Игра на «Выживание» в квадрате Текст научной статьи по специальности «Математика»

Теория игр, линейное программирование и приближенные методы анализа динамических систем

УДК 519.832.4

игра на «выживание» в квадрате

В. Д. Ширяев

В работе рассматривается игра преследования с «линией жизни» в квадрате 5 = = {(х; у)| - д < х < 1, -1 < у < 1} . Приводится решение игры в случае погонного преследования в предположении, что радиус встречи / = 0 (поточечная поимка) и игроки движутся с максимальными скоростями и и V.

Пусть на плоскости задано множество 5. Две точки — преследователь Р и преследуемый Е, обладая ограниченными по модулю линейными скоростями, перемещаются в множестве 5, имея при этом возможность в каждый момент времени изменять направление движения (простое движение). Преследуемый Е считается пойманным, как только расстояние между ним и преследователем Р достигнет значения, меньшего или равного / (/ > 0). Число / называется радиусом встречи. Целью игрока Р является поимка игрока Е до достижения последним «линии жизни» до момента /-встречи.

Приведем решение игры с «линией жизни» на полуплоскости в случае погонного преследования в предположении, что / = 0

„М

(поточечная поимка) и игроки движутся с максимальными скоростями u и v Ik = U | [1].

I v J

Если полярную ось направить по лучу PqEq, а за начало выбрать точку Е0 (рис. 1), то полярные координаты р и a точки М улитки Паскаля удовлетворяют уравнению [2]:

0 = ^^— (k + cos a). (1)

k2 - Г ;

Выберем теперь прямоугольную систему координат так, что прямая y0 совпадает с «линией жизни». Пусть игрок P имеет координаты (0; 0), а игрок Е — координаты (xE;

Уе), а = 4XE + УЕ (Рис- 2)-

М (x; y)

/ Р/ \ / 1 a ч

Ро а Е0

/ \

Уо // 0 «г a /К

а у-ЕоГxE; Уе V

"V

Ро О X

Рис. 1

Рис. 2

Ширяев В. Д., 2012

Вектор ОМ = ОЕ0 + Е0М, ОЕ0 = хЕ х

х г + Уе ■ ].

Учитывая полярное уравнение (1) улитки Паскаля, можно выразить вектор £0 М:

Е0М = р cos(ф + а) ■ г + р sin(ф + а) ■ /.

Таким образом, координаты точки встречи Р с Е имеют вид:

x = xE +—=-(k + cos a) x

E k2 -1

x (cos j cos a - sin j sin a),

a

= yE + \ 2

(k + cos a) x

k2 -1

x (sin j cos a + cos j sin a).

Подставляя значения

xE — a cos j, yE — a sin j в (2), получим:

X — X E +

1

k2 -1

Решив данную систему, например по формулам Крамера, получим:

xe

y0(k2 - 1)(ksin a + sin 2a)

(o 2 2 2 \ '

k cos a + 2k cos a + k cos a + sin a) y0(k2 - 1)(k cos a + cos 2a) (4)

у e o oo *) *

(k cos a + 2k cos a + k cos a + sin a) Учитывая, что -и/2 < a < и/2, проведем

замены: sin a — t, cos a = V1 - t2, -1 < t < 1. Таким образом, уравнения (4) принима-

(2) ют вид:

(k + cos a) (Xe cos a - Уе sin a),

1

У = Уе + k-(k + cos a) (Xe sin a + Уе cos a)

или — после соответствующих преобразова-

xE = k^1— {[(k2 - 1) + cos2 a + k cos a J x x Xe - (sin a cos a + k sin a)yE},

If (3)

Уе = k-{(sin a cos a + k sin a)xE +

+ [(k2 - 1) + cos2 a + k cos a J yE }.

Уравнения (3) — уравнения улитки Паскаля при фиксированных хЕ, yE, k.

Для того чтобы прямая y = y0 была огибающей семейства улиток Паскаля, необходимо и достаточно, чтобы она в каждой своей точке касалась одной из улиток семейства. Для этого в точке встречи, кроме условия У = Уо, добавляется условие касания y = 0, так как касательный вектор параллелен оси Ох.

Таким образом, хЕ, Уе удовлетворяют системе уравнений

(sin a cos a + k sin a)XE + |(k2 - 1) + cos2 a +

+ k cos a J Уе = Уо (k2 -l), (k cos a + cos 2a) Xe - (k sin a + sin 2a) Уе — 0.

x = y0(k2 - 1)t(k + W1 - t2) E k(k2 + 1)V 1 - t2 + (1 - 2k2 )t2 + 2k2 '

= y0(k2 - 1)(W 1 - t2 + 1 - 2t2) (5)

k(k2 + 1)V 1 - t2 + (1 - 2k2 )t2 + 2k2 ' t 6 [-1; 1].

Уравнения (5) определяют границу выигрывающего множества игрока Е. Часть полуплоскости 5, расположенная над линией (5), является выигрывающим множеством игрока Е. Вид границы выигрывающего множества при у0 = 1, k = 2 приведен на рис. 3.

Рис. 3

Из уравнений (5) видно, что при изменении у0 граница безопасности игрока Е подвергается преобразованию гомотетии с коэффициентом 1 = уо и ее характер, следовательно, сохраняется.

Вершина А имеет координаты I 0,

k-1

точки В и С пересечения с осью Ох получаются при значении

Vk2 + 8 - k

cos a =-.

4

Рассмотрим теперь случай, когда S является квадратом (S = {(x; y) | -d < x < d, -d < y < d}).

Как показано выше, в случае S = {(x; y) | -ю < x < +ю, 0 < y < d} граница зоны безопасности игрока Е определяется уравнением (4). Аналогично определяется граница выигрывающего множества игрока Е в случае S = {(x; y) | -ю < x < - d < y < 0}:

d(k2 - 1)(k sin a + sin 2a)

xE = ¡ 3 2 2 2 \'

(k cos a + 2k cos a + k cos a + sin a)

=__d(k2 - 1)(k cos a + cos 2a) (6)

y e q oo o *

(k cos a + 2k cos a + k cos a + sin a)

Вид границы выигрывающего множества игрока Е при 1 = 1, k = 2 приведен на рис. 4.

Рис. 4

Объединяя оба рассмотренных случая в один, легко получить решение поставленной задачи в полосе -да < х < -й < у < й. Граница выигрывающего множества игрока Е в этом случае определяется системой уравнений:

х _ ¿(к2 - 1)Ь(к + 2^1 - Ь2 ) Е к(к2 + 1)%/1 - Ь2 + (1 - 2к2)Ь2 + 2к2 '

< _ + й(к2 - 1)(кУ 1 - Ь2 + 1 - 2Ь2) (7) к(к2 + 1)л/1 - Ь2 + (1 - 2к2)Ь2 + 2к2 ' Ь е [-1; 1].

Вид границы выигрывающего множества игрока Е при 1 = 3, k = 2 приведен на рис. 5.

Рассмотрим теперь случай, когда «линией жизни» игрока Е является прямая х = 1, т. е. 5 _ {(х; у) | 0 < х < в, -да < у < +<ю}.

Выберем теперь прямоугольную систему координат так, что прямая х = 1 совпадает с «линией жизни». Пусть игрок Р также имеет координаты (0; 0), а игрок Е — координаты (хе; Уе)- а = VхЕ + уЕ (рис. 6).

Для того чтобы прямая x = d была огибающей семейства улиток Паскаля, необходимо и достаточно, чтобы она в каждой своей точке касалась одной из улиток семейства. Для этого в точке встречи, кроме условия x = d, добавляется условие касания X = 0, так как касательный вектор параллелен оси Oy.

Таким образом, Хе, Уе удовлетворяют системе уравнений:

[(k2 - 1) + cos2 a + k cos a)]xE - (sin a cos a + < + k sin a)yE = d (k2 - 1), (k sin a + sin 2a) Хе + (k cos a + cos 2a) Уе = 0.

Решив данную систему, например по формулам Крамера, получим:

|Уе

-

Уе

d(k - 1)(k cos a + cos 2a)

(o 2 2 2 \ >

k cos a + 2k cos a + k cos a + sin a)

(8)

d(k2 - 1)(k sin a + sin 2a) (k3 cos a + 2k2 cos2 a + k cos a + sin2 a)

d(k2 - 1)t(k + W1 - t2 ) k(k2 + 1)V 1 - t2 + (1 - 2k2 )t2 + 2k2

Вид границы выигрывающего множества при й = 1, k = 2 приведен на рис. 8.

Учитывая, что -я/2 < a < я/2, проведем замены: sin a = t, cos a - V1 - t2, -1 < t < 1.

Таким образом, уравнения (8) принимают вид:

Уе t e

d(k2 - 1)(kV 1 - t2 + 1 - 2t2) k(k2 - 1)V 1 - t2 + (1 - 2k2)t2 + 2k2 '

_ d(k2 - 1)t(k + W1 - t2) (9)

k(k2 - 1)V 1 - t2 + (1 - 2k2 )t2 + 2k2 ' -1; 1].

Рис. 8

Уравнения (9) определяют границу выигрывающего множества игрока Е. Часть полуплоскости Я, расположенная правее линии (9), является выигрывающим множеством игрока Е. Вид границы выигрывающего множества при й = 1, k = 2 приведен на рис. 7.

Объединяя рассмотренные случаи в один, получим границу выигрывающего множества игрока Е в случае 5 = {(х; у) | -d < < х < -да < у < :

xE - ±

d(k2 - 1)(kV 1 - t2 + 1 - 2t2)

k(k2 - 1)V 1 - t2 + (1 - 2k2 )t2 + 2k2

d(k2 - 1)t(k + 2^1 - t2 ) k(k2 + 1)V 1 - t2 + (1 - 2k2)t2 + 2k2 '

t e [-1; 1].

(11)

Уе - ■

Вид границы выигрывающего множества при й = 1, k = 2 приведен на рис. 9.

Рис. 7

Аналогично определяется граница выигрывающего множества игрока Е в случае

5 = {(х; у) | ^ < х < 0, - у <

[ __ ¿(к2 - 1)Ы 1 - ¿2 + 1 - 2^2) 1 ^ к(к2 + 1)%/1 - ¿2 + (1 - 2к2)^2 + 2к2 '

-2 -1,5

Рис. 9

Теперь легко получить решение игры на «выживание» в квадрате. Граница выигрывающего множества игрока Е в случае 5 = {(х; у) | ^ < х < d, -к < у < d} получается как граница пересечения выигрывающих множеств игрока Е, определяемых системами (7) и (11). Вид этой границы при 1 = 3, k = 2,5 приведен на рис. 10.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Ширяев В. Д. Об одной задаче простого преследования / В. Д. Ширяев // Исследования по прикладной математике. Саранск, 1982. С. 22 25.

2. Ширяев В. Д. Об ^ном способе определения улитки Паскаля / В. Д. Ширяев // Вестн. Ленингр. гос. ун-та. Сер.' математики, механики и астрономии. 1982. № 19. С. 107.

Поступила 09.02.2012.

УДК 519.83

ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ К РЕШЕНИЮ ИГРЫ

С «ЛИНИЕЙ ЖИЗНИ»

(СЛУЧАЙ ПОТОЧЕЧНОЙ ВСТРЕЧИ)

В. Д. Ширяев, Д. И. Скоблов

В работе рассматривается игра с «линией жизни» на полуплоскости 5 = {(х; у)| -да < < х < у > 0}. Преследуемый (игрок Е) использует кусочно-постоянные стратегии, а преследователь (игрок Р) стратегии с дискриминацией. В этих предположениях построены в явном виде сечения выигрывающих множеств игроков Р и Е.

Пусть на плоскости задано множество 5. Преследуемый Е считается пойманным, как только расстояние между ним и преследователем Р станет меньше или равно I (I > 0). Число I называется радиусом встре-

чи, а процесс поимки — 1-встречей. Целью игрока Р является сближение с игроком Е до достижения последним «линии жизни» — границы множества 5. Игрок Е преследует противоположную цель, т. е. стре-

© Ширяев В. Д., Скоблов Д. И., 2012