Об одном подходе к решению игры с «Линией жизни» (случай поточечной встречи) Текст научной статьи по специальности «Математика»

Теперь легко получить решение игры на «выживание» в квадрате. Граница выигрывающего множества игрока Е в случае 5 = {(х; у) | ^ < х < d, -к < у < d} получается как граница пересечения выигрывающих множеств игрока Е, определяемых системами (7) и (11). Вид этой границы при 1 = 3, k = 2,5 приведен на рис. 10.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Ширяев В. Д. Об одной задаче простого преследования / В. Д. Ширяев // Исследования по прикладной математике. Саранск, 1982. С. 22 25.

2. Ширяев В. Д. Об ^ном способе определения улитки Паскаля / В. Д. Ширяев // Вестн. Ленингр. гос. ун-та. Сер.' математики, механики и астрономии. 1982. № 19. С. 107.

Поступила 09.02.2012.

УДК 519.83

ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ К РЕШЕНИЮ ИГРЫ

С «ЛИНИЕЙ ЖИЗНИ»

(СЛУЧАЙ ПОТОЧЕЧНОЙ ВСТРЕЧИ)

В. Д. Ширяев, Д. И. Скоблов

В работе рассматривается игра с «линией жизни» на полуплоскости 5 = {(х; у)| -да < < х < у > 0}. Преследуемый (игрок Е) использует кусочно-постоянные стратегии, а преследователь (игрок Р) стратегии с дискриминацией. В этих предположениях построены в явном виде сечения выигрывающих множеств игроков Р и Е.

Пусть на плоскости задано множество 5. Преследуемый Е считается пойманным, как только расстояние между ним и преследователем Р станет меньше или равно I (I > 0). Число I называется радиусом встре-

чи, а процесс поимки — 1-встречей. Целью игрока Р является сближение с игроком Е до достижения последним «линии жизни» — границы множества 5. Игрок Е преследует противоположную цель, т. е. стре-

© Ширяев В. Д., Скоблов Д. И., 2012

мится достичь «линии жизни» до момента I-встречи.

Будем рассматривать игры с дискриминацией Е, в которых Е использует кусочно-постоянные стратегии (г>ст), а Р использует стратегии с дискриминацией из +

Пусть множество 5 — полуплоскость

5 = {(х; у): -да < х < +да; у > 0};

и — некоторая фиксированная стратегия игрока Р, обладающая свойством в любой ситуации {и, 1>а} х Е обеспечивать /-встречу с игроком Е во всей плоскости, если в момент времени £ = 0 игроки находятся в точках г1° = (хр°; уро), 22° = (х£°; уЕ°).

Обозначим через Сй(2°, 2°) множество всевозможных положений игрока Е в момент 1-встречи в ситуации {и, vs} для различных vs е Е (местоположение игрока Е в момент 1-встречи называется «точкой встречи»). Очевидно, что если множество С (2°, имеет непустое пересечение с дополнением множества 5, то игрок Р, используя стратегию и, не может гарантировать I-встречи с игроком Е в множестве 5.

Определим структуру Си(2°, 2°), с тем чтобы получить уравнения границ зоны встречи и зоны убегания. Имея явное выражение для границ множества С^(2°, 2°) и зная границу множества 5, можно геометрически достаточно просто построить границу выигрывающего множества игрока Е в позиции = 21° как множество точек е для которых граница множества С^(2°, 2°) касается границы множества 5. Аналогично, имея явное выражение для границы С(2°, 22°) и зная границу множества 5, можно геометрически построить границу выигрывающего множества игрока Р в позиции Е = 22 как множество точек ¿1 е 5, для которых граница множества С^(2°, 2°) касается границы множества 5.

При использовании игроками П-страте-гии граница множества С^ (2°, 2°) в случае поточечной поимки (I = является окружностью Аполлония [1].

Определим границу выигрывающего множества игрока Е в позиции = 21° = = с) (рис. 1).

Уравнение окружности Аполлония для начальных положений 21° = с), 22 = (хЕ; уЕ) имеет вид:

(х - хЕ)2 + (у - уЕ)2 = 12[х2 + (у - с)2],

где 1 = — < 1 — отношение скоростей игро-а

Для того чтобы окружность Аполлония касалась прямой у = ° (границы множества 5), необходимо, чтобы уравнение

(х - хЕ)2 + уЕ2 = 12(х2 + с2)

имело единственное решение. Для этого дискриминант приравняем к нулю:

4хЕ2 - 4(1 - 12)(хЕ2 + уЕ2 - 12с2) = Отсюда

УЕ

ХЕ

= 1.

(1)

12с2 (1 - 12) с2 Уравнение (1) определяет границу выигрывающего множества игрока Е в позиции Р° = с). Искомая граница является ветвью гиперболы. Часть полуплоскости 5, расположенная под этой ветвью гиперболы, является выигрывающим множеством игрока Е в позиции

Заметим, что абсцисса точки касания окружности Аполлония для начальных положений 2° = с), 22 = (хЕ; уЕ) равна

1 - I2 '

Определим границу выигрывающего множества игрока Р в позиции Е° = 2° = = с) (рис. 2). Уравнение окружности Аполлония для начальных положений 21 = (хР; уР), 2° = (0; с) имеет вид:

х2 + (у - с)2 = 12[(х - хР)2 + (у - уР)2].

Для того чтобы окружность Аполлония касалась прямой у = необходимо, чтобы уравнение

х2 + с2 = 12[(х - хР)2 + уР2]

112

ВЕСТНИК Мордовского университета | 2612 | № 2

имело единственное решение. Для этого приравняем дискриминант к нулю:

414хР2 - 4(1 - 12)[с2 -12(хР2 + уР2)] = 0.

Отсюда

1 хр

12, 2 1 Ур

(1 - 12)с2

: 1.

(2)

Искомая граница является верхней половиной эллипса (2). Внутренность эллипса, лежащая в полуплоскости Я, является выигрывающим множеством игрока Р в позиции Е0.

Заметим, что в данном случае абсцисса точки касания окружности Аполлония для начальных положений 21 = (хр; ур), 20 = (0; с)

12

1 -12

Р(хр; Ур )

М(х;0)

Рис. 2

1. Петросян Л. А. Геометрия простого преследования восибирск : Наука, 1983. 144 с.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

Л. А. Петросян, Г. В. Томский.

Но-

Поступила 10.03.2012.

УДК 517.977.8:53.088

ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ ЛИНЕАРИЗАЦИИ В КРИТИЧЕСКИХ СЛУЧАЯХ*

О. В. Дружинина, В. Н. Щенников, Е. В. Щенникова

Объектом исследования является многосвязная нелинейная система дифференциальных уравнений, для которой построены верхние оценки на решения и найдена оценка погрешности ее линеаризации. Следует отметить, что система первого приближения является также нелинейной. Рассматриваемая система является более общей по сравнению с системами, описывающими критические случаи к нулевых и 2к чисто мнимых корней.

Рассмотрим нелинейную многосвязную ^ (т+а) С ч ^ / л_

систему дифференциальных уравнений + ^ (/>х1> ■■■>хд) + (^) _

У=1

^=хт (х^)+хт (г, х1,..., х„) + (1)

^ ^ ' ^ 1 ^ - М3 {I, х) + Д5 (*)

© Дружинина О. В., Щенников В. Н., Щенникова Е. В., 2012

* Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (РФФИ) (проект № 10-08-00826-а).