Нечеткая интерполяция Текст научной статьи по специальности «Математика»

электронное научно-техническое издание

НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

Эя № ФС 77 - 305БЭ. Государствен над регистрация №0421100025.155Н 1994-0405_

Нечеткая интерполяция 77-30569/308732

# 02, февраль 2012 Деменков Н. П., Мочалов И. А.

УДК 517.97

МГТУ им. Н.Э. Баумана demenkov@iu1.bmstu.ru

Введение.

Представление и обработка данных — класс математических задач, имеющих явно практическую направленность, прежде всего в области информатики, радиотехники, теории управления и связи, радиолокации, навигационной аппаратуры.

Нередко исходные данные при решении математических задач представлены рядом точек произвольной зависимости вида у(х). Сама по себе эта зависимость может быть неизвестной. Для вычисления промежуточных значений функции используется аппарат интерполяции.

Для описания неопределенностей и неконтролируемых возмущений, которые возникают при разработке различных моделей, используемых в технических приложениях, с целью уменьшения влияния неопределенностей часто применяются методы четкой интерполяции, которые позволяют решать узкие задачи приближенных вычислений, получить устойчивые решения некорректных задач, фильтровать случайные возмущения и т.д.

Применение методов теории нечетких множеств в перечисленных выше задачах дает простые и эффективные алгоритмы.

Одним из способов фильтрации данных с неконтролируемыми возмущениями является их нечеткая интерполяция, являющаяся естественным обобщением соответствующего четкого аналога.

Алгоритмы четкой и нечеткой интерполяции основаны на использовании многочленов Ньютона и Лагранжа. С дальнейшим развитием вариационных

методов решения разностных задач вычислительной математики широко используется сплайновая интерполяция.

Достигнуты также заметные успехи в решении различных задач с применением нечетких линейных систем (НЛС) в вычислительной математике, теории управления и других областях.

В настоящей работе на основе использования нечетких вычислений и теории нечетких линейных систем решена задача ньютоновской интерполяции для нечетких данных и даны условия существования сильной, слабой интерполяции и ее отсутствия.

Базовые определения.

Нечеткое число хн 6 Я1 определяется как отображение г: Я1 ^ [0,1] 6 Я1, где г(х) - функция принадлежности. Из-за отсутствия взаимной однозначности выделяются «левая» г(х) и «правая» г (х) ветви относительно г(х)=1, каждая из которых определяют уже взаимно однозначное отображение. В теории нечетких множеств используется эквивалентная уровневая форма представления нечеткого числа, задаваемая в виде обратного отображения г-1: [0,1] 6 Я1^ Я1. Для отображения х(г), г6[0,1] выделяются «нижняя» х(г) и «верхняя» х (г) ветви.

Таким образом, для нечеткого числа хн 6 Я1 используется цепочка эквивалентных представлений:

хн 6 Я1 <=> г(х), г6[0,1] ^ (_г(х); г (х) / х6 Я1 , г, г 6[0,1]) Щх(г), х (г) / 0< г<1).

Относительно функции г(х) должны выполняться следующие свойства

1) Функция г(х) полунепрерывна сверху;

2) Функция г(х) монотонно возрастает;

3) Функция г (х) монотонно убывает.

Кроме того, для х(г) должно выполняться условие х(г)< х (г). Если х(г) имеет треугольную форму, то перечисленные свойства выполняются для остроугольного треугольника, так как не каждый тупоугольный треугольник может изображать нечеткое число. Обычно применяется обозначение

хн ^ (х(г), х (г) / 0< г<1).

Арифметические операции сложения (+), вычитания (-), умножения (х) и деления для нечетких чисел хн и ун определяются соотношением

max min

* Ун = ¿н ^ (( r(x), r(y)).

Хн * Ун = 2н

Операции сравнения больше-равно (>), меньше-равно (<) следуют из определения [1]. Имеем нечеткие числа хн и ун такие, что

>

Хн ^ ( x(r), х (r) / 0< r<1), Ун ^ (y(r), У (r) / 0< r<1). Тогда Хн Ун, если

<

1 > 1 Т(Хн)= J r[x(r) + x(r)]dr Т(Ун)= J r[У(r) + У(r)]dr . (1)

0 < 0

Совокупность нечетких чисел образует банахово пространство [1]. Нечеткая функция фн(х) определяется как отображение

фн: R^F=(r(x)},

где F - совокупность функций принадлежностей r(x). Это отображение параметризуется относительно r6[0,1] и может быть представлено в виде [1]:

Фн^Мш^г), ф (x,r) / 0< r<1).

По аналогии с выражением (1) для нечеткой функции фн^) вводится критерий

Яфн^)^ J г[ф( x, r) + ф( x, r)]dr

Имеют место следующие утверждения:

1) Нечеткая функция фн(х) монотонно возрастает (убывает), если для любых X! и х2 выполняется

XI <Х2 ^ Г(фн(Х1)) < Г(фн(Х2)) (Х2 <XI ^ ДфнЫ) < Г(фн(хО));

2) Нечеткая функция фн(х) непрерывна для х6[с,^]с Я1, если Г(фн(х)) непрерывна;

3) Нечеткая функция фн(х) дифференцируема, если Г(фн(х)) дифференцируема. Производная от нечеткой функции фн(х) равна

д , . д

id д Фн (x)=l -z-v(r, x); — Ф(г, x)/0 < r < 1);

\dx~ dx

4) Нечеткая функция фн(х) интегрируема по Риману, если Т(фн(х)) интегрируема. Интеграл от нечеткой функции фн(х) равен

1 С 1 1 \

| рн (х)1х = I | р(г, х)1х; | р (г.х)1х /0 < г < 1 .

с V с с )

Приведенные утверждения показывают, что нетрудно сконструировать нечеткие аналоги основных структур классического математического анализа: нечеткие дифференциалы, нечеткие точки перегиба, нечеткие касательные, максимумы (минимумы) нечеткой функции и т.д.

Постановка задачи нечеткой интерполяции.

Задача нечеткой интерполяции формулируется следующим образом. Пусть мы имеем нечеткую функцию ун на сетке:

^л ...

Ун: 0 1 " ,

У н0 У н1 ... У нп

где а1,1= 0, п - четкие узлы сетки, ун,- - нечеткие числа, которые заданы в уровневой форме

Унг=(Уг(г), У (Г) / Г6[0,1]), /=0^ .

Нечеткая функция Ун задана в параметрической форме относительно неизвестного

т

нечеткого вектора хн =(хн0, хн1, ..., хнп) :

Ун=(а,Хн),

где а=(а1, а2,..., ап)т.

Задача нечеткой интерполяции состоит в нахождении нечетких компонент хн,-по нечетким значениям ун1-, 1= 1, п. Для этого в общем случае решается нечеткая система нечетких уравнений относительно компонент хн,- вектора хн:

Ун = хн )1хн1 , /=М . (2)

Здесь число неизвестных равно числу уравнений системы. Рассматривается обычно два варианта задания выражения (2):

1) Зависимость у(а,хн) представлена в виде нечеткого обобщенного

многочлена по линейно-независимой четкой системе функций Чебышева £г(х):

п

У(а,хн)= X (а); (3)

1=0

2) Зависимость у(а,хн) является нелинейной относительно вектора хн, например, представление по нечетким тригонометрическим или экспоненциальным функциям.

По аналогии с четкой интерполяцией [2] представление (3) будем называть нечеткой лагранжевой интерполяцией, то есть это интерполяция по четкой системе функций gi(a), /= 0, п для нечетких данных:

det

£о(ао) gl(aо) .. gn (ао) gо(al) gl(al) .. gn (а1)

gо(an) gl(a„) ... gn (ап)

00.

В зависимости от способа задания функций gi(a) будем различать нечеткие интерполяции Ньютона, Гаусса, Лапласа-Эверта и другие нечеткие интерполяции. Нечеткая ньютоновская интерполяция.

Положим в выражении (3) gi (а)= а1, /'=0, п . Тогда нечеткий обобщенный

п

многочлен будет иметь вид у(а,хн)= Ё (а), а нечеткая линейная система (3)

/=0

для нахождения хн0, хн1, ..., хнп:

Ё хша' = Ун., /'=0, п .

/=0

Определитель Вандермонда имеет вид:

А п+1 = det

ап

а,

1 а„

а0 ап

а"

П(а/ - ак) 00

п >/> к >/

(4)

Поэтому по правилу Крамера получим решение нечеткой линейной системы. Выражение (4) в матричной форме будет иметь вид:

Ахн=Ун, (5)

где А =

1 а0

1 а,

1а

а0

а,"

аЩ

т т

н =(xш0, xш1, ) , Ун =(Ун0, Ун1, Унп) .

Система (5) решается в соответствии с методикой, которая изложена в [3]. Расширенная система имеет вид:

£хн=Ун, (6)

" В \ С'

где Б = •■■ | •■■ - блочная матрица, в которой матрица В содержит

С \ В

положительные элементы матрицы А и нули - для отрицательных ее элементов, а матрица С содержит модули отрицательных элементов матрицы А и нули ее положительных элементов. В результате размерность матрицы В 1шВ=[2(п+1)х2(п+1)]. Вектора хн , ун соответственно равны:

т

хн =(Хo, - x0,., - хп) , Ун =(У0, Уn, - Уo,., - Уп У

- \Т

н _ 1^-0

В [3] доказывается, что при ¡в1А^0 и 1е/[В+С]^0 решение уравнения (6) будет равно:

хн =Б yн,

\ Е'

■ ■■ ; • ■ ■ - блочная матрица, в которой

Е \ Б

¡М Поэтому

(7)

где Б"1=

Б=0.5[(В+С)-1+(В-С)-1], Е=0.5[(В+С)-1-(В-С)-1].

Решение уравнения (7) для хн дает сильное решение или сильную ньютоновскую интерполяцию, если это решение удовлетворяет свойствам определения нечеткого числа. В противном случае имеем слабое решение или слабую ньютоновскую интерполяцию. Имеют место следующие утверждения:

1) Если и компоненты вектора Ун линейно независимы, то уравнение (7) не имеет решения и не существует соответствующая ньютоновская интерполяция;

2) Если ^0, 1е/Б=0, а компоненты вектора Ун линейно зависимы, то уравнение (7) имеет бесконечно много решений, из которых можно выделить сильные и слабые решения, что будет соответствовать сильной и слабой нечеткой ньютоновской интерполяции.

Рассмотрим решение задачи нечеткой ньютоновской интерполяции на примере простейших задач.

Пример 1.

Пусть в координатах (а,ун) имеем:

(-1, 1(г)), (3, 5(г)).

где уп1 и уп2 - нечеткие числа с функциями принадлежностей:

Ун1= 1(г)=(г, 2-г / ге[0,1]), Ун2= 5(г)=(4+г, 7-2г / г6[0,1]).

Необходимо найти нечеткую ньютоновскую интерполяцию 1-го порядка у(а)= = хн1а+хн2а. Выражение (5) будет в этом случае примет вид:

1х 1х„

н1

- 1х н2 = Ун1

3Х н2 = Ун2

"1 -1" " Хн1 " " Ун1 "

1 3 .Хн2 _ .У н2 _

в котором detA=

1 -1 1 3

"1 0" , С= "0 1"

В=

1 3 0 0

=4^0. По матрице А составляем блочные матрицы В и С: . Расширенная система уравнений (6) будет иметь вид:

1 0 0 1" " Х1 " У1

1 3 0 0 Х 2 У 2

0 1 1 0 - Х1 - у1

0 0 1 3 .- Х2 _ .- У2 _

Ун

Так как detA^0 и det[B+C]^0 ^ det £^0. В этом случае решение системы 5Хн=Ун существует и является единственным: хн =5г1 ун. Расчеты по 5г1дают:

Э=0.5[(В+С)-1+(В-С)-1]=

1.125 - 0.125 - 0.375 0.375

Е=0.5[(В+С)-1-(В-С)-1]=

0.375 - 0.375 -0.125 0.125

. Следовательно,

э

Е

Е

э

1.125 - 0.125 0.375 -0.375

- 0.375 0.375 - 0.125 0.125

0.375 -0.375 1.125 - 0.125

- 0.125 0.125 -0.375 0.375

и

х

У

н

н

Х

н

^ Ун ^

У1 = г

х 2 = £ ^ У = г + 4 —2

- Х1 У = г - 2

Х2 _ _У2 = 2г - 7_

Ун

Окончательно получим:

хн1 = 1.375 + 0.625г; 2.875 + 0.875г /г е [0,1])!

*1( г) х1( г)

хн2 = 0.875 +1. 125г; 1.375 + 0.375г /г е [0,1]) '

Х2( г )

х2( г )

Из полученного решения видно, что х1(г)< х 1(г) и х2(г)< х 2(г). Следовательно, найденное решение хн1 и хн2 является сильной ньютоновской интерполяцией.

Пример 2. Взаимосвязь слабой и сильной интерполяции. Пусть в координатах (а,ун) имеем:

(-2, 1(г)), (3, 1фг)), где Р>0 - параметр, а уп1 и уп2 - нечеткие числа с функциями принадлежностей:

Ун1= (г,2-г / ге[0,1]), Ун2= 5(г)=(г,(Р+1)-Рг / ге[0,1]).

Зададим интерполяционный многочлен 1-го порядка:

у(а)= = хн1+х^а. Выражение (5) будет в этом случае примет вид:

у(а )| ^ |1хн

■ТУ ) \а=а1 , У=УН1 ^ <

11хн

а = а2 , У=Ун2 ^ н

1Хн1 -2х н2 = Ун1 -3х н2 = У н2

"1 - 2" " Хн1 " " Ун1 "

1 3 _Х н2 _ _ У н2 _

в котором |^|=5^0.

По матрице А составляем блочные матрицы В и С:

В=

"1 0" , С= "0 2"

1 3 0 0

. Матрица £ для расширенной системы уравнений (6) будет

иметь вид:

н

х

У

н

н

5=

10 0 2

13 0 0

0 2 10

0 0 13

, а детерминант |5|^0.

Поэтому решение расширенной системы уравнений (6) существует и равно:

У1 = г

у = г + 4

¿-2

Х1 1.8 - 0.8 1.2 -1.2

Х2 - 0.6 0.6 - 0.4 0.4

Х1 1.2 -1.2 1.8 -0.8

Х2 _ - 0.4 0.4 - 0.6 0.6

- У1 = г - 2 у 2 =вг - (в +1)

Ун

Откуда получим:

хн1 = 1.2(в -1) + (2.2 -1.2в)г; (2.8 - 0.8в) - (1.8 - 0.8в)г/г е [0,1])

й( г)

г )

хн2 = 0.4(1 - в) + 0.4(в - 1)г; 0.6(в -1) - 0.6(в - 1)г /г е [0,1])

Х2( г )

х2( г )

Дальнейшие вычисления дают:

г=1 =1; Xн1 (г)Ц =1.2(Р-1); Xн1 (г)г=0=2.8-0.8Р;

хн2|г=1 =0; хн2(г)г=0=0.4(1-Р); Xн2(г)г=0=0.6(Р-1).

Исходя из определения нечеткого числа, должны выполняться следующие условия:

[хн1 (г)г=0 < 1 [1.2(в - 1) < 1

<=> / ^ <

хн,(г)|„0 > 1 [2.8-0.8в> 1

в< -

в<9 6'

| Х н2 (г)г=0 < 0 ^ /0.4(1 -в) < 0 ^ в>1

Xн2(г)10 > 0 [0.6(в-1) > 0 в> .

V-,-1

х

5

н

Таким образом, для нечеткой линейной системы при 1<Р<будем иметь

6

сильное решение системы и, соответственно, получим сильный нечеткий интерполяционный многочлен. Например, при Р=1.5, то есть находящимся в пределах ограничений, имеем сильный нечеткий интерполяционный многочлен:

у(а) = хн1 + хн2 а = <

(0.6 + 0.4г) + (-0.2 + 0.2г)а; (1.6 - 0.6г) + (0.3 - 0.3г)а/г е [0,1])

Х1( г )

Х2( г )

г )

Х2( г )

При Р=1.9, то есть выходящим за пределы ограничений, будем иметь:

хн1 = 1.08 - 0.08г; 1.28 - 0.28г / г е [0,1])

Х1( г )

Х1( г )

хн2 = - 0.36 + 0.36г;0.54 - 0.54г/г е [0,1])'

Х2( г )

х2( г )

В этом случае Х1(г)|г=0= 1.08> 1 и, соответственно, функция Х1(г) является монотонно убывающей, что противоречит определению нечеткого числа (Х1(г) должна быть монотонно возрастающей).

Слабое нечеткое решение ин системы находится из условий:

ин1 =<

шт(х1(г),Х1(г),Х0(г = 1)};тах{х1(г),Х1(г),Х0(г = 1)}/г е [0,1])

н ( \ —н

«1(г) и1

= (1; 1.28-0.28г / г6[0,1]),

uн2=xн1,

а слабый нечеткий интерполяционный многочлен равен:

У(а) = «н1 + «н2а = <

1 + (-0.36 + 0.36г)а;(1.28 - 0.28г) + (0.54 + 0.54г)а/г е [0,1])

V

«1( г)

«2( г )

«1( г )

«2( г )

Отметим, что невырожденность матрицы А не гарантирует, что матрица В является также невырожденной.

Если расширенная матрица С вырождена, то система уравнений (6), может не иметь решения или бесконечного множества решений. Следовательно, в этом случае интерполяция невозможна.

Заключение.

Рассмотрены общие положения нечеткой интерполяции в случае, когда значения сеточной функции задаются в виде нечетких чисел.

Из разнообразных типов интерполяции внимание акцентируется на ньютоновской интерполяции, когда для этих целей используется нечеткий степенной многочлен.

Для нечеткой ньютоновской интерполяции даются условия существования сильной, слабой нечеткой интерполяции и ее отсутствия.

Рассмотрены примеры для случая, когда степенной многочлен представлен многочленом первой степени, используемым для нечеткой интерполяции двух нечетких чисел.

Интерполяция многочленами имеет один существенный недостаток, заключающийся в появлении «краевого эффекта» на концах заданного промежутка. Для его устранения обычно используется интерполяция сплайнами различных типов. В этой связи весьма актуальной является задача получения сплайна на нечетких данных и их анализ на тип сплайна (сильный, слабый или отсутствие нечеткого сплайна).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Roy Goestdhel Jr. and Willim Voxman. Elementary fuzzy calculus.

Fuzzy sets and systems, 18 (1986), pp. 31-43.

2. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики, Учеб. пособие.

Санкт-Петербург, Лань, 2009. С.608.

3. Menahem Friedman, Ming Ma, Abraham Kandel, Fuzzy linear systems.

Fuzzy sets and systems, 96 (1998), pp. 201-209.

electronic scientific and technical periodical

SCIENCE and EDUCATION

_EL № KS 77 -3()56'J..VaU421100025. ISSN 1994-jMOg_

Fuzzy interpolation 77-30569/308732

# 02, February 2012 Demenkov N.P., Mochalov I.A.

Bauman Moscow State Technical University demenkov@iu1.bmstu.ru

The general provisions of the fuzzy interpolation were considered for the case when the values of the grid functions were defined as fuzzy numbers. Attention was paid to Newton's interpolation, where fuzzy power polynomial was used to reach the same goals. The existence conditions of strong, weak fuzzy Newtonian interpolation and its absence were given. Examples were given for the case when the power polynomial was the first-degree polynomial used for fuzzy interpolation of two fuzzy numbers. Spline interpolation is usually used to eliminate the edge effect at the end of the specified period. So the task of obtaining spline from fuzzy data and analysis of this data for the type of spline (strong, weak or lack of a fuzzy spline) is very important.

Publications with keywords: modelling, algorithm, filtering, fuzzy interpolation, fuzzy linear system, polynomial, data processing

Publications with words: modelling, algorithm, filtering, fuzzy interpolation, fuzzy linear system, polynomial, data processing

Reference

1. Roy Goestdhel Jr., Willim Voxman, Elementary fuzzy calculus, Fuzzy sets and systems, 18 (1986) 31-43.

2. Marchuk G.I., Methods of Computational Mathematics, Sankt-Peterburg, Lan', 2009, 608 p.

3. Menahem Friedman, Ming Ma, Abraham Kandel, Fuzzy linear systems, Fuzzy sets and systems 96 (1998) 201-209.