Алгебра поливекторов и её применение в n-мерной геометрии Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 513.934.14

АЛГЕБРА ПОЛИВЕКТОРОВ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ В n -МЕРНОЙ ГЕОМЕТРИИ

© 2013 г. И.А. Чернявская

Чернявская Ирина Алексеевна - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра геометрии, факультет математики, механики и компьютерных наук, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, e-mail: [email protected].

Chernjavskaja Irina Alekseevna - Candidate of Physical and Mathematical Science, Associate Professor, Department of Geometry, Faculty of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: [email protected]. ru.

Используются известные операции над векторами пространства E - внешнее произведение векторов (поливектор), векторное произведение векторов, скалярное произведение поливекторов одного порядка. Вводятся новые операции: векторное произведение поливекторов, смешанное произведение векторов. Строятся все конструкции из этих операций, доказываются тождества, позволяющие заменить сложные конструкции более простыми. В качестве примера использования указанных конструкций и тождеств рассмотрены задачи об отыскании от точек до k-мерных плоскостей в пространстве E

Ключевые слова: векторное произведение поливекторов, смешанное произведение n векторов в n-мерном пространстве.

This article uses the well-known operations on vectors of E the outer product of vectors (multivector), vector product, scalar product polyvectors same order. Introduces new operations: cross product polyvectors mixed product of vectors. Construct all valid constructs based on these operations. We prove the identity, allowing complex designs to replace simple. As an example of the considered structures and identities discussed the problem of determining the distances from points to k-dimensional planes in space E.

Keywords: vector product of the multivectors, parallelepipedal product of n vectors in n-dimensional space.

Изложение классической общей алгебры поливекторов можно найти в работах Н. Бурбаки [1].

Одним из первых понятие геометрических бивекторов в Е4 и операций над ними ввел П.А. Широков в работе [2]. Х. Франк применил этот аппарат для построения дифференциальной геометрии в пространстве Лобачевского [3]. Наиболее полно понятие простого поливектора, векторного произведения нескольких векторов, скалярного произведения поливекторов в Еп изложено Н.В. Ефимовым и Э.Р. Ро-зендорном в [4]. П.Е. Марков успешно использовал понятие поливектора в своих работах по бесконечно малым изгибаниям к-мерных поверхностей в п-мерном пространстве [5].

В данной статье вводятся операции векторного произведения поливекторов, смешанного произведения п векторов в Еп, а также все допустимые конструкции из них, доказывается ряд полезных тождеств и приводятся примеры их использования в п-мерной геометрии.

Прежде всего, напомним основные определения [4].

Простым поливектором р порядка к (2<к<п) называют внешнее произведение к штук векторов Е1: р = а! Л л... л &к.

Если в Еп введен ортонормированный базис е,

е2, е„, то а! А...Аак = I Уч-1кек А...Аек ,

¡<¿1 <...<£ <п

где V4-'k =

a j ei , j = ,k ■

V'1"''k называют координатами поливектора p в ба-

Определение 2. Смешанным произведением п векторов в Еп назовем скалярное произведение вектора а на векторное произведение (п -1 )-го векторов (а,Ь1,...,Ьп-1) = (а• [Ь1 х_хЬп-1]).

Используя правило построения координат векторного произведения векторов, нетрудно убедиться, что

зисе {е'1 л е'2 л _ л е'к}. в ортонормированном базисе e1; — •> en

Векторным произведением векторов а!, а2, ..., a1 a 2 — . an

ак (2<к<п) называют простой поливектор ч порядка (а, ь1,-,ь n-1) = b2 — . ЬП

(п-к): ч = [а1 х а2 х _х ак] = Ь1 лЬ2 Л_ЛЬп-к , удов- bh b h .. bL

летворяющии условиям

1) [aj х . . . х ak ] = 0 тогда и только тогда, когда aj.

at линеино зависимы;

2) если aj

ak линейно независимы, то b,

Ьи_к также линейно независимы, причем подпростРанства Zjliij,',ak} и L2{bj,',ь„_k}

являются

хк) и 1Ь1,---, Ьп-к>

ортогональными дополнениями друг друга;

3) если аак линейно независимы, то ориен-

тации aj, ..., ak в Lj и b1

ь

i-k

в L2 таковы, что

система векторов а1, ..., ак, Ь1, ..., Ьп-к одинаково ориентирована с базисом ех,...,еп ;

4) (п-к)-мерный объем поливектора Ь1 л _ л Ь п-к численно равен к-мерному объему параллелепипеда, построенного на векторах а!, ..., ак .

Если векторы а;, ..., ак заданы своими координатами в ортонормированном базисе е1, ..., е п, то координаты векторного произведения ч = [а1 х_х ак ] нахо-

'1_'л-к _ V Я га1га2 гак

= А иа,...а1ц...1п-1л1 л2 _ лк '

дятся по правилу q

где ¿>а]., _ ' - обобщенный символ Кронекера.

Заметим, что это правило совпадает с правилом построения координат векторного произведения двух векторов в Е .

Скалярным произведением двух поливекторов р и

ч одного порядка р = А V'1''''кв^ л ■ ■-в^ ,

1<'1<_<'к <п

... в, называют число

q = ^ U'e

1<'j<...<'k <n

(р• ч) = АУ'1.'к • и*1"* .

1<'1 <___<'к <п

Далее будут введены операции векторного произведения простых поливекторов различных допустимых порядков, смешанного произведения п штук векторов, а также различные конструкции из этих операций и связывающие их тождества.

Определение 1. Векторным произведением двух поливекторов р = л _ л ак и ч = Ь л _ л Ь£ (к +£ < п -1) назовем поливектор порядка п - (к +£), определяемый равенством [рхч] = [а1 х_хак хЬ) х_хЬ£].

Заметим, что такое определение согласуется с определением векторного произведения простых бивекторов, которым пользовался П.А. Широков в [2].

Так как векторное произведение векторов по определению есть простой поливектор, то можно строить конструкции из векторных произведений поливекторов различных допустимых порядков. Рассмотрим все возможные такие произведения.

1. Векторное произведение двух векторов [а х Ь] есть простой поливектор порядка (п-2), поэтому [а х Ь] можно векторно умножить только на вектор [[а х Ь] х с]. Результатом этой операции является вектор.

Используя определение 1, можно доказать тождество в Еп:

[[а х Ь] х с] = Ь(ас) - а(Ьс), (1)

которое по виду совпадает с известным тождеством в Е3.

2. Векторное произведение трех векторов [ах х а2 х а3] есть простой поливектор порядка (п-3), поэтому его можно векторно умножить на вектор или на бивектор, т.е. построить произведения вида

[[ах х а2 х а3] х Ь] - поливектор второго порядка,

[[а: х а2 х а3] х (Ь л Ь2)] - вектор.

Можно доказать тождества:

[[а: х а2 х аз] х Ь] = (-1)3(п-3) {^ л а2)(Ь • аз) -

-(а1 ла3)(Ь • а2) + (а2 ла3)(Ь • а1)},

[[ах х а2 х а3] х (Ь1 лЬ2)] =

= (-1)3(п-3){а^ ла3)(Ь лЬ2) -

-а2(ах л а3)(Ьх л Ь2) + а3(ах л а2)(Ь1 л Ь2).

3. В общем случае векторное произведение к (к <п-1) векторов [а: х_х ак] есть простой поливектор порядка (п - к), поэтому его можно векторно умножить на поливекторы порядка £, где 1 < £ < к -1, т.е. строить произведение вида

[ах х_х а к ]х Ь;_[ах х_х а к ] х (Ь1 л _л Ь к-1). Можно доказать следующие тождества: [а1 х_х ак]хЬ = (-1)к(п-к) х

х А (а, л _ л а'к-1)(а'к •Ь)

1<'1<_<'к-1<к к

[а1 х_х а к ] х (Ь1 л _л Ь к-1) =

= (-1)к(п-к) а аг1(а!2 л _ л а'к )(Ь1 л _ л Ь к-1).

1<'1<_< 'к-1 <к

Рассмотрим теперь конструкции из двух векторных произведений.

4. Векторное произведение двух векторов есть поливектор порядка (п - 2) , поэтому его можно вектор-

x

x

2

2

'=1

x

x

k

k

но умножить только на векторное произведение (п -1) -го вектора

[а: ха2]х[Ь1 х... хЬп-1 ] - результатом служит вектор.

Используя определение 2 и тождество (1), нетрудно доказать тождество [а1 х а2 ] х [Ь1 х ... х Ь п-1 ] =

= а2(а1, Ь1,..., Ьп-1) - а1(а2' Ь1,.5 Ьп-1) .

5. Векторное произведение трех векторов есть поливектор порядка (п—3), поэтому его можно векторно умножить на вектор или на бивектор, а значит, на векторное произведение (п -1) -го или (п - 2) -х векторов, т.е. построить следующие конструкции:

[а1 ха2 ха3]х[Ь1 хЬ2 х...хЬп-1] - бивектор, [а1 ха2 ха3]х[Ь1 хЬ2 х...хЬп-2] - вектор. Можно доказать тождества: [а1 ха2 хаз]х[Ь1 х...хЬ^] =

= (а1 Л а2)(аз,Ь1,...,Ь„-1) -(а1 л аз)(а2.Ь15.5Ьп-1) + +(а2 л аз)(а1,Ь1,.,Ь„-1) ,

[а1 х а 2 х аз ] х[Ь1 х.х Ь п-2] = а1 (а2, а3 , Ь1..5 Ьп-2) --а2(а1, аз, Ь1,., Ьп-2) + аз(а1, а2, Ь1,.5 Ьп-2) .

6. В общем случае векторное произведение к штук (1 < к < п) векторов есть поливектор порядка (п - к ) , поэтому его можно векторно умножить на поливектор порядка £ (1 < £ < к -1), а значит, на векторное произведение (п - £) штук векторов (п - к +1 < п - £ < п -1), т.е. можно сконструировать векторные произведения вида

[а] х...хак]х[Ь1 х...хЬп-1] - поливектор порядка (к-1), [а1 х . х ак ] х [Ь1 х . х Ьп-2 ] - поливектор порядка (к-2).

[а1 х . х а к ] х [Ь1 х . х Ь„-к+1] - вектор.

Можно доказать тождества: [а1 х...х а к ]х[Ь1 х...х Ь^] =

= I дч...гк аг1 Л . Л ак-1(а;к > Ь1> Ь п-1) , 1<г1<г2 <---<1к-1<к

[ai х...х ak]х [b х...хb„_k+1] =

ч

- z Vv

1<<;'2 <...<ik <k

, a,, bi,.,b

n-k+1

) .

7. Согласно определениям, данным в [4], можно строить скалярные произведения: двух поливекторов одного порядка, двух векторных произведений одного и того же числа векторов, поливектора порядка к и векторного произведения (п - к ) штук векторов.

Можно доказать ряд тождеств, связанных с этими конструкциями:

(а! л .л ак)-[Ь х.х Ьп-к ] = (а^,..., ак, Ь^..., Ьп-к), (2) (а! л .л ак) - (Ь1 л .л Ьк) = [а1 х...х ак ] - [Ь1 х.х Ьк ] = (а1 - Ь1) ... (а1 - Ь к)

(3)

(ak • bi)

(a k •b k)

Тождество (2) следует непосредственно из определений, приведенных в [4] с учетом теоремы Лапласа. Тождество (3) может быть доказано методом математической индукции по к .

Заметим, что введенные операции над поливе кто-рами и некоторые из указанных тождеств оказались весьма полезными автору при изучении бесконечно малых изгибаний 2-мерных поверхностей в Е4 [6, 7].

Рассмотрим несколько применений введенных операций и приведенных выше тождеств к задачам п-мерной геометрии.

Задача 1. В пространстве Еп найти расстояние от точки А до (п-1)-мерной плоскости а .

Рассмотрим любые (п-1) линейно независимых векторов а, = ОА, (г = 1,.,п-1), лежащих в гиперплоскости а . Обозначим ап = ОА .

Как известно, расстояние ё(А, а) ищется средствами линейной алгебры и является длиной ортогональной составляющей z вектора ап при проектировании его на подпространство £(а1,..., ап-1):

п-1

Z = ап аг , (4)

г=1

где а ищутся из системы линейных уравнений

п-1

(ап - а,) = 1а (а, - а,), , = 1,2,.,п-1. (5)

г=1

Покажем, что, используя операции над векторами пространства Еп, введенные в п.п. 1-7, расстояние ё(А,а) можно найти значительно проще, а именно по формуле

d (Л, а) = |

|(ai,

al , a 2>.> a

1а1 х а2 х ап-1 Л

Запишем решение системы линейных уравнений (СЛУ) (5), используя формулы Крамера:

(6)

а = ■

А

i = 1, 2,.,n-i ,

А =

(a2; a1)

(an-1 ; a1)

(an ; a1)

(an; a 2)

(an ; a n—1 )

(a1 ; an-1) (a 2 ; a n-1)

a2

a n-1

подставив а в равенство (4), получим

п-1Д

z = ап -I ~т а, . (7)

г=1 Д

Обозначив для удобства Д = Д п, запишем равенство (7) в виде

п—1

апДп - IД, а,

А n

d(Л, а) =| z | = 77 =

(8)

V

i=1

a n А 2 +|Z ai А' I - 2 z Аг А n (a, a n)

i=1

|Д п1

Так как z - ортогональная составляющая вектора ап, то (z - а,) = 0 для , = 1,.,п -1, поэтому из равенства (7) следует

п-1

(а„ - а, )Д „-IД, (а, а,) = 0 для , = 1,., п -1. (9)

2

a

1

1

2

n-1

n-1

i=1

В силу (9) равенство (8) можно преобразовать

к виду d (A,а) =

9 «-1 a „ A n -Z 4 (a, a n) i=1

A„

np.ua = ■

|u|

(10)

Из задачи 1 вытекает, что d(A, а) = -

|(a1- • • an

|[a1 X. . . X an-i]|

В силу определения 2, (a1... an) = (an [a1 x ... x an-1]).

Поэтому d =

[ai x. . . x an-i]

|[ai X. . . X an-i]|

I (u • a n)

/ |u|

где

d (A, а) =J

1а1 х_ • • х а к л

Как и в случае задачи 1, искомое расстояние можно найти средствами линейной алгебры:

(11)

d (A, а) = i = 1, 2, . . . , к

ak+l - Zai ai I , где ai = Ai1 Ak+1 >

Осталось заметить, что выражение в числителе есть не что иное, как разложение по последней строке

: (а!а2) • • • (а1аn)

определителя 8 =........................, так как

(anal) (ana2) • • • а

(-Дг-) — это фактически алгебраические дополнения элементов его последней строки. Но из п. 7 следует, что

8 = (ai, a2, • • • , a n )2 , а An = [al X a2 X • • an-1]2 , откуда и вытекает обоснование формулы (6).

Задача 2. Как хорошо известно, в геометрическом

7-•3

пространстве E проекция вектора a на ось u может быть найдена из равенства (a • u)

i -й столбец

A =

a.

(ai, a 2)

(a к+i, ai) (a к+i,a 2 )

(a1, a к ) (a 2, a к )

(а1, ак ) _ • • (ак+1ак ) _ • • ак Проводя преобразования, аналогичные преобразованиям в задаче 1, приходим к равенству

d (A, а) = •

a 2+iA к+i -Z A i(a ia к+i) i=i

A

к+i

В числителе подкоренного выражения стоит фактически разложение определителя

(ai, a 2)

(ai,a к+i) (a 2,a к+i)

и = [а! х _ . . х ап-1 ] - вектор, что совпадает с (10). ^ (и • а п)

Выражение -— можно интерпретировать как

I и |

проекцию вектора ап на ось и, а используя неравенство Коши-Буняковского, получим полную аналогию с пространством е3: пр.и а = |а|^(а,и).

Задача 3. Найти расстояние от точки А до (п -1) -мерной плоскости а (1 < к < п -1).

Рассмотрим в к -плоскости а к штук линейно независимых векторов ак = ОА{ (г = 1.к); обозначим вектор ак+1 = ОА. Покажем, что d(А, а) можно найти по формуле

'[а1 х_ • • х а к+1 ]|

(a1,a k+\) a 2+1 по последней строке. Этот определитель в силу п. 7 представляет собой [a1 х. . . х ak+1]2, а Ak+1 =[a1 х. . .х ak ]2, тем самым обоснована формула (11).

Литература

1. Бурбаки Н. Алгебра. Аналитические структуры. Линейная и полилинейная алгебра. М., 1962. 514 с.

2. Широков П.А. Избранные работы по геометрии. Казань, 1966. 442 с.

3. Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. М., 1970. 526 с.

4. Франк Х. Построение дифференциальной геометрии в пространстве Лобачевского методом внешних форм // Сиб. мат. журн. 1961. № 2. С. 600 - 621.

5. Марков П.Е. Бесконечно малые изгибания высших порядков многомерных поверхностей // Укр. геом. сб. 1982. № 25. С. 87 - 94.

6. Чернявская И.А. Бесконечно малые изгибания первого и второго порядков поверхностей в пространстве Лобачевского // Comm. Math. Univ. Carolinae. 1975. Т. 16, № 3. Р. 399 - 424.

7. Чернявская И.А. О бесконечно малых изгибаниях второго порядка гиперплоских поверхностей в En // Мат. анализ и его приложения. Ростов н/Д, 1975. С. 144 - 149.

Поступила в редакцию

19 сентября 2013 г.

2

к

к

2

a

a

n