Об одном обобщении теоремы Бореля Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА, ФИЗИКА И ИНФОРМАТИКА

УДК 517.982.2

H. В. Ибадов

Об одном обобщении теоремы Бореля

В работе доказано, что оператор свертки MF сюръективно действует из C0 (K) - пространства бесконечно дифференцируемых функций на всем пространстве S, где S - пространство всевозможных числовых последовательностей. В целом новым методом обобщена теорема Бореля.

Ключевые слова: свертка, оператор, сюръективность, банаховы пространства, дифференцируемая функция, норма, предел, фундаментальная последовательность, индуктивный лимит, проективный лимит, теорема Бореля.

N. V. Ibadov

About one Generalization of Borel Theorem

In this paper, it is proved that the convolution operator Mp subjectively operates from C 0 (K) , which is a space of infinitely differentiable functions in the entire space S , where S is a space of various number of sequences. By and large, the paper deals with a new method of extension of Borel theorem.

Keywords: convolution, an operator, surjectivity, banach spaces, a differentiated function, norm, limit, fundamental sequence, an inductive limit, a projective limit, Borel theorem.

Введение

В результате pаботы [2] возник во^ос: можно ли обобщить теоpему Боpеля (см. [6, с. 34], теоpема

I.5.4.) новым методом так, что для любого задания постоянных са, зависящих от всевозможных

набоpов а = (a1,a2,...,an) неотpицательных целых чисел, существует бесконечно

диффеpенциpуемая во всем пpостpанстве функция f, котоpая имеет са своими тейлоpовскими

коэффициентами в какой-либо точке (или иначе, тем, что отобpажение из C0 (Рn) в кольце фоpмальных степенных pядов сюpъективно)?

Настоящая pабота отвечает на этот во^ос положительно.

Пpостpанство целых функций PK

Пусть K = [-a, a] е Р, где Р - множество вещественных чисел, X— комплексная плоскость, H (X) — пpостpанство целых функций над полем X. Чеpез

Pn ={f (z): f (z) е H(C)} (1)

обозначим ноpмиpованное пpостpанство функций f (z) е H (X) с ноpмой

|| f || = sup—L/MJ— < О (2)

II J lln a|/mz|+nln(|z|+1) ' v ' zeX e

то есть pассмотpим ноpмиpованное пpостpанство

PK = {f (z) : f (z) е H(X),|| f ||n = sup< "}. (3)

zeX e

© Ибадов Н. В., 2012

где опорная функция K :K (ç) _ отрезка K = [_a, a] равна a, то есть K :[—a a] = a, n = 1,2,... Справедлива следующая лемма. Лемма 1. Пространства PK _ банаховы.

Доказательство. При доказательстве этой леммы по определению банаховых пространств необходимо показать, что

1) число

Il f lin = SUP ea|ïmz|+nln(|z|+1) < œ

zex e

r>n

есть норма на PK .

Действительно, из определения || f ||n имеем

a) ||f||n =0 о f (z) = 0.

b) ||f + g|| =yJf(z) + g(z)| <вир |f(Z)| +

' Il j О lin oa\ïmz\+nln(|z|+1) _ oa\lmz\+nln(|z|+1)

zex e zex e

SUP ea|ïmz|+nln(|z|+1) ~W f Wn + W S \\n '

zex e

c) ||af ||n =вир аn(¿|+i) +1 a || f ||n, aex.

zex e

Итак, Pn _ нормированное пространство.

2) PK - полное пространство, то есть каждая фундаментальная последовательность в PK сходится к элементу этого же пространства.

Докажем, что _ полно. Это равносильно тому, что в _ каждая фундаментальная последовательность функций fm (z) сходится к элементу этого же пространства. Возьмем

фундаментальную последовательность функций {fm(z)} из PK, где n фиксировано. Для этой последовательности имеем

и / _ f || =sup| fm'(z)_fm"(z)| ^ 0

Il J m' J m" lin 3UF ea|ïmz|+n ln(|z|+1) ^ '

zex e

когда m', m" ^ œ.

Рассмотрим множество целых функций

Pk = {f (z ) : f ( z) e H (x),| f (z ) |< С 1(f )ea|ïmz|+c 2(f )ln(|z|+1)} . (4)

Множество PK является множеством преобразования Лапласа с носителем, лежащим в компакте

K.

Рассмотрим последовательность пространств в виде (3)

P1 P2 Pn (5)

K K K

Для последовательности (5) справедливы непрерывные включения

P1 œ P2 Œ ... e PK Œ ...(6)

Тогда множество PK совпадает с объединением пространств PK, то есть

œ

Pk = UPn.

n=1

И в этом объединении можно определить топологию индуктивного предела, то есть

PK = lim indPK.

na ад

Пpостpанство бесконечных диффеpенциpуемых функций C ад (Q m )

Введем систему открытых множеств Qm. Пусть Qm есть интервал в Р , содержащий K в себе. Например, допустим, что

Q / 1 К

Qm =(-a--, a + ~).

m m

Системы открытых множеств Qm содержат следующие условия:

1) K з Qm, справедливо для любого положительного числа m.

2) Q dQ ,

/ m m+15

Пад _

Q m = к.

m=1 m

Рассмотрим пространство C ад (Q m ) как пространство бесконечно дифференцируемых функций на

Qm.

Для последовательности открытых множеств справедливо включение

Q„ Q2,.., Q n,..

О1 з О2 з ... з...

Тогда для последовательности пространств

С - (О1), С - (О 2),..., С - (О я),...

справедливо включение

С-(01) с С-(О2) с... с С-(Оя) с... Объединение пространства С- (О т) совпадает с С- (К) - пространством бесконечно дифференцируемых функций на К, то есть

-

--

Cад (K)= UCад (Qm ).

m=1

В этом объединении рассмотрим топологию индуктивного предела

C ад (к) = lim indC ад (Q m).

п^ад

Через [С- (От)]* обозначим сопряженное к С- (От) пространство, в котором введена сильная

топология, а через [С- (К)] обозначим сопряженное к С- (К) пространство. Последовательность пространств

[С - (ОХ[С - (О 2)]*,..., [С - (О т )]*,...

имеет включение

[С - (О1)]* з [С - (О 2)]* з... з [С - (О т )]* з ...

Поэтому [С- (К)] совпадает с пересечением

№ад (Qm )]*.

k=1

В этом пересечении можно рассмотреть топологию проективного предела, то есть

[C ад (K )]*= 1[C ад (Q m )]*,

k=1

[С - (K )]* = lim pr[C — (Qm )]*.

Лемма 2. [С- (От)] совпадает с множеством обобщенных функций конечного порядка, носитель которых содержится в К.

Доказательство. Пусть ¥ е [С- (От)]*. В силу равенства

- / *

m /

—

[С - (K )]* = 1[C - (Q m )]*

m=1

функционал F принадлежит каждому [С- (Qm )]*. И поэтому suppF е Qm и suppF компактно

принадлежит =Qm. Значит, suppF компактно принадлежит множеству K. Лемма доказана.

« * D A

Рассмотрим преобразование Лапласа функционалов F е [С (K)] , то есть F(A) = (F, e ).

Лемма 3. Пpеобpазование Лапласа функционалов из [С- (K)]* совпадает с функцией из множества PK.

Доказательство леммы вытекает из теоремы Пэли - Винера - Щварца (см. [6, с. 112]).

Лемма 4. PK является пpостpанством типа (LN*).

Обоснование леммы 4 осуществляется по схеме доказательства леммы 4 в работе [3], где (LN *) — пространство, представимое в виде внутренного индуктивного предела последовательности нормированных пространств P,,n = 1,2,..., каждое из которых вложено в последующее вполне непрерывно.

Лемма 5. С- (K) есть пpостpанство типа (LN*).

Рассмотрим произвольную обобщенную функцию F, носитель в которой совпадает в K.

□

Преобразование Лапласа функционала F принадлежит PK, то есть F(A) е PK.

□

Предположим, что F (A) удовлетворяет условию делимости, то есть если отношение ^ е H (X), то ^ е PK, где щ(Х) е PK

F (A) F (A)

Замечание. Если F(A) - условие делимости, то в нашем случае отношение ) , по теореме «О

□

F(A)

сложении носителей обобщенных функций», является преобразованием Лапласа и производной некоторых функций конечного порядка.

В работе [3] для ограниченной выпуклой области D с X определено пространство

О, = \f (z) е H(D) :|| f ||n = вир^ | f (z) | ехр " 1

In

zgD

- Bn

(d ( z ))p

■ < —!

Bn I 0, n = 1,2,... .

и показано, что H(p,D), p > 0, - пространство функций аналитических в D сХ , имеющих определенный рост вблизи границы (см. [3]), - есть проективный предел последовательности пространств Qn ,то есть H (p, D) = lim PrQn. Далее для конечных систем неоднородных уравнений

свертки доказано, что каждая функция ре Е[д0] (Ед 0- пространство целых функций порядка д и

нулевого типа.) в силу теоремы 1.2 из работы [3] порождает некоторый функционал /не Н (р, П). Если р е Е[ 0], тогда она определяет некоторый оператор свертки

Мр : Н(р,П) ^ Н(р,П), где Н *(р, П) - сопряженные пространства к пространствам Н (р, П), р > 0, ив [3] дано описание пространства Н *( р, П) в терминах преобразования Лапласа.

Если / — это функционал, принадлежащий Н *(р, П) как преобразованию Лапласа, которое

□

совпадает с р, то есть /(Л) — р(Л), тогда оператор М имеет вид

■ р

Мр[/] — Мр * / — \/(г + г)ё/.

Определение оператора свертки в пространстве Сш (К)

Пусть 5 — {(а0,а1,...,ап,...)} — совокупность всех числовых последовательностей. Топологию в пространстве 5 можно вести с помощью счетных систем полунорм (см. [2]):

II а 11«— зир{| а0 |,| а1 |,...,| а„ ¡, п = 1,2,...} .

Функционал р порождает некоторый оператор Мр , действующий из Сш (К) в пространстве 5 . По правилу, если /(х) е Сш (К), то

Мр[/] — {(Р,/(*)(х))}Г—0 е 5.

Лемма 6. Оператор Мр линейно и непрерывно действует из пространства Сш (К) в 5, то есть

Мр : Сш (К) ^ 5.

Возникает вопрос о сюръективности оператора Мр, то есть действует ли оператор Мр из пространства Сш (К) на все пространства 5.

* А *

Рассмотрим сопряженное отображение Мр к отображению Мр , действующее по правилам:

*

[р к отображению мм р .

МР: 5* ^ [С " (К )]*

р *

где 5 — сопряженное пространство к пространству 5.

Лемма 7. Операция умножения на фиксированный многочлен Р(Л) непрерывно действует из

пространства РК в РК.

□ » *

Пусть Р(Л) — многочлен, р(Л) - характеристическая функция функционала р е [С (К)] . Рассмотрим оператор свертки

' р • р,{ ±лл

i ёг

/(г) — \р, Р : ё [/(г)]]

Если вместе с функцией /(г) возьмем функцию е , то получим р * Р:

С С ё ЛЛ ( (ё Л Л □

' Л р, Р: \ —|[ел ] — Р: (Л) р(Л).

К к)

ел —

Используя представление (р,/( )(2)),к — 1,2,..., получим следующее равенство:

( \ ( га\ Л

р * Р :\ё |,/(к)(г) — р, Р : I (к)(г)]

А2 У у

ёг у у

т0 ( Л" Л т0 т0

Трр(¥, = 5>р(¥,/(к+р)(^)) = , к = 1,2,... ,(7)

р=о V ^^ У р=о р=о

где

0 (а Л . . а у а2 . ат0

Р :| — I = Ь0 + Ь— + Ь2—2 + ••• + Ьт -.

V^У 0 1 ^ 2 ^2 т0 сЬт0

□

В работе [2] в лемме 5 доказано, что множество всех преобразований Лапласа 5 совпадает с

□

множеством многочленов, то есть 5 = (Р(А)}, где Р(А) — многочлен. Тогда преобразование Лапласа функционала Мр действует по правилам

М¥ :{Р(А)} ^ {Мр Р(А)}.

Теоpема 1. Образ оператора Мр замкнут, то есть

1т М*р = 1т Мр.

Доказательство. По теореме Дьедонне - Шварца, образ оператора Мр будет замкнутым тогда и

□

р будет замкнутым в пространстве РК .

только тогда, когда образ оператора MF будет замкнутым в пространстве PK.

□* * □

Найдем образ 1тМр . Оператор Мр — это оператор умножения на многочлен функции р(X), то есть

П* □

1т Мр = {Р :(Х) р (X)},

где Р(Х) — многочлен.

Покажем, что это множество замкнуто в топологии Р(К), то есть

{Р(Х) р (Х)} = {Р(Х) р (X)}.

□

Возьмем предельную функцию щ(Х) е РК множества {Р(Х) р(X)} . Это означает, что

¥(Х) = Нш Рп (X) р (X).

п^—

Из этого отношения вытекает, что нулевая функция у/^) содержит в себе нулевое множество

□

р (X). Более того, класс целых функций с вышеуказанными нулями не пустой. Кратность нулей

□

у/(%) не ниже кратности соответствующих нулей р(X). Поэтому функция у/(%) делится на функцию р(X), то есть У ) — целая функция.

р (X)

Оценим это отношение: Пусть

K := UK :j,

j = 1

I Л |> C1 — некоторое достаточно большое число. Так как i/f(ä) е PK, то

|^(А)|< Ci(f )ea

a\ImÄ\+C2 (f )ln(\Л+1)

Для Л £ K : мы имеем

Тогда получим, что

|F(Л) |> C3(f )еа]МЛ+C4(f )1п(|Л|+1).

¥{Л) < C,(f )еа]1тЛ]+C2(f )1п(|Л|+1)

D C (f )ea|/mЛ|+C4 (f )1п(|Л|+1) F (Л) C3(J)e

C1(f) еа1тЛ e

\1тЛ\ nC2(f ЖЛ+1)

C3(f) eа]1тЛ 4(f )1п(Л|+1)

= C (f )eC2(f )—C4(f )1п(|Л|+1) = C (f )(| Л | +1)C5(f).

Итак, получим

^ < C(f )(| Л | +1)C5(f),

□

F (Л)

где C (f ) = ^^.

C3(f )

C5(f ) = C2(J) — C4(f).

Отметим, что эта оценка справедлива вне К:. Последнюю оценку продолжим и на множество К:.

Возьмем произвольную точку Л, принадлежащую какому-то кружку К : ^ К : для некоторого

e0 > т — целого числа. Поскольку

щ(Л)

□

F (Л)

целое, то по принципу максимума модуля имеем

¥(Л)

□ *

F (Л)

< sup

dK

e0

¥(Л)

□

F (Л)

Тогда существует такое л0 е dKe , что справедливо неравенство

< C(f )(| Л | +1)C5(f) < C(f )(| Л* | +1)C5(f).

Щ(Х) < К Л)

□ * F (Л) □ 0 F (Л0)

Л)

По теореме Луивилля, -- некоторый многочлен Р0(Л).

F (Л)

Таким образом,

ад

у{Л) = Р (Л^Л).

□

□

Поэтому функция у/(Л) лежит в образе 1т Мр ={Р :(Л)Р(X)}. Это означает, что

□

□

□

1тМр = {Р: (Л)Р(Л)} = {Р: (Л)Р(Л)},

то есть

1тМ*р = 1тМ*р.

□

Таким образом, множество 1тМр замкнуто в Рк, и, следовательно, множество 1тМр является замкнутым множеством в 5.

Для доказательства теоремы осталось показать, что множество 1тМр всюду плотно в 5. Возьмем в качестве / (х) семейство функций {еЛ}, ЛеХ.

Пусть а = (а0,а1,...,ак,...) е 5. Для каждого вектора а е 5 мы можем определить числа 3 Ъ0, Ъ1,...Ък, такие, что

к

^Ъ] (1,Л,Л,...,Л ) = (ао , аl, a2,..., ак ) Л *Лк , ] * к.

1 = 0

В последнем равенстве вектор (1,Л,Л2,...,Л) получается с помощью вычисления производной порядка к функции /(х) = еЛ в нуле, то есть

} (0) = еЛ0 = 1, / '(0) = ЛеЛ = Л, / "(0) = Л2еЛ0 = Л2,..., /(к )(0) = Лк.

Так как Л = (Л0,Л,...,Лк ), то л2 = (Л0,Л2,..., Лk),..., Л = ЛЛ,..., Лк ).

Отсюда можем написать следующее уравнение

Ъ + Ъ + . . + Ък = а0

Ъ0Л0 + Ъ1Л1 + . . + ЪкЛк = а1

Ъ0Л0 + ЪЛ + . . + ЪЛ = а2

и + ЪЛ + . . + ъЛ = ак

Эта система имеет решение, если определитель Ван-Дер-Монда

* 0

1 1 1 . 1

Л0 Л Л2 . ■ Лк

Л0 ЛЛ Л2 . • Л

Л0 Л Л2 . • лЛ

и Л] * Л]+1.

Так как 1тМр всюду плотно в 5, и в то же время оно - замкнутое множество, то 1тМр = 5. Теорема доказана.

Библиографический список

1. Владимиров, В. С. Обобщенные функции в математической физике [Текст] / В. С. Владимиров. - М. : Наука, 1979.

2. Ибадов, Н. В. Задача о разрешимости уравнения свертки [Текст] / Н. В. Ибадов // Материалы научной конференции «Вопросы функционального анализа и математической физики». - БГУ-80. - Баку, 1999. - С. 274276.

3. Ибадов, Н. В. Пространство Hш(D) для ограниченной области [Текст] / Н. В. Ибадов // Док. АН. Азербайджана. - 1999. - Том LV N 1-2. - С. 19-26.

4. Леонтьев, А. Ф. Целые фукции. Ряды экспонент [Текст] / А. Ф. Леонтьев. - М. : Наука, 1983. - 176 с.

5. Мальгранж, Б. Идеалы дифференцируемых функций [Текст] / Б. Мальгранж. - М., 1968.

6. Нарасимхан, Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях [Текст] / Р. Нарасимхан. - М. : Мир, 1971. - 232 с.

7. Рудин, У. Функциональный анализ [Текст] / У. Рудин. - М. : Мир, 1975. - 447 с.

8. Шилов, Г. Е. Математический анализ. Второй специальный курс [Текст] / Г. Е. Шилов. - М. : Физматгиз, 1965.

9. Rudin (Rudin W.) Real and сотр1екх Analysis, MeGraw-Hill, New York, 1966.