Интерполяционный параболический сплайн для функции из класса w l (m, a,b) 3 ¥, заданной d-приближением в с[a,b] Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.5:518

В.И. Колпаков ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ ПАРАБОЛИЧЕСКИЙ СПЛАЙН ДЛЯ ФУНКЦИИ ИЗ КЛАССА W3 Lx(M, a, b), ЗАДАННОЙ 8-ПРИБЛИЖЕНИЕМ В 0[a, b]

Предложен метод построения оптимального по порядку оператора -интерполяционного параболического сплайна для функции класса W3L^(M,a,b), заданной 8-приближением в С[а,b], с помощью которого одновременно восстанавливаются функция и ее производные. Доказано, что шаг интерполяции является постоянным, зависящим от уровня погрешности задания входных данных 8 и константы, определяющей класс - M. Проведен вычислительный эксперимент, показавший эффективность метода.

V.I. ^lpakov

INTERPOLATING THE PARABOLIC SPLINE FOR FUNCTION

W3 L^M, a, b), SET 8-APPROACH IN С[а, b]

The presented method of constructing the optimum order operator interpolating which is defined through parabolic spline for the function of W3 L^(M, a, b) type 5-approximation in С[a, b] simultaneously restores function and its derivatives. It is proved that the interpolation pitch is the constant, depending on the er-

ror level of input data and the M-class determining constant. The computing experiment which has shown efficiency of a method is carried out.

Постановка задачи

J b] :|| f (3)

llL«,[a,b]

Пусть функция f (x)е W3L^(M,a,b) = {f (x)е C [a,b] : II f ^11 r ,< M } задана своим

*■ L la b I •»

8-приближением f8(x)e C[a,b]:||f8 -f||C[ab] <8,0<8<80, где 8 - уровень погрешности вход-

J, тл к ((b - a)Y M

ных данных f8, M - заданная величина, 80 = I —3— I — .

Пусть заданы два множества узлов:

Л1 { a = x0 < x1 <... < xn = b }, x{ = x0 + ih , i = 0,n , h = ba;

n

Л 2 ={ xi =(xi-1 + xi )/2, i = 1 n } x0 = a , xn+1 = b , n ^ ^ n ^ N •

1) Требуется по заданным 8-приближениям f8 е C[a,b] построить интерполяционный сплайн S2 ( f8 , x), x е [a, b], чтобы имели место соотношения :

а) S2(f8, x)е P, , x е (xi, xi+1), i = 0n ;

б) S2(fg,x)e C 1[a,b] (s2)(f8,x- + 0) = S2k)(f8,x -0), i = 1n , k = 0,1);

в) S 2 (f8, xi )= f8(xi ) , i = 0 n .

Данная постановка задачи является новой (см. [1] гл.1, п.7, с.40).

Введем величину Лk (8) = sup S2k)f8 - f(kч - погрешность восстановления k-й произ-

3II IIl

feM 83

dk

водной с помощью оператора S2k)(f8 , x) = -TTS2 (f8 , x) , xе [a,b] , где I=C [a,b] k=0,1,

dx

I = L„M] ,k = 2, M3 = {W3L^(M,a,b)u f8 е C[a,b]: ||f, - f ||C[ab] < 8}, 0<8<8q.

2) Найти такое согласование между параметрами 8, M, h (см. [2]), чтобы имели место неравенства c0k^k(8) < Лk (8) < c1k^k (8), k = 0,1, 2,

где ^k(8)= inf sup|kf8- f (kIC[ b] -

RkeL(C^C) feM^ " C[ab]

J 8

максимальная погрешность восстановления k-й производной функции с помощью линейных ограниченных операторов Rk е L(C ^ C) на множестве W83. Таким образом, операторы

S 2 (f , x), x е [a, b] должны быть оптимальными по порядку операторами одновременного восстановления функции вместе с производными, c0k, c1k - константы.

1. Построение интерполяционного сплайна S2 (f8, x), x е [a, b]

Пусть S21)(f8 , X, ) = mi8, i = 0, n +1 - моменты сплайна, определенные в узлах сплайна Л2, yi 8 = f8(xi), i = 0,n - значения функцииf8(x), заданные в узлах интерполяции Ль тогда:

(2w \ Гm, 8 -m08 _ _ mM8 -mi8 _ _ -------

S8 )(f8,x)=j h/2 , ,x0 <x<x1; ——-, xi <x<xi+1,1=0n-1;

тп+1,5- т„,5 -

,Хп < X < хп+1} , к/2 п п+1

то есть Б2 (/5 , х) является кусочно-постоянной функцией на [а, Ь].

Интегрируя Б22)(/5, х) от х{ до х е [х,, хм ], г = 0, и , получим

б21)( /8, х) = 1т;5-1—^(х - хг),, х е [х,, хг+1 ], г = 0, п\, то есть Б^(1)(/5, х) является ку-

I ’ хг+1 - хг

сочно-линейной функцией на [а, Ь].

Интегрируя Б2^(/5, х) от х, до х е [х,, х,+1 ], г = 0, п (то есть слева направо), получим

е + и ) I ^ ( -и т!>8-то,5 (х - х )2 _

Б 2 (/5 , х ) = 1 У0,5 + тоАх - х0 Н“ =-2--’ х0 “ х “ х1 ’

С+и ( тг+1,5- тг,5 (х - х,- ) _ . —

Б2 (/5,х,)+т,,5(х-х,Н —---------------=---;---, х, ^ х^ х,+1 , 1 = 1п ,

х,+1 - х, 2

где 8+(/5, х1) = у^ - т, 5 ^ - т,+15 , г =1,п }, то есть Б+(/5,х) является кусочно-

О

параболической функцией на [а, Ь]. При построении Б +(/5, х) мы интегрировали Б2^(/5, х) слева направо, теперь проделаем это же справа налево только для х е [х,, хм ], то есть проинтегрируем от х е [х,, хм ] до хш ,, = 1, п -1, тогда получим

Б2-(/5 , х) = {^2+(/5, х) , х0 ^ х ^ х1 ; Б2-(/5 , х,+1 )-тг,5 (хг+1 - х )-

т+1,5- т,,5, , т+1,5- т,,5 (х - х, )2

------ +----Г---Г--------------,

х,+1- х, 2

3-

где Б2- (/5х,+1 ) = Уг,5 + т,,5 - + т,+1,5 V , х, ^ х ^ х,+1 , г = 1 п - 1; Б2+ (/5 , х) , хп ^ х ^ хп+1 } •

ОО

Теорема 1. Б2+(/5, х) = Б-(/5, х), х е [а, Ь] .

Определение 1. Б2 (/5, х) = 2 (б +(/5, х )+ Б2"( /5 , х)) , х е [а, Ь] •

Построим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) для определения моментов {т,5},, = 0,п. Для этого воспользуемся свойством «Ь» сплайна Б2(/5, х). Так как

по теореме 1 Б2(/5, х) = Б-(/5, х), х е [а, Ь] , поэтому для вывода СЛАУ для моментов можно взять любой из них. Пусть г=0, тогда

С + ( £ - п) _ С + ( £ - I п) I - I т1,5 - т0,5 (— /2) _

Б2 (/5 , х1 0) = Б2 (/5 , х1 + 0) ^ У0,5 + т0,5 0 + , /0 0 =

2 -/2 2

о+/х / т25 -^5 -2 - / ч- - / ч-

= Б2 (/5, х1)+ т1,5- + ^ Г" ^ у0,5 + т0,^ + (т1,5 т0,5^ = у1,5 т1,5 7Т (т2,5 т1,5 ,

- 2 2 4 2 8

после приведения подобных членов, получим первое уравнение:

А 'Л I с I о У 1,5 У0,5

г = 0 2 т0 5+ 5 т^+ т2 5 = 8-----------------

Теперь рассмотрим случай г, г = 2, п -1, тогда имеем Б2 (/5, х, - 0)= Б2 (/5, х, + 0),

откуда получаем

3- - , , т,,5 т,-1,5 -2 3- -

У,-1,5 - V т,-1,5 ^ т, ,5 + т,-1,5- +-----:-----------Г- = У г,5 - Щ,5^ - т,+1,5 ^ ^

8 8 - 2 8 8

I ¿1 | о У ,,5 У ,-1,5

т,-1,5 + 6т,,5 + т,+1,5 = 8-----;----- .

-

Аналогично для г = п +1

. с I л о Уп,5 Уп-1,5

тп-1,5+ 5 тп,5+ 2 тп+1,5= 8-------1----- •

-

Таким образом, имеем

!Л О I С I О У 1,5 У0,5

I = 0 2 т0,5+ 5 т1,5+ т2,5= 8--------- --- ;

-

' О 1 I /С I О У,,5 Уг—1,5 /14

I = ^ п -1 т-1,5+ 6 т;,5 + тМ5 = 8------------------ ; (1)

-

. 1 . с , о Уп,5 Уп-1,5

I = п +1 тп-1,5 + 5 ти ,5 + тп+15 = 8----------- .

-

СЛАУ (1) содержит п уравнений, а неизвестных п+2, поэтому она дополняется следу-

У1,5 - У0,5 Уп,5 - Уп-1,5 , г

ющими уравнениями г = 1 т15 =--------------------------, г = п тп 5 =---------------------, где - - пока свобод-

- ’ -ный параметр. В построенной СЛАУ (1) правые части представляют значения оптимального оператора восстановления первой производной функции внутри отрезка [х1, хп ]с[а, Ь]

/5 Гх, + т) - /5 Гхг - т) / 35 N1/3

Д- (/5, хг ) = — -------— ------------- при - = к* = 2а* = 21 — 1 в точках х = х, , г = 1, п (см. [2]

гл. 6) и являются постоянными для всех х е [х1, хп ] с [а, Ь].

Теперь СЛАУ для определения моментов имеет вид:

г = 0 т0*,5 = | (3 т*5 - т 2,5 ) = Ю0,5 , г = 1 т1*5 = Д* (Л , х1 ) = Ю1

I = 2 6 т2,5 + т3,5 = 8 Д * (/5 , х2 ) - т1,5 = ^2,5

г = 3,п - 2 т-1,5 + 6т. 5+ т^ъ= 8Д-*(^, х, ) = ^ , (2)

г = п -1 тп-2,5 + 6 ти-1,5 = 8 Д *(/5, ^1) - т* = ^,5 , г = п т* 5 = Д *(/5, х) =

г = п +1 тя+1,5 = 2 (3ти*,5 - 1,5) = ^+1,5

Пусть т5 =(т2,5, т3,5 ,..., ти-1,5 ) , ю5 =(ю2,5, Ю3,5,..., Ю,-1,5 )

л =

Г 6 1 0 0 • • 0 0 0 01

1 6 1 0 • • 0 0 0 0

0 1 6 1 • •0 0 0 0

0 0 0 0 • •1 6 1 0

0 0 0 0 • •0 1 6 1

V0 0 0 0 • •0 0 1 6)

Матрица А имеет доминирующую главную диагональ и поэтому существует обратная матрица А-1, оценка которой имеет вид:

-і

А

-і

< ітіп

)

1 л -1

4 и не зависит от размерности матрицы, и т5= А ю5.

где

2. Представление погрешностей моментов

Пусть /5 = / + 5«, и, 5 = т*5 - / (1)(х;), г = 0, п +1, £, = ю(хг) - «(х,-1), г = 1,

/ (1) =(/ (1)(х2 ) , / (1)(х3 ),..., / (1)(хи—1)), ^5 =(г2,5, ^3,5,..., гп- 1,5) .

Теорема 2. На классе Ж53 для -=-* справедливы равенства:

х2

1) «0,8 = 2Г3к^Є1 ~ «2,8 1 + |К0 (г) /(3)(^) ^ = г,

0.8

х0

К о (г ) =

4к

3

(г - хо)2 - (г - хо).

х0 < г < х1 ;

4к*

2 1 1

(х1 - г) —(х2 - г), х1 < г < х1 ; —(х2 - г), х1 < г < X 2) ;

2

8 х

2) «1,8 =-^є1 + IК1(г) / (3)(г) ^ = г к

1,8

х0

/ 1 1

ГДе К1(г) = I ттг(г -х0)2. х0 <г < х1 ;^7Т(х1 -г)2 . х1 <г < х 1 ).

V 2к 2к

А(т8 / ^ = А«8 г8 , «8 (^ 2,8’ ”3,8

«8 = («28 , «3.8 «п-1

■1,8

) ^ «8 = А_1г8 ;

3) (8е2-е,)+ |К,(г) /и(<)Л, К,(г) = (г-х0)2,

к х0 V 2к

х0 )2, х0 < г < х1;

-ттт-(г - х1)2-(г - х1), х1 <г < х1 ;4- (г - х1)2-(г - х1), х1 <г < х2 ;4- (г - х2)2 + 2к к к

+ (г - х3), х2 < г < х2; г - х3, х2 < г < х 3) ;

#ч х+1

4) гг- ,8 = 8 —е + | кі (г) / (3)(г) Аг, і = 3 п - 2, К{ (г) = (-(г - х,), хг_1 <г < хі_1 ;

хі-1

2

1 1

—(г - хі-1)2 -(г - х-1), хі-1 <г < хі ; —(г - хі)2 +(г - хі+1), хі <г < хі;

2к 2к

г - хі+1, хі <г < хі+1) ;

п

3

5) гп— 1,5=ТГ(8 £ п—1 -£ п )+ ”|+ Кп—1 (* ) / (3)(?) 4 , Кп—1 О1 )=(-(? - хп—2 ) , хп-2 - * - хп-2 ;

- хп-2

-4(*-хи-1)2 + (*-хп), хп_1 < * < Хп-1; --Гг(*-хи-1)2-(*-хп), хп-1 < Г < хи_ 1;

- 2-

1

—г*-(*-хп)2, хп <*<хп+1);

0;* V ^п ) , ^ < * < х п+1 '

2-

хп (\

| Кг(,)/<3>(г)4 = г,,,, К,(*) = I —(г-х_г)

хп-1 V

6) ип,5= -*£я + I Кп (*)/1'Ч*) 4 = ги,5 , Кп (*) = |2-Г(* - хп—1 У , хп—1 < * < хп ;

К (* ) = |----------------(* - х г )2 , х г — * — х ; --------(х — * — х ) 1,

п \ ^ т * V п-1 / ’ п—1 — — п ’ гм * \ п — — п ' ’

- 2- 2- у

7) ип+1,5= 1 Г 37Г£п - ип-1,5'] + | Кп+1 (* ) / (3)(* ) 4* , Кп+1 (* )= |^- 1 (* - хп-1 ) , хп-1 — * — хп-1;

2 7 * п п-1,5 Л п+1 V / о \ / ' п+1 V / л

- - У х , - 2

хп-1

1 3

(хп-1 - ^ - Т(* - хп—1 ) , хп-1 < * < хп ; ТГГ(* - хп )2 + (хп+1 - О , хп < * < хп+1 ) .

(х ,— г) —и — х , х ,— * — х ; -----— х ) + (хл, — *), х — г — х

4-* ' п—1 / 2 ' п—1 / ’ п—1 п ’ 4-* ' п / V п+1 / ’ п I

Доказательство. Представления для погрешностей моментов получим из системы (3)

путем прибавления к обеим частям системы (3) соответствующего количества значений производной точной функции для получения выражений погрешностей моментов в точках х0, хг, хп, хп+г. Далее, сворачивая точные значения функции и ее производной по формуле Ньютона-Лейбница, интегрируя по частям до третьей производной и приводя подобные члены, получим утверждение теоремы для х0, х1, хп, хп+г. Для г = 2, п -1 имеем

mi)S - f^ ) = A— 1zi)g ,т.е. для получения представления погрешности для г = 2, п -1 достаточно получить представления для г, 5 , г = 2, п -1, которые выводятся аналогично.

3. Представление погрешности для сплайна и его производных Теорема 3. На классе Ж53 имеют место равенства

1 ( х;+1 ^

1) Б22)(/5,х)-/(2)(х) = ---- и,+1,5-и,5+ I Т(х,*)/(3)(*)4*

х,+1- х,

где г = 0 , х0 — х — хг ; г = 1, п -1, х{ < х — хг+г ; г = п , хп — х — хп+г ; Т{ (х, * ) = (-(* - х{), х{ — * — х ;

хг+г - *, х — * — х г+г), г = 0, п ;

1 ( х,+1

2) Б 21)(/5 , х)— / (1)(х) = 3----------------— (х,+1 - х )иг,5 + (х - х, )иг+1 + I ^ (^ I) / ) ) ,

х,+1 - х, - х,

[a, Ь] , (х, *) = ((хг+1 - х)(* - х, ) , х,. — * — х ; (х - х, )(хг+1 - *) , х — * — х ,+1 ) , I = 0, П ;

хе |а

Г х___х / \ хг

3) Б2 (/5 , х)— / (х)= 5«(х0 )+ —Г^ ((х1 - х)и0,5 +(х - х0 К,5 )+ |и0 (^ *) / (3)(*) 4 ,

х0 )+ ((х1 - х)и0,5 +(х - х0 )иг,5 )+ | и 0 (Х,

- - 50

[хо,хг],и0(^*)= -(х *) +(х х0) (хг-*),х0— г— х; (х ,х0) (хг-*),

^ 2 -

3

х < г < х 1 ) ; 2 ((я 2+(/8 , х)-/(х))+(я 2-(/8 , х)-/(х))) , хі < х < хі+1 , і = 1 п -1,

Я2+ (/8 , х) - / (х) = Я2+ (/8хі + 0) - / (хі ) + ((хі + 2 к* - хК+1,8 + (х - хі )« і+1,8 ) +

к

хі ( і (х - х )2

+1и,(x,г)/(3)(г)ж, и,(x,г)= --(х-г)2 + г' (х+1-г), х <г<х,

х. 2 2к

хі V

хі+1 ( ( _ )2

* «і+1,8 (х - хі+1 )«і,8)+ I у(x, г) / (3)(г) жг, у иг )= --^-(г - хі), хі <г < х;

хі V 2к

( - х )2 к*

х _■х* (хі+1 - г ) , х < г < хі+1 ) , Я 2+ (/8 , хі + 0)- / (хі ) = 8 ю(хі )-V (3«і,8 + «і+1,8 )-

2к 8

- | иі (хі, г ) / (3)(г ) Жг , ^ 2-(/8 , х)-/(х) = Я 2-(/8 , хі+1 - 0)-/(хі+1 )+ х ^ ((2 к*-хі+1 + х)

х 2 к

хм ( ( — )2

* «і+1,8 (х - хі+1 )« і ,8 )+ I Уі (x, г ) У(3)(г) Жг , Уі (x, г )= --^ (г - хі ) , хі <г < х;

„і V 2 к

1 (г - х)2 -(х , х*+1 ) (г - хі ) , х < г < хі+1 ) , Я 2-(/8 , хі+1 - 0)-/(хі+1 ) = 8“(хі ) +

2 2к

/ * хі 11

+ V («і,8 + 3« і+1,8 ) I Уі (xi+l, г) / (3)(г) жг) ;

8 хі

8«(хп )+ хп+,1 * х ((х - хп-1 )«п+1,8+(хп+1 - х )«п,8 )+ і ип (x, г ) / (3)(г ) Жг ,

к

х

п

хп < х < хп+1 , ип (x, г ) = (1 (х - г )2 - (хп+1 * х) (г - хп ) , хп < г < х ;

V

-(х^_^)_ (* - - ) , х — * — хп+1 )) .

-

Доказательство. Взяв определение Б(2к)(/5, х), к = 0,1,2, вычтем производную / ()(х), £=0,1,2, из обеих частей равенства, затем в правой части добавим и вычтем значения первой производной в соответствующих точках для получения погрешностей моментов. Далее, точные значения производной свернем по формуле Ньютона-Лейбница, проинтегрируем по частям до третьей производной, приведем подобные члены и получим утверждение теоремы.

4. Оценки погрешности для моментов, сплайна и его производных

В силу симметричности СЛАУ (3) погрешности для моментов сплайна тоже имеют симметрию, тогда достаточно оценить погрешности моментов для г = 0,1,2, 3, п - 2. Остальные оценки погрешности моментов выводятся по симметрии.

а* 0 <5 —;

[5* 0, Е1Д (5)

Теорема 4. Справедливы оценки: первая при - = -* = 2а*, 0 < 5 — 50, вторая при 5=0

8ир тах | ¿і,8І<ї*п р л^,2

/еМ3 2<і<п-1 [8 = 0 , РіМ к

35 17 35 19 -

где Е2 = Еп-1 = —, ^2 = ^ = —, Е^ = —, і = 3, п - 2 •

2 п-1 6 2 п-1 24 і 9 і 24

Доказательство. Утверждения теоремы легко получаются из представления гі8 (см. теорему 2).

Теорема 5. Справедливы оценки: первая при к = к* = 2а*, 0 < 8 < 80, вторая при 8=0

Г8* 0, СП1 (8)

sup maxk>8-f'{x,!<■

feM 3 0<i'<n+l

8 = 0, DiMh7

гДе C0 = Cn+1

119

72

D0 = Dn+1

2

33

79 33 1

------, C1 = Cn = —, D1 = Dn = —.

192 1 n 2 1 n 24

35

19

35 17 _ _

С2 = —, Д2 = —, С, = —, Д. = —, г = 3, П - 2 .

2 36 2 24 г 36 г 24

Доказательство. Пусть г=1, тогда из представления погрешности момента сплайна

для г=1 имеем

8,

k,8- f ,{xi |eJ+

j K {t )f (3){t )dt

x0

2—

h

M

так как |£г| — 2, а |Кг(*)/^(*)4* представляет собой линейный функционал Кг, действующий

х0

из

L^ [ Хо, Х1] в R = {-<^, <^). Тогда ЦкЦ

1 ( Х1

J {t - x0 )2 dt + J {x1 -1 )2 dt

Vx0 Х1

^ h2. 24

у

нд» [ *0,*г]^д 24

*

Далее, полагая -=2а и учитывая, что правая часть не зависит от /, получим утверждение теоремы для г=1. Аналогично доказываются и остальные утверждения теоремы.

Теорема 6. Справедливы оценки: первая при - = -* = 2а* ,0 <5 —50, вторая

при 5=0

[5* 0, А,к а к (8)

г = 0,п , к = 0,1,2.

sup max Г2 vj 8

M 8 Х, <х<Х,+1

Slk '{f—, x )- f <* '(xl<

8 = 0, B. ,Mh3~k

л -Л -167 R _R _ 111 , _ 191 _ _R _ 135

где Ао,2 = An,2 = , B0,2 = Bn,2 = , A0,1 = An,1 = , B0,1 = Bn,1 = ..

96 96 72 192

A = A = 183 = B

A0,0 = An,0 = , B0.0 = B

32

- A = 83 B = 31 A = 47 = 11

0,0 n,° 768 ’ !’2 96 ’ !’2 24 ’ гД 36 ’ гД 12 ’

. 53 37 . —

А, 0 = —, Вг0 =----, г = 1, п .

г,° 8 г,° 192

Доказательство. Справедливость утверждений теоремы доказывается так же, как и в теореме 5.

Теорема 7. Справедливы оценки: первая при - = -* = 2а*, 0 < 5 — 50, вторая при 5=0

5* 0, А2а 2 (5)

sup vrai sup

M3 a<x<b

. 167 „ 111

где A2 = ^^, B2 = -

96

96

x

sup max \S2k](fs,х)- f(k)(х)<

3 a<x<b

м 3

. 191 „ 135 . 183 n 95

где А =--------, B1 =--------, Д =--------, B0 =--------

1 73 1 192 ^ 32 0 768

5* о, а, a, (8)

k = 0,1

5 = 0, BkMh

3-k

k 1 k

ak(8) = e,M35-3 , e,, = 1, e = 3-, e2 = 2*3

33

*33

2

Доказательство. Справедливость утверждений теоремы вытекает из теоремы 6. Результаты вычислительного эксперимента

Рис. 1

Проведен вычислительный эксперимент в системе MATLAB 6.1 для функции f8(x) = exp(x) + 8 sin(2nx), x e [0,1] и получены следующие результаты:

1) 8 = 1.1326e - 007 , n = 100 , ms0 = 1.1576e - 007 , ms1 = 6.9584e - 005 , ms2 = 0.0231;

2) 8 = 9.0609e - 007 , n = 50 , ms0 = 9.0874e - 007 , ms1 = 2.7384e - 005 , ms2 = 0.0460 ;

3) 8 = 1.1326e - 004 , n = 10 , ms0 = 1.1275e - 004 , ms1 = 0.0059 , ms2 = 0.2196 ;

где msk = max

Xi =a+ih , i=0,nk

S2‘’(f8• X,)-f >(x,)| ,k = 0,1,2.

-(k)

1) n0 = 200, 2) n1 = 100, 3) n1 = 20, h = 2a , a* = j , Aknk = msk/nsk , k = 0,1,2.

Точные оценки:

1) 8 = 1.1326e - 007, ns0 = 8 , ns1 = 1.0194e - 004, ns2 = 0.0272 ;

2) 8 = 9.0609e - 007 , n = 50 , ns0 = 8 , ns1 = 4.0774e - 004 , ns2 = 0.0544 ;

3) 8 = 1.1326e - 004 , n = 10 , ns0 = 8 , ns1 = 0.0102 , ns2 = 0.2718 ;

Точные оценки взяты из [2].

Результаты вычислительного эксперимента показали, что оценки эксперимента либо меньше, либо близки к точным оценкам на всем отрезке.

5

Таким образом, построенный интерполяционный параболический сплайн для функции, заданной 5-приближением в С[а, Ь], является эффективным средством восстановления

функции класса W3Ь»(Ы,а,Ь) вместе с производными, заданной 5-приближением в С[а,Ь].

Для случая 3) 5 = 1.1326е - 004, п = 10, тя0 = 1.1275е - 004, тя1 = 0.0059, тя 2 = 0.2196 построены графики погрешностей: функции (рис. 1), первой производной функции (рис. 2) и второй производной функции (рис. 3), которые показывают поведение погрешности на отрезке [а, Ь].

дгаИк родгезИпоэ^ рго1гуойпо1

1 ______________I____________I_____________I____________I____________I____________I_____________I____________I____________I____________

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Рис. 2

дгаИк родгегИпогИ рготск^псп

■] ____________________I_________________I_________________I_________________I__________________I_________________I_________________I__________________I_________________I_________________

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Рис. 3

А0,200 = 1.02 , А1,200 = 0.682 , А2,200 = 0.849 ; А,Д(Х) = 1.001, А^ = 0.067 , = 0.845 ;

А0,20 = 0.995, А120 = 0.578, = 0.807.

ЛИТЕРАТУРА

1. Завьялов Ю.С., Леус В.А., Скороспелов Ю.С. Сплайны в инженерной геометрии. М.: Машиностроение, 1985. 224 с.

2. Колпакова Э.В., Колпаков В.И. Восстановление математических объектов по неполно заданной информации. Саратов: СГТУ, 1995. 136 с.

Колпаков Виктор Иванович -

кандидат физико-математических наук,

доцент кафедры «Прикладная математика и теория навигационных приборов»

Саратовского государственного технического университета