Об одном обобщении теоремы Островского и Шнайдера Текст научной статьи по специальности «Математика»

functional. The gradient projection method for the optimal control solving is described. Computational modeling results are presented.

Keywords: boundary control; minimization; optimal conditions; gradient.

УДК 517.983.2

ОБ ОДНОМ ОБОБЩЕНИИ ТЕОРЕМЫ ОСТРОВСКОГО И ШНАЙДЕРА © И.Д. Коструб

Ключевые слова: линейный ограниченный оператор; спектр оператора; самосопряжённый оператор; прямая сумма инвариантных подпространств; раствор между подпространствами.

Теорема Островского и Шнайдера переносится на гильбертово пространство произвольной размерности.

Напомним сначала теорему Островского и Шнайдера из линейной алгебры [1, с. 210].

Пусть А - комплексная квадратная п х п матрица. Для того чтобы она не имела ни нулевых, ни чисто мнимых собственных значений, необходимо и достаточно, чтобы можно было указать такую самосопряжённую матрицу и ( и * = и ), что матрица ПА + А* и была отрицательно определённой.

При любом выборе матрицы и с указанными свойствами она является невырожденной и количество собственных значений матриц А и и, лежащих в открытой левой (правой) полуплоскости, совпадает.

Эта теорема (точнее: её первая часть) переносится на случай гильбертова пространства [2, с. 60-63].

Пусть А - линейный ограниченный оператор, действующий в гильбертовом пространстве Н. Для того чтобы спектр оператора А не пересекался с мнимой осью, необходимо и достаточно, чтобы можно было указать такой самосопряжённый оператор и ( и * = и), что оператор иА + А*и являлся равномерно отрицательно определённым.

Вторая часть теоремы звучит так. При любом выборе самосопряжённого оператора и с указанными выше свойствами, он непрерывно обратим и растворы между подпространствами Н+ и Т,_, а также Н- и Х+ меньше единицы:

&(Н+, £_) < 1, ®(Н_, £+) < 1.

Здесь Н = Н+ ф Н_ - разложение пространства Н в ортогональную сумму подпространств, отвечающих положительной и отрицательной частям спектра самосопряжённого оператора и. Спектр а = а (А) оператора А не пересекается с мнимой осью, и его можно разбить на две части а+ и а_, лежащие в правой и левой полуплоскостях: а = а+ и а_, а+ Р| а_ = 0. Это разложение спектра влечёт разложение пространства Н в прямую сумму инвариантных относительно оператора А подпространств: Н = Х+ ф Т,_, причём а(А|£±) = а±.

Заметим, что, согласно теореме Белы Сёкефальви-Надя, если раствор между подпространствами М и N гильбертова пространства Н меньше единицы (@(Ы,М) < 1), то размерности этих подпространств совпадают.

Доказательство утверждений, относящихся к растворам, опирается на оценки из [3, с. 129].

2560

ЛИТЕРАТУРА

1. Маркус М., Минк Х. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. М.: Наука, 1972.

2. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970.

3. Трубников Ю.В., Перов А.И. Дифференциальные уравнения с монотонными нелинейностями. Минск: Наука и техника, 1986.

Kostrub I.D. ON GENERALIZATION OF THEOREM OF OSTROWSKI AND SCHNEIDER The theorem of Ostrowski and Schneider is transferred to the Hilbert space of arbitrary dimension. Key words: linear bounded operator; spectrum of operator; self-adjont operator; direct sum of invariant subspaces; span between subspaces.

УДК 517.929

КОНЕЧНОМЕРНЫЕ АППРОКСИМАЦИИ В ЗАДАЧЕ СТАБИЛИЗАЦИИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ

Ключевые слова: стабилизация; линейные периодические системы дифференциальных уравнений с последействием; аппроксимирующие операторы; управление по обратной связи.

Рассматривается задача стабилизации линейной периодической системы дифференциальных уравнений с последействием и квадратичным критерием качества. Установлена связь аппроксимирующей ее задачи стабилизации с задачей оптимальной стабилизации автономной линейной системы разностных уравнений.

Рассматривается управляемая линейная периодическая система дифференциальных уравнений с последействием

о

в которой х : [—т, +гс>) ^ Мт; ш -периодическая по первому аргументу, матричнозначная функция п при каждом фиксированном значении второго аргумента в € [—т, 0] интегрируема по Лебегу на (0, ш], а при почти каждом фиксированном значении первого аргумента Ь € (0, ш] имеет ограниченную вариацию уаТ[_т,0]п(Ь, •) интегрируемую на (0, ш], ц(Ь, 0) = 0, Ь € (0,ш]; и € Мг; В : М ^ мтхг — ш -периодическая матричная функция интегрируемая на (0,ш]. В дальнейшем, будем полагать, что 0 <т ^ ш.

Множество допустимых управлений и состоит из управлений, формируемых по принципу обратной связи. Эти управления моделируются функциями и = и (Ь + ш,х*(-)) = = и (Ь,х^)) € Мг, где х*(в) = х(Ь + в), в € [—т, 0], Ь € М+. В множестве допустимых управлений и, формируемых по принципу обратной связи, требуется найти управление и0, стабилизирующее систему (1) с наименьшим значением показателя качества переходных про-

© Е.В. Кошкин

(1)

— Т

цессов:

(2)

о

2561