CC BY
11ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2008. №3
зз
Предложение 2. Сильно симплектическое действие связной группы Ли G на связном симплекти-ческом многообразии можно расширить до гамильтонова действия группы G, имеющей G своей факторгруппой, при этом ядро естественного гомоморфизма G — G является центральной подгруппой и действует тривиально на многообразии.
б. Заключительные замечания. Доказанное утверждение отвечает на вопрос, поставленный около 25 лет тому назад. Оно позволяет строить интегралы движения гамильтоновых динамических систем, обладающих сильно симплектическими группами Ли симметрий.
Идея построения эквивариантного момента по группе Ли динамических симметрий восходит к Софу-су Ли. Эта идея была переоткрыта и оформлена в [5, 6]. Для динамических систем с конфигурационными симметриями Смейл [7] предложил явную формулу для отображения момента. Расширение G имеется в [4, 8]; в [8] показано, что любое симплектическое действие группы Ли G можно эквивариантно преобразовать в пуассоновское действие группы G на накрывающем многообразии. Дальнейшие результаты в этом направлении получены в [9].
Работа выполнена в рамках программы "Ведущие научные школы".
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1974.
2. Гийемин В., Стернберг С. Геометрические асимптотики. М.: Мир, 1981.
3. Marsden J.E., Ratiu T.S. Introduction to mechanics and symmetry. N.Y.; Berlin: Springer, 1999.
4. Marsden J.E., Misiolek G., Ortega J.-P., Perlmutter M., Ratiu T.S. Hamiltonian Reduction by Stages ^ Lect. Notes Math. Vol. 1913. Berlin: Springer, 2007.
5. Kostant B. Orbits, symplectic structures and representation theory УУ Proc. US-Japan Seminar on Diff. Geom. (Kyoto). Tokyo: Nippon Hironsha, 1966. 77.
6. Souriau J.M. Quantification geometrique ^ Communs Math. Phys. 1966. 1. 374-398.
7. Смейл С. Топология и механика У У Успехи матем. наук. 1972. 27, № 2. 78-133.
8. Кириллов А.А. Лекции по методу орбит. Новосибирск: Научная книга, 2002.
9. Микитюк И.В., Степин А.М. Достаточное условие поэтапной редукции: доказательство и приложения У У Матем. сб. 2008. 199, № 5. 35-44.
Поступила в редакцию 16.11.2007
УДК 517.5
ОБ ОДНОМ НЕРАВЕНСТВЕ П. Л. УЛЬЯНОВА М. К. Потапов, Б. В. Симонов, С. Ю. Тихонов
1. Пусть Lp(1 < p < ж) — пространство 2п-периодических измеримых функций f (ж) с конечной нор/ 2п \ 1/Р ( Л\ ( I л\
мой ||/||р = / \f(x)\pdx) .Обозначим: A%f(x) = f(x+ah)-af(x+(a-l)h) + Е (-i)^»-1^»-^1) /(ж+
V 0 ' v=2 '
(а — v)h) — разность порядка а > 0 функции f (ж) (при целом а это будет а-я разность; например, при а = 1 имеем Af (ж) = f(ж + h) — f(ж); ua(f,t)p = sup ||Aaf(ж)||р — модуль гладкости порядка а > 0
|h|<t
функции f (ж) в метрике Lp.
В работах [1, 2] П. Л. Ульянов нашел связь между модулями гладкости первого порядка в разных метриках. Он доказал следующее неравенство: если f (ж) € Lp, 1 < p < q < ж, то для любого 5 € (0; 1]
5 I
0
где постоянная ci не зависит от f и 5.
34
ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2008. №3
Это неравенство усилил В. И. Коляда [3], заменив левую часть неравенства (1) большей величиной. Он получил следующее неравенство: если /(ж) € Ьр, 1 < р < д < ж, то для любого 5 € (0; 1]
1 Iй 1
I(¡-Н-Ч(/, ()„)" |}7 с Ц /<Г<Н>И1(/, (),)• £1'
г о
где постоянная С2 не зависит от / и 5.
Из доказанной ниже теоремы 1 следует, что неравенство (1) П. Л. Ульянова может быть усилено и по-другому, а именно его правую часть можно заменить на меньшую величину: если /(ж) € Ьр, 1 < р < 2 < д < ж, р = д, то для любого 5 € (0; 1]
1
-("1-1) , „ Ч Ч„ М I 1
+ У-п п>
PJ t
о
где постоянная Сз не зависит от f и ó.
2. Приведем определения и вспомогательные утверждения, необходимые для доказательства основных результатов работы.
те те
Пусть /(ж) ~ ^ + J2(avcosux + b^sinz/ж) = ^ Д,(ж) — ряд Фурье функции /(ж); Sn(f,x) =
v=1 v=0
n
Av(ж) — частичная сумма ряда Фурье функции f (ж); f (р)(ж) — производная порядка р (р > 0) функ-
v=0
n
ции f (ж) [4, с. 201]; Tn(ж) = ^ (av cos vx + sin vx) — тригонометрический полином порядка не выше n;
v=0
En(f)p = inf ||f(ж) — Tn(x)\\p — наилучшее приближение функции f(ж) € Lp при помощи тригонометри-
Tn(x)
ческих полиномов порядка не выше n в метрике Lp.
Лемма 1 [4, с. 191]. Пусть /(ж) € Lp, l<p^2^q< ос, а = ^ — еп — любая последовательность
те те
чисел, таких, что |en| < 1, f(ж) ~ Av(ж), g(ж) ~ (n + 1)-a^nAn(ж). Тогда ||g||q < Apq||f\\p, где
v=0 n=о
постоянная Apq зависит лишь от p и q.
Лемма 2 [5]. Пусть f (ж) € Lp, 1 < p < оо, а > 0. Тогда для любых m € N
Jm\J Jp ^ ' f
Em(f)p < c4wa(/,-) , c5(m-a\\s£Hf,x)\\p + Em(f)p) <iüjf,-) ^c6(m-a\\S^(f,x)\\p + Em(f)P),
mp
С7
m
„a
En°An( ж) < |Sma)(f,ж)|p < С8 £ na An (ж)
n=1
m
a
, П Ап п= 1
где положительные постоянные С4, С5, Сб, С7, С8 не зависят от / и т. Лемма 3 [2]. Пусть 1 < р < д < ж. Тогда для любых п = 0,1, 2,...
( 00 1 ~
{(n + i)ff(H4(/)P+ £ é-2Eiu)p у
^ U — L1 ^
fc=n+1
где постоянная cg не зависит от f и n.
те
Лемма 4 [4, с. 193]. Пусть /(ж) € Lp, 1 < р < 00, /(ж) ~ ^ + ^ ancosnx, ап j 0 (n | 00). Тогда
n=1
те ч 1 / те - i
do (ag + ¿ а^-А Р < ||/||р < С11 U + ¿ ?
n=1 / 4 n=1
где положительные постоянные Сю,Сц не зависят от f.
p
Лемма 5 [6, с. 125]. Пусть ап > 0, 0 < а < в < ж. Тогда
п=1
£аП < £
п=1
3. Теорема 1. Пусть / (х) € ЬР, 1 < р < 2 < д < ж (р = д), а > 0. Тогда для любого 5 € (0; 1]
1
£Й\ 9
где постоянная С12 не зависит от / и 5.
Доказательство. Из леммы 2 следует, что для любых п = 0,1, 2,
д \ т=1 д '
где постоянная С13 не зависит от / и п. Применяя лемму 3, получаем
(2)
где постоянная С14 не зависит от / и п. Согласно лемме 1,
2п
^ ШаЛт(х) < С15 ^
т=1
а4-- — ~ 171 Р ч^-т
Лт(х)
т=1
где постоянная С15 не зависит от / и п.
Таким образом, объединяя оценки (2), (3) и применяя лемму 2, окончательно будем иметь
Ч^ЬЧ2-"* £
а4-— — ~
т Р ч^т
Лт(х)
т=1
Р ^т=п+1 ' '
I оЧ1"1)
Р ч
т=п+1
утм^1-1) д (г 1
V" 2т
где постоянные Сю, С17, С18 не зависят от / и п.
Отсюда, используя свойства модуля гладкости дробного порядка, получаем
где постоянная С19 не зависит от / и 5. Теорема 1 доказана полностью.
4. Теорема 2. Пусть /(ж) € Ьр, 1 < р < д < оо, а > 0, /(ж) ~ ^ + ^ апсовпх, апп р « | 0
п=1
(п | ж). Тогда для любого 5 € (0; 1]
«+- —-
р '
1
а
а
а
п
д
т= п
п
д
Р
п
Р
т= п
д
д
1
где постоянная С20 не зависит от / и 5.
Доказательство. Используя свойства модуля гладкости дробного порядка и применяя лемму 2, получим для любых п = 0,1, 2,...
2-^1)0,
m=1
m am cos mx
+ E2"+i (/)(
где постоянные С21, С22 не зависят от / и п.
На основании лемм 4, 5, учитывая квазимонотонность коэффициентов ап, будем иметь
2n+l
У^ maam cos mx
m=1
<
2n+1
С23ПГ ammaqmq-2 <
m=1
< C24
1
aím2mqa2mq<yl~^ Y < c24 (
m=0
1
\ p
J <
m=0
<
c25 E
1
p p(a+i-i) p-2\P ^
amm v p q mp ) < c26
m=1
E
m=1
a+I-I m p q am cos mx
где постоянные С23, С24, С25, С26 не зависят от / и п.
Таким образом, объединяя оценки (2), (4) и применяя лемму 2, окончательно получим
(4)
1
<
ч £2
mq{- — ~) а
ЧУР q/ W , 1 1
1
p q \ 2 / р
где постоянная С27 не зависит от / и п.
Отсюда, используя свойства модуля гладкости дробного порядка, находим
U>a(f,6)q < с28{ I
где постоянная С28 не зависит от / и Теорема 2 доказана полностью.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 06-01-00268, 08-01-00302).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ульянов П.Л. Вложение некоторых классов функций ff^ // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1968. 32, № 3. 649-686.
2. Ульянов П.Л. Теоремы вложения и соотношения между наилучшими приближениями (модулями непрерывности) в разных метриках // Матем. сб. 1970. 81 (123), № 1. 104-131.
3. Коляда В.И. О соотношениях между модулями непрерывности в разных метриках // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1988. 181. 117-136.
4. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 2. М.: Мир, 1965.
5. Potapov M.K., Simonov B. V. On interrelation of the generalized Besov-Nikol'skii and Veyl-Nikol'skii classes of functions // Anal. math. 1996. 22. 299-316.
6. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977.
Поступила в редакцию 19.11.2007
q
q
n
n
p
2n
q
m=n
