CC BY
45
УДК 517.956.22
ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА
В.В. Карачик, H.A. Антропова
Основываясь на полученном ранее представлении аналитических функций по обобщенной формуле Альманси, найдены решения уравнения Пуассона и неоднородного бигармонического уравнения в случае полиномиальной правой части.
Введение
Рассмотрим уравнение Пуассона
Ды = /(х), хеД (1)
где правая часть /(я) является аналитической в О функцией, а О с Кп звездная область с центром в начале координат. Хорошо известно, что некоторое решение уравнения (1) может быть
записано в виде потенциала объемных масс [1]
и(х) = -—1Е(х,£ШЩ, (2)
со„ ■©
О-
где Е(х,^) = -~ |£-х|“ (при п > 2) элементарное решение уравнения Лапласа, а соп площадь
единичной сферы в Яп . Однако, это красивое и полезное решение мало пригодно для вычислений. Например, при полиномиальной правой части /(х) решение н(х) может быть полиномом. Чтобы подсчитать это решение нужно вычислить п -кратный интеграл по Б, что довольно трудно сделать. В данной работе приводятся формулы, которые упрощают нахождение решения уравнения Пуассона (1) и неоднородного бигармонического уравнения (17) в случае полиномиальной правой части /(х). Следует отметить, что полученные формулы справедливы и для некоторых аналитических функций, для которых соответствующие операторные ряды сходятся. Уравнение Пуассона
Теорема 1. Некоторое решение уравнения (1) может быть найдено в виде
и(;с) = М-У-{—IУ,*]---------£ (1-а)как+пП-1Ак/(ах)с1а, (3)
2 ¿¿(2*)!!(2* + 2).Ч -Ь
Доказательство. Определим функции Ск(х\и) по формуле [2]
и(х),к = О
1 |х|2А (41-а)*-1 п/2-1 , л , , П’
------I ----------а и(ах)с1а,к> О
дк к\ -Ь
G к (х; и) =
4к к! * (jfc-1)!
где и(х) некоторая гармоническая в D функция. Поскольку I) звездная область, то справедливо следующее разложение полинома /(х) [3]
00 00 1 lrl2A A n-aŸ~l
/(J) = ZGi-^v») = voW + Z7T~lT~i'7t-'' nt anl2^vk(ax)da’ xeD> (4)
i=o к=\ 4 k. (к 1).
где гармонические функции vk (х) задаются равенством
^ , V (zl)lJi£l
i=i 4s s! * (5-1)!
В силу свойства нормируемости системы функций {Gk{x\u) \ к = 0,1...} [2] решение уравнения (4) можно записать в виде
ы(х) = G, (x; v0) + G2 (x; v, ) +... = Gk (x; v*_, ) (6)
k=1
Карачик В.В., Об одном методе решения
Антропова Н.А. _______________________________________________________________уравнения Пуассона
ибо по определению функций Ск(х;у) верны равенства АСк(х;и) - Ск^(х;и), а также
ДО0(х;м) = 0 и значит
А и(х) = А^ (х; у0 ) + А С2 (х\ v])+ = С0 (х; у0 ) + (х; V, ) + ...= / (х).
Перепишем решение (6) в виде
, Л V 1 \Х\2к 1^(1-«)*“' «/2-1 , ^
и(х) = У —г------- I---------а Лах)с1а.
и* к[ * (*-1)!
Подставим в эту формулу значения Ук(х) из (5). Тогда будем иметь
1 |х|2* V (-1Л*|2(*+5)
и(х) = у-LiiL f (1" r/) an/2-W-lf(ax)da.+ У ,
¡Ы14 kl (£-1)! Г?=]4к+* kls!
Га);кар--~ г" :aa-v \тш(пи,
Обозначим последнюю сумму в полученном выражении через 1(х). Тогда получим
/(*) = I
,2k+2s
.,„1 4‘" kW.
-X
(V)
(8)
После замены во внутреннем интеграле aß-> ß будем иметь 1(х) =
_ £ (_g | f «О}
¿1 4 Ш «-Ь (£-l)!(s-l)!
Меняя порядок интегрирования в повторном интеграле и вводя обозначение
ВД = ( «(1 - от)*'1 (а - /?Г' Л* (9)
получим
со I v j
/(*) = У ■■ ./■-■■■■ ■■'------lR(ß)ßn,2+s~2Ak+s-]f(ßx)dß.
k%4k+sk\sl(k-ms-l)lb J
Вычислим функцию R(ß). Заменяя под интегралом а -» а + ß будем иметь
ад = (« + ^)(1 - а - ß)kA а*л da.
Заменяя опять а -» «(1 - ß), найдем
ад = (1 -ß)k+s~] ^(a-aß + ß)( 1 -er)*"1 da.
Используя теперь представление бета-функции Эйлера в виде
B(s, к) = | as~] (1 - af~x da, (10)
после простого преобразования получим
ад = в{$+uxi - ß)s+k + B(s,k)ß(\ - ß)s+kA.
Воспользовавшись теперь связью между бета-функцией и гамма-функцией , а затем известной формулой r(s) = (s —1)! выпишем
R(ß) = 0 - ßY+k + 7~№^)! А1 - ß)s+k~' •
(5 + к)! (s + k-1)!
Отсюда сразу получаем выражение для 1{х)
'(*)= I
НЛх
\2k+2s
/с,5=1 1
к\
лк+s
Í
1
Cs + Jt)!(s-1)!
ps~\\-p)s+k +
\
-6Ч1-Р)
r\s+k-1
/3nl2^Ak+s^f{px)df3.
(s + £-T)!s!
Кратное суммирование ХГ5-1 ЗДесь может быть взято следующим образом
Zoo \-чоо vn X—100 yr^l-\ _
= L,=2 L,+s=, = L,=2 L,=1 • Тогда бУДем иметь
\5 /05-1
|2/ M .
/=2 “t -Í=I v !'■(* -Щ1- S)l '
+_НГ£_(1_дм
(/-l)!s!(/-s)!
Если обозначить в полученном выражении
pnl2^A l-lf{/3x)d/3.
ñ
5 = 1
тогда получим
= L“Г- i('W + J2(P))Pn,2~X^f{Px)d(3.
Вычислим суммы Jx{¡3) И J2(/^)-^MeeM
J№ = -
(1 -P)
(1 -Pí
I l-l
(-P)
J-l
•У
¿(/-1-Cv-1))!(5-1)! ¿(/-1-5)Ы (/-1)!
(i-^yg (-/ЗУ
/! £5
/!(/-!)!
(-/?)м-( i-/?y
ы
(П)
•W) =
(1-/?)^^ (-/?)* _(1 -P)l~X
-y
(/-1)! fí(/-s)!í! (/-1)!
(!-/?)' (-/?)г 1
O -P)
i-1
(/-1)!
II ñ
м
d-/g) /!(/-!)!
(1-/7У-(-/?У-1
Отсюда
J,(f3) + J2{(3) =
O-/?)'
I-1
/!(/-!)!
(1 - /?)(-/?)W - (1 - pj + (1 - /?У - (-/?)' -1
(1 -P)
i-1
irP)¡~X- 1
/!(/-!)!
После подстановки полученного выражения в (11), а затем замены индекса / на индекс к получим
7« = -Е^Г-Цг- С ' РпПЛ^~Х1{Рх)йр-
/=2
4' /!
(/-1)!
у 1 1*Г f
h*1 ñ *
' [3n,2AAl-xf{px)dp =
(/-1)!
Об одном методе решения уравнения Пуассона
-І f AaxVa -
fi 4k kl -b (jfc-l)!
k=] (12) \2k , n V
4 А! * (¿-1)!
Подставляя найденное значение /(х) в (7) и замечая, что последняя сумма из (12) сокращается с первой суммой из (7) получим
или заменяя индекс к на к +1 найдем
“ /—П4 I V |2А+2 1
= £ У,', 1М I V-a)kak+n,1-lAkf(ax)da, (13)
£~0 4 к1(к +1)1 -0
что совпадает с формулой (3). □
Замечание 1. Решение (3) имеет смысл и в случае аналитической в D функции f(x), если соответствующий ряд сходится в D. В [3] была установлена сходимость ряда представляющего решение и(х) только лишь в некоторой окрестности начала координат.
Замечание 2. Конечно же, компактная запись (2) решения уравнения Пуассона, более привлекательна, чем громоздкий операторный ряд из (3), но как показывает следующий пример, в
случае когда /(х) полином решение и(х) находится легко.
Пример 1. Пусть правая часть в уравнении (4) имеет вид f(x) = xn тогда ряд из (13)
содержит только одно слагаемое при к - О
2
и(х) = Х' Х ■ f an/2 da ---------x.\x\2. (14)
4 -b 2(« + 2) ' '
Проверим полученное решение
* / \ 1 i 3" д2 V 2 3 24)
Au(x) —-------- тг + ...Н-т; X'Xi + ...+ X + ...+ XX —
2(n + 2){dxl Эх2/'1 ' ,п)
1 , 2п +4
=----------[¿X, + ...+ Ьх, + ...+ 2х, = —-X, - X,.
2(« + 2) ' ' " 2(п + 2) ' '
Пусть теперь, в общем случае, f(x) = Pm(x), где Рт(х) однородный полином степени т.
Тогда верно следующее утверждение
Теорема 2. Решение уравнения (1) вида (3) при /(х) = Рт(х) может быть записано в форме
[т!2]+\ I \2к д А р / \
и(х)=\х\2 У (-\)к----------W....Д->(л)---------------------------------, (15)
to (2,2)к+1(п + 2т-2к,2)ш
где (a,b)k =a(a + b)...(a + kb-b) обобщенный символ Похгаммера, а [а] - целая часть числа а.
Доказательство. Преобразуем формулу (3). Очевидно, что в силу однородности полинома Рт{х) верно равенство АкРт(ах) - ат~2кАкРт{х). Поэтому (3) имеет вид
M(JC) = Lit V (_i)* \х£к.*-Ы*1 f (1 _а)как+п/2-1ат-2к da.
2 (2к)Щк + 2)\1^
Принимая во внимание определение бета-функции (10) запишем
, ч У / 14* М2* ЬкРт(х) ,
и(х) = ----У (-1) -т-В(к + \,т-к + п12).
2 (2к)\\2к + 2)\1
Воспользовавшись теперь соотношением B(s,k) = Г(.у)Г(£)/Г(.у + к), а также равенством
(2к)\ !(2 к + 2)!! = 2 ■ 4к Щк +1)! = 2 • 4 к(к + 1)!Г(Л: +1)
найдем
ф) =1 х !2 f (~\)к Ш±}Е^1.±Л!3-----, х \2к АкР (х).
to 4 (£ + 1)!Г(/я + «/2 + 1)Г(А + 1)
После сокращения получим
«(л:)=|^|2 Z(-l)* >-+, Г^—Zj......... fjci2* AAPwW-
S 4 (& + 1)!Г(т + «/2 -f1)
Теперь, используя свойство гамма-функции r(i + l) = iT(5) можно найти Г(т + п/2 +1) = (т + п/2)(т + и/2 -1 )(т -к + п/2)Т(т -к + п/2), а значит, сокращая дробь в(16)на Г (т ~к + п/2) получим
(16)
к=0 {2к + 2)\\(п + 2т)(п + 2т-2к)
Наконец, вспоминая определение обобщенного символа Похгаммера запишем (2к + 2)!! = 2 • 4(2к + 2) = (2,2)к+[ и (п + 2т- 2к)(п + 2т) ~(п + 2т- 2к, 2)к+], а значит
ф)Цх?У.........**£(*>
к^о (2> 2)^+1 {п + 2т- 2к, 2)к+х'
Что и требовалось доказать. □
Если теперь опять вернуться к примеру 1, то т = 1 и при к- 0 будем иметь
(2,2)к+](п + 2т-2к,2)к+цк=0 =(2,2),(и+ 2,2), =2(н + 2) и значит
х \х\2
и(х)~-
2(п + 2)
Бигармоническое уравнение
Рассмотрим теперь неоднородное бигармоническое уравнение
А2« = / (х), xeD. (17)
Теорема 3. Решение уравнения (17) может быть записано в форме
(18)
Доказательство. Обозначая Аu = g получим для g(x) уравнение Пуассона (1) Аg-f и значит согласно теореме 1
1 г I2 00 I V \2к Л
g(*) = —У--------—---------Ha-l)kak+n/2-lAkf(ax)da, (19)
2 ¿10(2к)П(2к + 2)11}о J
и, кроме того,
Irl2” I v I24 Л
и(х)-~-У---------—---------t{a-\)kak+nl2AAkg(ax)da. (20)
2 ¿¿(2*)!!(2* + 2)!! -Ь '
Замечая, что Аkg(x) = Ак~х f (х) из (20) найдем
Ы2 я
и(х) =----¿а”/2 ]g(o:x)da +
I х
+
4
¡2 оо | ,2к
(21)
2 %(2к)!!(2к + 2)П Преобразуем первый интеграл в полученном равенстве. Используя (19) найдем
^ J^)a'’/2~]g(ax)da =
4
-Iх! У....Ы)...И-------f $cc2k+2+nn-\\-ß)kßk+nl2~xAkf{aßx)dßda =
¿5(2Л:)!!(2* + 2)!!-Ь-Ь
Об одном методе решения _______уравнения Пуассона
Ч%(2т^2)Л
Заменяя а/З —» /3, а затем, меняя порядок интегрирования, получим ) „ |2 .
|а',/2 1§(ах)с?а =
4
I V I4 "°° ( 1\* | V \^К Л
= и~ У .1 ■■1. ( Г а(а - (3)к рк+п12~хАк/{Рх)с1(Зс1а = (22)
8 ¿¿(2*)!!(2* + 2)И -Ь -Ь у И
= — '"!*■----- С ^ ос(а-Р)к<}а(Зк+п11ЛАк/фх)(1(3.
8 ^{2к)\\(2к + 2)\\ -Ь ■!*
Вычислим внутренний интеграл. Интеграл такого типа был уже вычислен в (9) и поэтому
■0 £ + 2 к +1 Подставляя найденное значение интеграла в (22) и, меняя /3 -> а, получим
^ал/2_^(огл:)£/о; =
'’у Н/| *|2* Г»
А (7.Ш(7к. + 7Л\\ -Ь
Ы2
1*Гу (-1)*1*12* ¿Г(1-аг)*+2 ( ог(1-ог)*+П
2 ¿(2*)!!(2А + 2)П ¿1 2(2£ + 4) 2(2* +2)
ак+пП~1Ак/{ах)(1а.
Вернемся к формуле (21) и преобразуем второй интеграл. Заменим в нем к -> к +1
1 „ |2 со ! „ |2А ,
У------—-----------((а-1)как+п/2~1Ак~]/(ах)с}а =
2 £.(2к)\\(2к + 2)1\ -Ь
и_ у М.....г»_»(1_д)------ак+п12~1 Ак/(ах)ёа.
2 ¿¿(2А)!!(2* + 2)!!Ь(2к + 2)(2к + 4)
и(х) = У !■■**—- £ К(а)ак+п/2~]АкДах)с1а, (23)
4 ^ (?кШ7к 4-7^1 ¡0 ’
Складывая полученные интегралы найдем
М4 У (~1)^ \х^к $ гг„,\Л+п!2-\ Кк
2 ¿0(2к)\1(2к + 2у.\
где
ВД-(]-0"+2 , <*<У -<х)М а(\-а)м
2(2к + 4) 2(2к + 2) (2к + 2){2к + 4)
Вычислим функцию К(а). Имеем
¿+1
2Л + 4 2*+ 2 (2£ + 2)(2& + 4)
(1 -а)ш (1 -а){2к + 2) + а(2к + 4)-2а _
2 (2А; + 2)(2& + 4)
(1 ~а)ш (2к + 2) (1 -а)ш
2 (2к + 2){2к + 4) 2{2к + 4)
Значит, из (23) получим
и{х) = — У ----(* (1 -а)к+] ак+п,г~хА‘к }{ах)с1а.
4 £^(2к)\\{2к + 4)\\ ■»
Что и требовалось доказать. □
Пример 2. Пусть правая часть в уравнении (17) имеет вид /(х) = х1, тогда ряд из (18) содержит только одно слагаемое при к = О
„W = iiit I (i -a)a"n da = Д(2’"/2 + І) *, | *
32 -w 32
Г(2)Г(и/2 + 1) . ,4 Г(и/2 + 1) . |4 x.\x
A
-X¡\x\ =----------------------------------xt\x\ =-
32Г(и/2 + 3) ' 32(и/2 + 1Хи/2 + 2)Г(и/2 + 1) 8(и + 2)(и + 4)
Здесь мы воспользовались известными свойствами гамма и бета функций, ранее уже применявшимися в теореме 1. Проверим полученное решение. Для этого воспользуемся равенством [2]
a(\x\s Rr(x)sj = s{s + 2r + n-2)\xf~2 ЛДл:)+| x|s ARr(x), где Rr(x) однородный многочлен при 5 = 4 , г -1 и Rr(x) = xl. Тогда будем иметь
v(x) = Аы(х) = —-----------—Í4(4 + 2 + «-2)|jc|2 х, + \х\А ЛхЛ =
8 (я + 2)(« + 4) ^ V
_ 4(« + 4) | лс |2 jc, _ \х\2 x¡
8 (п + 2)(я + 4) 2(и + 2)
Полученная функция v(x) совпадает с решением уравнения Av = xt из примера 1 и поэтому А2и = х( .
Докажем теорему, аналогичную теореме 2.
Теорема 4. Решение уравнения (17) вида (18) при f(x) = Pm(x) может быть записано в форме
„(,) =1 * г У W (24)
£‘0(2,2)к+2(п + 2т-2к,2)к+2
Доказательство. Преобразуем формулу (18) из теоремы 3. Опять воспользуемся однородностью полинома Рт(х) из которой следует равенство AkPm(ax) = am~lkAkPm(x). Поэтому, формула (18) имеет вид
и(х) = ^ У (-1)' |Х|2' &kp™(x) f (1 -a)k+lак+"/2-]ат-2к da.
4 {2к)\\{2к + 4)\\-Ь
Учитывая свойство (10) бета-функции запишем
и(х) = — X (- 1)/с А Рт^Х) В(к + 2,т-к + п/2).
4 4=о (2к)\\{2к + 4)\\
Воспользовавшись теперь соотношением B(s, к) = Т(^)Г(к)/Г(s + к), а также равенством (2 к)! !(2 к + 4)!! = 4к+] к\{к + 2)! = 4к+] (к + 2)!Г(* +1)
получим
и(х) =| *Г S (-1)* Г(£ + 2)Г(т-к + п/2)- 21 д1
4 (£ + 2)!Г(/и + «/2 + 2)Г(& + 1)
После сокращения найдем
»M =W f(-D* <t + ‘№-* + "/2> |*р» А*р {ху (25)
ы 4 (£ + 2)!Г(»1 +л/2 + 2) "
Теперь, используя свойство гамма-функции Г(л- +1) = sF(s), можно найти Г (т + п/ 2 + 2 ) = (т + п/ 2 + \)(т + п/2)(т -к + п/2)Т(т -к + п/2), а значит, сокращая дробь в (24) на Г(т-к + п/2), получим
и(х) =\Х|4 У (-0*(fr + QM2*
к + 4)1 \(п + 2т + 2)(п + 2т-2 к)
Наконец, вспоминая опять определение обобщенного символа Похгаммера запишем (2к + 4)!! = 2 ■ 4(2к + 4) = (2,2)к+1 и (п + 2т-2к)(п + 2т + 2) = (п + 2т-2к,2)к+7,
Об одном методе решения уравнения Пуассона
а значит
£0(2,2)k+2(n + 2m-2k,2)k+2
Что и требовалось доказать. □
Если опять рассмотреть пример 2, то т = 1 и при к = 0 будем иметь
(2,2)к+1(п + 2т-2к, 2)к+21к=0 = (2,2)2 (п + 2,2)2 = 8(и + 2)(п + 4)
и значит
/ ч xi Iх I4
и(х) =-----!----- ---,
8(и + 2)(п + 4)
что совпадает с решением, полученным в примере 2.
Литература
1. Бицадзе, А,В. Уравнения математической физики / А.В. Бицадзе. - М.: Наука, 1976. -
336 с.
2. Karachik, V.V. Normalized system of functions with respect to the Laplace operator and its applications / V.V. Karachik // Journal of Mathematical Analysis and Applications. - 2003. - Vol. 287, № 2. - P. 577-592.
3. Карачик, B.B. Об одном представлении аналитических функций / В.В. Карачик // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математика, физика, химия». - 2007. - Вып. 8. - № 3(75). - С. 15-23.
Поступила в редакцию 21 июня 2007 г.
