CC BY
68
Вычислительные технологии
Том 6, № 3, 2001
ОБ ОДНОМ ПАРАБОЛИЧЕСКОМ СПЛАЙНЕ
С. Л. КиввА
Институт проблем математических машин и систем
НАН Украины, Киев e-mail: [email protected] О. Б. Стеля
Национальный университет им. Т. Г. Шевченко, Киев, Украина
Parabolic non-periodic interpolating spline of minimal defect is considered. The spline is obtained by interpolation of tabular function values without any additional boundary conditions. Existence and uniqueness of this spline are investigated, estimations of an error of the spline interpolation for f (x) from Ca[a, b], a = 0,1, 2 are obtained.
Введение
В последнее время интерполяционные сплайны все чаще по сравнению с полиномами и дробно-рациональными функциями используются для приближения сеточных функций [1-5]. Наиболее широкое применение получили сплайны степени не выше третьей. При построении таких сплайнов кроме условий интерполяции обычно налагаются еще дополнительные краевые условия. В работах [3, 5] для однозначного определения непериодических параболических сплайнов в качестве краевых условий требуется задание в граничных узлах значений первой или второй производной приближаемой функции. Очень часто значения этих производных неизвестны, а использование для их вычисления приближенных формул, например конечно-разностных соотношений, приводит к понижению порядка погрешности интерполяции [1]. Кроме того, при построении параболических сплайнов важным является выбор узлов сплайна и узлов интерполяции. Так, при их совпадении параболический сплайн не всегда существует. Отдавая предпочтение одному из концов отрезка при задании краевых условий, можно получить неустойчивый вычислительный процесс для определения параметров интерполяционного сплайна на отрезке [5].
В настоящей работе рассматривается параболический интерполяционный непериодический сплайн дефекта 1. Сплайн строится по заданным значениям функции в N + 3-уз-лах интерполяции и выбранным N-узлам сплайна без задания дополнительных краевых условий. Для этого сплайна исследованы вопросы его существования и единственности, получены оценки погрешности интерполяции на неравномерной сетке.
1. Существование сплайна
Пусть на отрезке [а, Ь] определены два разбиения At и Дт:
At : а = to <ti < ... < tN+2 = Ь, Дт : а = To <Ti < ... < TN+i = b,
© С.Л. Кивва, О. Б. Стеля, 2001.
причем
¿г <Т <¿¿+1, г = 1, 2, N. (1)
В узлах сетки Д4 заданы значения некоторой функции / (¿): /г = / (¿¿), г = 0,1, ..., N+2. Требуется на отрезке [а, Ь] по разбиению Дт построить параболический сплайн дефекта 1 в(¿), удовлетворяющий условиям:
в(^) = /(¿г), г = 0,1, N + 2, (2)
з(п - 0) = в(тг + 0), г = 1, 2, ..., N (3)
в'(тг - 0) = в'(тг + 0), г =1, 2,..., Ж, (4)
где в' (¿) — производная сплайна в(г).
В дальнейшем систему точек Д4 будем называть узлами интерполяции, а тг (г = 1, 2, ..., N) — узлами сплайна в(г).
Теорема 1. Пусть N > 1 и на отрезке [а, Ь] заданы разбиения Д4 и Дт, для которых выполняется (1).
Тогда для любой функции /(¿) € С[а,Ь] существует единственный сплайн в(^), удовлетворяющий условиям (2) -(4).
Доказательство. Пусть в узлах тг сплайн в (г) принимает значения в(тг) =
г = 1, 2, ..., N.
Тогда, используя интерполяционный полином Лагранжа, сплайн в(г) можно представить в виде
для г € [то ,Т1]
(.) = . (г - ¿1)(г - т1) - . (г - ¿о)(г - Т1) + (г - ¿о)(г - ¿1) (5)
в(г) /0 (¿1 - ¿о)(т1 - го) /1 (¿1 - ¿о)(т1 - ¿1) + ^ (Т1 - ¿о)(т1 - ¿1)' (5)
для г € [Тг,Тг+1], г =1, 2, ..., N - 1,
в(г) = ^ (г - ¿¿+1)(г - Тг+1) - /+ (г - тг)(г - тг+1) + (г - Т)(г - ¿г+1) ; ^
(¿г+1 - ¿г )(Тг+1 - Тг) (¿¿+1 - Тг)(т+1 - ¿¿+1) (т+1 - ¿г+1) (Тг +1 - Тг) '
для г € [тм, тм+1]
в(г) = (г - ¿м+1)(г - ¿м+2) / (г - тм)(г - ¿м+2) +
(тМ - ¿М+1)(тМ - ¿М+2) (гМ+1 - ТМ)(гМ+2 - ¿М+1)
+ /М+2 (г - ТМ)(г - ¿N+1) (7) +2 - ¿М +1)(гМ+2 - ТМ )
Из условий (4) для определения неизвестных получаем систему линейных алгебраических уравнений:
= ф, (8) где ^ = (^1, ^2, ..., )т; ф = (ф1, ф2, ..., фм)Т,
Ф = - / Т1 - ¿1 + / Т1 - ¿о + / т2 - Т1 (9)
Ф1 /о (¿1 - ¿о)(т1 - ¿о) + 71 (¿1 - ¿о)(Т1 - ¿1) + /2 (Т2 - ^(¿2 - Т1) , ( )
ф = f ( Tt)(tTi-1 ) + fi+i Т-T+V-Т, i = 2,N-T, (10)
(Ti — ti) (ti — Ti-1) (Ti+i — ti+i)(ti+i — Ti)
I _ f TN — TN-i f tN+2 — TN
^N = fN7-, w,-Г + fN+i"
(тМ — ¿М — -1) (¿^+2 — ¿М + 1)(£м+1 — )
_¿М +1 - __(11)
(¿М+2 — +2 — ¿М+1)
Матрица А = {а^ }* является трехдиагональной положительной матрицей, ее элементы вычисляются по формулам
2тг — Тг-1 — ¿г Т^+1 + ¿¿+1 —
^ ( )( t ) + ( +1 —^, i = I,N, (12)
(Ti — Ti-i) (Ti — ti) (Ti+i — Ti) (ti+i — Ti)
aii+i = 7-ti+i— ,, i = 1, N — 1, (13)
(Ti+i — Ti)(Ti+i — ti+i)
aii-i = 7---r, i = 2, 3, ..., N. (14)
(Ti — Ti-i)(ti — Ti-i)
Нетрудно проверить, что с учетом (1) транспонированная матрица есть матрица со строгим диагональным преобладанием, поэтому она обратима [6], а следовательно, система уравнений (8) однозначно разрешима, что и требовалось доказать.
2. Погрешность интерполяции
Для непрерывной на [а, Ь] функции / (t) обозначим через w(f, Дт) ее модуль непрерывности:
Дт' = Г-'"к|дгI|f (i'> - f (i")| •
где |Дт| = max (Ti — Ti-i).
i<i<N-i
( N 2x i/2
В пространстве векторов y G RN введем нормы ||у||те = max |yi|, ||y||2 = I ^ (yi)
i<i<N \i=i iN
и в пространстве матриц C = {cij}. согласованные с ними нормы ||C= max У] |cij|,
j i<i<Nj=i
| C| 2 = (максимальное собственное значение матрицы
C TC )i/2.
Пусть D — диагональная матрица с элементами
ti — Ti-i
D = diag (di, d2, ..., dN), di = 1, di = -i—, i = 2, 3, ..., N.
Ti - ti
Тогда матрица B = DAD-i является положительной симметричной трехдиагональ-ной матрицей со строгим диагональным преобладанием и ее элементы определяются по
формулам bii = aii, i = 1, N, bii-i = -, i = 2, 3, ..., N, причем qi = bii — bij- > 0,
Ti Ti-i j=i 111 11
i = 1, N, где qi = -- +-- + --; q = -- + --, i = 2, 3, ..., N — 1;
Ti - to Ti - ti t2 - Ti Ti - ti ti+i - Ti 1 1 1
qN = —т +1-+1-.
TN - tN tN+i - TN tN+2 - TN
Обозначим через p, = а,, — j, тогда p, > 0 и
1 1 2 Pi = —г + —т +-'
Т1 — to Ti — ti T2 — Ti
22
Pi =-+-, i = 2, 3, ..., N — 1,
Ti — Ti -1 Ti+1 — Ti
211
PN =--1-7--+
ТМ - ТМ -1 ¿М+1 - ТМ ¿М+2 - ТМ
Лемма 1. Пусть дана система уравнений
Ау = £, (15)
где элементы матрицы А определяются соотношениями (12) - (14). Тогда
тах Ы < и тах Ш , и = N1/2 тт < тах —, тах — > . (16)
1<г<м 1<г<м [1<г<м дг 1<г<м рг ]
Доказательство. Так как матрица А обратима, то решение системы уравнений (15) можно представить в виде у = А-1д. Тогда [6, с. 104]
iml < l|a-1|l iml < n1/211a- 1 у2iml-
С другой стороны, собственные числа матрицы A совпадают с собственными числами матриц AT и B и, согласно теореме Гершгорина об области локализации собственных чисел, удовлетворяют соотношениям
min |AJ > min < |а^| — у = min p,, min |AJ > min < — у |bi?-1 > = min о,.
Поэтому
11
—, max — 1<i<N qi 1<i<N pi
следовательно,
min | A, | > min qi, min p, J> , у A 111 < min ^ max —, max
1<i<N 1<i<N 1<i<N 11 112 1<i<N 0,- 1<i<N
11y^I_< N1/2mini max —, max — J> ||g||
что и требовалось доказать.
Лемма 2. Пусть выполнены условия леммы 1. Тогда
max Ы < и max | gi | , и = y2 (D) max —, (17)
1<i<N 1<i<N ' ^ 1<i<N о,
г^е x2(D) — число обусловленности матрицы D.
ж
Доказательство. Так как для матрицы А справедливо представление А то систему уравнений (15) перепишем в виде
D-iBD,
BDy = Dg.
Пусть y — произвольный ненулевой вектор. Если k таково, что max |diyi| = y&|, то
i < i< N
||Dg|L = ||BDy|^ = max
i<i<N
N
bij yj
j=i
>
N
bfcj yj
j=i
> |bfcfc| !4yfc| — |bfcj| |djyj| > j=fc
> |4yfc| |bfcfc| — V |bkj| > |4yfc| min qi.
i < i< N
j=fc
С другой стороны,
max |digi| < max |di| max |gi| и max |diyi| > min Ш max |yi| .
i<i<N i i i<i<N i i<i<N i i<i<N i i i<i<N i i<i<N i
Поэтому
что и требовалось доказать.
max |di| 1
I™ < —гтг max — ||g|| _ min |di| i<i<N qi Imi
1<i<N i i
Теорема 2. Пусть N > 1 и на отрезке [а, Ь] заданы разбиения Д4 и Дт, для которых выполняется (1).
Если f(¿) € С2[а,Ь] и интерполяционный параболический сплайн с узлами тг (г = 1, 2, ..., N и узлами интерполяции Д4 удовлетворяет условиям (2)-(4), то имеет место неравенство
/(v)(t) — s(v)(t)|L b] < Yv*(/", Дт), V = 0,1, 2,
IC[a,b]
г^е
Yo = 2 |Дт|2 + 1max{ max + |Дт|2 ^jfj
^ma^l 1 , -—1— ) + |Дт|2 aN+i
4a
N+i
4
max
2<i<N
1 + max (tfi,CTt-i)} + |Дт|
,2
TJ
Yi = |Дт | + 2 max
_L , I* |
+ :--+ |Дт | aN+i
-N +i — TN -N+2 — TN
, I I A I \
+--;—+ |Дт | ai , max
Ti — ti Ti — to
, , I Л I +--т + |Дт | a,
2<i<N V ti Ti-i Ti — ti
Y2 = 1 + max
ai +
(Ti — to)(Ti — ti)_
aN+i +
(tN+2 — TN )(tN +i — TN )_
max
2<i<N
ai +
(ti+i — Ti)(Ti+i — ti+i) _
причем
а I Л I I Ti ti I -,+ 1 Ti
в = |Дт| ma^--+
i<i<N [ti — Ti-i Ti+i — t
i+i
ai
ti — Ti-i Ti ti
oo
Доказательство. Пусть / = (/(т^),/(т2), ..., /(тМ))т, где /(тг) — значение функции /(¿) в точке тг. Рассмотрим систему уравнений
А(р - /) = ф - А/ = ф,
(18)
где ф = (ф^ф2, ..., Фм)Т, матрица А и вектор ф определяются соотношениями (12)-(14) и (9)-(11) соответственно.
Оценим фг, г = 1, 2, ..., N. Для этого разложим функцию /(¿) в ряд Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:
/г+1 = /(тг) + /'(тг)(¿г+1 - тг) + 1/2/''(е')(^г+1 - Тг)2, т < С' < ¿г+1; /г— 1 = /(тг) - /'(тг)(тг - ¿г) + 1/2/''(п')(тг - ¿г)2, ¿г < п' < тг.
(19)
Подставляя (19) в (18), получим
1Фг| -/(тг)
Уг+1
тг+1 - тг
+ /г
тг - тг—1
(тг+1 - ¿г+1) (¿г+1 - тг) (тг - ¿г) (¿г - тг—1)
- / (тг—1)
тг ¿г
2тг - тг— 1 - Ь
+
тг+1 + ¿г+1 - 2тг
(тг - тг—1)(тг - ¿г) (тг+1 - тг)(^+1 - тг)_
- /(тг+1)
(тг - тг—1) (¿г - тг—1) ¿г+1 - тг
(/(тг) - /(тг—1))
тг ¿г
(тг - тг—^(¿г - тг—1)
+ (/(тг) - /(тг+1))
(тг+1 - тг)(тг+1 - ¿г+1)
¿г+1 - тг (тг+1 - тг)(тг+1 - ¿г+1)
н( ч —т^ ч тг - тг—1 1 „, Л (тг - тг—1)(тг - ¿г) 1 ^^^ч (тг+1 - тг)(¿г+l - тг)
+/ (тг)-г--/ (тгН--+ ^/ (П )-г--^ ) -Т-
тг+1 - ¿г+1 ¿г - тг — 1 2 ¿г - тг—1 2 тг+1 - ¿г+1
(/''(п') - /"(п"))(тг ;г—1)(тг ¿г) + (/"(о - /"(С'')) (тг+1 тг)(^+1 тг)
¿г тг—
—1
тг+1 - ¿г+1
<
< 2"(/'', Дт) X |Дт| тах {+ ¿+1 ¿тг
2 1<г<М [¿г - тг—1 тг+1 - ¿г+1
1, N
где
/(тг) - /(тг+1) = -/'(тг)(т+1 - тг) - 1/2/''(£'')(тг+1 - тг)2, тг < С'' < тг+1; /(тг) - /(тг—1) = /'(тг)(тг - тг—1) - 1/2/"(п")(тг - тг—1)2, тг—1 < п'' < тг.
Таким образом, из (16), (17) для системы уравнений (18) имеем
- /(тг)|< '', Дт), г =1ГЖ
(20)
(21)
Теперь оценим для ¿ € [тг,тг+1], г = 0,1, 2, ..., N модуль разности функции /(¿) и параболического сплайна в^). Используя разложение
/(¿) = /(тг) + /'(тг- тг) + 1/2/''(п)^ - тг)2 (тг < п < ¿)
равенства (5)-(7), (19), (20) и неравенства (21), получим: для ¿ € [то ,т1]
М) - /(¿)| =
(,1 - / с^))/*- ¿°У- ¿:\ - / (¿) + / ы-^- ¿l)(¿- т1)
(т1 - ¿о)(т1 - ¿1)
(¿1 - ¿о)(т1 - ¿о)
^ - ¿о )(¿ - т1)
-/1
(¿1 - ¿о)(т1 - ¿1)
+ / (т1)
(¿ - ¿о)^ - ¿1)
( 1 - ¿о)(т1 - ¿1)
1
-/(¿) + /(¿о) + /'(¿о)^ - ¿о) + 2/''(С'')
- /(т1))7-ТТТ-
(т1 - ¿о)(т1 - ¿1)
(¿ - ¿оХ^ - ¿1 )(т1 - ¿о)
т1 - ¿1
-1 /''(С') (¿ - ¿о)(¿ - тl)(¿l - ¿о)
2 т1 - ¿1
, ^ ^ (¿ - ¿0)(¿ - ¿1) ^ - /<т1»(Т1 - ¿о)(т1 - ¿1) +
+ 1(/''(С) - /''(Ч)№ - ¿о)2 + |(/''«") - /''(О)- ¿о№ - т1) ^
2 2 т"1 - ¿1
<
< 1 "(/'', Дт)
ивтах ( 1,1 т--1) + |ДтI2
1 ¿1 - ¿о
4 т1 - ¿1
для ¿ € [тг, тг+1] (г = 1, 2, ..., N - 1)
М) - /(¿)| =
-/(¿) + г+1 - /(тг+1)) +/(тг+1)
/ ,/ ^ (¿ - ¿г+l)(¿ - тг+1) , ^у ч (¿ - ¿г- тг+1)
(^г - /(тг^-Г7-г + /(тг^
(¿г+1 - тг)(тг+1 - тг)
(¿ - ¿г+1 )(¿ - т) (тг+1 - ¿г+1 )(тг+1 - тг) (¿ - тг - тг+1)
^г+1 - тг)(тг+1 - тг)
- /.+1 (¿ - тг+l)(¿ - тг) + (тг+1 - ¿г+1) (¿г+1 - т.)
(тг+1 - тг)(тг+1 - ¿г+1)
, ^^ ^ - ¿г+l)(¿ - тг+1)
(^г - /(тг))у-77-г +
(¿г+1 - тг)(тг+1 - тг)
+ (^г+1 - /(тн-1))^—Нт-¿Ц + ¿(/''(С'') - /''(n))(¿ - т.)2+
(тг+1 - ¿г+1)(тг+1 - т.) 2
+ 2(/''(С'') - /''О^ - тг)(¿ - тг+1) ¿¿+1 7г 2 +1 - ¿ +1
< 2"(/'', Дт)Х
(22)
X ив 1 + тах для ¿ € [ тм, тм+1]
+1 - ¿ +1 ¿ +1 -
¿ +1 - +1 - ¿ +1
+ |Дт I2
1+1 ¿г+1 - тг
4 +1 - ¿ +1
- / (¿)1
, ,/ и (¿ - ¿М +1 )(¿ - ¿М+2) л
- / (тМ-Г7"-Т - / (¿) +
(¿М+2 - тМ )(¿N+1 - тМ)
+ /(тм) (¿ - ¿М+1)(¿ - ¿М+2) - /м+1 (¿ - тМ)(¿ - ¿М+2) + (^М+2 - тМ )(¿N +1 - тМ ) (^М+2 - ¿М+1 - тМ )
+/(тм+1)
(¿ - ¿м+1)^ - тм)
(^М+2 - тМ )(¿N+2 - ¿М +1) 1
/ чч (¿ - ¿М+О^ - ¿М+2)
- / (тМ^-ГТТ-г +
(¿М+2 - тМ )(¿N+1 - тМ)
¿М+1 - тМ
+ тт(/''(С'') - /''(п))(¿ - тм)2 + тт(/''(С'') - /''О^ - тм)(¿ - ¿м+2)
2
¿М+2 - ¿М+1
(23)
<
< 1 "(/'', Дт)
ив та^ 1
1 ¿м+2 - ¿
м+1
+ |Дт |2 1 +
1 ¿М+1 - тМ
4 ¿М +1 - тМ / V 4 ¿М+2 - ¿М +1
Модуль разности первых производных функций /(¿) и в (¿) оценим так:
для ¿ € [то ,Т1]
|/(¿) — В (¿)|
2* — ¿о — Т1
(/(Т1) — ^ + / '(¿) — / ^+
(¿1 — ¿о)(т1 — ¿1)
— / (то)
(т1 — ¿о)(т1 — ¿1) 2^ — ¿1 — Т1
(Т1 — ¿о)(т1 — ¿1)
(¿1 — ¿о)(т1 — ¿о)
(/(т1) — Ы^ — ¿о — ¿1)
(т1 — ¿о)(т1 — ¿1)
+ (/''(п) — /''О^ — ¿о) + !(/"(£') — //,(€/,))(2¿ — ¿о — т1) ^
2 т1 ¿1
+
<
< 1 "(/'', Дт)
11
+
т1 ¿1 т1 ¿о
для ¿ € [-,-+1] (г = 1, 2, N— 1)
) + Ч2 + ^)
+ (/ (тг+1) — ^¿+1) + /¿+1
I/(¿) — В (¿)|
2¿ — ¿г+1 — тг
/,/ \ ч 2¿ — ¿г+1 — Тг+1 . (/(тг) — ---7 +
(тг+1 — ¿г+1) (тг+1 — тг)
2¿ — -г — -г+1
(^¿г+1 — тг) (тг+1 — ¿г+1)
— / (-г+1)
(¿¿+1 — тг)(—+1 — —)
1 £1(+\ \ 2¿ — ¿¿+1 — тг+1 | + / (¿) — / -77-7+
(¿г+1 — тг) (тг+1 — тг) 2¿ — ¿г+1 — тг
(/(тг) — + (/(тг+1) —
(¿г+1 — тг)(тг+1 — тг)
1
(тг+1 — ¿г+1)(тг+1 — тг)
2¿ — ¿г+1 — тг
+
+ (/ ''(п) — / "О^ — тг) + 2(/,,(е/) — /''ОФ — тг — тг+1)
(тг+1 — ¿г+1) (тг+1 — тг)
¿г+1 — тг
тг+1 — ¿г+1
<
(25)
< 2"(/'', Дт)
для ¿ € [тм , -м+1]
+
¿г+1 — тг тг+1 — ¿г+1
+ |Дт | 2 +
¿г+1 — тг тг+1 — ¿г+1
!/'(«) — »'С«)! =
(/(тм)—^),. ^+'—^ . + /'(¿)—
(¿М+2 — ТМ )(¿N +1 — ТМ)
Л/ Ч 2¿ — ¿М +1 — ¿М+2 . г ^ — ТМ — ¿М+2
—/(-м ^-гтт:-гг + /N+1-
— / (-М+1)
+2 — ТМ )(¿N+1 — ТМ) 2¿ — ¿М+1 — ТМ
+2 — ТМ )(¿N+2 — ¿М+1) 1
+2 — ¿М+1)(¿N+1 — ТМ )
(/(ТМ) — ^К ^ ¿М+1. — ¿М+2 ч +
+ (/''(п) — / "а" — ТМ) + 2(/''(С) — /''ОФ — ¿N+2 — ТМ)
+2 — ТМ )(¿N+1 — ТМ ) ¿М +1 — ТМ
¿М+2 ¿М+1
<
(26)
< 2"(/'', Дт)
1
+
1
.¿N+1 — ТМ ¿N+2 — ТМ
+ |ДтИ 2 +
¿М+1 — ТМ ¿М+2 ¿М+1
(27)
Модуль разности вторых производных функций /(¿) и в(¿) оценим следующим образом:
1
1
1
для ¿ € [-о ,-1] |/ ''(¿) — »''(¿)|
(/(-1) — Ы
2
(-1 — ¿о)(-1 — ¿1)
+ /''(¿) — / (то)
2
22 +/1 (¿1 — ¿о)(-1 — ¿1) — /(-1) (-1 — ¿о)(-1 — ¿1)
+(/''(¿) — / ''(С)) + (/''(О — /''О
(¿1 — ¿о)(-1 —¿о) 2(/(-1) — Ы
+
(-1 — ¿о)(-1 — ¿1) <
+
¿1 — ¿о
-1 — ¿1
< </', Дт)]( ¿ )( ¿ )
[ (-1 — ¿о) (-1 — ¿1)
для ¿ € [Тг,Тг+1] (г = 1, 2, N — 1)
+1+
(/(тг) — ^г)
¿1 — ¿о -1 — ¿1
2
(¿г+1 — тг)(тг+1 — -г)
+ (/ (-г+1) — ^г+1)
+ /г+1
2
(-г+1 — Тг)(-г+1 — ¿г+1) 2
+ /''(¿) — / (-г)
2
+
(/(тг) — ^г)
(¿г+1 — -г) (-г+1 — ¿г+1) 2
— / (-г+1)
(¿г+1 — тг )(тг+1 — тг) 2
(¿г+1 — тг) (тг+1 — тг)
+ (/(тг+1) — ^г+1)
(-г+1 — -г) (-г+1 — ¿г+1) 2
+
< Ч/'', Дт)
для ¿ € [-М, -м+1]
|/ ''(¿) — »''(¿)| =
— / (-М) — / (-М+1)
+(/''(¿) — /''(С)) + (/''(£') — /''(С)) ¿г+1 ¿Тг
-г+1 — ¿г+1 ^в , 1 , ¿г+1 — -г
(-г+1 — Тг)(-г+1 — ¿г+1) <
(¿г+1 — тг)(тг+1 — ¿г+1)
(/(-м ) — ) 2
+1+
2
-г+1 — ¿г+1
(¿N+2 — ТМ )(¿N+1 — ТМ) 2
+ /'' (¿) —
(¿N+2 — ТМ )(¿N+1 — ТМ) 2
+ Ум+1
+2 — ¿М+1)(¿N+2 — ТМ )
+2 — ¿М+1) +1 — ТМ ) 2
(/(-М ) — )
+
+(/''(¿) — /''О + (/''(С) — /''О ¿М+1 ТМ
+2 — ТМ ) +1 — ТМ ) <
< Ч/'', Дт)
(¿N+2 — ТМ )(¿N+1 — ТМ )
+1+
¿М+2 ¿М+1 ¿М +1 — ТМ
¿М+2 ¿М+1
Из оценок (22) - (30) и следует справедливость теоремы 2. Аналогично устанавливается справедливость следующих теорем.
(28)
(29)
Теорема 3. Пусть N > 1 и на отрезке [а, Ь] заданы разбиения Д4 и Дт, для которых выполняется (1).
Если /(¿) € С 1[а,Ь] и интерполяционный параболический сплайн в(¿) с узлами тг (г = 1, 2, ..., N и узлами интерполяции Д4 удовлетворяет условиям (2)-(4), то имеет место неравенство
|/Н(¿) - в(v)(¿)HcМ< 7^(/', Дт), V = 0,1,
где
7о = | Дт | + тах] ив1 тах (1, -4") + | Дт I тах ^1, "4"
тах 2<г<м
ив^ 1 + тах (-г, -г ^ } + |Дт| тах ^1, 4
ив1 тах(1,-- )+ |Дт | тах (^1, М+"
V 4-м+1/ V 4 /
' ив1 ив1
71 = 3 + тах ^ -1 +--— +--—, -м+1 + , . ,
т1 - ¿о т1 - ¿1 ¿М +1 - тМ ¿М+2 - тМ
ив1 + ив1
тах 2<г<м
ив1 ив1 -г + :--+
¿г тг—1 тг ¿г
причем
в1
тах 1<г<м
„ тг ¿г ¿г+1 тг 2 + 1 +
¿г - тг—1 тг+1 - ¿г+1
¿ г тг—
-
г—1
тг ¿г
Теорема 4. Пусть N > 1 и на отрезке [а, Ь] заданы разбиения Д4 и Дт, для которых выполняется (1).
Если / (¿) € С [а, Ь] и интерполяционный параболический сплайн в (¿) с узлами тг (г = 1, 2, ..., N и узлами интерполяции Д4 удовлетворяет условиям (2)-(4), то имеет ме-
сто неравенство
где
II/(¿) - в^Нсм< УЧ/, Дт)
7
2 + тах
-1 + 2ив2 тах (1, -1) + тах( 1 + 2-1,1 1 + (1 + -1) ^
-м+1 + 2ив2 тах ( 1, —^4+^ ) + тах (1 + 2-м+1,1 [-—+1 + (1 + -м+1) 1]
4
тах 2<г<м
-г + 2ив2 (1 + тах (-¿, -г— 1)) + тах + 2-, 4 [-— 1 + (1 + -г) ^
в2
тах 1<г<м+1
+
+
тг ¿г ¿г тг—1 тг тг — 1
-
¿г - т.—1 тг ¿г
1
1
1
Список литературы
[1] Завьялов Ю. С., Квасов Б. И., Мирошниченко В. Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980.
[2] Корнейчук Н. П. Сплайны в теории приближения. М.: Наука, 1987.
[3] Макаров В. Л., Хловыстов В. В. Сплайн-аппроксимация функций. М.: Высш. школа, 1983.
[4] Малоземов В. Н., Певный А. Б. Полиномиальные сплайны. Л.: ЛГУ, 1986.
[5] Стечкин С. Б., Суввотин Ю. Н. Сплайны в вычислительной математике. М.: Наука, 1976.
[6] Воеводин В. В., Кузнецов Ю. А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984.
Поступила в редакцию 10 августа 2000 г., в переработанном виде — 17 января 2001 г.
