Об одном методе выделения инвариантных многообразий лагранжевых систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 531.36 Иртегов Валентин Дмитриевич,

д. ф.-м. н., с. н. с., Институт динамики систем и теории управления СО РАН,

тел.: 45-30-92, e-mail: [email protected] Титоренко Татьяна Николаевна,

к. т. н., с. н. с., Институт динамики систем и теории управления СО РАН, тел.: 45-30-53, e-mail: [email protected]

ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ ВЫДЕЛЕНИЯ ИНВАРИАНТНЫХ МНОГООБРАЗИЙ ЛАГРАНЖЕВЫХ СИСТЕМ

V.D. Irtegov, T.N. Titorenko

ONE METHOD OF FINDING INVARIANT MANIFOLDS OF LAGRANGE'S SYSTEMS

Аннотация. Предлагается процедура выделения инвариантных многообразий (ИМ) лагран-жевых уравнений движения, допускающих циклические первые интегралы. Процедура сводит задачу выделения ИМ к задаче отыскания некоторой неизвестной функции, зависящей от позиционных координат. Показано, что данная функция удовлетворяет уравнению Гамильтона - Якоби. Предложенная методика демонстрируется на примерах лагранжевых систем, редуцируемых к линейным и нелинейным раусовым системам.

Ключевые слова: лагранжевы системы, циклические интегралы, инвариантные многообразия, «расширенная» функция Рауса.

Abstract. The technique for finding invariant manifolds (IMs) of Lagrange's equations of motion, having cyclic first integrals, is proposed. This technique reduces the problem of obtaining the IMs to the problem of finding an unknown function depending on positional coordinates. It is shown that this function satisfies the Hamilton - Jacobi equation. The discussed technique is demonstrated by examples of La-grange's systems which are reduced to both linear and nonlinear Routh's systems.

Keywords: Lagrange's systems, cyclic integrals, invariant manifolds, "extended" Routh's function.

Предлагается процедура выделения инвариантных многообразий (ИМ) лагранжевых уравнений движения, допускающих циклические первые интегралы. Процедура сводит задачу выделения ИМ к задаче отыскания некоторой неизвестной функции, зависящей от позиционных координат. Показано, что данная функция удовлетворяет уравнению Гамильтона - Якоби. Предложенная методика демонстрируется на примерах лагранже-вых систем, редуцируемых к линейным и нелинейным раусовым системам.

1. О нелинейной лагранжевой системе, редуцируемой к линейной

Рассмотрим механическую систему с m

циклическими и n — m позиционными координатами и лагранжианом

п т п

2L= Y, ciijqiqj X «,..</..</.)

i,j=m+1 к, 1=1 i,j=m+1

Z (XqMj)- Z cvq,q},

i,j=m+\ i,j=m+1

(1.1)

которому соответствует m циклических первых интегралов

dL " "

— = 2A (4,+ Z a qflj ) = Pt= const (1.2)

oqk '=i

(k = \,...,m).

В [1] показано, что лагранжева система с лагранжианом вида (1.1) посредством преобразования Лежандра [2] редуцируется к линейной раусо-вой системе с характеристической функцией

п т п

2R= 2 а с/.с/ + 2Zft Z ацс1Д.~

i,j=m+\ J J i,j=m+\ J J

m n

(1.3)

— I [( £ j)2 + dtl]pp — 2 cM,

i, j=m+l

к ,1=1 у=т+1

когда аы , а , Ьц, , с - некоторые постоян-А

ные, а Ры = —^, А - алгебраическое дополнение А

к -го элемента матрицы || (2]=)2 + ||

(к,1 = \,...,т), А - определитель указанной матрицы.

Образуем «расширенную» функцию Рауса

т п

I тЧ,,

к=1 ]=т+\ дqJ

добавив к Я (1.3) полную производную некоторой (пока неизвестной) гладкой функции Последнее не изменит уравнений Рауса по позиционным координатам. В этом случае они будут одинаковыми как для основной, так и «расширенной» функции Рауса.

Используя алгоритм восстановления [1] функции Лагранжа по функции Рауса, можно получить соответствующий Я лагранжиан

n

Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение

щ

п п

2/ = X aijqiqi + %Pu{qk + 2(2 ацЧ. +^-)qi)x

5/ (/. / = т + 1.....и), А* - определитель данной мат-

V ^^ Кц -I I л, ) ^

,=и+1 рицы.

п Уравнения (2.2) можно рассматривать как х(<7; + 2(2 аи]Ч]+~^Ч,)~ 2 С1]ЧД]- (1.4) уравнения в частных производных, где функция ^ у (су ) искомая. Прямым вычислением неЦиклические первые интегралы, соответ- труд"но показать, что эти уравнения сеть система ствующие Ь, имеют вид уравнений Гамильтона - Якоби [3]. Для этого по-дЬ . п п строим функцию Гамильтона, соответствующую + 2(2 ЫщЧ, + функции Рауса Я, и заменим в ней импульсы на

dqk i=i /=-я+1 j=m+i

(1.5) выражения 2Г=Л <3/7<3gm+1,..., . Полу-

df

н--) = рк = const (к = \,...,т). ченная в результате функция записывается так:

dq< ~ df df _ »

Таким образом, справедливо 2Я(дт+1,...,д -......-—)- Z ciJqiqJ +

Утверждение 1. Добавление к функции Pay- h] т+

~ m n n , m n

ca полной производной некоторой гладкой функ- + Z ( Z ^ Ч ) Р Р + 2 [Z "Z сс. q р +

ции f(qm+i,...,qn), умноженной на £k=]pt, равно- 4=1 /=л,+1 ,J=m+1

сильно добавлению этой производной ко всем цик- 2 а <7 Р +1]р

лическим скоростям лагранжиана, соответству- 1=1 % '=\г=т+\ 1=1 дqJ

ющего указанной функции Рауса. Далее продифференцируем Я по д .

Для лагранжевой системы (1.1) рассмотрим После привсдсния подобных будем иметь"" требуй-

задачу выделения инвариантных многообразий, мое

используя редукцию. Другими словами, решим ^ ^

эту задачу вначале для соответствующей раусовой -=--1 (а = т + \.....п).

системы.

2. Инвариантные многообразия исходной Системе уравнений

и редуцированной задачи. Для выделения ИМ дЙ _ - "о* д2/ д/ » д2/

системы, определяемой (1.3), будем применять " ^5+1 ^дада да "4=?+!да да +

т» т-г 1а И 1а 1] И 1а

метод Рауса - Ляпунова, используя вместо первых

n n

интегралов^ «расширенную» характеристическую £ а^г] + Ьи<т 2^=0,

функцию Я. Следуя этому методу, запишем необ- '~с! г°т+1 " " (2.3)

ходимые условия экстремума (условия стационар- (ст = т + \,...,п)

ности) Я по фазовым переменным эквивалентно уравнение Гамильтона - Якоби [3],

дЯ » . ™ , » о1, которое в данном случае имеет вид Н = 0. Таким

-= У а а +2й( 2 а., а.+— ) = 0, р •г

дс/ 4 м дq образом, установлено

Утверждение 2. Условия вырожденности

(г -т + \,...,п) системы (2.1) есть система уравнений Гамилъ-

дЯ _ ■ » 57 ■ » тона - Якоби рассматриваемой задачи, где функ-

8qi м % дц.дц 1 »=1 1 п . ^ определяющая расширение Я,

искомая.

~ 1 С Ч =<1 (1 = т+\,...,п). Следовательно, уравнения (2.3), как и соот-

; .. ветствующее уравнение Гамильтона - Якоби,

Нас интересуют случаи, когда эти уравнения J л-

п можно использовать для нахождения неизвестной зависимы. Последнее позволяет определить искомые ИМ. В рассматриваемой задаче условия су- ФУНКЦИИ / \Ят+1,- ■ ;Ч„) ■

ществования таких вырождений системы (2.1) Утверждение 3. Одним из частных решений

можно, например, получить, исключив скорости уравнений Гамильтона - Якоби (23) является

из последних п-т уравнений с помощью первых квадратичная форма

и

п-т уравнении 2/(1+1,...,?л)= Хэд (2.4)

йй " » , дт_5/ » ^ а2/ 5/ т+1

0 <Д+1 9 + + при соответствующих значениях постоянных хя.

Действительно, подставим (2.4) в указанные

+а, У а, а] + ЬИ У ЬИ а )- У с а = 0 (<т = т + 1,...,п). (2.2)

г=ш+1 0 1 ' 1 " ' 4 , , / \ ) уравнения и в получившихся выражениях прирав-

А' , няем к нулю коэффициенты при обобщенных ко-Здесь , А* - алгебраическое

допол- ординатах. В результате получим систему неодно-

А'

нение ij -го элемента матрицы 11 а

родных квадратных уравнении относительно x.

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

2 РР ( 2 & ' \х х +а х + а х + а а 1 +

¿—'Гкг1\^' !а г] к]г I а к! а г] к! а 1]г1 /Л

к,1=1 ¡,]=т+\ )

+Ь„ Ь„) + с = 0, (<т = т + 1,...жг = т + 1,...м\

к1 <г к1г / от ' V ??? ??/?

для решения которой при всяком конкретном п можно использовать, например, технику базисов Гребнера [4]. Каждому найденному описанным способом набору значений х.. (7 = т + \... ..п: 7 =т + \,...,п) соответствует частное решение вида (2.4) системы уравнений Гамильтона - Якоби (2.3). Покажем, что после подстановки так определенных функций /(дт+1,...,дп) в первые п — т уравнений стационарности (2.1) последние будут определять искомые ИМ уравнений Рауса. Для этого вычислим производные от выражений

dR г- 1 \

ч

(2.6)

в силу уравнений движения, определяемых Я .

После дифференцирования у по времени получим

йл>. й йл>. дК , ,

— = —(-), или =- (1=т + 1,...,п).

Л Л дд) Л дд.

С учетом последних п — т выражений (2.1)

dv т " д~ f "

= 2 - ЖХ 2 К^Мр, ~

Ш 4=1 ]=™+1 к-'=1 ]"т+1

п

- Е ^^ (/ = /» + 1,...,»).

j=m+l

Исключив теперь скорости

¿[. (/' = т +1,.. .,11) из правых частей последних равенств с помощью уравнений (2.6) и полагая в полученных выражениях у. = 0 (/ = т + I,.. .,«). получим систему уравнений Гамильтона - Якоби (2.3). Как было показано ранее, эти уравнения имеют частные решения вида (2.4), что завершает доказательство инвариантности обсуждаемых многообразий.

Найденные ИМ раусовой системы могут быть «подняты», как инвариантные, в фазовое пространство лагранжевой системы с лагранжианом (1.1). Для этого к указанным уравнениям достаточно добавить т соответствующих циклических интегралов.

Действительно, используя связь, устанавливаемую преобразованием Лежандра между лагранжианом Ь и соответствующей функцией Рауса, легко получить равенства

дЯ дЬ дЯ дЬ , ,

-=--, -=--, (/ = »7 + 1,...,«),

дд. дд. дд. дд.

в которых циклические скорости ¿[к (к = 1,...,»?) должны быть исключены с помощью уравнений (1.2). Таким образом, после указанного исключения циклических скоростей уравнения Лагранжа

по позиционным координатам совпадают с уравнениями Рауса. Для последних инвариантность многообразий, определяемых первыми n — m уравнениями стационарности (2.1), доказана ранее.

Аналогичным способом многообразия раусовой системы могут быть «подняты» и в фазовое пространство тех лагранжевых систем с лагранжианом (1.4), в котором в качестве функции f(gm+í,...,gn) подставлены все независимые частные решения системы Гамильтона - Якоби (2.3) в форме (2.4). Тем самым решена поставленная задача выделения ИМ системы (1.1).

3. Задача о движении твердого тела с неподвижной точкой в случае Лагранжа

Продемонстрируем предлагаемую методику нахождения ИМ в случае, когда функция Рауса нелинейная. Рассмотрим задачу о движении твердого тела с неподвижной точкой в случае Лагран-жа в центральном поле сил (тиссерановское приближение [5]). Лагранжиан этой системы в углах Эйлера выглядит так:

2Ь = Ав2 + p\jr + С(ф2 +2cos вфц/)-

— 2z0 cos в — цр.

Здесь р = A sin2 в + C cos2 в.

Ему соответствует дифференциальное уравнение

2 Ав + (ji-\¡r)(A-C) sin 20 + 2С sin (hj/ф - 2z0 sin в = 0 и два циклических интеграла

dL

— = С(ф + cos# i(/) = рх= const,

дф

dL • п п-= рц/ + С coso]ф = р„ = const.

дф

Функция Рауса R и «расширенная» функция Рауса Я записываются так:

(3.1)

1

R = L-P1<P-P2у = Ав2 -2z0 cosв-jup-^-

Pi

A sin2 в

•), R = R + (p1+p2)f(e)e,

где f (9) = dS(9)/d9, S(9) - некоторая гладкая

функция. Здесь и далее используются обозначения

P = Pi -Picos9, Pi = Р2cos9 -Pi •

Уравнение Рауса для основной и «расширенной» функции Рауса по позиционной координате будет одинаковым и имеет вид

Ав - z(¡ sin в + - /и{А - С) sin 2в--^- = 0. (3.2)

2 A sin в

4. Инвариантные многообразия

исходной и редуцированной задач

Как и в предыдущем случае, рассмотрим вначале задачу отыскания ИМ уравнения Рауса.

Будем искать ИМ, используя «расширенную» функцию Рауса. Запишем условия стацио-

Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение

SR

дв 3R

т = Ав + (р1+р2)Дв) = О,

1

= (А + Рг)ОГ(О) + Z, Sinö - -//(Л - С)sin 20 + i 2

+ -PP^ = 0.

ism3 в

(4.1)

z0 sinö -1 /U(A - C)sin20 +

-(Pl +f2)2 f W)f в = o.

A sin в A

(4.2)

[Zo Sine -1 M(A - C) Sin2в +

2 A sin в

Ав±(р1+рг)[0-

1

(-p- + A<up +

(4.4)

(р,+р2) sin в +2 Az0 cos^)]1/2=0 с параметром D, который не входит в уравнение Рауса (3.2).

Сопоставление уравнения (4.3) с функцией

2Й_(Р1+Р2)2/Ч0) ,

2 2

P a Pi

—^—+ up + Z cose + -^,

A sin2 в 0 C

ш

нарности функции R по фазовым переменным

Далее исключим в из второго уравнения с помощью первого. В результате получим следующее условие вырожденности системы (4.1):

Утверждение 4. Для того, чтобы уравнения стационарности (4.1) «расширенной» функции Рауса определяли инвариантное многообразие уравнения Рауса (3.2), необходимо и достаточно, чтобы функция /(в) удовлетворяла уравнению Гамильтона - Якоби (4.3).

Найденные ИМ раусовой системы могут быть «подняты», как инвариантные, в фазовое пространство исходной лагранжевой системы. Для этого, как было показано ранее, к указанным уравнениям достаточно добавить соответствующие циклические интегралы. Таким образом, уравнения Лагранжа, соответствующие функции Лагранжа (3.1), имеют два семейства ИМ вида

Последнее соотношение будем рассматривать как дифференциальное уравнение относительно /(в). Перепишем его в виде

JLf 2(в)=—2А_ в ( ) (р + р)

Ae±(j?l+p2)[D-

1

-(-

P12

(Pi + P2) sin в +2Az0 cos в)]1/2= 0,

-App +

Интегрируя данное уравнение, получим

Д(в) = D - 1 [-£- + Ajup + 2Az0 cos в],

(p + p2) sine (4.3)

D = const.

Таким образом, уравнение Рауса (3.2) имеет два семейства ИМ А9+ (pl+p2)fl2(6>) = 0, где

f 2( в) - соответствующие решения уравнения

(4.3). Доказательство инвариантности полученных многообразий проводится так же, как в предыдущей задаче.

После подстановки явных выражений для ( ) в последнее соотношение получим уравнения двух семейств ИМ

dL

— = С (ф + cos в у/) = pi = const, дф

dL ^ п-= Ccos6,^> + ру/ = р2 = const.

ду/

Аналогично решается задача о «поднятии» ИМ (4.4) в фазовое пространство лагранжевоИ системы с лагранжианом, соответствующим «рас-ширен-ной» функции Рауса. В данном случае R может быть сопоставлено семеИство лагранжианов

2 L = Ав2 +A sin в2 (у/ + Д<9)<9)2 + С[ф + cos вц/ +

+ (cos <9 + 1)Д<9)<9]2 - 2z0 cos О — цр с циклическими интегралами

dL

- = С[(ф + cos ву/) + (cos в +1) Д<9)<9] = р1,

дф

dL

-= Ссо$вф + ру/+ (С cosd + p)f{6)0 = р2.

б у/

Здесь f (в) - частное решение уравнения

(4.3).

Уравнения ИМ уравнений Лагранжа, соответствующих элементам семейства L, запишутся так:

Ав + {р1+рг)/{в) = 0,

dL

полученной как соответствующая функции R функция Гамильтона, в которой импульс заменен на (p + p2)f (в), позволяет утверждать, что уравнение (4.3) есть уравнение Гамильтона - Якоби. Последнее, в свою очередь, соответствует системе Гамильтона - Якоби для уравнения Рауса (3.2) (в случае п = 1 )[3], так как

ш = -jpe^+Lft (А - С) sin 20-z0 sin 0 = 0.

8 в A Asin3 в 2

Следовательно, справедливо

- = С{{ф + cos вц/) + (cos в +1) Д<9)<9] = рх,

дф

dL

-= С cos вф + ру/ + (С cosd + р)/(в)в = р2.

ду/

Работа поддержана Программой фундаментальных исследований Президиума РАН № 17.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Irtegov V., Titorenko T. On Reduction of Lagrange Systems // LNCS. Springer, 2010. Vol. 6244. P. 123-133.

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

2.

3.

Арнольд В. И., Козлов В. В., Нейштадт А. И. Математические аспекты классической и небесной механики. Т. 4 Итоги науки и техники. М. : ВИНИТИ, 1985. 303 с. Гельфанд И. В., Фомин В. И. Вариационное исчисление. М. : ГИФМЛ, 1960. 228 с.

4. Прасолов В. В. Многочлены. М. : МЦНМО, 2000. 336 с.

5. Белецкий В. В. О движении искусственного спутника относительно центра масс. М. : Наука, 1965. 416 с.

УДК 621.01:621.81 Oгаp Петр Михайлович,

д. т. н., профессор, проректор по научной работе Братского государственного университета (БрГУ), e-mail: [email protected]

Тарасов Вячеслав Анатольевич, к. т. н., доцент кафедры «Теоретическая и прикладная механика», БрГУ

Турченко Алексей Владимирович, аспирант БрГУ

КОНТАКТИРОВАНИЕ ЖЕСТКОЙ ШЕРОХОВАТОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЧЕРЕЗ СЛОЙ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО

ПОКРЫТИЯ

P.M. Ogar, V.A. Tarasov, A.V. Turchenko

RIGID ROUGH SURFACE CONTACTING THROUGH A LAYER OF ELASTOPLASTIC COVERAGE

Аннотация. На основании жесткостной модели слоистого полупространства представлены его упругие характеристики при внедрении сферической неровности в зависимости от упругих характеристик покрытия и основного материала, толщины покрытия и радиуса пятна контакта.

Для описания жесткой шероховатой поверхности использована дискретная модель в виде набора одинаковых сферических сегментов. Распределение вершин сегментов по высоте соответствует опорной кривой профиля реальной шероховатой поверхности. Определены усилие и площадь контакта при внедрении единичной неровности. Получена система трансцендентных уравнений для определения относительной площади контакта л в зависимости от безразмерного силового упругогеометрического параметра Fq. При этом учтены толщина покрытия 8 и характеристики упрочняемого материала покрытия -предел текучести <зу и экспонента упрочнения.

Ключевые слова: шероховатая поверхность, сферическая неровность, упругопластиче-ский контакт, экспонента упрочнения, слоистое полупространство, относительная площадь контакта.

Abstract. Based on the layered half-space stiffness model, its elastic characteristics have been presented depending on the elastic characteristics of the

coating and basic material, the thickness of a coating and a heel pattern radius.

To describe a rigid rough surface, the discrete model in the form of identical spherical segments set has been applied. The segment vertexes distribution through the height corresponds to a supporting curve of a real rough surface profile. The strain and contact area while single asperity have been determined. The system of transcendental indenting equations to determine the relative contact area л depending on the dimensionless force elastogeometric parameter Fq. has been obtained. Besides, the coating thickness 8 and the hardenable coating material characteristics - the yield strength <sy and the hardening exponent - have

been taken into account.

Keywords: rough surface, spherical asperity, elastoplastic contact, hardening exponent, layered half-space, the relative area of contact.

Практический интерес представляет использование в уплотнениях и узлах трения тонкослойных покрытий. Опыт эксплуатации таких узлов трения и уплотнений показывает, что их антифрикционные свойства и герметизирующая способность определяется не только свойствами материалов, но и его толщиной. Отсутствие теории контактирования через слой упругопластического покрытия не позволяет разработать надежные методы прогнозирования характеристик трения и герметичности сопряжений на стадии проекти-