Игра с «Линией жизни». Случай поточной встречи Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 004.9

игра с «линиеи жизни». случай поточечной встречи

в. д. Ширяев, Е. в. Анощенкова

В статье рассматривается игра преследования с «линией жизни» в квадрате S={(x;y)\-d<x<d,-d<y<d}; приводится решение игры с предположением, что преследуемый игрок (Е) использует кусочно-постоянные стратегии, а преследователь (Р) - стратегии с дискриминацией, при этом строятся сечения выигрывающих множеств игроков Р и Е.

Ключевые слова: игра, «линия жизни», стратегия, дискриминация игрока, зона безопасности, выигрывающее множество, огибающая.

«LIFE LINE» GAME. LINE OF PURSUIT MEETING

V. D. Shiryaev, E. V. Anoshchenkova

The object of the research is a game of pursuit with squared «life line» S={(x;y)\-d<x<d,-d<y<d}. A solution of the game of pursuit is constructed on the following basis: assume an evader (Player E) uses piecewise constant strategies, whereas a pursuer (Player P) uses discrimination strategies. Under these conditions, sections of winning sets of players P and E are built.

Keywords: game of pursuit, «life line», strategy, discrimination for player, safety zone, winning set, envelope.

Предположим на плоскости задано некоторое множество £. Две точки -преследователь Р и преследуемый Е, обладая ограниченными по модулю линейными скоростями, перемещаются в множестве £, имея при этом возможность в каждый момент времени изменять направление движения (простое движение). В начальный момент времени игроки находятся во множестве £. Преследуемый Е считается пойманным, как только расстояние между ним и преследователем Р достигнет значения, меньшего или равного I (( > 0). Число I называется радиусом встречи, а процесс поимки - I -встречей. Целью игрока Р является поимка игрока Е до достижения последним «линии жизни» - границы множества £. Игрок Е преследует противоположную цель, т. е. стремится достичь «линии жизни» до I -встречи.

Будем рассматривать игры с дискриминацией игрока Е, в которых Е использует кусочно-постоянные стратегии уа е Е, а Р использует стратегии с дискриминацией из Р+ (и). Стратегией с дискриминацией (констратегией) игрока Р называется любая вектор-функция

[« (урx2,y2,V) ] « = {и1, « ) = \ , . , [«2 Хр У1, Х2, У2, V)

определенная для всех г > 0, х1, у1, х2, у2 и векторов V = {у1,у2}, V? + V? < р2, а также удовлетворяющая условию и2 + и? <а2 (Р+ - множество всех констратегий игрока Р).

Пусть () (2 ()) траектория игрока Р (Е) в ситуации {и,уа} е Р+ х Е, ис-

© Ширяев В. Д., Анощенкова Е. В., 2014

ходящая из начальной точки z0 (z0), и пусть

tEs = inf {t: z2(t) e s} ,

tP = min {t: p(zj(t), z2 (t))< /} (если таких tP не существует, то tP полагаем равным да). Тогда выигрыш игрока Е равен:

K (

, Z2> Vo =

-1, 5A; 8 tP < ts , tP <да,

0, 5A;8 tP = tEs = да,

1, 5A;8 tP > tE, tE < да.

mm max

ueP* v0 eE

K(z1, Z2, u, Vff) = -1

( max min K (z1,

v^eE uep*

l = +1 ).

Определение 1. Выигрывающим множеством WP ) игрока Р(Е) называется множество всех точек {z1; z2 }е R4, таких, что

Таким образом, если преследование начинается из точек z1, z2, удовлетворяющих условию z2} е W , то игрок Р всегда может поймать игрока Е до достижения им «линии жизни». Аналогично, если преследование начинается из точек, таких, что { z2 }еЖЕ, то игрок Е может достичь «линии жизни» до момента I -встречи независимо от действий преследователя.

Определение 2. Сечение WPвыигрывающего множества Жр с R4 игрока Р плоскостью z2 = 20 - зоной встречи в позиции 20, а сечение (z0) выигрывающего множества с R4 плоскостью = 20 называется зоной убегания в позиции 20 .

Зоны встречи и убегания, являющиеся множествами на плоскости, дают более наглядное представление о воз-

можностях игроков, чем выигрывающие множества в четырехмерном пространстве.

Пусть и - некоторая фиксированная стратегия игрока Р, обладающая свойством в любой ситуации {и, е Р+ х Е обеспечивать I -встречу с игроком Е во всей плоскости, если в момент времени t = 0 игроки находятся в точках

21 = (Хр1 ; Ур> ) , 22 = ((о ; УЕ<1 ) .

Обозначим через С- (0, z0) множество всевозможных положений игрока Е в момент I -встречи в ситуации {и, уа} для различных уа е Е (местоположение игрока Е в момент I -встречи называется «точкой встречи»). Очевидно, что

если множество Си ((^ ^) имеет непустое пересечение с дополнением множества S, то игрок Р, используя стратегию и , не может гарантировать I -встречи с игроком Е в множестве S.

Определим структуру множества

С-и (0, z0), с тем чтобы получить уравнения границ зоны встречи и зоны убегания. Имея явное выражение для

границ множества С- (, z0) и зная границу множества S, можно геометрически достаточно просто построить границу выигрывающего множества игрока Е в позиции Р0 = z0 как множество точек г2 е 5 , для которых

граница множества Си (0, z0) касается границы множества S. Аналогично, имея явное выражение для границы

множества С- (, z0) и зная границу множества S, можно геометрически построить границу выигрывающего множества игрока Р в позиции Е0 = z0 как множества точек г; е 5 , для которых граница множества С-(, z0) касается границы множества S.

Приведем решение игры в случае поточечной поимки (( = 0) в предположении, что игроки движутся с макси-

мальной скоростью. Ясно, что игроки Р и Е, преследующие противоположные цели, должны использовать все свои возможности, в частности, они должны двигаться с максимальной скоростью. В этом случае уравнения движения имеют следующий вид:

Пусть К - «линия жизни». Рассмотрим семейство окружностей

|с(а р(^ а) ™)}а

(1)

У1 =!

У 2 =1

2 2 2 и + И = а ,

Будем считать, что скорость преследователя больше скорости убегающего (а > в), в противном случае всегда выигрывает игрок Е.

Известно, что если Е выбирает любое прямолинейное движение, то при параллельном сближении множество точек встречи являются окружностью Аполлония - границей круга р(г, z¡V>р(z, z0), V = в /а , [1]:

={2| Р(21°) ^ =Р(4)} .

с центрами на «линии жизни» и радиусами. Огибающей (или расширенной огибающей) семейства (1) будем называть кривую, которая в каждой своей точке касается хотя бы одной окружности С(а,р,^?,а^), а е К .

Теорема [1]. Если граница F(z10) зоны убегания WE (г^) является гладкой кривой, то она совпадает с частью огибающей семейства (1).

Пусть «линия жизни» является гладкой и задана параметрически

К : х = х(), у = у(), t е [t1, t2], (1)

тогда огибающая семейства определяется системой уравнений:

F(х, у, г) = (х - х(г))2 + (у - у(г))2 - ^2[(х0 - х(г))2 + (у? - у(г))2 ] = 0,

1F (х г) = ^(гЬ.. , Ау(г),„ , ,.2Г Ах(г), 2 ' X, ^

, Ау(г),

~ F (х, у, г) = ^ (х - х(г)) + ^ (у - у (г)) + [^ (х(г) - х?)

Аг

Лг

-(у (г) - у?)] = 0.

Аг

(2)

Пусть К - прямая, г0 = {О; Ь},

К : х^) = t, у(г) = 0, - да < t < +а>. Система (2) имеет вид

[(х - г)2 + ^2 = м2(г2 + Ъ2), -(х + г) = м2г. Исключим параметр t ( = х / (1 - и>2)):

+ ^ = ж

л 2

1 - w

2 2 т 2

-х = ч> Ь

Итак,

(1 - м2 )Ъ

= 1.

(1 - м2 )Ъ

= 1.

(3)

1 2 1 - w

(1 - )■

(1 - )

-х + у =

(1 - -)2

2 , 2т2

-х + ч> Ь ,

Огибающая (3) является гиперболой при Ьф0 и вырождается в пару прямых при Ь = 0 (рис.1). Огибающая (3) совпадает с границей зоны убегания WE (z10, К).

Направленная вверх ветвь гиперболы (3) совпадает с границей зоны убегания WE(zí0,CS) в игре с «линией жизни»

2

w

2

2

2

2

2

2

2

X

X

2

4

2

w

w

в полуплоскости 5(-» < X < +а>, у > 0).

Заметим, что абсцисса точки касания окружности Аполлония для началь- равна х =

ных положений

ХЕ

={0;ь} , г2 ={хЕ; уЕ }

1 - ы

Рис. 1.

Аналогично можно показать, что при поточечной поимке зона встречи

WP(z22) (20 ={0; Ь}) совпадает стью, ограниченной эллипсом

обла-

У

1 2

1 - w

2

1

= 1.

Внутренняя часть эллипса, лежащая в полуплоскости S, является выигрывающим множеством игрока Р в позиции Е0 (рис. 2). Заметим, что в данном случае абсцисса точки касания окружности Аполлония для начальных положений

; Ур}

= {0;ь}

1 -

г р •

2

X

г

2

2

Ь

IV

Ь

2

У/

Рассмотрим случай, когда S является квадратом

(5 = {(х;у) | - d < х < d, —d < у < d}). 1) 5 = {(х;у) | -да< х <+да, 0 < у < d} . В этом случае К - прямая, 20 = {0; 0},

К : х^) = t, у(1) = d, - да < t < +да. Система (2) имеет вид

Г(х -1)2 + (у - d)2 = м2 (г2 + d2), [ -(х +1) =

Исключив параметр t ^ = х/(1 - w2)), получим

(7 - d )2 м d

(1 - м2 )d''

= 1.

ния (z10, CS) в игре с «линией жизни» в области 5(-да < х < +да, 0 < у < d).

2) 5 = {(х;у) | -да< х <+да, ^ < у < 0} .

Граница выигрывающего множества игрока Е определяется аналогично и имеет вид

(7 + d )2

(1 - м2):

= 1.

Объединяя оба рассмотренных случая, получаем решение поставленной задачи в полосе -да < х < +да, - d < у < d. Граница выигрывающего множества игрока Е в этом случае имеет вид

(4)

(7 ± d )2

2 -¡2 м d

(1 - м2 )d

= 1.

(5)

Направленная вверх ветвь гиперболы (4) совпадает с границей зоны убега-

Вид границы выигрывающего множества игрока Е при d=2, тс?=1/2 приведен на рис. 3.

2

2

2

у

2

Р* ^^^

^^ -2

-2

Рис. 3.

3) Рассмотрим случай, когда «линией В этом случае К - прямая, = {0;0} жизни» игрока Е является прямая х = d,

т. е. 5 = {(х; у) | 0 < х < d, -да < у < +да} . К : х() = d, у(1) = I, - да < I < +да.

Система (2) имеет вид

d2 + (у -1)2 = 2 +12),

-(у +1) = уУ I.

Исключив параметр t ^ = х /(1 - м?2 )), получим

(х - а )2__У_= 1 (6)

а2 (1 - )а2 ' 1 ;

Часть полуплоскости S, расположенная правее линии (6), является выигрывающим множеством игрока Е.

4) £ = {(х; у) | - d < х < 0, -да< у <+да} .

Граница выигрывающего множества игрока Е определяется аналогично и имеет вид

(х + а)2 _ У2 = 1

™2 а2 (1 _ )а2 '

Объединяя оба рассмотренных случая, получим решение поставленной нами задачи в рамках полосы

^ < х < d, - да < у < +да . Граница выигрывающего множества игрока Е в этом случае имеет вид

(х ± а)2 _ У2 = 1 (7)

2 12 2\ ,7 1 V'.'

Вид границы выигрывающего множества игрока Е при а = 2, V = 1/2 приведен на рис.4.

Рис. 4.

Далее решаем игру в квадрате. Граница выигрывающего множества игрока Е в

случае £ = {(х;у)|- d < х < d, -d < у < d} получается как граница пересечения выигрывающих множеств игрока Е, определяемых соотношениями (5) и (7).

Вид этой границы при а = 2, V = 1/2 приведен на рис. 5.

Аналогично определяется граница выигрывающего множества игрока Р

(* 0 ={0;0}).

1)£ = {(х;у) | -да < х < +да, 0 < у < d} .

Зона встречи WP (20) совпадает с областью, ограниченной эллипсом

(7 - d )2

, 2

1 - №

= 1.

2) £ = {(х; у) | - да < х < +да, ^ < у < 0}

2

х

1

2

2

2

2

№

№

Зона встречи Шр(z0) совпадает с об- рывающего множества игрока P в этом ластью, ограниченной эллипсом случае имеет вид:

, 2

1 - №

+ (У+а )2 = 1.

2

1 - №

+ (у ± а )2 = 1.

(8)

Объединяя оба случая, получаем ре- Вид границы выигрывающего мно-шение поставленной задачи в полосе жества игрока P при а = 2, * = 1/2 при--да < х < +да, - d < у < d. Граница выиг- веден на рис 6

Рис. 5.

>

2 1 ^^^ £* \

\ « 2 / х

.2

2

2

х

X

2

2

2

2

2

2

№

№

№

№

3) £ = {(х;у) | 0 < х < d, -да < у < +»} .

Зона встречи WP (20) совпадает с областью, ограниченной эллипсом

^ < х < d, - да < у < +да . Граница выигрывающего множества игрока Р в этом случае имеет следующий вид:

(х ± а )2

(х - а)2

У

-а2 ^ а2

= 1.

2

1 - №

= 1.

(9)

4) £ = {(х; у) | - d < х < 0, -да< у <+да} .

Зона встречи WP (20) совпадает с областью, ограниченной эллипсом

(х+а )2

= 1.

Л а2 ^ а2 № №

Объединяя оба случая получаем решение поставленной задачи в полосе

Вид границы выигрывающего множества игрока Р при а = 2, V = 1/2 приведен на рис.7.

Далее решаем игру в квадрате. Граница выигрывающего множества игрока Р в случае£ = {(х;у)| - d < х < d, -d < у < d} получается как граница объединения

выигрывающих множеств игрока Р, определяемых соотношениями (8) и (9).

Вид этой границы при а = 2, V = 1/2 приведен на рис. 8.

Рис. 7

2

1

2

2

2

2

1

IV

№

2

№

№

2

библиографический список &

к а к

1. Петросян, Л. А. Геометрия простого преследования / Л. А. Петросян, Г. В. Томский. - Новоси- £

бирск : Наука, 1983. - 144 с. g

к

и

<и

Поступила 19.12.2013 г. к

и

з

Об авторах: и

Ширяев виктор дмитриевич, профессор кафедры фундаментальной информатики факультета §

математики и информационных технологий ФГБОУ ВПО «Мордовский государственный университет b

имени Н. П. Огарева» (г. Саранск, Россия), [email protected] *

анощенкова Екатерина васильевна, преподаватель кафедры фундаментальной информатики ^

факультета математики и информационных технологий ФГБОУ ВПО «Мордовский государственный ¿3 университет имени Н. П. Огарева» (г. Саранск, Россия), [email protected]

Для цитирования: Ширяев, В. Д. Игра с «линией жизни» : Случай поточной встречи / В. Д. Ширяев, Е. В. Анощенкова // Вестник Мордовского университета. - 2014. - № 1. - С.139-147.

REFERENCES

1. Petrosyan L. A., Tomsky G. V. Geometrija prostogo presledovanija [Geometry of simple prosecution]. Novosibirsk, Science Publ., 1983, 144 p.

About the authors:

Shiryaev Victor Dmitriyevich, professor, chair of Fundamental Informatics, department of Mathematics and Information Technologies, Ogarev Mordovia State University (Saransk, Russia), Kandidat Nauk (PhD) degree holder in Physical and Mathematical sciences, [email protected]

Anoshchenkova Ekaterina Vasilyevna, lecturer, chair of Fundamental Informatics, department of Mathematics and Information Technologies Ogarev Mordovia State University (Saransk, Russia), [email protected]

For citation: Shirjaev V. D., Anoshchenkova E. V. Igra s «liniej zhizni» : Sluchaj potochnoj vstrechi [«Life line» game. Line of pursuit meeting]. Vestnik Mordovskogo Universiteta - Mordovia University Bulletin. 2014, no. 1, pp. 139 - 147.