CC BY
153
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 517.524
В.И. Шмойлов
научный сотрудник, Научно-исследовательский институт многопроцессорных вычислительных систем, ФГАОУ ВО «Южный федеральный университет»,
г. Таганрог, E-mail: Shmoylov40@at. infotectt. ru
А.Г. Клово
канд. физ.-мат. наук, доцент, кафедра высшей математики, Институт компьютерных технологий и информационной безопасности, ФГАОУ ВО «Южный федеральный университет»,
г. Таганрог, E-mail: klovo_ag@mail.ru
В.Ю. Войтулевич
программист, Научно-исследовательский институт многопроцессорных вычислительных систем, ФГАОУ ВО «Южный федеральный университет»,
г. Таганрог,
E-mail: vladimir. voitulevich@yandex.ru ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ
Аннотация. Рассматривается иное, нежели традиционное, определение сходимости непрерывных дробей. Новый метод суммирования используется при нахождении значений расходящихся в классическом смысле непрерывных дробей и рядов. Для функций, представимых, так называемыми, соответствующими непрерывными дробями, даётся определение предела функции, отличное от канонического.
Ключевые слова: предел функции, непрерывные дроби, суммирование расходящихся непрерывных
дробей.
V.I. Shmoylov, Southern Federal University, Russia, Taganrog
A.G. Clove, Southern Federal University, Taganrog
V.Yu. Voitulevich, Southern Federal University, Taganrog
THE APPROACH TO DEFINITION OF THE LIMIT OF A FUNCTIONS
Abstract. The approach to the different definition of continued fractions convergence. New method of summing used to calculate the cannonical divergent continued fractions and rows. For the functions that can be represented by continued fractons, set the definition of the limit of a functions different from the cannonical.
Keywords: limit of a functions, continued fractions, summing of divergent continued fractions.
Введение
Одним из основных понятий в анализе является понятие предела функции f (x) в точке x0. Известны два эквивалентных между собой определения предела функции в точке x0 [1]. Определение предела функции «на языке последовательностей», или определение предела «по Гейне», формулируется следующим образом: «Число А называется пределом функции y = f(x) в точке x0 или при x ® x0, если для любой последовательности допустимых значений аргумента xn, сходящейся к x0, то есть lim xn = x0, последовательность соответствующих значений функции f(xn) сходится к числу А, то есть lim f(xn) = A ».
В этом случае пишут
lim f(х) = A,
Х®Х0
или
f(x) ® A при x ® x0. Геометрический смысл предела функции
lim f(x) = A
*®*o
означает, что для всех точек х, достаточно близких к точке х0, соответствующие значения функции как угодно мало отличаются от числа A.
Определение предела функции «на языке e-d», или определение предела функции «по Коши», имеет такую формулировку: «Число А называется пределом функции в точке х0 или при х ® х0, если для любого положительного числа e найдётся такое положительное число d, что для всех х ф х0, удовлетворяющих неравенству |х-х0| <d, выполняется неравенство f (х)- A| <e».
Геометрический смысл предела функции lim f (х) = A «по Коши» состоит в следующем.
х ®х0
Если для любой e-окрестности точки А найдётся такая d-окрестность точки х0, что для всех х ф х0 из этой d -окрестности соответствующие значения функции f(х) лежат в e -окрестности точки А. Иными словами, точки графика функции y = f(х) лежат внутри полосы шириной 2e , ограниченной прямыми y = A + e, y = A -e.
1. Алгоритм суммирования расходящихся непрерывных дробей Можно обратить внимание, что в классических определениях предела функции речь не идёт ни об алгоритмах вычисления функции, ни о способах дискретизации интервала, в точках которого вычисляются значения функции при приближении х к х0. Казалось бы, эти обстоятельства не имеют отношения к определению предела функции, тем не менее отметим их.
Проиллюстрируем важность выбора алгоритма при вычислении значений функций. Например, фраза: "Установим предел значений логарифмической функции ln(1 + х) в точке х0" остаётся фразой, ибо запись ln(1 + х) - это лишь название функции. Надо знать алгоритм для определения значений логарифмической функции. Эту функцию можно вычислять различными способами, например, при помощи ряда Меркатора:
ln(1 + х) = х - ^х2 +1 х3-—х4 + •••, (1)
2 3 4
или цепной дробью Лагранжа:
, х х х 22 х 22 х 32 х 32 х п2х п2х
l n (1 + х) = — — — - - - - - -. (2)
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 +... + 2п + 2п +1 +...
Если х > 1, то ряд для логарифмической функции использовать нельзя, ибо он, при х > 1 расходящийся. При х > 1 следует использовать цепную дробь Лагранжа, которая, однако,
становится расходящейся, если х <-1, так как при х <-1 логарифмическая функция обретает комплексное значение, которое, естественно, невозможно представить цепной дробью с вещественными элементами. Тем не менее такие расходящиеся цепные дроби можно просуммировать, т.е. найти их значения, если дополнительно воспользоваться г/ф-алгоритмом.
Приведём формулировку г/ф-алгоритма [2]: Непрерывная дробь сходится и имеет своим значением в общем случае комплексное число z = r0elj", если существуют пределы:
lim n П |P,/Q,| = r0, (3)
plim — = Ы, (4)
n 11
где
P /Qi - значение i-й подходящей дроби;
kn - число отрицательных подходящих дробей из совокупности, включающей n подходящих дробей.
Этот способ выходит за рамки традиционных методов суммирования, ибо позволяет, при определенных условиях, за последовательностью вещественных подходящих дробей усмотреть некое комплексное число, которое, собственно, и представлено этой непрерывной дробью. Признаком комплексности такой расходящейся непрерывной дроби с вещественными элементами служат перемены знаков ее подходящих дробей, причем, эти перемены знаков происходят сколь угодно много раз. Другими словами, комплексная единица ei устанавливается из «поведения» подходящих дробей непрерывной дроби. Параметры же комплексного числа z = r0ej0, то есть его модуль r0 и аргумент j0, могут быть определены, в частности, так называемым r/ф-алгоритмом, то есть формулами (3) и (4).
В случае непрерывных дробей, сходящихся в классическом смысле, аргумент j0 примет значения 0 или p. Если j0 = 0, то значение сходящейся непрерывной дроби будет совпадать со значением модуля r0:
z = r,e'0 = Г).
Если j0 = p, то значение сходящейся непрерывной дроби будет отрицательное число:
z = rep = -v
Предложенный r/ф-алгоритм даёт возможность устанавливать значения расходящихся в классическом смысле непрерывных дробей, а также решать множество других задач из различных разделов вычислительной математики [3-15].
Разъяснить появление формул (3) и (4), то есть r/ф-алгоритма, можно, исходя из классической формулы Эйлера:
Из формулы (5) следуют дроби:
eij +
cosj =-. (5)
1
= 2cos j—j,
eij = 2 cos j -
e
1
2cos j—-ei
1
ej= 2cos j--!— 1 (6)
2cosj--—-— i 2cosj——
1
ej = 2cos j--1
2cos j- 1
2cos j-
2cos j——.
1
Подходящие непрерывной дроби (6) определяются следующим образом:
Р э1п2р
— = 2ооз р =--,
01 этр
Р2 1 этЗр
— = 2ооэ <р--=-—,
02 2ооэр э1п2р
Р3 1 б1п4 р
= 2ооэр--- 1 =
2ооэр
03 2ооэ этЗр
Р 1 эт (п +1)р
= 2ооэр--1— 1 =—^-. (7)
<Э„ 2ооэр----эт пр
п ^ 2ооэр- ^
... 1
2ооэр
При п ® « можно прийти к непрерывной дроби:
1 1 1
е'р = 2ооэр--!--!— —!— (8)
2ооэ <р- 2ооэр-... - 2ооэ <р-...
Используя непрерывную дробь (8), мы можем восстановить комплексное число е'р, которое «представлено» этой непрерывной дробью. Изобразим графически несколько значений первых подходящих дробей непрерывной дроби (8). Используя выражение (7) для подходящих дробей разложения (8), можем записать
Р1 эт2р эр ' Р1 —- > 0 , 01
Р2 этЗр 03 э1п2р' Р > 0, 02
Очевидно, с ростом номера п угол (п + 1)р станет больше угла р:
Рп э1п(п + 1)р Р < 0. 0
0п эт пр '
Этот момент может быть зафиксирован, так как подходящая дробь Рп /Оп примет отрицательное значение. Следовательно, перемещение радиуса - вектора от угла р до угла (п + 1)р, несколько превышающего значение р, дает возможность приближенно определить
аргумент комплексного числа е'<, представленного цепной дробью (8).
Продолжая наблюдение за значениями подходящих дробей (7), запишем формулу, по которой можно приближенно определить аргумент р0 комплексного числа е'р0 :
<о=ркр (9)
где кп - количество подходящих дробей, имеющих отрицательное значение из общего числа п
подходящих дробей разложения (8), j - некоторый угол, причем, j < j .
Если п ^ «, то формула (9) примет вид
j = plim —.
n®¥ n
Рассмотренная выше процедура позволяет установить, однако, не значение аргумента комплексного числа elj , а модуль этого аргумента, то есть
plim ^ = |j|. (10)
n®¥ n 11
Знак аргумента комплексного числа e'j определяется из динамики распределения значений подходящих дробей (8) на «периоде». Эти правила определения знака установлены после калибровки на тестовых цепных дробях, имеющих комплексные значения.
На рисунке 1а и 16 показано распределение значений подходящих дробей Pn /Qn разложений (11) и (12) в зависимости от номера n.
1 1 1 sin(n +1)0.2 (11)
2cos0.2--- -= —---—, (11)
2cos0.2 - 2cos0.2 -... - 2cos0.2 sin n0.2
1 1 1 sin n0.2 (12)
2cos0.2 - 2cos0.2-... - 2cos0.2 sin(n +1)0.2
Рисунок 1 - Распределение значений подходящих цепных дробей (11) и (12)
Из цепной дроби (8), представляющей комплексное число в'9, можно получить, помимо аргумента, модуль этого комплексного числа, равный единице.
Вернёмся к цепной дроби Лагранжа (2), представляющей логарифмическую функцию. В [16] доказывается, что цепная дробь (2) сходится в г-плоскости с разрезом вдоль оси от -¥ до -1. В таблице 1 приведены результаты определения комплексного значения логарифмической функции при значении аргумента х = -10 . Цепная дробь (2) расходится в классическом смысле, поэтому ее суммирование проводилось при помощи г/ф-алгоритма, который позволяет по последовательности подходящих дробей цепной дроби определить модуль и аргумент комплексного числа, являющегося значением цепной дроби, расходящейся в традиционном понимании сходимости .
Значения модуля гп и аргумента (п, определяемые с использованием г/ф-алгоритма, приведены, соответственно, в колонках 3 и 5 таблицы 1. Значения модуля и аргумента определялись при учете различного числа подходящих дробей разложения (13). В колонках 4 и 6 при-
ведены погрешности в определении модуля гп и аргумента рп комплексного числа
1П (-9) = 1П9 + 'р,
г0 = ^(!п9)2 + р = 3,833718853064... , р0 = аго1др = 0,960474298625554....
Нахождение значений "расходящейся" цепной дроби
, . ^ 10 10 10 20 20 10п 10п
!П(-9) =--— — — — - --(13)
^ ' 1 - 2 - 3 - 2 - 5 -...- 2 - 2п +1 -...
г0 = 3,833718853064..., р0 = 0,960474298625... .
Таблица 1 - Суммирование «расходящейся» цепной дроби
Номер звена дроби Значения подходящих дробей Модуль комплексного числа, гп Погрешность, ег = |Г0 - Гп\ Аргумент комплексного числа, рп Погрешность, ер=|ро -рп
2 2,50000000 5,000000000000 1,166281146936 1,570796326794 0,610322028169
4 5,21739130 3,519602546486 0,314116306578 1,570796326794 0,610322028169
8 -3,49070100 3,948094769075 0,114375916011 1,178097245096 0,217622946471
16 68,61242796 4,873423476492 1,039704623428 0,981747704246 0,021273405621
32 3,51638643 4,815089151890 0,981370298826 1,079922474671 0,119448176046
64 12,45898352 3,919715159173 0,085996306109 1,129009859883 0,168535561258
128 1,80928126 4,059970685199 0,226251832134 1,006291396852 0,045817098227
32 2,90564753 3,800554037005 0,033164816059 0,969475857943 0,009001559318
256 6,23154574 3,797679972008 0,036038881056 0,957204011640 0,003270286985
512 -1,44184334 3,837287188018 0,003568334954 0,954136050064 0,006338248561
1024 -7,35752444 3,843961231123 0,010242378058 0,966407896367 0,005933597742
2048 8,35780724 3,835469672599 0,001750819535 0,961038963610 0,000564664985
4096 0,56414016 3,830777501972 0,002941351092 0,960271973216 0,000202325409
8192 0,50107219 3,832547816121 0,001171036943 0,960847216011 0,000372917386
16384 0,37151795 3,832831919696 0,000886933369 0,960559594614 0,000085295989
32768 0,09734311 3,833370205940 0,000348647124 0,960415783915 0,000058514710
65536 -0,52920661 3,833708841021 0,000010012044 0,960511657714 0,000037359089
На рисунке 2 приведено графическое изображение подходящих дробей «расходящейся»" цепной дроби, представляющей логарифмическую функцию.
1п(-9) = 3,8337е''°'""*
1,
Г N Г пггтл^чл
Рисунок 2 - График подходящих цепной дроби логарифмической функции
2. Определение предела функции через непрерывные дроби
Ограничимся рассмотрением трансцендентных функций, представимых, так называемыми, соответствующими непрерывными дробями, и для них дадим формулировку предела функции, отличающуюся от традиционных определений предела.
Следует отметить, что трансцендентные функции представляются бесконечными непрерывными дробями, и точно получить значение такой функции в точке х0 нельзя в принципе. Погрешность приближения будет уменьшаться с ростом числа звеньев цепной дроби. Чтобы
связать классическое определение предела функции в точке х0 с пределом функции, представленной цепной дробью, установим соответствие между значением '-й подходящей дроби, представляющей функцию в точке х0, и «точным» значением этой же функции в некоторой точке х интервала (рис. 3).
Рисунок 3 - Соответствие f (x,) и р /Qi.
Для функций, которые могут быть представлены соответствующими непрерывными дробями, то есть установлены через коэффициенты степенных рядов по формулам Хейлер-манна-Стилтьеса или найдены по формулам Тиле через обратные производные [17], можно дать такое определение предела:
Если функция f(x) представлена соответствующей непрерывной дробью
, w.x w2x w3x wnx
f(x) = w --^T ~ir , (14)
1 + 1 + 1 +••• + 1 +•••
то функция f(x) имеет предел при x ® x0, совпадающий со значением бесконечной непрерывной дроби для этой функции в точке x0. Сходимость непрерывной дроби (14) определяется r/ф-алгоритмом, то есть формулами (3) и (4).
Таким образом, при установлении предела функции при x ® x0, вместо рассмотрения последовательности «точных» значений функции
f ( xi ),f ( x2 ),f ( x3 ),... ,f ( xn ),... при xn ® x0 рассматриваются значения подходящих непрерывной дроби функции в точке x0 .
P
Если цепная дробь сходится в классическом смысле, то lim —- существует, и он равен значе-
n®¥ Q ^n
нию функции в точке x0. Таким образом, можно записать:
P (x )
lim f(x) = lim nV 0>.
x®x0 n®¥ Qn (x0)
Если соответствующая непрерывная дробь, представляющая функцию в точке x0 , не сходится в классическом смысле, то по последовательности подходящих дробей (14) при помощи r/ф-алгоритма, то есть формул (3) и (4), может быть установлено комплексное значение цепной дроби. В этом случае функция f(x) при x ® x0 имеет комплексный предел r0elj.
Какие доводы можно привести в обоснование целесообразности данного выше определения предела функции? Предлагается использовать конкретный алгоритм вычисления функции, предел которой находится в точке х0, а именно представление функции, так называемыми, соответствующими непрерывными дробями. При этом вводится однозначный механизм квантования при определении предела функции в точке x0, заключающийся в использовании подходящих дробей, которые и реализуют квантование. И, что принципиально важно, - r/ф-алгоритм позволяет установить комплексный предел функции по её представлению непрерывной дробью с вещественными звеньями.
Остановимся подробнее на этих аспектах, предварительно ещё раз фиксируя особен-
ности предлагаемого метода определения предела функции, который для краткости назовём «методом непрерывных дробей». Традиционно, задача определения предела f(х) в точке х0 решается следующим образом. Окрестность точки х0 разбивается, тем или иным образом, для определенности, на п одинаковых интервалов и ищутся «точные» значения функции ^х) в точках х Х2,...,Хп-1,хп этого интервала. При дроблении исходного интервала на все большее число подинтервалов при п^« будем получать значение предела функции в точке х0. Оказывается, можно квантовать приближение точки х! к точке х0 естественным образом, причем, однозначно. Для определённости будем рассматривать непрерывную дробь для логарифмической функции. Очевидно, что «точно» определить значение функции 1п(1+х) в точке х0 нельзя, так
как точное значение функции в точке х0 можно получить только в пределе, с учетом бесконечного числа звеньев цепной дроби (2).
Будем устанавливать значение функции 1п(1+х) в точке х0, используя последовательность подходящих дробей:
Р Р Р Р
'к 'к+1 'т т+1
0 0 , 0 0,
Цепная дробь с возрастающим числом звеньев определяет значение функции в точке х0 со все большой точностью. Будем полагать, что значение непрерывной дроби логарифмической функции с конечным числом звеньев к даёт значение, которое соответствует «точному» значению логарифмической функции в некоторой точке хк , лежащей в окрестности точки х0 .
Беря непрерывную дробь для 1п(1+х) в точке х0, со всё большим числом звеньев, например, с числом т>к, получим «точное» значение функции в некоторой окрестности точки х0, причем, эта точка хт лежит ближе к точке х0, нежели точка хк, а само значение функции в точке хт ближе к значению искомого предела, т.е. значению функции в точке х0, нежели когда использовалась цепная дробь с меньшим числом звеньев. Таким образом, определяя цепную дробь для функции в точке х0, тем самым будем получать последовательность «точных» значений функции в точках, приближающихся в точке х0, то есть фактически определяя предел функции в точке х0 в классическом смысле.
Как известно, непрерывные дроби, представляющие функции, могут быть как сходящимися, так и расходящимися. Если функция представляется расходящейся цепной дробью, то нельзя вычислить значения функции в последовательности точек, приближающихся к точке х0. Тем не менее, используя введённые выше определение предела, можно установить предел функции в точке х0 в случае расходящийся непрерывной дроби. Значение расходящейся в классическом смысле непрерывной дроби может быть установлено при помощи г/ф-алгоритма, который рассматривался выше. Этот алгоритм позволяет определить комплексное число, являющееся значением расходящейся непрерывной дроби. Как и в действительном случае, определение предела функции в точке х0 - это процесс, который не может завершиться, если функция в точке х0 представляется бесконечной непрерывной дробью. Вычисляя при помощи г/ф-алгоритма комплексное значение непрерывной дроби со все большим числом звеньев, тем самым всё точнее определяем значением функции в точке х0, не достигая ни при каком конечном п «точного» значения функции в точке х0.
Соответствующие цепные дроби могут быть конечными. Если конечная цепная дробь
содержит 2п -1 звено
,. ЩХ о2 х
Г ( х) = 00 + ^--2-
1 + 1 +.+ 1
то она представляет рациональную функцию, определяемую полиномами п-й степени. В качестве примера функции, представимой конечными соответствующими непрерывными дробями, может быть указана функция Вейерштрасса w(а;Ь;х) в рациональных точках х' [18; 19]. В случае если функция представима конечной цепной дробью, можно записать:
!т f(х) =
Рп (х0)
О (х0)
Заключение
Предложено рассматривать последовательность конечных непрерывных дробей для функции f(x) в точке х0 со все увеличивающимся числом звеньев, как последовательность
«точных» значений функции в точках х!, стремящихся к точке х0. Это приводит к определению предела функции через значения подходящих дробей непрерывной дроби, представляющей функцию в точке х0. Такой подход к определению предела функций имеет ряд преимуществ в сравнении с традиционным определением предела.
Список литературы:
1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. - М.: Наука, 1968. - 496 с.
2. Шмойлов В.И. Суммирование расходящихся цепных дробей / НАН Украины, Ин-т приклад. проблем механики и математики. - Львов, 2004. - 23 с.
3. Шмойлов В.И., Заяц И.А., Слобода М.З. Расходящиеся непрерывные дроби // Нац. акад. наук Украины, Ин-т приклад. проблем механики и математики. - Львов, 2000. - 820 с.
4. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби: в 3 т. Т. 1: Периодические непрерывные дроби / Нац. акад. наук Украины, Ин-т приклад. проблем механики и математики. - Львов, 2004. - 645 с.
5. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби: в 3 т. Т. 2: Расходящиеся непрерывные дроби / Нац. акад. наук Украины, Ин-т приклад. проблем механики и математики. - Львов, 2004. - 558 с.
6. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби: в 3 т. Т. 3: Из истории непрерывных дробей / Нац. акад. наук Украины, Ин-т приклад. проблем механики и математики. - Львов, 2004. - 520 с.
7. Шмойлов В.И. Расходящиеся системы линейных алгебраических уравнений. - Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2010. - 205 с.
8. Шмойлов В.И. Решение алгебраических уравнений при помощи г/р-алгоритма. - Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2011. - 330 с.
9. Кириченко Г.А., Шмойлов В.И. Алгоритм суммирования расходящихся непрерывных дробей и некоторые его применения. // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2015. - Т. 55, № 4. - С. 559-572.
10. Шмойлов В.И., Редин А.А., Никулин Н.А. Непрерывные дроби в вычислительной математике. - Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2015. - 228 с.
11. Гузик В.Ф., Ляпунцова Е.В., Шмойлов В.И. Непрерывные дроби и их применение. -М.: Физматлит, 2015. - 298 с.
12. Шмойлов В.И., Кириченко Г.А., Лукьянов В.А. О постоянной Эйлера // Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов. - 2016. - № 4 (118). - С. 142-153.
13. Шмойлов В.И., Селянкин В.В., Кириченко Г.А. Об одном алгоритме представления рациональных чисел конечными цепными дробями // Приволжский научный вестник. Ижевск, 2016. № 7 (59). С. 33-44.
14. Шмойлов В.И., Кириченко Г.А., Никулин Н.А. Суммирование расходящихся рядов построением соответствующих цепных дробей // Приволжский научный вестник. - Ижевск, 2016. Т. 60, № 8. - С. 18-31.
02п-1х
15. Шмойлов В.И., Войтулевич В.Ю. Непрерывные дроби: библиографический указатель. - Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2016. - 351 с.
16. Джоунс У., Трон В. Непрерывные дроби: аналитическая теория и приложения: пер. с англ. - М.: Мир, 1985. - 414 с.
17. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби и г/^-алгоритм. - Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2012. - 608 с.
18. Шмойлов В.И., Кириченко Г.А., Плющенко С.В. Применение г/ ^-алгоритма для определения производной функции Вейерштрасса // Наука, техника и образование. - 2016. -№ 3 (21). - С. 37-47.
19. Левин И.И., Селянкин В.В., Шмойлов В.И. Представление функции Вейерштрасса и её производной цепными дробями // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2016. - № 4 (177). -С. 60-72.
