такой, что сдс! = ал£ (рис. 2а)\

2) в силу дистрибутивности внешнего умножения адЬ + сл<1 = алЬ + ал£=ал(Ь + О; бивектор ал(Ь + Ю искомый (рис. 26).

6

i

Рис. 2

2. Слагаемые бивекторы лежат в непараллельных плоскостях (рис. 3).

Рис. 3

Построим бивекторы £дЬ' и равные соответственно алЬ и сл<1. Так как вектор ( — общий для непараллельных плоскостей, то он будет лежать на линии их пересечения (рис. 4).

Аналогично первому случаю адЬ + + сл<1 = £лЬ' + £лс1'= ¿л(Ь'+ а ). Бивектор

£л(Ь'+ <|') искомый.

Легко видеть, что сложение бивекторов в пространстве коммутативно: адЬ + + сдё = (л(Ъ'+ <0, то есть сводится к сложению векторов, а оно коммутативно по определению. Кроме того, ясно, что

сумма противоположных бивекторов рав на 0.

Рис. 4

2. Тривектор. Внешнее произведение трех векторов. Введем объект но-

о

вой природы.

Определение. Тривектором адЬдс назовем ориентированный параллелепипед, натянутый на векторы а, Ь, с (рис. 5). Если тройка а, Ь, с правая, ориентацию будем считать положительной, если левая — отрицательной. Как и для би- Рис.5 вектора, для тривектора вводится понятие модуля (объема). Нулевым назовем тривектор, модуль

которого равен нулю [5].

Заметим, что выражение адЬдс не обозначает пока никакого действия над

векторами, а лишь является символиче-

ском записью соответствующего тривектора. Чтобы придать этой записи алгебраический смысл, необходимо вернуться немного назад. Напомним, в чем состоит внешнее умножение двух векторов: мы «соединяем» их в определенном порядке, получая тем самым элемент новой природы — бивектор. Аналогично этому в пространстве можно определить внешнее умножение вектора на бивектор (или наоборот); очевидно, что результатом умножения является тривектор. Из рис. 6 видно, что один и тот же тривектор получается при перемножении а и Ьлс, а также алЬ и с. Таким образом, теперь мы можем определить внешнее произведение трех векторов (а также вектора и бивектора): алЬдс = (алЬ)лс = ал(Ьлс).

Ь

ь

Рис. 6

Попутно доказано важное утверждение: внешнее произведение векторов ассоциативно [2].

Очевидно, если хотя бы один из

и

сомножителей нулевой, то и внешнее произведение равно нулю. Кроме того, справедливо следующее утверждение.

Утверждение. Если а, Ь, с — компланарные векторы, то алЬдс = 0.

Доказательство. Если а, Ь, с компланарны, то параллелепипед выродится в параллелограмм или отрезок, то есть не будет существовать.

Введем отношения равенства и противоположности тривекторов.

Определение. Два тривектора называются равными, если они одинаково ориентированы и их модули равны. Тривекторы, имеющие одинаковый модуль, но ориентированные по-разному, назовем противоположными.

Как и над бивекторами, над тривекторами определены операции сложения и умножения на число.

Произведением тривектора А на чис-

ло а назовем тривектор аА, удовлетворяющий условиям:

1) \аА\ = \а\\А\ (если а = 0, то мы получим нулевой тривектор);

2) если а > 0, то ориентации А и аА совпадают; если а < 0, то они противопо-

ложны.

Суммой двух тривекторов А и В в £3 является тривектор А + В такой, что:

1) если А и В одинаково ориентированы, то А + В ориентирован так же и

А + В| = |А| + |В|;

2) если А и В ориентированы по-раз-

ному и

А

>

В, то А + В имеет ту же

А - В

ориентацию, что и А, и |А + В

Таким образом, противоположные тривекторы в сумме дают 0.

3. Линейные пространства бивекторов и тривекторов. Множество 03. Нетрудно заметить, что множества бивекторов и тривекторов с операциями сложения и умножения на число удовлетворяют аксиомам линейного пространства. Выясним размерность этих пространств.

КЕз существует три линейно независимых вектора. На основании этого можно утверждать, что существует единственный линейно независимый тривектор и три линейно независимых бивектора. Это доказывается аналогично тому, что на плоскости линейно независимый бивектор единствен: достаточно разложить все векторы во внешнем произведении алЬлс или алЬ по выбранному базису Т°гДа

f1лf2лfз, {\л{2, f2Л^3»образуют базис в линейных пространствах соответственно тривекторов и бивекторов.

Теорема. Тривектор является элементом высшей степени в Е3.

Доказательство. Рассмотрим внешнее произведение алЬлслс!, где векторы а, Ь, с линейно независимы. Тогда с1 = а а + + (3 Ь + у с, поэтому алЬлслс1 = «(ала)лЬлс -- ¡3 ал(ЬлЬ)лс + уалЬл(слс) = 0, так как каждое слагаемое содержит внешнее произведение одинаковых векторов и равно 0. Таким образом, мы не можем получить элемент четвертой степени с помощью внешнего умножения, что и требовалось доказать.

Определение. Геометрической алгеброй трехмерного пространства (С3) назовем прямую сумму пространств скаляров, векторов, бивекторов и тривекторов. За-

метим, что базис в С3 определяется 1 скаляром, 3 векторами, 3 бивекторами, 1 тривектором (всего 23 = 8 объектов).

Далее будет показано, что С3 действительно является алгеброй.

4. Внутреннее и геометрическое произведения. — кольцо. Продолжим операцию внутреннего умножения векторов на мультивекторы высших степеней и скаляры. Потребуем выполнения двух условий:

1) операция понижает степени сомножителей: с^ Ар-В^ = - р\;

2) если элементы А, В е<Э3 взаимно ортогональны, то А-В = 0.

Введем операцию внутреннего умножения произвольных элементов 03 с помощью следующих формул:

1) х (алЬ) = (х-а)Ь - (х-Ь)а,

2) (хлу)-(алЬ) = х[у(алЬ)].

Формулы 1) - 2), введенные в С2,

остаются справедливыми и в С3.

3) х (алЬдс) = (х а)Ьлс — (х-Ь)алс + + (хс)алЬ,

4) (хлу)-(алЬлс) = х-[у (алЬлс)] ,

5) (хлулг) • (алЬлс) = (хлу) [г- (алЬлс) ] = = х-(у-(г-(алЬлс))).

Группа формул 3) - 5) представляет собой обобщение двух предыдущих равенств на случай, когда по крайней мере один из сомножителей — тривектор.

6) УАеЯ, УАеС3: ск^А> 1 АА = 0.

7) \fApidsg\ = р, Bq:degBq = q,q>p Вд-Ар = (-1)<<И>* Ар-Вд[2].

Замечание. Выясним геометрический смысл внутреннего произведения вектора и ¡бивектора х В = х Я(е1ле2) (здесь е4, е2 составляют правый ортонор-мированный базис в плоскости В, А — ориентированная площадь параллелограмма В). Тогда е1, е2, е3 = являются базисом в Е3 и х = ^ + т]е2 + Очевидно, что х-А^ле^ = А(£е2 -Таким образом, умножение х-В есть композиция трех операторов: проектирования (х —> + т]е2)7 поворота на 90 против часовой стрелки (<^е1 + т]е2-^ £ео - г/е^) и гомотетии с коэффициентом А (рис. 7)

[5].

Рассмотрим геометрическое произведение вектора и бивектора. Как говорилось ранее, геометрическое произведение есть сумма внешнего и внутреннего про-

изведений: аВ = а В + адВ, где В = Ьлс — бивектор. Очевидно, что внутреннее произведение а-В асимметрично, а внешнее алВ симметрично. Исходя из этого выразим внешнее и внутреннее произведения вектора и бивектора через геометрическое. Так как аВ = а В + алВ, Ва = В а + + Вла = -а В + алВ, то а В = 0,5(аВ - Ва) алВ = 0,5(аВ + Ва).

Рис. 7

Пусть е1, е2, е3 — правый ортонорми-рованный базис. Три данных вектора порождают три линейно независимых бивектора: е^ле2, е2лез, езле^. Так как базис ортонормированный, то вместо внешнего произведения можно записать геометрическое: е^о, е2е3, е3е1. Тривектор, натянутый на базисные векторы, будем обозначать I = е1ле2ле3 = е1е2е3.

Объем куба, натянутого на базисные векторы, равен 1, поэтому I представляет собой единичный элемент ориентированного объема в £3.

Любой элемент можно представить в виде А = а0 + а^ + а2е2 + я3е3 + й4е1е2 +

+ а5е2е3 + ^беЗе1 + й7е1е2ез> гДе

ао,а<1,...,а7 — числовые коэффициенты. Легко видеть, что отсюда вытекает важная теорема.

Теорема. 03 с введенными операциями сложения и геометрического умножения является кольцом с 1.

Доказательство очевидно и проводится «в лоб». Отметим лишь, что единицей в в3 является число 1 е с 03.

Итак, С3 — кольцо и линейное пространство одновременно. Поэтому с

операциями сложения, умножения элементов и умножения элемента на число является алгеброй; название «геометрическая алгебра» корректно.

5. Дуальность. Векторное, двойное векторное и смешанное произведения. Заметим, что геометрическое и внутреннее умножение на I совпадают: AI = A I для любого AeG3. Для доказательства достаточно разложить А по базису, согласованному с в|, е2, е3. Исключением является лишь случай deg А = 0.

Определение. Пусть A eG3. Дуальным к нему назовем мультивектор В = IA = I A (внутреннее умножение на тривектор, по определению, коммутативно, поэтому IA = AI). Таким образом, дуальным элементом для вектора является бивектор, для скаляра — тривектор. Поэтому тривекторы называют также псевдоскалярами. Число -1 дуально к I: можно убедиться, что I2 = -1.

Легко видеть, что размерности дуальных пространств равны между собой: одну и ту же размерность имеют пространства векторов и бивекторов, скаляров и псевдоскаляров. Следовательно, с точки зрения линейной алгебры дуальные элементы идентичны своим прообразам. Как будет показано ниже, во многих случаях при исследовании геометрических объектов удобно переходить к элементам, дуальным для них.

Выведем несколько полезных формул, применяя понятие дуальности. Будем предполагать, что в пространстве зафиксирован правый ортонормированный базис е1> е2» е3- Пусть даны векторы а = а^ + + я2е2+ дЗеЗ и Ь = h^ei + ¿2е2+ ^3e3- Тогда

алЬ = (#2^3 Я3Ь2)е2ле3 + X

х e3Aej + (яj&2 ~ л2^1^е1ле2- Пользуясь тем, что Ie2e3=-e1, Ie3ej = -е2,1е1е2 = = -е3, и вспомнив известную формулу для векторного произведения, получим:

axb = -1(адЬ).

Итак, для нахождения векторного произведения необходимо задать не только соответствующий бивектор, но и ориентацию пространства (за нее «отвечает» I). Таким образом, axb, вообще говоря, не является вектором, так как зависит от ориентации пространства. Поэтому его иногда называют аксиальным вектором

или псевдовектором (в отличие от полярных векторов, не зависящих от ориентации пространства).

Рассмотрим бивектор В = ^iAf2 и вектор b = f|Xf2. Как было доказано выше, b = -IB. По определению векторного произведения |b| = |fixf2| = |f|Af2| = |В|, то есть модули дуальных вектора и бивектора численно равны. Но |Ь|2 = Ь2 (под Ь2 понимается геометрическое умножение вектора на себя; очевидно: b2 = ЬЬ). Далее, Ь2 = -IB(-IB) = -В2. Разложив В по базису: В^ = = е2е3, = 1е2 = В3 = 1е3 = е^, легко убедиться, что В2 = = В В, и окончательно |В|2 = -ВВ.

Заметим, что Bj, В2, В3 образуют ортонормированный базис в пространстве бивекторов: В^Ву = -¿¿у.

В зависимости от формы представления бивектора из формулы = ^-В В могут быть выведены такие следствия:

1. Пусть В = fiAf2. Тогда

\B\ = №f2-Vvf2)2

2. Если В = Ь+ Ь2В2 + 63В3, то

В обоих случаях промежуточные выкладки просты и поэтому опущены.

Приведем пример использования выведенных формул, имеющий большое практическое значение. При вычислении поверхностных интегралов необходимо искать дифференциал площади ¿5 = |гмлг^| ¿и (IV (поверхность задается вектор-функцией г(ы,г>), О — некоторая плоская

область). Исходя из первого следствия общей формулы, получаем, что ¿Б =

= ^ЕсГ^дгЫю, где Е= ги-ти, F=гм•rt,,

С - т1)-ти — коэффициенты первой квадратичной формы поверхности.

Пусть В = 1Ь = Ъ1В1 + Ь2В2 + &3В3-Вспомнив определение внутреннего произведения вектора и бивектора, легко показать, что ахЬ = ~аВ = -а(1Ь) = (1Ь)а. Используя последний результат, вычислим двойное векторное произведение: ах(Ьхс) =

= -а(КЬлс)) = -а(1(-1)(Ьлс)) =

= -а(Ьлс) = Ь(а с) - с(а-Ь), так как I2 = = -1. Таким образом,

ах(Ьхс) = Ь(а-с) - с(а-Ь).

Можно видеть, насколько мы упростили промежуточные выкладки, используя геометрическую алгебру.

По определению смешанное произведение векторов а, Ь, с есть числовая величина а-(Ьхс). Выражая внутреннее произведение через геометрическое, получим: а(Ьхс) = 0,5(а(Ьхс) + (Ьхс)а) = = -0,5(а1(Ьлс) + 1(Ьлс)а). Геометрическое и внутреннее умножение на I совпадают, а при внутреннем умножении вектор и тривектор коммутируют, поэтому -0,51(а(Ьлс)+(Ьлс)а)= -1(алЬлс). Итак,

а(Ьхс) = -КалЬлс).

Следовательно, смешанное произведение векторов ассоциативно (этим свойством обладает внешнее произведение) [2]. Кроме того, оно зависит от ориентации пространства и выбранной тройки векторов. В физике числовые величины, зависящие от ориентации пространства, иногда называют псевдоскалярами. Мы же понимаем под псевдоскалярами элементы наивысшей степени: I = е1е2ез. Так как |I| = 1, модули дуальных скаляра и псевдоскаляра также равны: \al\ = \о\.

6. Бивекторная алгебра и кватернионы. От геометрии перейдем к алгебре. Нетрудно видеть, что BjB2 = ~В3, В2В3 = = -В|, В3В1= ~В2. Следовательно, линейное подпространство G3, натянутое на 1, В|, В2, В3, замкнуто по умножению и является кольцом (геометрическое умножение ассоциативно и дистрибутивно). Значит, В3= <1, Bif В2, В3> является подалгеброй G3. Покажем, что В3 антиизоморф-но алгебре кватернионов Я. Для этого установим биекцию: /"(Bj) = i, f(В2) = j, ДВ3) = к, где i, j, к — мнимые единицы в Я. Легко заметить, что умножение бивекторов антикоммутативно. Для любых тип f( BmBn) = f(Bn)f(Bm). Это и означает, что рассматриваемые множества антиизоморфны. Так как I2= -1, то изоморфизм установить не удается. Например, BtB2 = Ie1Ie2 = 12е^2 = ~В3, хотя в Я ij = к. Подобные выкладки справедливы и для других пар векторов. Напомним, что умножение i, j, к в Я является, по сути дела, векторным умножением в Е3 [3]. Чтобы получить таблицу умножения в J?3, надо все векторные произведения взять с противоположным знаком.

Как будет показано далее, с помощью В3 удобно описывать вращения (в свое время кватернионы были введены Гамильтоном именно для этого).

Необходимо сделать следующее замечание. Проводя вычисления, мы молчаливо предполагали, что квадратичная форма скалярного произведения положительно определена (такие векторы называют времениподобными). В современной физике важную роль играют векторы со скалярным произведением, определенным отрицательно (пространственноподоб-ные) [1]. В этом случае для любого j еу2 = -1. Элементарная проверка «в лоб» показывает, что по-прежнему Ву2 = -1, но I2 = 1. Это означает, что таблицы умножения в Я и алгебре бивекторов совпадают, а значит, между ними существует изоморфизм.

7. Реверсия. Модуль произвольного р-вектора. Еще одной операцией над мультивекторами является реверсия — изменение порядка множителей во внешнем или геометрическом произведении на противоположный. По определению эта операция линейна. Будем обозначать ее с помощью тильды: А" Для мультивекторов разных степеней получим:

deg Я = 0 => А" = Я; deg а = 1 => а" = а; deg адЬ = 2 (адЬ)" = Ьда = -(адЬ); deg адЬдс = 3 (адЬдс)" = сдЬда =

= -(адЬдс).

Очевидно: [(at Д.. .А = Ь^д...дЬ|дарЛ...ла|, поэтому для любых элементов А,В е G3 (АдВ)" = В~лА~. Аналогичное равенство справедливо и для геометрического произведения.

Справедлива следующая теорема.

Теорема. Модуль р-вектора А^ = = а^л-.-ла^ удовлетворяет следующему соотношению: |Aj2 = А^-А^ для любого р\

0<р<3.

Доказательство. Очевидно, для a: deg о = 0 и v: deg v = 1 утверждение справедливо: \о\2 = о2, = (Т (ГУ |v|2 = v-v = = v-v. Выше мы доказали, что при deg В -= 2|В|2 = В В. Но -В = В~, поэтому для р = 2 формула тоже доказана. Теперь рассмотрим тривектор Т = Я1. Так как |1| = = 1, то |lf = Я2 = Я21 Г = Т Г Теорема

доказана полностью.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Дубровин Б. А. Современная геометрия: Методы и приложения. 2-е изд., перераб. / Б.А.Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. 760 с.

2. Казанова Г. Векторная алгебра / Пер. с фр. А. В. Булинского; Под ред. М. К. Поливанова. М.: Мир, 1979. 120 с. (Совр. математика).

3. Постников М. М. Линейная алгебра. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. 400 с. (Лекции по геометрии).

4. Сыромясов А. О. Введение в геометрическую алгебру//Вестн. Морд, ун-та. 2002. № 1 —2. С. 126-131.

5. Cavendish laboratory at Cambridge university [Geometric Algebra Research group] // www.mrao.cam.ac.uk/~clifford/ptlll.course/course_99. (10.09.2001)

Поступила 12.11.02.