Разложения Альманси для невырожденных операторов второго порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика

УДК 517.956

РАЗЛОЖЕНИЯ АЛЬМАНСИ ДЛЯ НЕВЫРОЖДЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ ВТОРОГО ПОРЯДКА

В.В. Карачик

Рассматривается обобщение известной формулы Альманси на невырожденные дифференциальные операторы второго порядка с постоянными коэффициентами. Приводится простая формула нахождения первого гармонического составляющего в классической формуле Альманси.

Ключевые слова: формула Альманси, дифференциальные операторы второго порядка, полиномиальные решения.

1. Введение

В настоящей работе рассматривается обобщение известной формулы Альманси на невырожденные дифференциальные операторы второго порядка с постоянными коэффициентами. Сначала в разделе 2 обсуждается проблема делимости многочленов и в теореме 1 приводится формула нахождения первого гармонического составляющего в классической формуле Альманси. Раздел 3 носит вспомогательный характер, а в разделе 4 получены основные результаты. В работе [1] рассматривалось разложение Альманси для решений уравнения йт и = 0, где □= Лх + Яд2 / dt2 или □= Дх + Яд/dt при Я 6 С \ {0}. В работе автора [2] были получены разложения типа Альманси для дифференциальных операторов вида Ад = Яф2 /дх2 + • • • + Япд2 / дх2, Як е Ш \ {0}, в ограниченной,

звездной области lQ с Шп. В работе [3] разложения Альманси применялись для постороения решений неоднородного полигармонического уравнения и уравнения Гельмгольца.

В разделе 4 обосновывается возможность разложений типа Альманси

QO

/(*) = ]£ Мл* «*(*), xeQaR" (1)

k=1

для операторов L{D) второго порядка L(D) = (AV,V), где матрица А порядка их и невырожденная и симметричная, \xj2A = (A~]x,x), причем следует считать, что \х\24к = (| х\2Л)к , а ик{х) -некоторые решения уравнения L(D)u(x) = 0 в звездной области Q, определяемые единственным образом по заданной функции /(х). Основной результат содержится в теореме 4.

2. Нахождение первой гармонической функции в представлении Альманси

Из результатов, полученных в [4] (Proposition 3), можно получить одно свойство решений линейного уравнения в частных производных с постоянными коэффициентами вида

L(D)u= £ aaDau(x) = 0.

k<\a\<q

Пусть L(D) - дифференциальный оператор из уравнения выше и Р(х) - произвольный полином, тогда существует единственный полином Н(х) из ker L{D)r\P и единственный полином Q(x) такие, что выполнено равенство

P(x) = Q(x)L{x) + H(x). (2)

Данное равенство может быть рассмотрено как определение «делимости» полинома Р(х) на полином L(x). Остаток от «деления» - полином Н(х) не будет в общем случае иметь степень меньшую чем L(x), но будет таким, что L(D)H(x) = 0. Нахождение «остатка», т.е. полинома Н(х), по полиному Р(х) - задача не простая, однако, в некоторых случаях, как, например, при L{D)- А [5] или L(D) из (5), разрешимая. Приведем один из способов нахождения гармониче-

Карачик В.В.

ского полинома Н(х) в разложении (2) в случае ЦП) = А и при Р(х) = Рт(х), где Рт{х) - произвольный однородный полином т -й степени.

Лемма 1. Пусть Нт{х) - однородный гармонический полином, тогда при рф 2 ■ {0,...,тя -1} верна формула

1кГ нлААЬ> (3)

где обобщенный символ Похгаммера (р,-2)т имеет вид (р,-2)т = р(р - 2)(р - 2т + 2).

Доказательство. Пусть т = 1 и Нх(х) = аххх + —ь апхп . Тогда очевидно, что для к = п

д И1 II ИР %к 1 X-1 ^ II ИР II IIР К""1 1 гт ,■ .-.ч II ИР II ИР т, - /II 1|2Ч

Я-----=Г 71а =>~^ак~К~N = И Я1^И ЧМ ЩЩЦ )•

й** Р \\х\\ Р к=1 Й ||х|| Р

Поскольку (/>,-2)] = р, то в этом случае формула (3) справедлива.

Пусть при т < к лемма верна, докажем ее справедливость и при т-к. Воспользуемся формулой Эйлера для однородных функций. Будем иметь

Нк(х) = ^Н^\х), (4)

ы К

где обозначено Нк\х)~(Нк(х))'х . Очевидно, что Н['\х) - однородный гармонический полином (£ -1) -й степени. Используя формулу (4) и при этом, имея в виду предположение индукции, можно найти

=£~^°(Д)ИГ=17(а-2)4-,/-(|НГ2Л+2я«(х)).

ы * Щ ¡=1 *

Теперь учитывая, что (Н{1')(х))'х = АЛк(х) = 0, получаем

Нк(0)\\х\\р = (р,-2)к_х(р-2к + 2)Х-¿-^(*)||*Г = (р,-2)к ¡4Р~2к £ -¿-Я^дс),

/=1 * ¿=1 * где было использовано равенство (р,-2)к_х(р -2к + 2) = (р,-2)к. Применяя опять формулу (4) и

деля полученное равенство на (р,-2)к, получим (3). Лемма доказана.

II 1|2

Теорема 1. Пусть Рт(х) - Qm^2(x)||х|| +Нт(х) и п> 2, тогда гармонический полином Нт (х) находится из равенства

|| ц2тя+и-2

нт{х) = ыгр..........- Рт(В)И2~".

(и- 2,2) т

Доказательство. Нетрудно видеть, что Рш(1))||х||2 " = Нт(П)\\х\^п при х*0 и п> 2, а поэтому, применяя лемму 1 при р-2-п, будем иметь

и ц2ш+и-2 || ц2т+и-2

——я,„(Д)Н2~" =(-1),н-И. . р„,(Р)\\4-\

(2 - п, -2)т (п- 2,2)т

Теорема доказана.

Пример 1. Пусть т - 2 и Р2(х) = х(2. Тогда по теореме 1

и ||«+2 я2 II ||”+2

Н2(х) = (~1)2...■ " г И2"" = (2~”ХН"В -«х21к1Г2)= Х1 —И2

(.п - 2,2)2 дх~ (п - 2)п п

и значит верно разложение х^ = |х|2 !п + (х;2 - |Ы|2 /п).

3. Нормированная система функций относительно оператора второго порядка

'У

Пусть иеС (О) - классич постоянными коэффициентами:

2

Пусть иеС (О) - классическое решение дифференциального уравнения второго порядка с

L(D)u(x) = £ at ~~ =0, xeQdR”, (5)

iJ=i dXjdXj

где а,у = const и матрица А = (atJ)”J=1 - невырожденная detАфО и симметричная а, • =ctj п> 1. Предположим также, что область Q обладает свойством звездности: Vie[0,1],

х е Q => /х е Q . Введем однородный многочлен второго порядка | х | ¿ = (А~1х,х), где матрица АГХ

- обратная к матрице А - (а(. .)” .=1, причем будем считать, что \х\2лк = (\х \2Л )к . Ясно, что много-

член | х \2Л может принимать как положительные, так и отрицательные значения, если матрица А имеет неопределенный знак. Этот многочлен имеет странное обозначение | х \2Л для того, чтобы сохранить единообразным внешний вид (1) разложения типа Альманси для различных операторов L(D). Построим 0-нормированную систему функций {fk(x)} в Q, т.е. систему, обладающую свойством [6]

£/0О) = 0; Lfk(x) = fk_x(x), keN. (5а)

Для этого, зададим на множестве Q систему функций {Gk(x;u): к е N0} в виде: G0(x;i<) = и(х) и для к е N

S X х s2k Г \\—&) CZ ✓ ч т /^ч

(*ЛХ\и)=\х\А -----;-и(ах)аа. (6)

* А h 4кк\(к-\)\

Аргумент и у функций системы {Gk(x;u)} означает, что первая функция этой системы - основание системы, равно и(х).

Теорема 2. Система функций {Gk(х;и):ieN() = Nu{0}} обладает свойством (5а). Доказательство. Благодаря свойству звездности области Q, функции Gk(x;u) из (6) определены на всей области Q. Кроме того, Gk(x;u) е C2(Q), поскольку и е С2 (О.) и поэтому по правилу Лейбница возможно двукратное дифференцирование по параметру х под знаком интеграла при хе Q. 1°. Установим справедливость равенства L(D)Gk(x;u) = Gk^(x\u). Для этого сначала докажем тождество

L(D)(\ х \2к v) = vL(D) \х\2Лк+\х \2к L(D)v + 4к\х \2лк~2 £ * —. (7)

/=1 6xi

Легко видеть, что если А = А‘, то

UD)(J ■ g) = X X atJ °У g) =££ (/ g + fXig + f gx. + fg ) =

/=1 y=l OXfiXj /=1 J=]

= gL(D)f + 2 £ al]g fXi + X t ayf gXi + fL{D)g = L(D)f + (8)

;=1 j=1 7=1 i=l

+g(AVg, V/) + (AVf,Vg) + JL(D)g = gL(D)f + 2(AVf,Vg) + fL{D)g.

Вычислим V(|x|^4). Из симметричности матрицы А следует симметричность матрицы А~1 и значит верны равенства

V|х\2к = V(A~lx,х)к = к(А~]х,х)АЧV(A~]x,x) = к{А^х,х)кА(А~1 + (А~]?)х = 2к\х\2к~2 А~хх.

Поэтому из (8) с помощью предыдущего равенства найдем

L(D)(| х \2к v) = vL(D) | х \2к +2(AV | х \2к,Vv)+1 х \2к L(D)v = vL(D) | х \2к +

+4А:| х \2к-2 (AA~lx,Vv)+1 х\2к L(D)v = vL(D)| х\2лк +4к\ х\2лк~2 Jx,vXt + \х\2к L(D)v.

i=1

Формула (7) доказана. Теперь вычислим выражение L(D)\xfk . Обозначим В-А~х. Нетрудно заметить, что

—— (B%,x) - (bssxs + 2хs bsixt+ Z Z bÿXjjCj) X^2bssxs+ 2 ^ bxixi = 2 У bxixi

s i=],i*s 1=1,1755 j=l,j*S i=l,l#s 1=1

и значит

L(D)\x\2Ak= X ülJ^-{Bx,x)k =к^а^{Вх,хУх{Вх,х)к-х = ij=1 OXjOXj ij=l oxi J

= 2k1t av I2a~2 Z bjsxs ) = 2k\x \2Àk-2 £ üÿbjj +

1,7=1 i s=l i,j=1

+4*(* -1) £ aÿ | x £ èirxr J bjsxs =2kl\x |2^2 +4£(£ -1) j x \Ak~A J crsxrxs, (9)

(J=l /'=1 i=l r,j=l

где обозначено /= Z"j=i ааъл и C-=Z” а^гЬр. Поскольку bÿ - элементы обратной матрицы к матрице А, то bji = Ay/àetA, где Ai; - алгебраическое дополнение до элемента матрицы

А. Используя формулу раскрытия определителя det А по некоторой строке матрицы А, получаем

П 1 П П 1 п

/ = У ab =-----У У аиАи =------------У det А = л.

VJI det А%р « 9 det AU

Далее, поскольку В = А~\ то будем иметь

п п п п

Crs ~ @ijbirbjs _ Z fyr^is ~bsr,

i,j=1 /=1 7=1 1=1

где - символ Кронекера. Таким образом, из (9) вытекает, что

L(D) \х\2Ак = 2кп\х \2Ак~2 +4к(к -1) | * \2Ак~4 Z bsrxrxs = 2кп\х \2^2 +4к{к -1) | х \2Ак~4 (Вх, х).

г,s— 1

—1 2

Вспоминая, что (Вх, х) = (А х,х) =| „т \А, найдем

L(D)|x\2Âk = 2к(2к + n-2)\х fk~2 . (10)

Вернемся к доказательству равенства L(D)Gk (х; и) = Gk_x (х; и). Нам понадобится следующее тождество:

Z xt ^r(ax)=«Z xivx, (а*)=«-?-(<**)>

а также тот факт, что если L(D)u(x) = 0,jc е Q, то при а е [0,1]

П

L(D)u(ax) = «2 Z а/7Ид:JC (ад0 = 0- (11)

U=1

Поэтому с помощью формул (7) и (10) найдем

П

L(D)(| ж и(ах)) = u(ax)L(D) | х +ог2 | ж (L(D)u)(ax) + 4ка | х |^~2 Z (ах) ~

;=1

П

■ 2к\х |2Æ_2 ((2Æ + и - 2)м(ах) + 2«rZ (ал:))-

;=i

Отсюда, вспоминая определение (6) функции Gk(x;u), запишем

к-1 „и/2-1

д_

да ' )

Пусть к > 2 . Применяя интегрирование по частям, будем иметь

L(D)Gk(x;u) = 2\x\2Ak 2 [-7------------ (2к + п-2)и(ах) + 2а—и(ах) \da. (12)

А Ы V(*-l)!(yt-l)!l Яа У ’)

] /1 __,\А-2 и/2-1

ЦВ)вк (х;и) = 21 х \2лк~2 £ — ^ ((2 к + п- 2)(1 -а) + 2(к-1)а-

1 П — аЛк~2 ап^2~х

-п(\-а))и(ах)с1а=\х\2Ак~2 Г-Ц—---------------2(2к-2)и(ах)(1а = Ок ,(х;и).

* 4*(*-1)!(*-1)!

Если к = 1, тогда согласно (12) можем записать

Ь(0)0х(х;и) - 2 Г — ап/2~х ( пи(ах) + 2а~и(ах)\<3а = ап/2и(ах) |о = и(х) = С0(х;и).

4 V да )

Если к = 0, тогда Ь(В)С0 (х; и) = 1(В)и(х) = 0. Теорема доказана.

Замечание 1. Если оператор ЦБ) имеет вид Ь(1У) = Л[д2/дх2 + —ь Япд2/дх2, то в этом случае и значит \х^А = \!\х2 + --- + 1/ Апх2 [2]. Подобная система функций

была построена также для оператора Лапласа Ь(Б) = А в [6].

4. Разложение Альманси

Из теоремы 2 следует, что

'вк_г(х]и(х)), к>г Ьг (В)Ок(х;и(х)) = < и(х), к-г, (13)

О, к <г

а поэтому функция Ок(х;и(х)) при к = 0,1,...,т и функции и(х), удовлетворяющей уравнению (5) удовлетворяет итерированному уравнению (5):

Ьт+х(В)и(х) = 0, хеП. (14)

Теорема 3. Пусть функция р(х) записывается в виде

р(х) = в0 (х; у0) + (х; V, ) + ••• + вт (х; ут) (15)

при некоторых Ук(х), удовлетворяющих уравнению (5). Тогда функции \’к(х) единственны и находятся из равенства

да . /1 _ \5-1 5+и/2-2

ук(х) = Ьк(В)р(х) + ^(-\У\х§ Р........ -■ -----------------------Ьш(В)р(ах)с1а, (16)

^ * 4 5!(л -1)!

где Ьк (В)р(ах) = Ьк (В)р(у\у=ах .

Доказательство. Проведем доказательство аналогично доказательству теоремы 3 из [2]. Пусть для функции р(х) имеет место формула (15). Найдем функции Ук(х). Из формулы (13) следует, что

Ьт(В)От(х,Ут) = Ут(х). (17)

Далее, опять с учетом (13), можем записать

1т-х(В)р(х) = 1т~1(В)(С0(х^0) + С](х;ч) + --- + От(х^т)) =

, ^и/2-1

= в0(х;ут_1) + Ох(х;ут) = ут_х(х)+1 х£ £ —— Ут(ах)<1а.

Отсюда, используя найденное значение \\п (х), найдем

1 „и/2-1

ут_х(х) = Ип-х(0)р(х)-\х\2Л ^—-—Ьт(В)р(ах)(1а. (18)

Аналогично, с учетом (13), запишем

Ьт 2 (В)р(х) = в0 (х; ут_2) + (х; уш_, ) + в2 (х; \т) = Ут_2 (х) +

„и/2-1 , /, „л „.л/2-1

+ 1 х\а 1^—Ут_1(ах)с}а+\х\4А .........л>т(ах)с1а.

Откуда, используя (18) и (17), найдем

vm_2(x) - Lm~2(D)p(x)-\x |2 [ ^-Lm-\D)p(ax)da +

1 i i /'1 \ /?/2—1

+ 1*й 2-^П/2"1г(^№)^^а-|*й Ji^-^Г--------------Lm(D)p(ax)da. (19)

4 4 2!

Делая замену переменных а/З (i во втором интеграле, а затем, меняя порядок интегрирования, можем записать

{^^Lm(D)p(ax)\alîdpda=\x\\ |(1 + a){l~a^2 ' Lm(D)p(ax)da.

С учетом этого равенства из ( 19) можем получить

vm_2(x) = Lm-2(D)p(x)-\x |2 ¿^-Lm-l(D)p(ax)da+\x\4A | (-~ -Lm (D)p{ax)da. (20)

Теперь МЫ В СОСТОЯНИИ предложить общую формулу ДЛЯ вычисления функции Vm_j(x) . Она име-

ет вид

00 » /1_/'ys+n/,2~2

_,W = r'(%W + ^(-ir\x\2as ;--------------------Lm~i+S(D)p(ax)da, (21)

4*j!(j-1)!

где i = Пределы суммирования no s указаны бесконечные, но по существу при s>m

имеем Lm~'+S (D)p(x) = 0. Докажем верность (21). Очевидно, что согласно (18) и (20) эта формула верна для / = 1,2. Предполагая верность (21) при некотором j> 1 и для всех i < j, докажем ее справедливость и при i = j +1. Из (15), с учетом (13), нетрудно получить

Lm-J-1 (£))р(Л) = ут_^ + ох (х; ут) + ... + GJ+l (х; Ут ),

откуда найдем

j + l . J П -П'УЧГТЯ/2’1

vm_j_x (х) = Lm~H (D)p(x) - £ Мл £ 4/|1(/_г)! v*-H+i {ccx)da.

Используя предположение индукции (21) и равенство Lk (D)p = 0 при к > т + \, записываем

ri (1 -аУ~уап,2-х m-j-w,

Vm-

(х) = Lm~J~x (D)p(x) - I2; l ^ ■ Lm-J-W (D)p(ax)da -

Ы 4/.(/ 1).

00 1 /"1 l „п/2-1 00 , л o\j-I os+n/2-2

-YI*I2' [- - - ..........У (-1)5 \x\a [ —- - .............Lm~J-x+i+s{D)p(af3x)dpda.

Й * 4' /!(/ -1)! ¿Г Ы -Ь 4^!(5-1)!

Обозначим последнее слагаемое в полученной сумме через J(p)

00 j i Л „2i+n/2-l /i ДЧ5-1 ns+n!2-2

J{p) = - У(-1/|х|2('+5) [Ч- ......-.(-- .“-------Lm-J-l+i+s(D)p(a/3x)d/]da. (23)

¿i ** 4' /!(/ -1)! 4^!(5-1)!

После замены af3 -> (3 во внутреннем интеграле, получим

др>=-1 (-i)' !<*'> i f

Аналогично работе [2] вычислим

™ л Л 1 ol+nl2-2

Лр)=1(-1)' MÏ i f,„„ n, F-J-"\D)Pmdp+

1^2 4 /!(/ -1)!

00 i /"1 /W~l nn!2-1 oo , /i „»+и/2-2

+У>1л ----¿^-1+/(0)Ж/?х)^ = У(-1)'|л:|2'- [ йг£>-°[---------------x (24)

Й * 4 /!(/ — 1)! -b 4' /!(/ -1)!

00 J Л _ /> V-1 /y"/2_1

xLm~H+,(D)p(ax) dcc + Y^xü { £ ;— (£>)p(ax) da.

Используя полученное значение J(p) вместо последнего слагаемого в формуле (22), находим

00 1 Л _ гуУ*-' ,у^+п/2-2

утЧ_,(х)^Гп-^(П)р(х) + Щ(~1У\х\^ ^...^ (В)р(ах)с!а,

что совпадает с формулой (21) при г- ] +1. Индукция доказана.

Таким образом, основываясь на (21), мы имеем для функции Ук(х) общее выражение

00 А (1 — пЛ-5-' гу$+п^~2

V* (*) = £*(£>)/>(*)+ £(-1)4 \х$ Г.... 1м Ьк+5(В)р(ах)с!а,

5=1 * 4" 51(5-1)!

где к = 0,...,т, которое совпадает с (16). Итак, если для функции р(х) имеет место равенство

(15), то функции Ук(х) находятся из (16). Теорема доказана.

Теорема 4. Пусть функция реС2'п+2(0.) - произвольное решение уравнения (14), тогда имеет место представление

|1(1 -а)к-хап12-х где функции \к (х; р) определяются из равенств

P(x) = Mx’P) + 1l\x\2a [ Акщ_Ху vk(ax'’P)da> (25>

00 . АИ—гуг гу 4

у0(х;р) = р(х) + ^(-\у |х|/ [-----—— ---------------е(В)р(ссх)ёа,

и * 4 5!(5-1)!

Ук(х-,р) = У0(х]1!с(В)р), кеК (26)

Доказательство. 1°. Для оператора Л = ■£- и функции уеС'(О) при £/ е N верно равен-

ство [7]

,. п г10-а)9#* , ч, г1 (\-а)я~хаБ+х , ч

(Л + 5 +1) I ---------у(ах)с1а = I --------------у(ах)с1а, (27)

•в д\ $ (# -1)!

а при q = 0 следующее равенство:

(Л+ 5 + 1 )^а5у(ах)с1(х = у(х). (28)

Поэтому из (7) и (10) нетрудно получить

( \

Ь(В)(\ х|2* и{х)\ = 451 х|^~2 Л + 5 + --1 и(х)+\х\2д i(D)м(4 (29)

\ 2 у

2°. Покажем, что функции (х) , найденные из равенства (26), удовлетворяют уравнению (5). Применим оператор ЦО) к обеим частям (26), учитывая при этом, что дифференцирование под знаком суммы законно (суммирование в (25) конечно в силу замечания 2). Обозначая в полученном равенстве дк (х) = Ьк (О)р(х), будем иметь

00 ( м Л — (Т5-1 4

1(1)К(х) = 1(/))^(х) + £(-1Г1(,0) |х|2/ ГЦ-^----------------ап,2-х1?ф)Чк(ах)йа

- ^ АЛ с\( С _ П

5=. V - 4*5!(5-1)!

pi (1 - a)s~x а

/ \ /1 „\s-l „5+л/2-2

=¿(/))^ « - £ иг11 * i2r2 j^A+5+—-îj 1 Vv^(7:¡y ü(D)qk (ax)da + (30)

00 J /1 _ -A^-l r,s+nl2

+1НП*6' i~TZ—^-L‘*'^<l^)da.

Й Jl 4.v!(\ -1)!

С помощью равенств (27) и (28) преобразуем первую сумму в выражении справа. Рассмотрим

первое слагаемое этой суммы при 5 = 1. Воспользуемся (28) при s = п/2 -1 :

Л + £| | ап/2~х L(D)qk(ax)da = L(D)qk(x).

К оставшимся слагаемым применим формулу (27) при 5 = s + «/2 - 2, q = 5 -1, а затем замену индекса суммирования 5 —> s +1. Получим

Карачик В.В.

£ (-1Г1 I X |2Г2 (л^ + 2-lji 4д-Чд-1)!(5-1)! L^D^a^da = I (~1Г’ !* I2"2

,2(*+i)

Ы х

Л Л _луУ~2/уя+и/2_1 00 -1 Л _ лЛ5-1 ^■5+и/2

X Г-----------------Ls(D)qk(ax)da = Y(-\)s\x\2J f ( } ---Ls+l(D)qk(ax)da.

4 (j-1)!(j-2)! Ы -Ь 4,s!(i-l)! *

Подставляя вычисленное значение первой суммы назад в правую часть (30), видим, что все сла-

гаемые сокращаются, и мы получаем равенство L(D)vk (х) = 0 , х е Q.

3° . Докажем теперь, что имеет место формула (25), в которой функции vA(x) находятся из (26).

Для этого положим в (25) р(х) = /(х) и подставим выражение для vk (х) в (25)

да . ,л _ ys-1 s+n/2-2

fix) = р(х) + £ (-1)J IX\А f-------————------------Ls (D)p(ax)da +

^ * 4 s!(s -1)!

00 1 /1 sv\k~\ rvn,2~X 00

+У|х|2* f-—---------Lk(D)p(ax)da+ У (-l)*|x|

tx h A k.\(k-\)\ P

i/i „\Л-1 2s+«/2-l , /■) ovs-l as+nl 2-2

--------fiba^------------Ll"(D)p(al3x)dl3da. (31)

4kk\(k-X)\ * 4^-1)! ^

Обозначим последнюю сумму в полученном выражении через /,(х), т.е.

00 1 /1 „2л-л/2-1 , ,-1 o\s-\ ns+n/2-2

/,«= !<->)> мГ'> £ £,Д|

Вспоминая (23) видим, что имеет место равенство 11(х)--1(х) при р(х) = Lm~^l(D)p(x). Поэтому в соответствии с (24)

СО | л — /yS+n/2-2 со ,/| _ 45-1 и/2—1

/,« = -|>1УМ2/ I -/Г, Ls(D)p(ax)da~f4\x\2As Г Is(D)p{ax)da.

4 s!(s -1)! ^ Л 4 s!(s-l)!

После подстановки найденного значения выражения 1} (х) в (31) получим тождество

Дх) = />(*).

Пример 2. Рассмотрим волновое уравнение

D2u - Аи - 0.

0 9 9 н м2 9 I! Il2

Для него L(D) = D‘t - А и значит | х \А = t — |х|| . Разложим полином p(t,x)~t +||х|| по формуле (25). Для этого найдем волновой полином v0(i,x;p) из формулы (26). Поскольку

L(D)p(t, х) = (£>2 - Д)(/2 + ||х||2) = (2 - 2п), то имеем

? „ „2 7 и м2 fla("+1)/2_l , „ „2

v0(t,x;p) = t +|х|| -(/ — ||х|| )|)------(2-2ri)da-t +||х|| -

,2 II ||2Ч 2 1 -П 1,л II ||2 ,, «~1ч 2 , 2 II 1|2ч

~(t -Iх )—т~~т~~~t (—7)+И (—7)—\^nt + И )■

и + 12 n +1 n +1 n +1

Нетрудно видеть, что v,(/,х;р) = v0(t,х;Z,(D)p)-vQ(t,x;2-2n)~2-2n. Поэтому, по формуле (25) найдем искомое разложение

t2 +||х]|2 = ———(jit2 +||х|2) + (/2 -|U||2) f —----(2-2n)da = —^—(nt2 +||x||2) + (i2 -|N|2)~—-.

" n + \ Jo 4 n +1 1 n + \

Нетрудно убедиться, что полученное равенство представляет собой тождество и полином nt2 + ||х||2 - волновой: (Д2 - A)(nt2 + ||х|2) = 2п - 2п = 0.

Литература

1. Ren, G.B. Almansi decompositions for polyharmonic, polyheat, and polywave functions / G.B. Ren, U. Káhler//Studia Math. - 2006. - V. 172, № 1.-P. 91-100.

2. Карачик, В.В. Об одном разложении типа Альманси / В.В. Карачик // Математические заметки. - 2008. - Т. 83, № 3. - С. 370-380.

3. Карачик, В.В. О решении неоднородного полигармонического уравнения и неоднородного уравнения Гельмгольца / В.В. Карачик, Н.А. Антропова // Дифференциальные уравнения. -2010. - Т. 46, № 3. - С. 384-395.

4. Karachik, V.V. Polynomial solutions to the systems of partial differential equations with constant coefficients / V.V. Karachik // Yokohama Mathematical Journal. - 2000. - V. 47. - P. 121-142.

5. Karachik, V.V. Harmonic polynomials and the divisibility problem / V.V. Karachik // Proceedings of AMS. - 1997,- V. 125, № 11.-P. 3257-3258.

6. Karachik, V.V. Normalized system of functions with respect to the Laplace operator and its applications / V.V. Karachik // Journal of Mathematical Analysis and Applications. - 2003. - V. 287, № 2. - P. 577-592.

7. Карачик В.В. Об одном представлении аналитических функций гармоническими /

В.В. Карачик // Математические труды. - 2007. - Т. 10, № 2. - С. 142-162.

Поступила в редакцию 26 апреля 2010 г.

ALMANSI DECOMPOSITIONS FOR NON-SINGULAR SECOND ORDER PARTIAL DIFFERENTIAL OPERATORS

Generalization of the known Almansi decomposition formula to non-singular second order partial differential operators with constant coefficients is considered. A simple formula for determining the first harmonic function in the classical Almansi decomposition is given.

Keywords: Almansi decomposition, second order partial differential operators, polynomial solutions.

Karachik Valeriy Valentinovich is Dr.Sc. (Physics and Mathematics), Professor, Mathematical Analysis Department, the Mechanical-Technological Faculty, South Ural State University.

Карачик Валерий Валентинович - профессор, доктор физико-математических наук, кафедра математического анализа, механико-математический факультет, Южно-Уральский государственный университет.

e-mail: [email protected]