Полиномиальные решения задачи Дирихле для 3-гармонического уравнения в шаре Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 513.88

Полиномиальные решения задачи Дирихле для 3-гармонического уравнения в шаре

Валерий В. Карачик*

Южно-Уральский государственный университет, Ленина, 76, Челябинск, 454080, Россия

Получена 21.03.2012, окончательный вариант 01.04.2012, принята к печати 21.06.2012

Найдено полиномиальное решение задачи Дирихле для неоднородного 3-гармонического уравнения с полиномиальной правой частью и полиномиальными граничными данными в единичном шаре.

Ключевые слова: 3-гармоническое уравнение, формула Альманси, гармонические полиномы, задача Дирихле, полиномиальные решения.

Введение

Классическое представление Альманси [1] для полигармонической функции ф(ж) имеет вид

где И (ж) — некоторые гармонические функции. Оно успешно применяется при построении решений модельных задач для гармонического, бигармонического и полигармониче-ского уравнений. Имеются многочисленные работы, посвященные обобщению представления Альманси на дифференциальные операторы, отличные от оператора Лапласа, например [2-4]. В настоящей работе представления Альманси (1) сначала применяются для построения решения однородной задачи Дирихле для неоднородного 3-гармонического уравнения Д3и(ж) = ф(ж) (раздел 1), а затем и для построения решения общей задачи Дирихле для неоднородного 3-гармонического уравнения в единичном шаре (раздел 2).

Для построения решения конкретной задачи Дирихле для 3-гармонического уравнения традиционным способом (см., например, [5, с.200]) при полиномиальных граничных данных (/о, /1 и /2 — следы полиномов степени к) поступают по следующей схеме. Берут полную систему ортонормальных на единичной сфере дП С К” однородных степени г < к гармонических полиномов С*(ж), ] = 1,..., Ь*, где Ь = (1 + 2г/(п — 2))(г+”—3) (например, систему из [6]), составляют 3-гармонические полиномы вида С* (ж), |ж|2С* (ж) и |ж|4С* (ж) и ищут решение задачи Дирихле в форме

Q(x) = Яо(ж) + |x|2sHi(x) +---------+ |x|2sHs(x),

(1)

k hi

1=0 *=1

Неизвестные коэффициенты легко определяются из уравнений

i(i — 1)Cj + (i + 2)(i + 1)Dj + (i + 4)(i + 3)Ej — I Gj(s)/2(s) ds,

L

Jan

* [email protected] © Siberian Federal University. All rights reserved

где ] = 1,...,Ь и 0 ^ г ^ к. Определитель этой системы — это определитель Вандермонда Ш[г, г + 2, г + 4] с факториальными степенями. При большой размерности пространства п и степени полиномов к такая процедура довольно сложна даже при простых полиномах /о, /1 и /2, поскольку нужно вычислять много поверхостных интегралов и Ь- ' - 2к”-2/(п — 2)!, к ^ то. В данной работе предлагается иной способ построения полиномиального решения задачи Дирихле, требующий лишь нахождения степеней оператора Лапласа от некоторых вспомогательных полиномов.

В работе [7] с помощью формулы Альманси были построены полиномиальные решения уравнения Пуассона Дм(ж) = ^(ж), полигармонического уравнения Дтм(ж) = ф(ж) и неоднородного уравнения Гельмгольца Дм(ж) + Ли = ^(ж), где ф(ж) — произвольный полином. На этой основе в работе [8] были построены полиномиальные решения задачи Дирихле, а также обобщенной третьей краевой задачи для уравнения Пуассона, а в работе [9] исследовалась задача Дирихле для бигармонического уравнения в единичном шаре. Настоящая работа является продолжением этих исследований на задачу Дирихле для 3-гармонического уравнения Д3м(ж) = ф(ж) в единичном шаре П.

В разделе 2 настоящей работы с помощью исследования свойств представлений Альман-си, описанных в леммах 1-3, в лемме 5 строится решение однородной задачи Дирихле для неоднородного 3-гармонического с простейшей правой частью. Затем в теореме 1 строится решение этой же задачи с произвольной правой частью, а в теореме 2 это решение упрощается. В теоремах 2 и 3 будут даны формулы (21) и (25), позволяющие легко вычислять полиномиальное решение однородной задачи Дирихле для неоднородного 3-гармонического уравнения. В разделе 2 в теореме 6, на основании теорем 3, 4 и 5 получена формула (43) для представления полиномиального решения общей задачи Дирихле для 3-гармонического уравнения с полиномиальными данными. Решения всех рассмотренных задач иллюстрируются примерами 2-5. Полученные полиномиальные решения для записи их в обычном виде требуют вычисления степеней оператора Лапласа от некоторых многочленов, определяемых данными краевой задачи. Эта процедура облегчается с помощью применения символьных вычислений на компьютере (см. примеры 1 и 6).

1. Полиномиальное решение однородной задачи Дирихле для неоднородного 3-гармонического уравнения

Рассмотрим следующую однородную краевую задачу для неоднородного 3-гармонического уравнения в единичном шаре П = {ж € К” : |ж| < 1}:

Д3м(ж) = д(ж), ж € П; (2)

дм д2 и

м|ш = ° т~ =0 -к~2 =0 (3)

д^ |ап д^2 |ап

с полиномиальной правой частью ф(ж) и при п > 2. В работе [7, теорема 3] установлено, что некоторое полиномиальное решение 3-гармонического уравнения (2) можно записать в виде

м(ж) = ^ Ё (2к)!!|ж2Г+ 6)!! (1 — «>‘+2«‘+”/2"(— Д>^(<>*) <4)

Предположим, что д(ж) = фт(ж) — однородный полином степени т. В [7, теорема 4] показано, что в этом случае решение (4) может быть записано также в виде

( ) ^ ( 1)8 (в + 2)(в + 1)|ж|2я + бДЯ Qm(ж) (5)

м(ж)^Х( —1)^-----------77,---^-----------. (5)

^—0 2(2, 2)я+з(2т — 2в + п, 2)я+з

где (а, 6)й = а(а + 6} • • • (а + (к — 1)6) с соглашением (а, 6)0 = 1. В знаменателе дроби под знаком суммы стоит выражение (2т — 2в + п, 2)я+з = (2т — 2в + п) • • • (2т + п + 4), которое не обращается в нуль, поскольку 2в ^ т. В [7, теорема 1] установлено, что некоторое полиномиальное решение уравнение Пуассона Ду = ^(-} имеет вид

|х|2 |х|2к г 1

„(-} = — V, 1-ггт (1 — а}к ак+”/2-1(—Д}кд(а-} гіа. (6)

^ ; 2 (2к}!!(2к + 2}!! Л

Кроме этого, в [7, теорема 2] показано, что при ф(—} = ^т(х] решение (6) может быть записано в ином виде:

у(-} = У ( —1)-_______|ж|28+2 Д5^т(х)_______ (7)

( } -=0 (2,2)-+і(2т — 2в + п, 2)-+і ' (7)

Введем в рассмотрение следующий оператор:

| —|2т | х 12 к г1

Д-т = ^^-------- V . '------— (1 — а}к+т-1ак+”/2-1(—Д}к • (а-) гіа.

т 2(2т — 2)!! (2к}!!(2к + 2т}!!./о

В [7, теорема 3] установлено, что полином и(-} = Д-^^(-} является решением поли-гармонического уравнения Дки = ^(-}, т.е. ДкД-к^(-} = ^(-}. Тогда решение (4) можно записать более коротко в виде и(-} = Д_з^(ж).

Лемма 1. Пусть ^;(-} — однородный полином степени I, тогда справедливо равенство

2т к + т — Л |-|2кДк^(-}

(Д-1)тдг(-) = |-|2т^ (—1)

к=0

т 1 / (2, 2}к+т(п + 21 2к 2}к+т

В [9, лемма 1] доказано, что лемма 1 верна при т = 2, а в [7, теорема 2] установлено, что она верна и при т = 1 .

Доказательство. В работе [9, теорема 3] доказано, что Д-т = Д-(т-1)Д-1, а значит, по индукции Д-т = (Д-1)т. Кроме того, в [9, теорема 4] установлено, что

|2т ^ лЛк(к + т — Л |-|2к Дк ^(-}

Д-т«,(-) = и2т £(—1}^к +”:1)

к = 0 V /

к=0 \ т 1 / (2, 2}к+т(п + 21 2к 2}к+т

Поэтому

— ''к + т — 1\ |-|2к Дк ф;(-}

(Д-1}тдг(-} = Д-т^г(-) = |-|2т Е( —1}^к +1 ^

V т — 1 /

г-—п ^ /

к=0 \ т 1 / (2, 2}к+т(п + 21 2k, 2}к+т

□

Рассмотрим полигармоническое уравнение со специальной правой частью

Дки = |-|2т • Р-(-}, - є Б, (8)

где Ря(-} — однородный гармонический полином степени в, а Б С К” — звездная область

с центром в начале координат. Из результатов работы [8, теорема 3] следует, что решение

уравнения Ду = |-|2т • Ря(-}, записанное в форме (7), имеет вид

„(ж) = |-|2т+2 ^ Р-(-} (9)

( } (2т + 2}(2т + 2в + п) (9)

или

|ж|2т+2 , р (х)

Д-1(|х|2т ■ Р8(ж)) = 7----^-----------------г.

П1 1 ^ (2т + 2)(2т + 2в + п)

Справедливо более общее утверждение.

Лемма 2. Имеет место равенство

|х|2т+2й , р (ж)

Д-*(|х|2т ■ Р8(ж)) = (2т + 2, 2)*(2т + 28 + п, 2)* ' (10)

Доказательство. В работе [9, теорема 3] доказано, что Д_* = Д_(*_1)Д-1, а значит,

Д-к(|-|2т • Р-(-}) = (Д-1}^|-|2т • Р-(-^ = (Д-1}к-1Д-^|-|2т • Р-(-}) = 1

(2т + 2}(2т + 2в + п)

(Д-1}к-1(|-|2т+2 • Р-(-}) =

1 -|-|2т+2к • Р-(-}.

(2т + 2, 2)*(2т + 2в + п, 2)*

□

Разложим однородный полином ^т(ж) с помощью формулы Альманси (1) на слагаемые вида |х|2яДт_2я(х):

Зт(х) = Дт(ж) + |ж|2Дт-2(х)н--------+ |ж|2,3Дт-28(ж), т - 2в > 0. (11)

Применим к обеим частям оператор Д-ь Тогда по лемме 2 решение уравнения Д*у(ж) = ^т(ж), задаваемое формулой (5), имеет вид

щ(ж) = [^/"1 ____|х|2Я + 2* Дт-2«(х)___ ( )

1 ^ (28 + 2,2)*(2т - 2* + п, 2)*’ 1 >

где [а] — целая часть числа а, а однородные гармонические полиномы Д*(ж) определяются формулой Альманси (11). Из явного вида полиномов Д*(ж), найденного в [10], аналогично формуле (7) верно утверждение.

Лемма 3 ( [8]). Гармонические полиномы Дт-2* (ж) в разложении однородного полинома фт(ж) по формуле Альманси (11) имеют вид

. . 2т - 4к + п - 2 ^ (-1)я|ж|2яДя+*дт(ж)

Дт-2*(ж) = (2 2) / у

(2, 2}к -= (2, 2}-(2т — 4к — 2в + п — 2, 2}-+к+1

Исследуем задачу Дирихле (2)-(3) при ф(-} = |-|2-Дт-2-(-}. Рассмотрим оператор

”

Ли(-) = ^2-к иЖк (-}, к=1

который определен на функциях из С 1(0}. Он обладает легко проверяемыми свойствами: если функция и — гармоническая в П, то функция Ли тоже гармоническая в П; верно равенство Л(иу} = „Ли + иЛу; если Рт(—} — однородный полином степени т, то ЛРт(—} = тРт(-}. Сформулируем еще одно важное свойство оператора Л.

Лемма 4. На единичной сфере дП имеет место равенство

д * и * [*1

= Л[ Цап,

д^* |ап

где факториальная степень 4[*] определяется равенством 4[*] = 4(4 - 1) ■ ■ ■ (4 - к + 1) [11]. Доказательство. Нетрудно видеть, что

ди(ж) ж* ди(ж) 1

= Ь |^^|8П = тжт л”(ж)|вп’

^ I «, = (Щ л)‘ “<ж> I •"' <13»

поэтому

О Л = О* Л[к]. (14)

Докажем, что

1дЛк = _1 |-| ) = |-|

При к =1 это равенство очевидно. Пусть оно верно при к = I. Докажем его верность при к = I + 1. Действительно, поскольку Л(иу} = „Ли + иЛу и Л|-|“ = а|-|“, то

(щЛ) = м Л( м1лМ) = "^Р1 (—/лМ+ЛЛ[г0 = р+г Л[ІІ(Л —1} = Р+1 л[1+1].

Индукция доказана. На основании (14) из (13) находим дки(-} / 1 \к [к]

"зїг- і вп = (і-Л и(-} | “ = Л (-} |

Лемма доказана. □

к

Пусть Рк (і) = с-і- — некоторый многочлен. Определим факториальный многочлен,

-=0

*

соответствующий многочлену Р*(4) равенством Р[*](4) = ^ ся4[я] [12].

я=0

Следствие 1. Справедливо равенство

Р*( дг/)М!ЭП = Р[*](Л)и|д^'

Лемма 5. Решение уя(ж) однородной задачи Дирихле (2)-(3) при ^(ж) = |ж|2яДт-2я(ж) имеет вид

*,(ж) = Ст,я (|ж|2в+6- (5 +1)2(5 + 2) + (8 + 1)(8 + 3)|ж|2- (5 + 2)2(5 + 3) |ж|^Дт-28(ж), (15) где 1/Стя = (2в + 2, 2)з(2т - 2в + п, 2)з.

Доказательство. Пусть полином г>8(ж) определяется формулой

«8(ж)=(|ж|2я+бДт-28(ж) - нт-28(ж) - |ж|2ят—23(ж) - |ж|4ят—28(ж)), (1б)

где Нт—2Я(ж) — однородные гармонические полиномы степени т - 2в. Используя лемму 2, получим равенство Д3«я(ж) = |ж|2яДт—2Я(ж). Будем подбирать полиномы Н^—2я(ж) так, чтобы выполнялись однородные граничные условия (3). Тогда будем иметь

Дт — 2я(ж) - Н° — 2я(ж) - Нт — 2я(ж) - Нт — 2я(ж) = 0 ^ ^я|ЭП = 0'

Используя лемму 4, получим (т + 6)Дт — 28(ж) - (т - 2в)Н°—28 (ж) - (т - 28 + 2)Н1—28(ж) - (т - 28 + 4)Н2—28(ж) = 0

^ (Л[1]«я)|эп = 0 ^ = 0,

1 д^ |дп

(т + 6)(т + 5)Дт—28(ж) - (т - 2в)(т - 2в - 1)Н°—2я(ж)--(т - 2в + 2)(т - 2в + 1)н1—28(ж) - (т - 2в + 4)(т - ^ + 3)н2—28(ж) = °

(Л[2]у-}|эп = 0

д 2г

0,

д^2 |ап

и поэтому необходимо решить следующую систему уравнений:

Н°— 28 (ж) + Н1— 28 (ж) + Н2— 28(ж) = Дт — 2s(ж),

(т -2в)Н° —28(ж) + (т -2в +2)Н1—28(ж) + (т -2в + 4)Н2—28(ж) = (т + 6)Дт—2S(ж),

(т - 2в)(т - 2в - 1)Н° — 28(ж) + (т - 2в + 2)(т - 2в + 1)н1—28(ж) +

+(т - 2в + 4)(т - 2в + 3)Н^—2я(ж) = (т + 6)(т + 5)Дт—2я(ж).

(17)

Обозначим для краткости 6 = т - 2в. Тогда определитель V этой системы уравнений относительно Н1т—2Я(ж) имеет вид

V :

1 1 1

6 6+2 6+4

6(6 — 1} (6 + 2}(6 +1} (6 + 4}(6 + 3}

Если прибавить к третьей строке определителя вторую, то будем иметь определитель Вандермонда V = Ш[6, 6 + 2, 6 + 4] = (6 + 4 — 6}(6 + 2 — 6}(6 + 4 — 6 — 2} = 16.

Обозначим через V* определитель, получающийся из определителя V заменой столбца с номером і на столбец свободных членов системы (17). Тогда имеем

ї>0 — Дт-2-(—}

1 1 1

т + 6 6 + 2 6 + 4

(т + 6}(т + 5} (6 + 2}(6 + 1} (6 + 4}(6 + 3}

Аналогично вычислению определителя V запишем Vо/Дm-2-(-} = Ш[т+6, 6+2, 6+4] = (6 + 4 — т — 6}(6 + 2 — т — 6}(6 + 4 — 6 — 2} = (6 — т — 2}(6 — т — 4)2 = 8(в + 1}(в + 2}.

Вычисления показывают, что

V1 — Дт-2-(—}

1 1 1

6 т + 6 6 + 4

6(6 — 1} (т + 6}(т + 5} (6 + 4}(6 + 3}

и, значит, V1/Дm-2-(-} = Ш[6, т + 6,6 + 4] = (6 + 4 — 6}(6 + 4 — т — 6}(т + 6 — 6} 4(6 — т — 2}(т + 6 — 6} = — 16(в + 1}(в + 3}. Вычисления также показывают, что

V2 — Дт-2-(—}

1

1

1

6 6 + 2 т +6

6(6 — 1} (6 + 2}(6 + 1} (т + 6}(т + 5}

-

и, значит, Р2/Дт—2з (ж) = [6,6 + 2, т + 6] = (т + 6 - 6)(6 + 2 - 6)(т + 6 - 6 - 2)

(2в + 6)2(28 + 4) = 8(в + 2)(8 + 3). Отсюда сразу следует, что

Н0 (ж) = ^ = (й + 1)(й + 2) Д (ж)

Нт — 2в(ж) = V = 2 Дт — 2в(ж),

V

н1 — 2я(ж) = "V1 = -(в + 1)(в + 3)Дт — 2я(ж)

Н2 (ж) = "^2 = (•« + 2)(в + 3) Д (ж)

Нт — 2в(ж) = V = 2 Дт — 2з(ж)'

Подставляя полученные значения Н^—2я(ж) в формулу (16), получим (15). □

Теперь можно построить полином ио(ж) — решение задачи Дирихле (2)-(3) при ф(ж) =

(ж). Раскладывая однородный полином (ж) по формуле (11), а затем применяя к каждому слагаемому лемму 5 (в заменяется на к, и решение каждой такой однородной задачи обозначается через V*(ж)), получим решение нашей задачи в виде

[т/2] [т/2]

I \ I \ г< (\ 12*+б (к + 1)(к + 2)

ио(ж) = ^ ^ (ж) = ^ СтД|ж| +-----------------2-------+

+ (к + 1)(к + 3) |ж|2 - (к + 2)2(к + 3) |ж|^ Дт—2Й (ж),

где Ст * определены как и в лемме 5. Как было доказано выше, полином

[ /2]

Ст,* |ж|2*+6Дт—2Й (ж),

*=0

равный полиному из (12), записывается в виде (5). Поэтому имеем

ио(ж) = (ж)=]т (-1)* 2+21)(к+22)м2‘++д‘Q■l^‘(x)

*=о ^0 2(2,2)*+з(2т - 2к + п 2)*+з

1 [т/2]

- 2 Ст((к + 1)(к + 2) - 2(к + 1)(к + 3)|ж|2 + (к + 2)(к + 3)|ж|4) Дт—2*(ж)' (18)

2 *=0

Преобразуем полученное решение и0(ж).

Теорема 1. Пусть А = т + п/2 и

Ая,а = (в - а + 1)(8 - а + 2)(А - 2в + 2а - 1)(А - 2в + а - 3)(А - 2в + а - 2)+

+ 2(в - а + 2)а(А - 2в + 2а - 3)(А - 2в + а - 3)(А - в + а + 2)+

+ а(а - 1)(А - 2в + 2а - 5)(А - в + а + 2)(А - в + а + 1),

тогда справедливо равенство

и (ж) = ^ ДSQm (ж) _________(-1)а+1 А8;а|ж|2а________ ( )

и0(ж) / у Г) 1 8 +3 / у (/ , о\| / Л О I <?'\ , (19)

^ 2 ■ 48+3 ^ а!(в - а + 3)!(А - 2в + а - 3)я+6

в=0 а=0 4 ' '

где (а)8 = а(а +1) ■ ■ ■ (а + в - 1) — символ Похгаммера.

Доказательство. Воспользуемся леммой 3 для преобразования многочлена и0(-} из (18). Учитывая, что 1/Ст^ = (2в + 2, 2}3(2т — 2в + п, 2}3, а также (2, 2}к+3 = (2к + 2}(2к + 4}(2к + 6}(2, 2}к и (2т + п — 4к — 2в — 2, 2}-+к+4 = (2т — 2к + п}(2т — 2к + п + 2}(2т — 2к + п + 4}(2т + п — 4к — 2в — 2, 2}-+к+і, перепишем это решение в виде

(в + 1}(в + 2} | —|2- + 6Д-^т (-} 2

/2

— Е

и0(-} = У(—1}- (° + 1}(в + 2}|—|---------

* ' 2(2, 2)-+з(2т — 2в + п, 2}-

(к + 1}(к + 2} — 2(к + 1}(к + 3}|-12 + (к + 2}(к + 3} |—|4

*=0 2(2,2)*+3

^ (-1)8(2т + п - 4к - 2)|ж|28Д8+*дт(ж)

2я+2*^т (2, 2)я(2т + п - 4к - 2в - 2 2)я+*+4

Обозначим в + к = а и учтем при этом, что 2(2, 2)*+3(2, 2)8 = 2а+4(а - в + 3)!в! и

(2т+п-4к-28-2, 2)8+*+4 = 2а+4(А-2а+в-1)а+4, где А = т+п/2. Тогда, преобразовывая

повторное суммирование в предыдущей сумме, приведем М0(ж) к виду

со

( } ^ ( 1}- (в + 1}(в + 2}| —|2- + бД-^т (—} + ^ ДaQm (—} ^ ( 1}- + 1„

и0(—} = }_>1} 2 • 4-+3(в + 3}!(А — я}_,0 + Е 2 • 4«+3 Е( —1} + Х

2 • 4-+3(в + 3}!(А — 8)-+з а=0 2 • 4'

х (А — 2а + 2в — 1}

-=0 4 ' 4 /-+з а=0 -=0

Л.0(а — в}|—|2- — ^(а — в}|—12-+2 + Л.2(а — в}|—12-+4

(а — в + 3)Ы(А — 2а + в — 1)а+4

где /г0(к) = (к + 1)(к + 2), /г1 (к) = 2(к + 1)(к + 3), /г2(к) = (к + 2)(к + 3). Заменим в двукратной сумме а на в, в на а и объединим внешние суммы в одну сумму. Разделим внутреннюю сумму на три слагаемых (в первую и во вторую внутренние суммы добавлены нулевые слагаемые):

о

( } Д-^т(—} Л 1}- (в + 1}(в + 2}| —12-+6 +

“0<—> = ^^274+^ і*-1» (. + 3}!(А — «),.+з +

+ * 1»а+1 (в — а + 1}(в — а + 2}(А — 2в + 2а — 1}|—|2а

а=0 (в — а + 3}!а!(А — 2в + а — 1}-+4

* 1)а+1 2(в — а + 1}(в — а + 3}(А — 2в + 2а — 1} |—|2а+2 +

0=0 (в — а + 3}!а!(А — 2в + а — 1}-+4

+ ^* — 1»а+1(в — а + 2}(в — а + 3}(А — 2в + 2а — 1}|—|2а+4 > (20)

+ а=0( } (в — а + 3}!а!(А — 2в + а — 1}-+4 ^ ( 0)

Преобразуем выражение в больших круглых скобках, которое обозначим ^. В нем в первой сумме выделим отдельно первые два члена при а = 0 и а = 1, во второй сумме выделим отдельно первый член при а = 0 и сдвинем индекс суммирования а ^ а - 1, а в третьей сумме сдвинем индекс суммирования а ^ а - 2, получим

(в + 3}!(А — в)-+з а=2

(в — а + 1}(в — а + 2}(А — 2в + 2а — 1} 2а(в — а + 2}(А — 2в + 2а — 3}

(в — а + 3}!а!(А — 2в + а — 1}-+4 + (в — а + 3}!а!(А — 2в + а — 2}-+4 +

х

+

а(а - 1)(А - 2в + 2а - 5) ] (в + 1)(в + 2)(А - 2в - 1)

(в - а + 3)!а!(А - 2в + а - 3)8+^ (в + 3)!(А - 2в - 1)я+4

+

в(в + 1)(А - 2в + 1)|ж|2 2(в + 1)(в + 3)(А - 2в - 1)|ж|2

(в + 2)!(А - 2в)в+4 (в + 3)!(А - 2в - 1)я+4

Если обозначить А8,а = (в - а + 1)(в - а + 2)(А - 2в + 2а - 1)(А - 2в + а - 3)(А - 2в +

а - 2) + 2(в - а + 2)а(А - 2в + 2а - 3)(А - 2в + а - 3)(А - в + а + 2) + а(а - 1)(А - 2в +

2а - 5)(А - в + а + 2)(А - в + а + 1) и привести подобные члены, то будем иметь

3 = (-1)8(в + 1)(в + 2) |ж|28 + 6 + ^ (-1)а+1АЯ|а|ж|2а

(в + 3)!(А - в)я+3 0=2 а!(в - а + 3)!(А - 2в + а - 3)я+6

(в +1)(в + 2) + (в + 1)|ж|2 ((. 2 |1)|2(А . 3)) + . (в(А - 2в + 1) + 2(А - в + 3))

(в + 3)!(А - 2в)я+3 (в + 2)!(А - 2в)я+4

или

(в + 1)(в + 2) (в + 1)(в + 2)(А - 2в + 3)|ж|

2

Т =________------—------ -----+ -----—------—-------------——!---+

(в + 3)!(А - 2в)я+3 (в + 2)!(А - 2в)я+4

+ у2 (-1)а+1АЯ;а|ж|2а + (-1)8 (в +1)(в + 2) |ж|28 + 6

0=2 а!(в - а + 3)!(А - 2в + а - 3)я+6 (в + 3)!(А - в)я+3

Нетрудно подсчитать, что А8,0 = (в + 1)(в + 2)(А - 2в - 1) (А - 2в - 2)(А - 2в - 3) и поэтому значение выражения под знаком суммы при а = 0 равно

(в + 1)(в + 2)(А - 2в - 1)(А - 2в - 2)(А - 2в - 3) (в + 1)(в + 2)

(в + 3)!(А - 2в - 3)в+6 (в + 3)!(А - 2в)я+3

т.е. первый член выражения, задающего Т8, может быть включен в сумму при а = 0. Вычисления показывают, что

А8д = в(в + 1)(А- 2в + 1)(А -2в - 2)(А- 2в - 1) + 2(в +1)(А- 2в - 1)(А -2в - 2)(А- в + 3) =

= (в + 1)(А - 2в - 1)(А - 2в - 2)(А - 2в + 3)(в + 2).

Значит, значение выражения под знаком суммы при а = 1 равно

2 (в + 1)(в + 2)(А - 2в - 1)(А - 2в - 2)(А - 2в + 3) _ (в + 1)(в + 2)(А - 2в + 3)|ж|2

| ж|

(в + 2)!(А - 2в - 2)я+6 (в + 2)!(А - 2в)я+4

т.е. второй член выражения, задающего Т8, также может быть включен в сумму при а = 1. Таким образом, запишем

= у2 (-1)а+1АЯ;а|ж|2а + (-1)8 (в +1)(в + 2)|ж|28+6

а=0 а!(в - а + 3)!(А - 2в + а - 3)я+6 (в + 3)!(А - в)я+3

Теперь вычислим значение выражения под знаком суммы при а = в + 3. Так как

АЯ1Я+3 = 2(А + 5)(А - в)(А - в +1) - 2(в + 3)(А + 3)(А - в)(А + 5)+

+ (в + 3)(в + 2)(А + 1)(А + 5)(А + 4) = (А + 5)(-2(А - в)(А + 4)(в + 2) +

+ (в + 3)(в + 2)(А + 1)(А + 4)) = (А + 5)(А + 4)(в + 2)((в + 3)(А +1) - 2(А - в)) =

= (А + 5)(А + 4)(А + 3)(в + 2) (в + 1),

то имеем

( —1)-+4А-,-+з|—|2-+6 = ( —1}-(в + 1}(а + 2}(А + 5}(А + 4}(А + 3}|—12-+6 =

(в + 3}!(А — в}-+6 (в + 3}!(А — в}-+6

_ ( — 1}-(в + 1}(в + 2}|—12-+6

(в + 3}!(А — в)-+з

-+3 ( — 1}“+1А-іа|— |

а

Поэтому можно записать Т = ^ ,, , 0м /л о, •

а=0 а!(в - а + 3)!(А - 2в + а - 3)я+6

Подставляя вычисленное значение Т в (20), получим (19). □

Из полученной формулы (19) сразу не видно, что полином «0(ж), находимый из (19),

,о\ < \ п ди0(ж) „ д2и0(ж) „

удовлетворяет однородным условиям (3) и0(ж)|х| = 1 = 0, ----- ----- = 0, --—2— = 0.

д^ | х |=1 д^ | х | = 1

| —| 2

|—| (21)

Теорема 2. Решение и0(—} задачи (2)-(3) при ф(—} = ^т (—} можно записать в виде

“0<—»=(к^ _ ^

где, как и в теореме 1, для краткости обозначено А = т + п/2.

Доказательство. Обозначим полином, определяемый формулой (21), через у(—}. Внесем многочлен (|—|2 — 1}3 = |—|6 — 3|—|4 + 3|—|2 — 1 под знак внутренней суммы и разобьем эту сумму на четыре слагаемых. Заменяя к ^ к — 1 во второй сумме, к ^ к — 2 в третьей сумме и к ^ к — 3 в четвертой сумме, получим

( ~ Д-дт(—} А(—1}к —|—|2к + 3|—|2к+2 — 3|—|2к+4 +1—|2к+6 =

у(—} 2 ■ 4-+3(в + 3} ^( } к!(в — к}!(А — 2в + к)-+з

= Д-^т(—} / _( —1}к + 1 |—|2к_+

= 2 ■ 4-+3(в + 3)1к!(в — к}!(А — 2і + к)-+з +

_______3( —1}к-11—|2к_ _____3( —1}к-1|—|2к____

к= (к — 1}!(в — к + 1}!(А — 2в + к — 1}-+3 (к — 2}!(в — к + 2}!(А — 2в + к — 2)-+з

(—1}к-31—|2к + ^(к — :

к=3

или

(к — 3)!(і — к + 3}!(А — 2в + к — 3)-+з

* } Д-^т(—} /( —1}к+1(5 — к + 3)(і — к + 2)(і — к + 1}|—|2к

у(—} = 2 ■ 4-+з(1 + 3}1 к!(в — к + 3}!(А — 2в + к)-+з +

-+ 3( —1}к+1к(в — к + 3}(в — к + 2}|—|2к -+ 3( —1}к+гк(к — 1}(в — к + 3}|—|2к “■' к!(в — к + 3}!(А — 2в + к — 1)-+з к!(в — к + 3}!(А — 2в + к — 2)-+з

= +Е -............—«•

*=3 к!(в - к + 3)!(А - 2в + к - 3)я+3/

Учитывая специфику членов у четырех рассматриваемых сумм в круглых скобках, суммирование можно взять в общих пределах от 0 до в + 3

( ) = Дя^т(ж) (-1)*+1|ж|2* /(в - к + 3)(в - к + 2)(в - к + 1) +

Пж) = 8=0 2 • 4я+3(в + 3) ^ к!(в - к + 3)Л (А - 2в + к)я+3 +

+ 3к(в - к + 2)(в - к + 3) + 3к(к - 1)(в - к + 3) + к(к - 1)(к - 2)

(А - 2в + к - 1)я+3 (А - 2в + к - 2)я+3 (А - 2в + к - 3)я+3/

Если обозначить

Вя,* = (в - к + 3)(в - к + 2)(в - к + 1)(А - 2в + к - 3)(А - 2в + к - 2)(А - 2в + к - 1)+

+ 3к(в - к + 2)(в - к + 3)(А - 2в + к - 3)(А - 2в + к - 2)(А - в + к + 2)+

+ 3к(к - 1)(в - к + 3)(А - 2в + к - 3)(А - в + к + 1)(А - в + к + 2)+

+ к(к - 1)(к - 2)(А - в + к)(А - в + к + 1)(А - в + к + 2),

то получим

^ Дядт(ж) 8+ (—1)*+1 ,*|ж|2*

«(ж) = У ^ту-/ у___________^я,*т_____________________________ (22)

^ ; ^ 2 • 4я+3(в + 3) *=0 к!(в - к + 3)!(А - 2в + к - 3)я+6 ' 1 ;

Рассмотрим Вя,* и Ая,* как многочлены от А, т.е. Вя,* = Вя,*(А) и Ая,* = Ая,*(А). Напомним, что

Ая,* = (в - к + 2)(в - к + 1)(А - 2в + 2к - 1)(А - 2в + к - 3)(А - 2в + к - 2)+

+2(в - к + 2)к(А - 2в + 2к - 3)(А - 2в + к - 3)(А - в + к + 2)+

+к(к - 1)(А - 2в + 2к - 5)(А - в + к + 2)(А - в + к + 1).

Нетрудно заметить, что степени этих многочленов равны трем и коэффициенты при А3 с помощью факториальных степеней записываются в форме

Ая,* : (в - к + 2)[2] + 2(в - к + 2)[1]к[1] + к[2] = (в + 2)[2],

Вя,к : (в - к + 3)[3] +3(в - к + 3)[2]к[1] +3(в - к + 3)[1]к[2] + к[3] = (в + 3)[3].

Здесь мы воспользовались биномиальной теоремой для факториальных степеней [11]. Видно, что старший коэффициент у В^ (А) в (в + 3) раз больше. Вычислим значения этих многочленов в трех точках: А1 = 2в - к + 3, А2 = в - к - 2, А3 = 2в - к + 2. Имеем

Вя,* (А1) = к[3] (в + 5)[3], Ая,* (А1) = к[3] (в + 5)[2],

Вя,*(А2) = -(в - к + 3)[3](в + 5)[3] Ая,*(А2) = -(в - к + 3)[3](в + 5)[2],

Вя,*(А3) = -3к[2](в - к + 3)(в + 4)[2] + к[3](в + 4)[3] = к[2](в + 4)[2](кв - 5в + 5к - 13),

Ая,*(А3) = -2к[2](в - к + 2)(в + 4)[1] + к[3](в + 4)[2] = к[2](в + 4)[1](кв - 5в + 5к - 13).

Отсюда, многочлен третьей степени В^^А) в трех различных точках имеет значения в (в + 3) раз больше, чем многочлен третьей степени Ая,*(А). Старшие коэффициенты

обладают тем же свойством. Значит, Вл,* = (в + 3)Ая,*. Подставляя значение Вл,* в (22) и

сокращая на (в + 3), получим (19). Значит, «(ж) = М0(ж). □

Лемма 6. Пусть функция «(ж), заданная в П, может быть записана в виде «0(ж) = (|ж|2 - 1)г£(ж), где 51 (ж) € С1—1(П) и I € N. Тогда она удовлетворяет условию

р1—1 (д;)«(ж)|^ = 0,

где Р1—1(4) — произвольный полином степени I - 1, а значит, «(ж) удовлетворяет однородным условиям Дирихле на дП :

д« д1—1«

— 1г

д^ |ап д^1—1 |ап

Доказательство. Действительно, в силу равенства Л(и«) = «Ли + иЛ« можно записать

Л«(ж) = Л(|ж|2 - 1)г$(ж) = /$(ж)(|ж|2 - 1)1—1Л(|ж|2 - 1) + (|ж|2 - 1)1 Л$(ж) =

= (|ж|2 - 1)1—1 (2/$(ж)|ж|2 + (|ж|2 - 1)Л$(ж)) = (|ж|2 - 1)1—1^1 (ж),

где $1 (ж) € С1—2(П) и, значит, Л«(ж)|ао = 0. Продолжая, аналогично найдем Л1—1«(ж) = Л1—1 (|ж|2 -1)$(ж) = (|ж|2-1)$1—1(ж), где $1—1(ж) € С(П) и, значит, Л1—1«(ж)|д^ = 0. Поэтому если Р;—1(4) — произвольный полином степени / -1, то в силу следствия 1 из леммы 4 имеем

Рг—1 (д^)«(ж)|ап = Р[г—1] (ЛМж)|ш = °-

□

На основании леммы 6 полином «0(ж) из теоремы 2 удовлетворяет однородным условиям Дирихле (3).

Замечание 1. Формулы, задающие решение однородной задачи Дирихле для гармонического уравнения «1(ж) [8], бигармонического уравнения и2(ж) [9] и 3-гармонического уравнения «3(ж) (21), очень похожи и могут быть записаны единообразно следующей формулой:

и (ж) = (И2 - !)' Е (* + - - 0 4^ ^^ ( в) (т - 2* ++к + ,,/2,+|

*=0

при / = 1, 2, 3.

Пример 1. Решение задачи Дирихле (2)-(3) при ^6(ж) = ж^ж^ж^, записанное в виде (21), легко вычисляется с помощью пакета "МаШетайса" и имеет вид

и(жьж2,ж3) = -ж1ж2(ж1 + ж2 + жз - 1) / - 1292 + 903ж4 - 252ж| - 4921ж| + 3213ж3+

V ь ^ 3 4655851200 1 2 3 ^ 3^

+ 7ж2(-133 + 93ж2 - 2272ж|) + 7ж2(152 + 423ж3)).

Еще немного преобразуем многочлен «0(ж), являющийся решением задачи Дирихле (2)-(3), при д(ж) = дт(ж) так, чтобы затем иметь возможность получить формулу для произвольного полинома ^(ж).

Лемма 7. Имеет место равенство

)= (|ж|2 - 1)

0( ) 16 я=0У0 (2в)!!(2в +

Доказательство. Пользуясь формулой (21), запишем

, , (|ж|2 - 1)3 ^ Аявт(ж) 4 /в\ (* +1)(в + 2)|ж|2* (2(1

“0<1)^^1^ ^ 2я(2* + 6)!! Ь-'> У (А - 2* + к)я+3 ’ (24)

где А = т + п/2. Преобразуем внутреннюю сумму в полученном выражении. Используя определение символа Похгаммера (а)* из теоремы 1, свойство гамма функции Г(ж + 1) = жГ(ж) и связь гамма Г(ж) и бета В(ж) функций Эйлера, можем записать

1 1 Г(т + п/2 - 2* + к)

(А - 2* + к)я+3 (А - 2* + к) • • • (А - в + к + 2) Г(т + п/2 - в + к + 3)

_ В(в + 3, т + п/2 - 2в + к) _ 1 /‘(1 + )8+2+т+п/2+*:-28-1 ^

_ Г(а + 3) _(а + 2)^0 (1 * *

С помощью этого равенства запишем внутреннюю сумму в (24) в виде

-1 / (1 - *)«+2*т+"/2-2«- ^(-1)^Л |ж|2к_^ / (1 - *)я+2(1 - *|ж|2)8 *т-2«*"/2- 1 ^ а!./ о к-0 0

Следовательно, многочлен ио(ж) можно записать в форме

ио(х)_<Н1^ £ 0 -«т,<х)(п/2-1 *

что совпадает с формулой (23). □

Получим решение задачи Дирихле (2)—(3) с неоднородным многочленом ф(ж). Теорема 3. Решение задачи Дирихле (2)-(3) можно записать в виде

|ж|2 - 1)3 I'1 (1 - а|ж|2)я(1 - а)я+2

и(ж) _ (|ж|,- 1М V (1 - :|;' !(1 - а А^д(аж) ап/2-1 йа. (25)

16 ./о ^ (2а)!!(2а + 6)!!

Доказательство. Пусть ф(ж) — произвольный полином. Представим его в виде суммы однородных слагаемых ф(ж) = ^ ^ш(ж) и обозначим через ит(ж) полиномиальное решение

т

задачи Дирихле (2)-(3) с правой частью ф(ж) = ^т(ж). Тогда очевидно, что искомое решение имеет вид и(ж) = 5^ ит(ж). Из формулы (23) следует, что

т

/ \ / ч_ (| ж |2 - 1)3 Г1 (1 - а|ж|2 )я(1 - а)я+2 п/2—1 * я / \ 7 _

и(ж) = 22 Мт(ж) = 16 (2*)!!(2* + 6)!! а Д X/ ^т(аж) =

т я=0 0 т

= (|ж|2 - 1)3 Г1 V (1 - а|ж|2)я(1 - а)я+2 дя *п/2—1 ^

= 16 У0 я=0 (2в)!!(2в + 6)!! Д У(“ж) “

Теорема доказана. □

Замечание 2. Функцию (оператор) Грина задачи Дирихле (2)-(3) в единичном шаре в случае полиномиальных функций ф(ж) можно записать в виде

о<*;а).=|(1 -;Г2 ■)(•*).

и тогда решение (25) имеет вид

((ж) _ / С(ж; а) ф(ж) йа.

0

Пример 2. Проверим формулы (25) и (19). Пусть в задаче Дирихле (2)-(3) ф(ж) = ж*, а значит, т = 1. Тогда в сумме из формулы (25) будет только один член при в = 0. Получаем

/ \ (|ж|2 - 1)3 [1 (1 - а)2 . . п/2—ь (|ж|2 - 1)3

м0(ж) = --------------------------------------------------- -(аж,)а"/2 Ма = ж*—--—-—--.

0К ; 16 ]0 2 • 4 • ^ 48(п + 2)(п + 4)(п + 6)

Проверим это решение. В силу леммы 6 однородные условия (3) выполнены. Далее, используя равенство (см. [10])

Д (|ж|2яР(ж)) _ 2в|ж|2я-2 (2Л + 2в + п - 2) Р(ж) + |ж|2я ДР(ж) (26)

при Р(ж) _ ж*, в _ 3 и свойства оператора Л, вычислим

Д3«0(ж)_Д3______________ж^И!________ д2 6(п + 6)ж*|ж|4 _

48(п + 2)(п + 4)(п + 6) 48(п + 2)(п + 4)(п + 6)

д 4(п + 4)ж* |ж|2 2(п + 2)ж*

ж*'

8(п + 2)(п + 4) 2(п + 2)

Для нахождения м0(ж) можно воспользоваться и формулой (19). Тогда так как

Ая,а = (* - а + 1)(в - а + 2)(А - 2в + 2а - 1)(А - 2в + а - 3)(А - 2в + а - 2) +

+ 2(в - а + 2)а(А - 2в + 2а - 3)(А - 2в + а - 3)(А - в + а + 2)+

+ а(а - 1)(А - 2в + 2а - 5)(А - в + а + 2)(А - в + а +1),

и в = 0, а = 0,1, 2, 3 и т = 1, то А0,0 = 2(А - 1)(А - 3)(А - 2), А0Д = 2(А - 1)(А - 2)(А + 3), А0,2 = 2(А-1)(А+4)(А+3), А0,3 = 2А(А+1)(А+5)-6А(А+3)(А+5)+6(А+1)(А+4)(А+5) = 2(А + 3)(А + 4)(А + 5), А = (п + 2)/2 и то же решение, но по формуле (19) имеет вид

, ж* / -А0,0 , А0,1 |ж|2 А0,2|ж|4 А0,3|ж|6

м(ж) = ^+ Ъй~л ^ - ы-л-ТГ" +

2 • 4П3!(А - 3)6 2!(А - 2)в 2!(А - 1)е 3!(А)в

ж* ^ 1 |ж|2 |ж|4 |ж|6

+--7Т~Л------« \ / Л------------------7Т~Л----« \ / Л------+

2 • 43 V 3А(А + 1)(А + 2) А(А + 1)(А + 2) А(А + 1)(А + 2) 3А(А + 1)(А + 2)

ж* (|ж|2 - 1)3 (|ж|2 - 1)3

48 • 2А(2А + 2)(2А + 4) г48(п + 2)(п + 4)(п + 6)'

Заметим, что формула (5) с идейной стороны похожа на формулу представления реше-

ния задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами [13].

2. Полиномиальное решение неоднородной задачи Дирихле для однородного 3-гармонического уравнения

Рассмотрим теперь следующую задачу Дирихле для 3-гармонического уравнения в единичном шаре П = {ж € М" : |ж| < 1}:

Д3м(ж) = 0, ж € П; (27)

ч дм д2м

м|дп =Р (ж) т~ =0 -к~2 =0, (28)

д^ |ап дИ |ап

где V — внешняя нормаль к дП, с полиномиальным граничным значением Р(ж) и при п > 2. Наряду с полиномом Р(ж) рассмотрим производные от него полиномы

Р(0)(ж) = Р(ж) + ЛР(ж) + (1 (Л2 + 2Л)Р(ж) (29)

р-м = (Л(Л2 + 2Д) - 2^-4д2Л + (,, +14-(:Г+6)А^р(X), (30)

где а Є [0,1] и в Є N0 = N и {0}. Сформулируем утверждение, дополняющее утверждение теоремы 3.

Теорема 4. Решение задачи (27)-(28) можно записать в виде

( ) Р ( ) | (1 - |х|2)3 [1 ^ (1 - «|х|2)Я(1 - «)Я (.,р а,8)( ) п/2-1 7 (31)

Чх) = р(0)(х) +-----16-----У0 ^ (2а)!!(2а + 2)!! (Д Р(1) )(“ж) ( )

Доказательство. Построим решение задачи (27)-(28). Сначала с помощью формулы (25) найдем решение следующей однородной задачи Дирихле:

Д3и(х) = Д3Р(х), х Є О,

ди о д2и

д^ |ап ’ д^2 |ап

м|эп = 0, = 0, = 0.

По теореме 3 это решение имеет вид

и(х)=(|х|2 ~ 1)3 I'1 У (1 - а 1 х12)8(1 ~ а)8+2 Дя+3р(ах) а”/2-1 7а.

^ 16 Л ^ (2в)!!(2в + 6)!! ^ ;

Далее, пусть бигармонический полином и1(х) удовлетворяет следующим условиям Дирихле:

ди

и1(х)|ЭП = 2ЛР (х)|дП; = Л(Л — 2)р (х)|ЭП. (32)

д^ |дп

Тогда следующий полином

| х |2 — 1

^(х) = Р (х) — и(х)---------4----и1(х)

является 3-гармоническим, поскольку полином |х|2М1(х) 3-гармонический и, значит, Д3-у(х) = Д3Р(х) — Д3и(х) = 0. В силу леммы 6, свойств оператора Л и определения полинома и(х) он удовлетворяет и граничным условиям (28). Действительно, во-первых, ^(х)|ап = Р(х)|ап. Далее, в соответствии с леммой 4 вычислим Л-у(х) и Л[2]-у(х). Имеем

1 |х|2 — 1

Л-у(х) = ЛР (х) — Ли(х) — ^ |х|2М1 (х)--------4--Лм1(х)

|ж|2 _ 1

Л[2]-у(ж) = Л2-у(ж) _ Л-у(ж) = Л2Р(ж) _ Л2и(ж) _ |ж|2(Л + 1)«1(ж)-----------------------^-------Л2М1(ж) _ Л-у(ж).

Поэтому в силу условий (32) запишем

—V 1

— = Л«(ж)|эп = -(2ЛР(ж) _ М1(ж))|ап = 0.

—V |д^ 2

Далее, по лемме 4 найдем —— = л[2]«(ж)|э^ = (л2Р(ж) _ (л + 1)и1 (ж))|ЭП = (л2Р(ж) _ 2Лр(ж))|эп —т;— = 0.

—V2 |ап 14 |д“ 1 —V |ап

и

В работе [9, теорема 6] установлено, что решение задачи Дирихле

д'Ш

Д2ад(ж) = д(ж), ж € О; и>|д^ = Р(ж), —— = Д(ж)

с полиномиальными данными ^(ж), Р(ж) и Д(ж) имеет вид

Цж) = Р(ж) + |ж|22_ 1 (Д(ж) _ ЛР(ж)) + (|ж|24_ 1)2 х

1 £(1 ^:);х(2Г,+12;!Г)‘ д- (д<лр—*)+&—д2р))<»> “п/2-1 ^ (33)

Отсюда следует, что бигармонический полином М1<х) записывается в форме М1<х) = 2ЛР(х) + 1 —о|х|2 (Л2 + 2Л)Р(х) + (1 -(x|2)2 х

24

(1 - «|х|2)я(1 - а)\5+іЛ Л2 , оа> о1 - а

X у Д8+Ч(Л2 + 2Л) - 2^—^дЛР(ах) а"/2-1 7а.

/о (2в)!!(2в + 2)!! V 2в + 4 )

Поэтому искомое решение «(х) перепишем в виде

1 — | х |2

«(х) = Р (х) — и(х) +------ ---и1<х) =

= Р(х) +

і1 -|х|2)3 Г1 V і1 - аИ2)^1 - а)8+2 д,+3р(ах) «п/2-1 7а+ ./о ^ (2в)!!(2в + 6)!! Д Р(ах) а 7а+

16 Уо ,=0 (2в)!!(2в +

1 — |х|2 (1 — |х|2)2 ,2 л N л/ (1 — |х|2)3

+-----2——ЛР(х) + ^-^^(Л2 + 2Л)Р(х) + ^-------------------1^- х

/"1 (1 — а|х|2)я(1 — а)я ЛО+1 Л. 2 „ . ч „1 — а

(1 - ^ ),(1 ~ а)8 ДЧД(Л2 + 2Л) - 2^—аД2Л+, (1 ~а)-- Д-) Р(ах) а"/2-1 7а.

(2в)!!(2в + 2)!! У у 2в + 4 (2в + 4)(2в + 6) ) к *

8 1

■Дя+^(Л2 -

(1 | | 2 2

8 ’

1 — а

) - 2

(2в)!!(2в + 2)!! ^ ' 2в + 4 )

Р<х) + ЦМЛР<х) + (1-Ж(Л2 + 2Л)Р(х) + <1=М2 Г‘ £ :

Решение задачи (27)-(28) найдено, и согласно обозначениям, сделанным перед теоремой, оно имеет вид (31). □

Пример 3. Пусть в задаче (27)-(28) Р(х) = х2. Тогда в сумме из формулы (31) будет только один член с в = 0. Поскольку Лх2 = 2х2 и Дх2 = 2, то

р(о)(х) = Р(х) +-----2^Лр(х) + <—8 | ) (л2 + 2Л)р(х) = х2(1 +(1 — |х|2) +(1 — |х|2)2)

и

Р“-°(х) = (д<Л2 + 2Л) - 21—аД2Л + ^Д-)р(х) = 16.

По формуле (31) находим

«(х) = х2<3 — 3|х|2 + |х|4) + <----|—/ - • 16ап/2-1 7а =

16 ./0 2

0

х

= ж2(3 _ 3|ж|2 + |ж|4)+—(1_ |ж|2)3 = 3ж2 _ 3ж2|ж|2 +ж2|ж|4-(|ж|6_ 3|ж|4 + 3|ж|2 _ 1). (34)

J п 333 п

Проверим, что найденный полином «(ж) действительно является решением задачи (27)-(28) с Р(ж) = ж2. Воспользуемся простым равенством, вытекающим из (26):

Д(|ж|кРт(ж)) = к(2т + к + п _ 2)|ж|к-2Рт(ж) + |ж|кДРт(ж).

Тогда Д(ж2|ж|2) = 2(п + 4)ж2 + 2|ж|2, Д(ж2|ж|4) = 4(п + 6)ж2|ж|2 + 2|ж|4, и мы получаем

Д«(ж) = 6 _ 6(п + 4)ж2 _ 6|ж|2 + 4(п + 6)ж2 |ж|2 + 2|ж|4_

_ (6(п + 4)|ж|4 _ 12(п + 2)|ж|2 + 6п)/п,

откуда

Д2«(ж) = _12(п + 4) _ 12п + 8(п + 6)(п + 4)ж2 + 8(п + 6)|ж|2 + 8(п + 2)|ж|2 —

— (24(п + 4)(п + 2)|ж|2 _ 24(п + 2)п)/п

и, значит, полином «(ж) 3-гармонический:

48п(п ++ 2)(п ++ 4)

Д3«(ж) = 16(п + 4)(п + 6) + 16п(п + 2) + 16п(п + 6)------------------= 16(п + 4) х

п

х (п + 6) + 32п(п + 4) _ 48(п + 2)(п + 4) = 16(п + 4)(п + 6 + 2п _ 3п _ 6) =0. (35)

Кроме этого, из (34) следует, что «(ж) удовлетворяет условиям «|х|=1 = (ж2)|ж| = 1,

. / 2 2| ,2 2| |4 |ж|6 _ 2|ж|4 + |ж|2\

— = Л«|х|_1 = 6( ж,- _ 2ж,-|ж| + ж ,-|ж|-----------------------------------)

д— |х|_1 |х| V3 3,1 3,1 п У |х|_1

д V к 2 ( 2 2 2 2 4 6|ж|6 _ 8|ж|4 + 2|ж|2\

—2 = Л «|х|_1 =ш2ж,- _ 8ж,-|ж| +6ж,-|ж|----------------------------------) =0.

д—2 |х|_1 V п / |х|_1

Итак, построенный в (34) полином действительно является решением задачи Дирихле.

Теперь рассмотрим другую задачу Дирихле для 3-гармонического уравнения в единичном шаре О

Д3и(ж) =0, ж € О; (36)

ди „ д2и . .

«|дп = 0, = Д(ж), — = £(ж) (37)

д— |ап д— |ап

с полиномиальным граничным значением Д(ж) и при п > 2. Наряду с полиномами Д(ж) и £ (ж) рассмотрим производные от них полиномы

Д(0)(ж) = —^ Д(ж)+ (1 _ 8жР)2 (2Л + 1)Д(ж), £(0)(ж)= (1 _ 8ж|2)2 £ (ж), (38)

Д^ж) = (Д(2Л+ 1) _ 2^+а4Д0 Д(ж), £(1)(ж) = Д£(ж), (39)

где а € [0, 1] и в € М0 = N и {0}.

и

Теорема 5. Решение задачи (36)-(37) можно записать в виде

«(ж) = -Д(о)(ж) + 5(о)(ж}+

(1 -И2)3 Г1 ^ (1 - а|ж|2)8 (1 - а)8

, (1 -И ) / \Г-(1 - а|Х| ) (1 - а) ( Д8Са,8 , Д80 А(аж) ап/2-1 (40)

+------^^ (28)!,(28 + 2),, ( - А Д(і) + Д £(1^ (аж) ^ гіа. (40)

Доказательство. Пусть бигармонический полином «1(ж) удовлетворяет условиям

и1(ж)|дП Д(ж)|дП, ^1/ |д^ 1(£(ж) Д(ж))|д^.

Тогда следующий полином «(ж) = ^(|ж|2 _ 1)«1(ж) является 3-гармоническим и удовлетворяет условиям «|д^ =0 и

д« =Л«|эо = (|ж|2м1(ж) + —1 Ли1 (ж)) = М1(ж)|ап = Д(ж)|ап,

д— |д^ V 2 / |д^

д=(Л2 _ Л)«|Ш = [|ж|2М1(ж) + 2|ж|2Лм1(ж)) = (Д(ж)+2д^ = £(ж)|Ш.

д—2 |ап V /|ап V д—/ |ап

Полином и1(ж) по формуле (33) можно записать в виде

|ж|2 _ 1/ОЛШ > ш > О/' ^ (|ж|2 _ 1)2

иі(ж) = Д(ж)-(2ЛД(ж) + Д(ж) - Б (ж)) +---------------------х

4 8

х

и поэтому

Ґ У (1 - а|Х|2Г(1 ~ ^ Д8+Ч2ЛД + Д - Б - 2^-Ад) (аж) а"/2-1 гіа, /о 8=0 (2в)!!(2в + 2)!! V ^ 2в + 4 )к ] ’

«(ж) = ^ Д(ж) - М_-^((2Л + 1) Д(ж) - Б(ж)) + х

X Ґ у (1 - а’ж|2)8(1 ~ аГ аЧД(2Л + 1)Д - ДБ - 2^-А2 Д (аж) а"/2-1 гіа. ./о (2в)!!(2в + 2)!! V ( + ) 2в + 4 У( )

0

Учитывая обозначения (38) и (39), получаем формулу (40). □

Пример 4. Пусть в задаче (36)-(37) Д(ж) = ж|, £(ж) = жт. Тогда

1 -|ж|2 (1 -|ж|2)2 _ (1 -|ж|2)^ „а,„

Д(0)(ж) = ---2----жк +5-8--жк,£(0)(ж) = ------8----ж™; Д“1) (ж) = 10,£(1)(ж) = °.

В сумме из формулы (40) будет только один член в = 0. Поэтому запишем

( , |ж|2 _ 1 2 + (|ж|2 _ 1)2 ( 5 2 ^ + 5(|ж|2 _ 1)3 [1 п/2 —1 7

«(ж) =------2---жй +--------8----(жт _ 5жй) + 5-----—-------- а1 7а =

= 1 ж2 , (|ж|2 _ 1)2 (ж _ 5ж2) , 5(|ж|2 _ 1)3 0

= 2 к + 8 (жт 5жк) + 5 8п .

Проверим, что найденный полином «(ж) действительно является решением задачи (36)-(37). Используя формулу (35) из примера 3, заключаем, что полином «(ж)

3-гармонический: Д3«(ж) = _|Д3^ж||ж|4 _ = 0.

Кроме этого, полином «(ж) удовлетворяет условиям (37) при Д(ж) = ж|, £(ж) = жт. Действительно, «|х|_1 =0,

д« 2 2 2 2 (|ж|2 _ 1)|ж|2 2

д— _ = Л«|х|_1 = ^жк |ж| + (|ж| _ 1)ж к + 2 (жт _ 5ж к ) +

+ (^„т _ Южк) + 15<И!^)м_1 = (1>к)И.„

и по лемме 4 найдем

0 |х|_1 = (Л _ Л)«|х|_1 = (4жк |ж|2 +2|ж|2 жк + |ж|4(жт _ 5жк^ |х|_1 _ (жк)|х|_1 = (жт ) | ж| _1.

Значит, полином «(ж) — решение рассматриваемой задачи Дирихле.

Объединяя теоремы 3, 4 и 5, получим следующее общее утверждение.

Теорема 6. Решение задачи Дирихле

Д3и(ж) = д(ж), ж € О; (41)

ди д2и

«|ап = Р (ж), 1Г = Д(ж), = £(ж) (42)

д— |ап д—2 |ап

в единичном шаре О с полиномиальными данными ^(ж), Р (ж), Д(ж) и £ (ж) имеет вид

и(ж) = Р(0)(ж) _ Д(0)(ж) + £(0)(ж)+

+ (1 _ |ж|2 )3 [1 ^ (1 _ а|ж|2)Я(1 _ а)я Д8/Ра,я Да,я | £ ^а,я\( ) п/2-1 7 (43)

+ 16 У0 (2в)!!(2в + 2)!! Д (Р(1) _ Д(1) +£(1) _ ^(1))(аж) а ’ (43)

где полиномы Р(0)(ж), Д(0)(ж) и £(0)(ж) определяются по формулам (29), (38), полиномы Р-;(ж), ДЦ^ж) и £(1)(ж) определяются по формулам (30), (39), а полином ^^(ж) имеет (1 _ а)2 (2в + 4)(2в + 6)'

вид д^ж) = (2в + 4)(2в + 6) д(ж).

Доказательство. Как нетрудно заметить, решение задачи (41)-(42) можно разложить на сумму решений трех задач: (2)-(3), (27)-(28) и (36)-(37). Сумма этих решений, находимых из формул (25), (31) и (40), соответственно, и дает искомое решение (43). □

ди

Пример 5. Найдем решение задачи Д3и(ж) = ж*, ж € О; М|эп = ж^^, д-

2 д 2«

жк|дп,д—2 |вп = жт|дП

В соответствии с примерами 2, 3 и 4 искомое решение будет иметь вид

и(ж)=ж2 +(|ж|2 _ 1^2жк _ ^+(|ж|2 _1)^ж2 _ 8жк +1ж \+

+ (|ж|2 _ 1)3(

48(п + 2)(п + 4)(п + 6) 8пУ

Рассмотрим более сложный пример, который затруднительно решить без помощи компьютера.

Пример 6. С помощью пакета мМаШета11еамвычислим решение следующей задачи Дирихле: Д3и(ж) = ж2 _ 2ж3, ж € О С К3; М|эп = (ж4ж2 _ ж2ж5)|ап, д;|^п = (ж6 +

2ж2ж2)|дП, |дП = (ж2ж5 _ 3ж2ж2)|дП по формуле (43). Обозначая для краткости |ж|2 =

ж21 + ж22 + ж23 и опуская промежуточные вычисления, будем иметь

|ж|2 _ 1

и(ж1, ж2, ж3) = ж4ж2 _ ж2ж3 +-- ---(ж! _ 6ж4ж2 + 2ж-ж- + 6ж2ж3) _

3

ж

1 1 1 -(13ж6 —48x[x2+Зж2ж4 + 26ж|ж|+47ж2ж3) + (| 1 1

8 v 1 12 12 23 3/ 665280

х (71269 + 870840ж! + 210600ж| — 592200ж|ж3 + 4715ж| — 48960ж| +1800ж2ж3(253 + 1645ж|)-

—5ж1(—57979 + 458064ж2 + 118440ж2ж3 + 57888ж|) + 15ж2(317 + 74784ж|)).

Список литературы

[1] E.Almansi, Sull’integrazione dell’equazione differenziale Д2”м = 0, Ann. Mat. Pura Appl., Ser. 3, 2(1899), 1-51.

[2] В.В.Карачик, Об одном разложении типа Альманси, Математические заметки, 83:3(2008), 370-380.

[3] N.Nicolescu, Probleme de l’analyticite par rapport a un operateur lineaire, Studia Math., 16(1958), 353-363.

[4] В.В.Карачик, Разложения Альманси для невырожденных операторов второго порядка, Вестник ЮУрГУ, Серия "Математика. Механика. Физика" , 2010, №30, 4-12.

[5] В.С. Владимиров, Сборник задач по уравнениям математической физики / Под ред. В.С. Владимирова. 3-е изд., исправл., М.,ФИЗМАТЛИТ, 2001.

[6] V.V.Karachik, On one set of orthogonal harmonic polynomials, Proceedings of American Mathematical Society, 126(1998), no. 12, 3513-3519.

[7] В.В.Карачик, Н.А.Антропова, О решении неоднородного полигармонического уравнения и неоднородного уравнения Гельмгольца, Дифференциальные уравнения, 46(2010), №3, 384-395.

[8] В.В.Карачик, Построение полиномиальных решений некоторых краевых задач для уравнения Пуассона, ЖВМиМФ, 51(2011), №9, 1674-1694.

[9] В.В.Карачик, Н.А.Антропова, О полиномиальных решений задачи Дирихле для би-гармонического уравнения в шаре, Сибирский журнал индустриальной математики, 15(2012), №2(50), 86-98.

[10] В.В.Карачик, Об одном представлении аналитических функций гармоническими, Математические труды, 10(2007), №2, 142-162.

[11] Г.Бейтмен, А.Эрдейи, Высшие трансцендентные функции, М., Наука, 1966.

[12] В.В.Карачик, Об одной задаче для полигаpмонического уpавнения в шаpе, Сибирский математический журнал, 32, №5, 1991, 51-58.

[13] В.В.Карачик, Метод построения решений линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, ЖВМиМФ, 52, 2012, №2, 237-252.

Polynomial Solutions to Dirihlet Boundary Value Problem for the 3-harmonic Equation in a Ball

Valery V. Karachik

Polynomial solution to Dirihlet boundary value problem for the nonhomogeneous 3-harmonic equation in a ball with polynomial right-hand side and polynomial boundary data is found.

Keywords: 3-harmonic equation, Almansi decomposition, harmonic polynomials, Dirihlet boundary value problem, polynomial solutions.