CC BY
830
ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2008. №3
УДК 531
ЗАМЕЧАНИЕ ОБ ЭКВИВАРИАНТНОСТИ МОМЕНТА И. В. Микитюк, А. М. Степин
1. Введение. Рассматриваются действия групп Ли, сохраняющих ту или иную симплектическую структуру на многообразии X. Для такого действия О х X — X векторное поле £ на X, ассоциированное с элементом £ алгебры Ли д группы О, является, вообще говоря, лишь локально гамильтоновым. Говорят, что действие О х X — X сильно симплектическое, если для каждого £ € д векторное поле £ имеет глобальную функцию Гамильтона вида (£, 3(•)), где 3(ж) € д*, ж € X; д*-значная функция 3 на X называется отображением моментов (иногда просто моментом).
В случае, когда отображение 3 эквивариантно относительно действия О на X и коприсоединенно-го (линейного) действия О на д*, действие О х X — X называется гамильтоновым. Для гамильтонова действия отображение моментов является пуассоновым отображением относительно стандартных пуас-соновых структур на X и д* (невырожденной и линейной соответственно). Отклонение сильно симплек-тического действия от гамильтоновых действий группы О естественным образом измеряется (см. [1, 2]) вещественным 2-коциклом алгебры Ли д или 1-коциклом О — д*. С помощью последнего можно определить [3] новое (по сравнению с коприсоединенным) аффинное действие Охд* — д*, относительно которого момент 3 эквивариантен. В этом случае момент также является пуассоновым отображением, но теперь новая пуассонова структура на д* не будет линейной (стандартной). В п. 4 настоящей статьи доказано, что неэквивариантность 3 может быть подправлена другим (каноническим) способом, а именно сильно симплектическое действие О х X — X связной группы Ли О имеет гамильтоново расширение О х X — X, где О является одномерным центральным расширением группы О и ядро естественного гомоморфизма О — О действует тривиально на многообразии X.
2. Определения и предварительные сведения. Здесь приведен обзор ряда (необходимых для дальнейшего изложения) фактов о сильно симплектических и гамильтоновых действиях групп Ли. Более подробное изложение этого материала можно найти в [2, 3]. Попутно с краткими доказательствами вводятся обозначения, используемые ниже.
Пусть (X, и) — связное симплектическое многообразие с симплектической формой и и О — связная группа Ли, действующая на X симплектическими диффеоморфизмами £: £*и = и, д € О. Соответствующее гладкое отображение (действие) О х X — X обозначим через Ф; таким образом, £(ж) = Ф(д,ж). Действие Ф определяет эквивариантное отображение £ — £, где £ — элемент алгебры Ли д группы О и £ — векторное поле на X, порожденное однопараметрической группой преобразований (потоком) £ = ехр ¿£ € О. Все это можно записать так: д+£ = Ас1й £, где Аё обозначает присоединенное действие группы О. Отсюда следует, что [д, £] = — [[, £].
Внутреннее произведение гдди векторного поля £ и формы и замкнуто в силу формулы и = гь^и +
^и для производной Ли; таким образом, векторное поле £ локально гамильтоново. Действие Ф называется сильно симплектическим, если для каждого £ € д векторное поле £ гамильтоново с функцией Гамильтона 3^, определенной с точностью до постоянного слагаемого. Это обстоятельство позволяет считать, что отображение д — С), £ — 3^, линейно и, стало быть, естественно определяется д*-значной функцией 3 на X, 3(ж)(£) = 3\(ж).
Отображение 3: X — д* называется моментом (для действия Ф). Свойство гамильтоновости сильно симплектического действия Ф: О х X — X состоит в эквивариантности момента относительно этого (левого) действия О на X и естественного (правого) действия группы О на дуальном пространстве д* к ее алгебре Ли д (оно называется также коприсоединенным действием):
3(£(ж)) = Аё*-1 (3(ж)), ж € X, д € О.
Форма 3 эквивариантна (само отображение момента таковым, вообще говоря, не является); поэтому в случае, когда многообразие X связно, найдутся такие линейные (по £) функции 2д € д*, д € О, что
МГ\х)) = зААд^х) + гд(0-
(1)
ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2008. №3
31
Отображение С д*, д I—оказывается д*-значным 1-коциклом группы С,
гф(0 = гд(мно + д,н е с, £ е д. (2)
Нетривиальность этого коцикла есть препятствие к такому выбору функций Гамильтона для векторных полей ] при котором Ы эквивариантно (тем не менее свойство эквивариантности момента, важное для теории интегрируемых гамильтоновых систем с симметриями, может быть обеспечено переходом от группы спмметрпй С к действию расширения С группы С с помощью коцикла см. п. 4). Согласно (2), отображение
0*, (д,а)»Ад*да + гд
есть правое действие группы С на д*, а (1) означает, что отображение момента Ы сплетает это действие с С-действием Ф на X. В этом смысле момент 3 является (Ф, %-)-эквивариантным.
Пусть { , } обозначает стандартную скобку Пуассона на симплектическом многообразии (Х,ш). Согласно тождеству Якоби, коммутатор [], ]] есть гамильтоново векторное поле с функцией Гамильтона
— {Ы, Ы} и поэтому (и(], 7]) = — (Ы^п]. Поскольку многообразие X связно, величина (— — Ы[£,п])
постоянна и определяет билинейную кососимметрическую функцию с: д х д —М. Из тождеств Якоби в д и в Сте(Х) следует, что эта функция является 2-коциклом на д (см. [1]).
Рассмотрим производную г = Ь(Я) отображения 2 в единице группы О:
г: д —д*, г^О = —
%ехр ¿г/ (С) •
0
Из равенства (1), определяющего коцикл 2, следует, что = си^(—г]) — = г/) + </[£)7?], и, стало
быть, = с(г],0, € 0-
Суммируем предыдущее следующим образом.
Предложение 1 [2, 3]. Пусть Ф — сильно симплектическое действие связной группы Ли С на связном симплектическом многообразии X, .] — отображение момента для Ф и 2 — соответствующий коцикл. Тогда производная г: д —д* коцикла 2 в единице группы О определяет 2-коцикл с: д х д —М по формуле с(£,Т]) = а момент .] (Ф,Х~)- эквивариантен.
3. Вспомогательные утверждения. Здесь доказаны необходимые (для п. 4) утверждения об алгебрах Ли, являющихся одномерными центральными расширениями. Описано присоединенное представление соответствующих связных односвязных групп Ли без использования явных формул для группового умножения, что делает изложение простым.
Построим алгебру Ли, являющуюся центральным одномерным расширением алгебры Ли д с помощью 1-коцикла 2: С —д* соответствующей группы О.
Лемма 1. Пусть С — связная группа Ли, д — ее алгебра Ли, 2: С —д* — некоторый 1-коцикл на О и г = Ь(2) — его производная в единице. Предположим, что = — Тогда отображение
с: д х д —М, с(£, г/): = есть 2-коцикл на д. Пространство д = д ф М со скобкой
является алгеброй Ли. Действительно,
если Н = ехр ¿п, имеем
и,а)ЛпМ = (Ы,Ш) (3)
ядЫд-1(0 = 2д(Ас\ы мд-1 о + гы(Адд-1 о + гд-1 (О
¿Аа^Ш = -г^АйдГ]) = гд([г],Айд-1ф + г^А^-г .
Полагая здесь д = ехр£ € д, и дифференцируя, получаем
-^ас, г]}) = мн к, ш+*с([г1, е]) + £])•
Поскольку 2е = 0, функция с — коцикл и, стало быть, д со скобкой (3) есть алгебра Ли. Из того, что 2 — коцикл, непосредственно выводится
32
вестн. моск. ун-та. сер. 1, математика. механика. 2008. №3
Лемма 2. В обозначениях леммы 1 отображение
А = А(г):С^Епд(в), д»Ад, Ад(£,а) = (Ас1й£,а + 2д(0) (4)
есть гомоморфизм в группу Аи^ф) автоморфизмов алгебры Ли д.
Лемма 3. Пусть в обозначениях леммы 1 О связная односвязная группа Ли с алгеброй Ли 0 = вШ)- Существует единственный гомоморфизм ср: О —О, (р(С) = О, для которого касательный гомоморфизм алгебр Ли : 0 — д есть проекция (£, а) — £. Присоединенное представление Аё: О — 1^(0) имеет вид Аёф = Ад, где д = <^(ф) и внутренний автоморфизм Ад определен формулой (4).
Действительно, из односвязности О следует существование и единственность такого гомоморфизма ^: О — О, что = ^>*е: (£, а) — £. Аналогично присоединенное представление группы О есть един-
ственный гомоморфизм из О в группу Аи^ф), для которого соответствующее касательное отображение алгебры Ли есть присоединенное представление. Согласно (4), отображение А: О — Аи^ф) есть гомоморфизм с касательным отображением а: ф —Бег(ф), £ ь-а^, где а^(г],Ь) = (ат.е. а£ = для каждого а € М (см. (3)). Поскольку ^>*е (£, а) = £, имеем (а о ^*е)(£, а) = и, следовательно,
(А о р)(д)=Аёд.
Следствие 1. Пусть 'разложение д* = д* ® М ассоциировано с разложением д = д ф М. Тогда ко-присоединенное представление группы О можно записать следующим образом,: для ф € О, а € д* и ао € М
Ас1~(о;, ао) = (Ас1* а + ао2д, ао),
где д = <р(д).
Следствие 2. В обозначениях леммы 1 предположим, что 2.V — -значный 1-коцикл на О, для которого Ь(2') = Ь(2). Тогда 2' = 2.
Действительно, по лемме 4 присоединенное представление Аё группы О, построенной по коциклу Ь(2') = Ь(2), имеет вид А(2') о ср = А(2) о <£>, и, стало быть, 2' = 2.
Так как для нулевого коцикла 2' = 0 имеем Ь(2') =0, то из следствия 2 вытекает
Следствие 3. Если выполнены условия леммы 1, то коциклы 2: О —д* и с: д х д ^ М обращаются в нуль одновременно.
Следствие 4 (ср. [3, 4]). Пусть Ф — сильно симплектическое действие связной группы Ли О на связном симплектическом многообразии X. Отображение момента 3 для Ф эквивариантно в том и только в том случае, когда обращается в нуль соответствующий 2-коцикл с, т.е. </77} = <^[£,77] для произвольных £, п € д.
В самом деле, согласно предложению 1, для касательного отображения г = Ь(2) выполняется равенство = —^(С), т-е- 1-коцпкл 2 удовлетворяет условию леммы 1, а по следствию 3 условия г = 0 и 2 = 0 эквивалентны.
4. Эквивариантность момента. Здесь показано, что произвольное симплектическое действие группы Ли О можно рассматривать как эффективную часть гамильтонова действия центрального расширения группы О. Пусть О — группа Ли; д, Ф — ее алгебра Ли и соответственно ее сильно симплектическое действие на связном симплектическом многообразии X; .] — отображение момента для Ф и 2\ С —д* — соответствующий 1-коцпкл. Обозначим через ф = д(г) = д ф К одномерное центральное расширение алгебры д, построенное с помощью г = Ь(2): д —д*. Связная односвязная группа Ли С с алгеброй Ли ф имеет О своей факторгруппой по центральной подгруппе. Соответствующий гомоморфизм ^: О — О определяет О-действие Ф на X по формуле Ф: О х X — X, Ф(ф,ж) = Ф(^>(ф),ж). Как следует из п. 3, действие ф сильно симплектическое с отображением момента 3: X — ф*, где
3Ф(ж)(ф) = 3ф(ж) = ( 3,если ф =(0, °),£ € М « I а, если £ = (0, а), а € М.
Пусть ф € О и д = <^(ф). Тогда из (1) следует, что
ф _1 ф
Таким образом, момент 3 (ф, Аё*) эквивариантен и тем самым доказано
вестн. моск. ун-та. сер. 1, математика. механика. 2008. №3
зз
Предложение 2. Сильно симплектическое действие связной группы Ли G на связном симплекти-ческом многообразии можно расширить до гамильтонова действия группы G, имеющей G своей факторгруппой, при этом ядро естественного гомоморфизма G — G является центральной подгруппой и действует тривиально на многообразии.
б. Заключительные замечания. Доказанное утверждение отвечает на вопрос, поставленный около 25 лет тому назад. Оно позволяет строить интегралы движения гамильтоновых динамических систем, обладающих сильно симплектическими группами Ли симметрий.
Идея построения эквивариантного момента по группе Ли динамических симметрий восходит к Софу-су Ли. Эта идея была переоткрыта и оформлена в [5, 6]. Для динамических систем с конфигурационными симметриями Смейл [7] предложил явную формулу для отображения момента. Расширение G имеется в [4, В]; в [В] показано, что любое симплектическое действие группы Ли G можно эквивариантно преобразовать в пуассоновское действие группы G на накрывающем многообразии. Дальнейшие результаты в этом направлении получены в [9].
Работа выполнена в рамках программы "Ведущие научные школы".
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1974.
2. Гийемин В., Стернберг С. Геометрические асимптотики. М.: Мир, 1981.
3. Marsden J.E., Ratiu T.S. Introduction to mechanics and symmetry. N.Y.; Berlin: Springer, 1999.
4. Marsden J.E., Misiolek G., Ortega J.-P., Perlmutter M., Ratiu T.S. Hamiltonian Reduction by Stages ^ Lect. Notes Math. Vol. 1913. Berlin: Springer, 2007.
5. Kostant B. Orbits, symplectic structures and representation theory УУ Proc. US-Japan Seminar on Diff. Geom. (Kyoto). Tokyo: Nippon Hironsha, 1966. 77.
6. Souriau J.M. Quantification geometrique ^ Communs Math. Phys. 1966. 1. 374-398.
7. Смейл С. Топология и механика У У Успехи матем. наук. 1972. 27, № 2. 78-133.
8. Кириллов А.А. Лекции по методу орбит. Новосибирск: Научная книга, 2002.
9. Микитюк И.В., Степин А.М. Достаточное условие поэтапной редукции: доказательство и приложения У У Матем. сб. 2008. 199, № 5. 35-44.
Поступила в редакцию 16.11.2007
УДК 517.5
ОБ ОДНОМ НЕРАВЕНСТВЕ П. Л. УЛЬЯНОВА М. К. Потапов, Б. В. Симонов, С. Ю. Тихонов
1. Пусть Lp(1 < p < ж) — пространство 2п-периодических измеримых функций f (ж) с конечной нор/ 2п \ 1/Р ( Л\ ( I л\
мой ||/||р = / \f(x)\pdx) .Обозначим: A%f(x) = f(x+ah)-af(x+(a-l)h) + Е (-i)^»-1^»-^1) /(ж+
V 0 ' v=2 '
(а — v)h) — разность порядка а > 0 функции f (ж) (при целом а это будет а-я разность; например, при а = 1 имеем Af (ж) = f(ж + h) — f(ж); ua(f,t)p = sup ||Aaf(ж)||р — модуль гладкости порядка а > 0
|h|<t
функции f (ж) в метрике Lp.
В работах [1, 2] П. Л. Ульянов нашел связь между модулями гладкости первого порядка в разных метриках. Он доказал следующее неравенство: если f (ж) € Lp, 1 < p < q < ж, то для любого 5 € (0; 1]
5 I
0
где постоянная ci не зависит от f и 5.
