Об одном представлении аналитических функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956.22

ОБ ОДНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

В.В. Карачик

Основываясь на полученных ранее оценках для <5 -функций и О-нормированных систем функций относительно оператора Лапласа, найдено новое разложение аналитических функций в обобщенную формулу Альманси.

Введение

Рассмотрим полиномы следующего вида [3]

[¿/2] I у |21 *-2г,!

вЦхм) = У (-1У 1 ^йЧ)- й-----------------------------------------, (1)

() й {2,2)г{п-1 + 2з,2\

где (а,Ь)к=а{а + Ь)...{а + кЬ-Ь) - обобщенный символ Похгаммера, причем (а,Ь)0 = 1, /т,! -факториальная степень /т,! = 1т/т\, а [а] - целая часть числа а . Полиномы С£(х(и)) вида (1) называются в -полиномами степени к , порядка л и рода п. В [7] установлено, что произведение однородного гармонического полинома от п-1 переменных Н5(х(п_Г)) на О -полином Ок(х^)

дает гармонический полином от п переменных и(х) = С1(х(п))Н5(х(п_Г)). Более того, всякий гармонический полином от п переменных может быть разложен в сумму полиномов такого вида.

Такой подход к построению гармонических полиномов позволяет получать гармонические полиномы в виде произведения различных С? -полиномов

0(„Ц„)=(*иХ-. (2)

где V е Щ, > ■ ■ ■ > уп и уп = 0,1. При рассмотрении следов О -полиномов на единичной сфере

возникает понятие С? -функции. Следующая функция

[(/с-$)/2] .¿-.г-2/,1/1 _ .2у+л/2

СЛ0= I (-1)' 1 '

(2,2),(n-l + 2j,2),

называется G -функцией степени к , порядка s и рода п.

Верны следующие утверждения:

Лемма 1. [4] Пусть функция / eC(dSn) задана в виде f(x) = <р{\ х \,хп)Рк(х), где Рк(х) однородный гармонический полином степени к от переменной х = ,x„_j) и cp е C(dSn), тогда

1и f{x)dx = 1,=, ^ * М1" xlTdx i|=i

где соп =| dSn | - площадь единичной сферы в Rn .

Теорема 1. [3] Нормированная в L2{-\Д) с весом pn(t) = (I-t2fn~y)l2 G-функция G*"(0 удовлетворяет оценке

|GkX01^2*т](к + (п-2)/2)2п-\ k>s,n>2.

Основываясь на свойствах гармонических полиномов G^(x), в теореме 2, известное утверждение Альманси [1]: «для любого полинома Р(х) существуют гармонические полиномы Н0(х),..., Нк(х) такие, что

Р(х) = Я0 (х)+1 х р Нх (х) + ■ ■ ■+1 х \2к Нк (х),» (3)

распространяется на аналитические функции действительного переменного х е Rn . Затем, в теоремах 3 и 4, этот результат уточняется - даются формулы нахождения полиномов Нк(х) и функ-

ций ик(х) = Нк(х), когда Р(х) не полином. Теорема 4 проиллюстрирована на представлении решений уравнения Гельмгольца через гармонические функции (25).

Следует заметить, что в [2] (теорема 2.2) формула Альманси была уже распространена на голоморфные функции. Оказалось, что полученная ниже формула (18) несколько отличается от формулы (2.9), найденной в [2]. Обобщения другого рода были получены в 1958 г. М. Николеску [8], где найдено разложение Альманси для класса операторов от двух переменных, который включает в себя и оператор теплопроводности. В работе [9] рассматривалось разложение Альманси для решений уравнения ати = 0, где Дх + Ад2 /5/2 или а= Ах + Лд/д1 при ЛеС\{0}.

Полигармонические функции

Имеет место следующее СВОЙСТВО гармонических ПОЛИНОМОВ <?(,,) (х) (2),

Лемма 2. Для нормированного в 12 (35я) гармонического полинома (3(у)(х) верна формула

G(V)(x) =| л Г1 П GlJ;+b"~,+1(c°siv,+1), ¡=1

где б-функция (74 "(0 нормированная в (—1,1) свесом рп(0 ~(}-(2)(п 3^/2.

На основании данной леммы нетрудно доказать

Теорема 2. Для любой функции /(х), аналитической в начале координат, существуют гармонические функции и0(х),...,ип(х),..., определенные в некоторой окрестности начала координат Б такие, что

00

/С*) = 2]И2,“*00» хеП. (4)

/=0

Замечание 1. Доказательство теоремы не является конструктивным так же как и формула Альманси. Оно опирается лишь на оценку теоремы 1 и не позволяет строить гармонические функции иДх) по известной функции /(х). Формулу для нахождения гармонических функций мДх) дает теорема 4.

Рассмотрим область £> с Яп, обладающую свойством звездности Ух е I), V? е [0,1] 1х е £> и определим на ней следующую последовательность функций:

м(х), к = О

Gk(x\u) =

1 I X |2^ г(\-а)к 1 n/2-l / \ J 7 П

——■—-----------—a u(ax)da, к> О,

4 к\ J (к -1)!

о

где и{х) некоторая гармоническая в D функция. Система функций {Gk(x\u)\k = является 0-нормированной относительно оператора А в D [5], т.е. в области D верны равенства AGk(x,u) = Gk_x{r,u) и AG0(x;u) = 0.

Лемма 3. Для всякой полигармонической функции Р(х) существуют такие гармонические функции v0(x),...,vm(x), что имеет место равенство

Р(х) = G0 (х; v0 ) + G, (х; v,) + ... + Gm (х; vm). (5)

Доказательство. Рассмотрим полигармоническую функцию Р(х) порядка т т.е. такую функцию, что РеС°°ф) и АтР(х) = 0. Согласно формуле Альманси (3), найдутся такие гармонические функции ик(х), что

т

р(х) = ^\х\2к «*(*)■ (6)

к=О

Из определения функции йк (х; V) видно, что ее можно представить в виде произведения некоторой гармонической функции на полином | х \2к. Записывая функцию ик(х) из (6), при к > 1, в виде

'<(Х) АкЛ

1 * (1 a)k 1 ann~\{ax)da,

(7)

44!* (к -1)!

формулу (6) можно записать в форме (5). Покажем, что уравнение (7) можно однозначно разрешить относительно Ук(х), причем функция Ук(х) получается при этом гармонической. Это и докажет утверждение леммы.

Введем следующий оператор Л = V х —. При q е N и s > 0, верно равенство

ы дх>

(Л + s +1) ^--J—asv(ax) da= jj ------- - as+lv(ax) da,

а также при q = О

(Л + s +1) asv(ax)da = v(x).

Пусть к = 1. В силу равенства (9) взятого при s = и/2 -1 получим

'а пЛ А + -

V 2у

щ(х)= Л + —j^осп1г xvx(ax)da = vx(x).

к 2,

Пусть к > 1. Тогда, в силу равенства (8) взятого при 5 = «/2-1 получим

— 1

2)

(8)

(9)

(10)

k\4kl Л + — }ик(х)= ccnl2vk(ax)da.

(к-2)1

Используя опять (8), но уже при s = п/2 найдем

к\4

А + -

А П 1

Л + —+ 1 2

“*<*>= £(1 а) ~м

(*- 3)!

a vk(ax)da.

Продолжая указанный процесс, найдем

к-2 ( „ \ j

¿!4*П Л + —+ г ик(х)= Г an/2+k~2vk(ax)da.

<=о V 2 ) *

Воспользовавшись равенством (9) при s = n/2 + k-2 и внося множитель к\4к под знак про-

изведения, будем иметь

vk о)=П 4(г'+*/Л+?+*1 “*(*)■

1=0 V 1 )

В силу (10) данное равенство верно и при к = 1. Итак, функция vk(x) найдена. Для окончательного доказательства леммы следует заметить, что оператор Л переводит гармонические функции в гармонические. □

Таким образом, в силу леммы 3, для произвольной полигармонической функции Р(х) имеет место равенство

Р(х) = G0 (х; v0) + Gl(x;vl) + ... + Gm(x;vm) (11)

где vk(x) - неизвестные гармонические функции. Найдем зависимость этих функций от функции

Р(х). В силу О-нормированности системы функций \Gk{x\u) | к = 0,1,...} относительно оператора А в области D верно равенство

Gk_r(x;Vi(x)), к>г vt(x), к = г.

0, к <г

^rGk(r,Vi (х)) =

Отсюда нетрудно получить, что

АтР{х) - AmG0(x;v0) + AmGl(x;vl) +... + AmGm(x;vm) = G0(x',vm) ~ vm(x).

Далее,

A m~lP(x) = G0(x; vOT_! ) + G, (x; vm) = vm_l(x) + an/2~' vm (ax) da

и значит, используя предыдущее равенство, запишем

(х) = А т~1Р(х) - | ап11лАтР{ах) йа. (12)

Докажем следующую формулу для вычисления функции УтЧ(х):

утЧ (X) = А т~’Р(х) + £ 1 1(1~^ 1 а"/2-]Ат-1+‘Р(ах)с1а, (13)

^4 л! -0 (5-1)!

где г = 1 . При / -1 она имеет вид (12). Предполагая верность (13) при некотором у > 1 и для

всех / < /, докажем ее справедливость и при г = у +1.

Из (11) нетрудно получить

А т^~1Р(х) = + С, {х\ ут_;) + +С]+Х (х;ут),

откуда

дИ-Нп/ , 1 I * \2‘ I» (1 - се)'-1 ап/2~1 , ч ^

ут-]-\ = А г!---^-----------------------------Ут^_ы(ах)с!а.

Используя предположение индукции (13) и равенство А кР = 0 для к>т найдем

7^1 4 г! д> 0~1)!

¿4' /1 * (г-1)! й 4' ^

х|рп/2-\ /3^1Ат~н+,+5Р(а/Зх)с1/Зс1а.

Обозначим последнее слагаемое в полученной сумме через 1(х). Тогда

=■-£ ■Ц£-11

1=2 4 .5=1

где обозначено

/1 ^У“1 II

Вычисления показывают, что J(x) = (-/?) -1

и значит

1(Х) = У Olilf!. f fflft 1 а"/2-1А",--?~1+дР(gjt)</g +

ds .?! -b Г*-П!

i=I 4* 5! * (5-1)!

|2s . /1

+£_LM_ t^-^—ann-lAm-J-l+sP(ax)da.

x\ h г.е-П! v J

(15)

J=i 4s 5! * (5-1)!

Подставляя вычисленное значение /(x) - последнего слагаемого в (14), будем иметь =A-;-'PW+f; (~f U|2J I g7-,f1

^ 4 5! л (j -1)!

что совпадает с формулой (13) при / = j +1. Индукция доказана.

Таким образом, основываясь на (13), мы имеем для vk(x) общее выражение

= + (16) где к = 0,...,т . Таким образом, доказана теорема, уточняющая лемму 3. □

Теорема 3. Для любой полигармонической функции Р(х) имеет место равенство (5)

Р(х) = G0(x;v0) + G1(x;v]) + ... + Gm(x;vm), где гармонические функции v0(x),...,vm(x) находятся из равенства (16).

Замечание 2. При к = О формула (16) принимает вид

voW . „„.¿ШЭД\z^fa^max)da

~{ 4 5! -0 (5-1)!

и задает гармоническую составляющую произвольного полинома Р(х) в формуле Альманси P(x) = v0(x)+|x|2 Q(x). Заметим, что в [6] получено другое - «дифференциальное» представление гармонического полинома v0(x).

Докажем теперь, что для аналитической в начале координат функции /(х) имеет место формула (5) с бесконечным значением параметра т т.е.

f(x) = v0(x) + | anl2-\(ax)da, xeD. (17)

Теорема 4. Для любой функции /(х) аналитической в начале координат имеет место равенство (17), в котором гармонические функции v0(x),.,.,v„(x),... определены в некоторой звездной области D с центром в начале координат и задаются формулой

v.M.aVM + Î*"1/1*1,2 ' c,’l2-'^f(ax)da. (18)

" 4 s! (5-1)!

Замечание 3. Формула (18) несколько отличается от аналогичной формулы (2.9), полученной ранее в [2].

Доказательство. Покажем сначала, что функции vk(x), найденные из равенства (18) являются гармоническими (этого не требовалось при доказательстве теоремы 3, поскольку там мы исходили из леммы 3) и при подстановке в (17) обращают его в тождество. Применим оператор А к обеим частям равенства (18), считая законным дифференцирование под знаком суммирования. Если использовать равенство

Ах|2i и(х)j = 4s | х|2j~2 ^Л + 5 + ^- l и(х)+1 х|2j Ди(х),

а также формулы (8) и (9), то можно убедиться, что Avk(x) = 0.

Докажем теперь, что имеет место формула (17), где vk(x) находятся из (18). Для этого подставим vk(x) в (17). Получим

00 / 1VS ! ,„|2j 1 /1 _ 5—1

/00 = fix) + Yj I ----an/2-lAsf(ax)da +

4S 5! Л (5-1)!

" 1 lvl2i jn 00 Л-lV I vl2(*+i)

У f (l 5). an,2~lAkf(ax)da+ Y -----x (19)

¡p 4 k\ ■« (fc -1)! 4*+J Ш

AK k=l 4

\k~ 1 ^,2s+ni1-\ 1 /1 os-\

Х1ПФМРЛа.

Обозначим последнюю сумму в полученном выражении через 1Х (х). Тогда

® / 1Л^|«|2(к+я) лп „2з+п/2-\ , /л д5+п/2-2

/](1)= у Н>_М1_ Р----дЯофх)та.

Ш -Ь (Лг -1)! ■» (5-1)!

Имеет место равенство /,(х) = -/(х) при /(х) = Ат~}АР{х). Поэтому, в соответствии с (15)

^ 4* 5! Л (5-1)!

_У £ 0^У1а^А*Дах^а.

5! * (5-1)!

После подстановки полученного значения /¡(х) в (19) получим тождество /(х) = f(x).

Для окончательного доказательства теоремы необходимо обосновать правомерность проделанных выше действий, т.е. доказать что:

Серия «Математика, физика, химия», выпуск 8 <19

1) ряды в (18) У к равномерно сходятся по х в некоторой звездной области £> и их можно почленно дифференцировать в £>, а значит их суммы гармонические в £) функции (лемма 5 и следствие из нее);

2) если функции \'к (х) определены в 1> и находятся из (18), то ряд (17) равномерно сходится

в некоторой подобласти /)'с£> и его можно почленно дифференцировать в £>' (лемма 6).

Леммы 4-6, приведенные ниже, решают эти задачи. Поэтому, теорему 4, можно считать доказанной. □

Лемма 4. Пусть !(£>) = ЦД^,...,!^) дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами и функция /(х) аналитическая в точке х^ е Кп, тогда существуют такие положительные числа Сие, что для х таких, что | х-х® |< е имеет место оценка

IД V ■ вХп )/(*)\<ЦВ(,...,о1 )ЩНх^,

где <р^) = Се/(е-1) и многочлен Х(£) получен из многочлена ¿(¿Г) заменой его коэффициентов аа на их модули | аа |.

Доказательство. Из условия леммы, функция /(х) аналитическая в точке х^ еЛ", а поэтому f(х) = ^ /а(х-х0)а, причем ряд абсолютно сходится в £> - некоторой окрестности точки х^°\ Отсюда следует, что существует е>0 такое, что (х[0^ + е,...,х^ +е)еБ и значит, для всех к, имеет место неравенство

8к^\/а\^С,

|огН

из которого, с учетом сделанных выше обозначений и неравенства | х(-хги |<] х-х*-0^ |, следует оценка

к=0 \а\=к

00 (\х г(0)|У

(х-х0)а 1А м | X — л ]

к=0 ч * У

\а\=к

к=О

Х~Х

(0)Л

н^(|х-Х(0) |),

У

,(0)

справедливая для | х-х ’ \< е .

Теперь оценим производную /(х) ОТ функции /(х) порядка Д = (Д,...,/?„) . Для этого рассмотрим множитель Сар -аУ{а- /?)! при а> (5 (а > /3 <=> V/, а, > Д). Докажем, что

С < С22')

а,р (\a\-\my:

Применим индукцию по размерности п. При п = 1 эта формула, очевидно, верна и в ней имеет место равенство. Пусть формула (22) верна при п = п-1. Обозначим через а е Я"-1 вектор, полученный из вектора а отбрасыванием его первой компоненты. Тогда са,р = «1 («1 - Д +1 Х^д <| а | (| а | -1)..-(| а | - Д + 1)Сг д

для а> /3. Поэтому, в силу предположения индукции и неравенства \a\~\a\ -ах <| а | - Д, получим

(И-Д)! |аф

С*,/? а I (I а | -1)...(| а | -Д +1)-

|^|-Д-|Д|)! (|«|-|Д|)!

На основании (22) при / =| х-х^ ) получим

|1)^/(х)|<2с^!/а|(х-х<0)Г

\<£

к!

лх-х<°>

а'г.р

к\

\Н/

|а|=*

к=\/з\(к~\Р\У- *=

для | х - х(0) |< е. Отсюда сразу следует, что

I L{D^,...,DXn )Дх) |< £ | а* || Daf(x) |< £ | aa\ = L(D„..., АЖО^о,,-

а а

Что и требовалось доказать. □

Лемма 5. Пусть функция /(х) аналитическая в некоторой звездной области D, тогда ряд

F(xJ) = /(*)+ X І (1~ry nf ~'a"/24AV(a;t)rfg- <20)

¡^4 5! -w (5-1)!

равномерно сходится по х в некоторой звездной подобласти D' с: D и возможно дифференцирование под знаком суммы.

Доказательство. Воспользуемся леммой 4 в частном случае L(D) = As и х№) = 0 . Легко видеть, что в этом случае L(Dt,...,Dt)-L(Dt,...,Dt) = nsD2s, а поэтому, существуют такие положи-тельные С и є, что для | X |< е

\Asf(x)\<nsD?s<p(t)Mxl, (24)

где как и выше (pit) - С є! (є -1) . Отсюда, учитывая что а є [0,1], получим

\Asf(ax)\<nsD2scp(t\=a{x[.

Применяя полученное неравенство в формуле (23), найдем

| F(x;/)|<^(|х|) + -У ...i2,v~1)! Ґ (1 -a)s~las+n/2~2 D?s<p(a | х|)da.

і v,y/i и 2^2i!!2(5-l)!!-b J (2s-l)!

Для интегрального члена, при n > 2 и \х\< є имеем оценку

| (1 - a)-'«™'« Df-via IxDdai f Df^d, i

,2,4)

(25-1)! Y M 1

Отсюда находим

I F(rJ) |< cp{\ x I) +—£...(2^ ~1)! ^'іХ^ 1 <p{2s-]){\ x I) <

і 2 ¿J 2s! !2(5-l)!! (25-1)! Y

<<р(\х\) + ^-'£ 1Хср(ъ-х\\XI),

2 ^ (25-1)!

или с учетом равенства

^ х _ <К1 * 1+0 ~ ^(Ы ~0

л=1 2

верного при достаточно малых t, получим

гг \

Г (Г і

:<з(|х |) + —j-^((1 + л/и)| х |) < ~ + l <p((l + 'fn)\x\),

(25)

4 И у

где х уже должно быть таким, что | х |< г/(1 + л/й). Здесь мы воспользовались неравенствами

^((1-л/й)|х|)>0 и (р{{\ + 4п)\ х|) ><р{\ х|), Поэтому, в области D’ = {| хj< s’!{\ + л/й}, где s' <s ряд из (23) сходится равномерно по х.

Из приведенных выше оценок видно, что ряд DaF(x;f) сходится равномерно в D' и значит DaF(x; /) = F(x; Da f). Лемма доказана. □

Следствие 1. Ряд F{x\Amf) сходится равномерно по х в той же области что и ряд F(x;f). Доказательство. Нетрудно видеть, что согласно (22), рассуждения, аналогичные рассуждениям леммы 5, можно применить и к функции Ат f. Тогда получим

л/йГУ2от)((1 + л/й) I х I)-- <р{2т\(\ - л/й) IхI)

\Р(х;Ат/)\<пт<р{2т\\х)) + пт-----1=1----------

4

Отсюда, поскольку функция (р{т)(г) = т\С£/(е-1)^т+1> удовлетворяет неравенствам

<р^т\( 1 - л/й) | х |) > 0 и ср^а 1 + 4п) | х |) > ^”^(| х |), аналогично (25), получим

| F(x; АтЛ |< (Тй/4 + 1>У 2Л)(0 + л/й) | х |), (26)

где х, также как и в (25), такое, что | х |< е/(1 + л/й). □

Лемма 6. Пусть фикции Ук(х) определяются по формуле (18) и заданы в звездной области О, тогда ряд

™ л / л V 1 1*Р* п/2-1 ,

в(х) = v0(x) + X -Е-— ][ 1}! а ^(ах)^

сходится равномерно по х в некоторой звездной подобласти £>' с £> и позволяет дифференцирование под знаком суммы.

Доказательство. Нетрудно видеть, что Ук(х) = Р{х\Ак/). Поэтому, согласно следствия 1, все функции vk{x) определены в некоторой £)'сй. Более точно, в соответствии с (23), найдутся такие положительные Сие, что У к

| ук(х) |< (л/й/4 + \)пк(р{2к)((\ + л/й) | х |), где, как и прежде, (р(1) = Се!{е - 0. Обозначая е' = е/(1 + л/й) и С’- С(л/й/4 +1), для новой функции <р((), найдем | Ук (х) |< пк(р^2к^{| х |). Тогда,

I ад ¡а Л х |)+1 | VI * »<*«•

Для функций ^2А*(/)(0 <?<£■'), очевидно, имеет место неравенство (р(2к\ш) < (р('2к)(1), где ае[0,1] и поэтому

£ 1ЩГ“’,г~у2‘>(а 1* »^(24« * о 11ЩГ“”'2'1 5

Значит,

(*-1)! А:!

I).

к=0 (2л!!) *=0

или с учетом равенства

р.3,!^(2*)(| х |) - ^(1 * 1+0+^(1 * 1 ~0

5=0 2

верного при достаточно малых t, получим

I од ¡< ^(О+^кР+^СО-^)!^!)

где х должно быть таким, что | х |< е'1{\ + л/й) = е!{\ + л/й)2 .

Аналогично проделанному, можно показать, что ряд, задающий О(х), допускает почленное дифференцирование под знаком суммы, и полученный в результате этого ряд будет сходиться равномерно. Значит, функцию О(х) можно дифференцировать под знаком суммы. Лемма доказана. □

Пример 1. Рассмотрим уравнение Гельмгольца

Ду(х) + Лу(х) = 0, хеОс:Я”, ЛеК, в звездной области О. Поскольку его решение у(х) - аналитическая в О функция, то к нему

применима теорема 4. Вычислим функции ук(х) из (18). В силу уравнения Гельмгольца

Ду(х) = -Лу(х) и значит из (18) Ук(х) = (~Л)ки(х), где обозначено

, -2

и(х) = у{х) +Л-^~ ^gA[--Лa{\-a)\xf^^v{ax)anl2~lda, (24)

и [5]

^/и(0 = 5]*=0^_^ (2,2)к{т,2)к ■

Поскольку, согласно теореме 4, функция Ук (х) гармоническая в О, то й и(х) гармоническая в О. Теперь из (17) находим

. (2

у(д:) = и{х) ~ Л-~- ^ g4 ^Л( 1 - а) | х \2^и(ах)ап12~^а. (25)

Формулы (24) и (25), задающие взаимно однозначное соответствие между гармоническими в

О. функциями и решениями уравнения Гельмгольца, совпадают с ранее полученными в [5, 10].

Литература

1. Almansi, Е. Sull’integrazione dell’equazione differenziale A2nu = 0 / E. Almansi // Ann. Mat. Pura Appl. - 1899. - V. 3, № 2. - P. 1-51.

2. Aronszajn, N. Polyharmonic functions / N. Aronszajn, М. T. Creese, L. J. Lipkin. - Oxford Univ. Press: New York, 1983. - 265 p.

3. Karachik, V.V. On some special polynomials / V.V. Karachik // Proceedings of AMS. - 2004. V. 132.-P. 1049-1058.

4. Karachik, V.V. On one set of orthogonal harmonic polynomials / V.V. Karachik // Proceedings of AMS. - 1998. -V. 126, № 12.-P. 3513-3519.

5. Karachik, V.V. Normalized system of functions with respect to the Laplace operator and its applications / V.V. Karachik // Journal of Mathematical Analysis and Applications. - 2003. - V. 287, №2.-P. 577-592.

6. Karachik, V.V. Harmonic polynomials and the divisibility problem / V.V. Karachik // Proceedings of AMS. - 1997. - V. 125, №11. - P. 3257-3258.

7. Karachik, V.V. Polynomial solutions to the systems of partial differential equations with constant coefficients / V.V. Karachik // Yokohama Mathematical Journal. - 2000. - V.47, № 2. -P.121-142.

8. Nicolescu, M. Problème de l’analyticité par rapport â un opérateur linéaire / M. Nicolescu // Studia Math. - 1958. -V. 16. - P. 353-363.

9. Ren, G. B. Almansi decompositions for polyharmonic, polyheat, and polywave functions / G.B. Ren, U. Kàhler // Studia Math. - 2006. - V. 172, № 1. - P. 91-100.

10. Векуа, И.Н. Новые методы решения эллиптических уравнений / И.Н. Векуа. - М.-Л.: ОГИЗ, 1948.-296 с.

Поступила в редакцию 17 марта 2007 г.