Оптимальное граничное управление в модели реакции – конвекции – диффузии Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 534.4, 517.9

ОПТИМАЛЬНОЕ ГРАНИЧНОЕ УПРАВЛЕНИЕ В МОДЕЛИ РЕАКЦИИ-КОНВЕКЦИИ-ДИФФУЗИИ

© А.И. Короткий

Ключевые слова: граничное управление; минимизация; условия оптимальности; градиент.

Для задачи оптимального граничного управления системой реакции-конвекции-диффузии приводятся условия разрешимости задачи и условия оптимальности. Для задачи с квадратичным функционалом качества указываются условия оптимальности и соответствующая сопряженная задача, определяющая градиент функционала, описан метод проекции градиента нахождения оптимального управления. Приводятся результаты численного моделирования.

Рассматривается управляемая система, состояние которой характеризуется функцией Т = Т(х), х € П С М™, п = 2, 3, удовлетворяющей краевой задаче [1, 2]

где к = к(х), ц = ц(х), / = / (х) — заданные функции переменной х € П; V = у(х) —заданная векторная функция переменной х € П с п компонентами, удовлетворяющая условиям V • V = 0 в П и V = 0 на Г; и — граничное управление, принадлежащее множеству допустимых управлений и. В содержательных приложениях Т имеет смысл концентрации (температуры), к — коэффициент диффузии (теплопроводности), V — вектор скорости движения среды, функция ц характеризует скорость химической реакции, / — плотность производства вещества (тепла). Пусть Т = Т[и]= Т(х; и), х € П, обозначает решение краевой задачи (1), соответствующее управлению и € и. Решение краевой задачи будет пониматься в слабом смысле [3, 4]. Работа продолжает исследование [5].

Пусть задан некоторый функционал качества 1 = 1 [и]= 1 (Т[и], и). Задача оптимального управления состоит в минимизации функционала 1 на множестве и:

Пусть далее для определенности: — ограниченная строго липшицева область с ку-

сочно-гладкой границей [2-4]; к Є Ь^(О), 0 <к1 ^ к(х) ^ к2 < ж; V Є Ь1]ю(0,); д Є Ь^(О); / Є Ь2(0,); и —ограниченное выпуклое замкнутое множество из Ь2(Г).

Сформулируем несколько утверждений, относящихся к задачам (1) и (2).

Теорема 1. Для любого и Є Ь2(Г) краевая задача (1) имеет единственное слабое решение из пространства Ь2({}), удовлетворяющее априорной оценке

У Т ||ь2(п) ^ С У и \\ь2(г) + С2 У / \\ь2(п)- Если ит ^ ио слабо в Ь2(Г), то Т[ит] ^ Т[ио] в Ь2(П).

Теорема2. Если функционал 1 слабо полунепрерывен снизу на и, то задача (2) имеет хотя бы одно решение. Если функционал 1 является строго выпуклым на и, то задача (2) может иметь не более одного оптимального управления.

Теорема 3. Если функционал 1 дифференцируем по Гато на Ь2(Г), то для оптимального элемента и* Є и задачи (2) выполняется неравенство (*) : {1' [и*], и — — и*} ^ 0 V и Є и. В случае и* Є гиі и это неравенство переходит в равенство 1 '[и*] = 0.

V-(к УТ )= V •УТ + дТ + /, х Є П; Т = и, х Є Г = дП,

(1)

1 [и] = 1 (Т[и], и) тіп : и Є и.

(2)

2558

Если, кроме того, функционал 3 является выпуклым на и, то выполнение неравенства (*) достаточно для оптимальности управления и* Е и в задаче (2).

Пусть функционал качества имеет вид

3 [и] = II Т [и] — ф 1||2 (&) + а II и 11^2 (Г) , (3)

где ф — заданная функция из Ь2(^); а — заданное положительное число.

Легко проверить, что на Ь2 (Г) функционал (3) строго и сильно выпуклый, слабо полунепрерывен снизу, дифференцируем по Гато и Фреше, причем его градиент определяется равенством V 3 [и] = кди/ди |г + 2 а и, где и = и [и] — решение сопряженной задачи

V* (к V и) = — V • V и + у и + 2 (Т [и] — ф), х Е ^; и = 0, х Е Г.

Единственную точку минимума в задаче (2) при функционале (3) можно найти методом проекции градиента [6]: ит+х = Р^(ит — (ЗтV3[ит]), т = 0,1, 2,....

Приведем результаты расчетов при ^ = (0,1) х (0,1), к = 1, V =0, у = 0.1, а = 0.1, ф = Т[и*], и = {и Е Ь2(Г): и(х) =0, х Е Г \ Г* ; |и(х)| ^ 1, х Е Г*}, Г* = {(хх, 0) Е М2 : 0 ^ XI ^ ^ 1}, и* = 0, 5 хх при 0 ^ хх ^ 0, 5, и* = 0, 5 хх — 0, 5 при 0, 5 <хх ^ 1 ( £ — относительная погрешность).

О 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 1 0 20 3 0 0 1 0 20 3 0

ЛИТЕРАТУРА

1. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. М.: УРСС, 2003. 784 с.

2. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 408 с.

3. Лионс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972. 414 с.

4. Фурсиков А.В. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения. Новосибирск: Научная книга, 1999. 352 с.

5. Короткий А.И., Ковтунов Д.А. Оптимальное граничное управлений системой, описывающей тепловую конвекцию // Труды ИММ УрО РАН. 2010. Т. 16. № 1. С. 76-101.

6. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002. 824 с.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена по программе Президиума РАН «Фундаментальные проблемы нелинейной динамики в математических и физических науках» при поддержке УрО РАН (проект 12-П-1-1009) и поддержана РФФИ (проект 11-01-00073).

Korotkii A.I. OPTIMAL BOUNDARY CONTROL IN A MODEL REACTION-CONVECTION-DIFFUSION

An optimal boundary control problem in reaction-convection-diffusion model is considered. Solvability conditions and optimal conditions for this problem are presented. Optimal conditions and corresponding dual problem determining the gradient of functional are presented for the problem with quadratic quality

2559

functional. The gradient projection method for the optimal control solving is described. Computational modeling results are presented.

Keywords: boundary control; minimization; optimal conditions; gradient.

УДК 517.983.2

ОБ ОДНОМ ОБОБЩЕНИИ ТЕОРЕМЫ ОСТРОВСКОГО И ШНАЙДЕРА © И.Д. Коструб

Ключевые слова: линейный ограниченный оператор; спектр оператора; самосопряжённый оператор; прямая сумма инвариантных подпространств; раствор между подпространствами.

Теорема Островского и Шнайдера переносится на гильбертово пространство произвольной размерности.

Напомним сначала теорему Островского и Шнайдера из линейной алгебры [1, с. 210].

Пусть А - комплексная квадратная п х п матрица. Для того чтобы она не имела ни нулевых, ни чисто мнимых собственных значений, необходимо и достаточно, чтобы можно было указать такую самосопряжённую матрицу и ( и * = и ), что матрица и А + А* и была отрицательно определённой.

При любом выборе матрицы и с указанными свойствами она является невырожденной и количество собственных значений матриц А и и, лежащих в открытой левой (правой) полуплоскости, совпадает.

Эта теорема (точнее: её первая часть) переносится на случай гильбертова пространства [2, с. 60-63].

Пусть А - линейный ограниченный оператор, действующий в гильбертовом пространстве Н. Для того чтобы спектр оператора А не пересекался с мнимой осью, необходимо и достаточно, чтобы можно было указать такой самосопряжённый оператор и ( и * = и), что оператор и А + А* и являлся равномерно отрицательно определённым.

Вторая часть теоремы звучит так. При любом выборе самосопряжённого оператора и с указанными выше свойствами, он непрерывно обратим и растворы между подпространствами Н+ и а также Н- и £+ меньше единицы:

в(Н+, £_) < 1, 0(Н_, £+) < 1.

Здесь Н = Н+ ф Н_ - разложение пространства Н в ортогональную сумму подпространств, отвечающих положительной и отрицательной частям спектра самосопряжённого оператора и. Спектр а = а(А) оператора А не пересекается с мнимой осью, и его можно разбить на две части а+ и а_, лежащие в правой и левой полуплоскостях: а = а+ и а_, а+ Р| а_ = 0. Это разложение спектра влечёт разложение пространства Н в прямую сумму инвариантных относительно оператора А подпространств: Н = £+ ф £_, причём а(А|£±) = а±.

Заметим, что, согласно теореме Белы Сёкефальви-Надя, если раствор между подпространствами М и N гильбертова пространства Н меньше единицы (в(М, N) < 1), то размерности этих подпространств совпадают.

Доказательство утверждений, относящихся к растворам, опирается на оценки из [3, с. 129].

2560