CC BY
7
УДК 531.36 Иртегов Валентин Дмитриевич,
д-р физ.-мат. наук, с. н. с., Институт динамики систем и теории управления
СО РАН, тел.: (3952) 45-30-92, irteg@icc.ru Титоренко Татьяна Николаевна, канд. техн. наук, с. н. с., Институт динамики систем и теории управления
СО РАН, тел.: 45-30-53, titor@icc.ru
О ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ВОЗМОЖНОСТЯХ МЕТОДА РАУСА - ЛЯПУНОВА
Irtegov V.D., Titorenko T.N.
ON ADDITIONAL POSSIBILITIES OF THE ROUTH - LYAPUNOV METHOD
Аннотация. Для механических систем, допускающих циклические первые интегралы, предложен некоторый способ выделения инвариантных многообразий уравнений движения, аналогичный методике Рауса - Ляпунова, но в отличие от последнего вместо первых интегралов задачи используются «расширенные» характеристические функции. Предложенный способ продемонстрирован на примере механической системы с одной циклической и одной позиционной координатами.
Ключевые слова: уравнения движения, циклические интегралы, инвариантные многообразия, метод Рауса - Ляпунова.
Abstract. A technique for obtaining invariant manifolds of motion equations of mechanical systems, which admit cyclic first integrals is proposed. This technique is similar to the Routh - Lyapunov method but unlike of the latter it uses «extended» characteristic functions instead of the problem first integrals. The proposed technique is demonstrated by example of a mechanical system with one cyclic and one positional coordinates.
Keywords: motion equations, cyclic integrals, invariant manifolds, the Routh - Lyapunov method
Обсуждаются некоторые дополнительные возможности метода Рауса - Ляпунова для выделения и анализа множеств стационарности механических систем, допускающих циклические интегралы. Рассмотрен класс нелинейных лагранже-вых консервативных систем с циклическими координатами, которые с помощью преобразования Лежандра редуцируются к раусовским линейным системам. Приведена процедура восстановления функции Лагранжа по функции Рауса. Рассмотрены задачи качественного анализа таких систем с использованием редукции [1, 2]. Предложен алгоритм выделения инвариантных многообразий уравнений движения на основе подхода, анало-
гичного методике Рауса - Ляпунова. В отличие от последнего, вместо первых интегралов используются «расширенные» характеристические функции.
1. О системах, редуцируемых к линейным
Не уменьшая общности, рассмотрим ла-гранжеву механическую систему с одной позиционной и п циклическими координатами, характеристическая функция которой имеет вид:
п+1 п+1
2£ = } } + сЧ2п+1- (1-1)
¿=1 ;=1
Система (1.1) допускает п циклических интегралов:
5L
= Yfk, j j = Pk,
(1.2)
% j=i k = 1,..., n, pk = const. Поставим задачу определить гладкие функции F j (qn+1) (j, i = !,.■■, n +1) таким образом,
чтобы после преобразования Лежандра функция Рауса стала квадратичной с постоянными коэффициентами. Для этого перепишем уравнения (1.2) в виде
: аъ
(1.3)
^Рк,] (Яп+1)(1 ] = Рк - Рк,п+1<1 п+1 = 1 7=1
(к = 1.....п),
где правая часть равенства для сокращения дальнейших формул обозначена ак .
Найдем циклические скорости
(7 = 1,.,п) из системы (1.3) и построим по известному алгоритму [2] функцию Рауса, соответствующую исходной функции Лагранжа (1.1):
~ ~ п
я=ь-Еркдк =
к=\
n
Современные технологии. Механика и машиностроение
ш
1
=- ^ТЕрш + ^ Ер.
2А ;=1 у=1 А 1=1 у=1
у,п+1ау,. +
1 .2
+—Ч„+1 2А
к.
И+1.И+1
А Е Е ¥ ,п+1ак, ]
у=1 ' к=1 у
1 2
+ 2 °дп 1
п Д
= Чп+1Е®
у=1 '
Здесь А = ¿ег1 ¥к у | - определитель линейной системы (1.3), а. у — алгебраические дополнения элементов ¥[ у матрицы ||¥ у|| системы (1.3).
Потребуем, чтобы функция Рауса Я была ние для ¥п+1 и+1 квадратичной по переменным ди+1, дп+1. Для этого должны выполняться условия:
у = щА+1 + п., = Ри, , (1.4)
Аналогично, разрешая уравнения (1.5) относительно ¥ п+1, получим выражения для этих коэффициентов:
п
¥к, п+1 = Чп+1 к =
у=1
д
к,3\\Нт,1\\ ^ =1;2,...,и). (1.10)
С помощью уравнения (1.6) найдем выраже-
¥п+1,п+1 = В + Чп+1 Е
(1.11)
А
, ,=1 ' , || Таким образом доказано, что система с лагранжианом (1.1), коэффициенты ¥[, которой оп-
Е¥ п+га,. = ®чп+1А (.,у = 1,2,..., п), (1.5) ределяются формулами (1.9)—(1.11), редуцируется
к квадратичной функции Рауса:
у=1
^ п п
-[^п+1,п+1А-Е^Лп+1 ЕЕк,п+1ак,у ] = В, (16)
А у=1 к=1
где ,,п ,В — некоторые постоянные.
Найдем из (1.4)—(1.6) значения ¥.,, (д„+1)
п
2Я = ВЧ 2+1 + 2Ер у ®,Чп+1Ч п+1 -
у=1 2
- ЕЕр'рУ А + п.у) + сЧ2+1- (1.12)
.=1 у=1
(., у = 1,..., п +1), что позволит нам выписать явно Уравнение движения системы, определяемое выражение (1.1) и тем самым определить класс функцией Рауса Я , имеет вид
лагранжианов, редуцируемых к квадратичным по переменным ди+1, ди+1 с помощью преобразования Лежандра. Для этого используем известную связь между элементами второй присоединенной матрицы и элементами исходной матрицы
¿г
8Я
\дЧп+1 )
8Я
8Чп+1
= ВЧп+1 +
(1.13)
+
-ти - с
Чп+1 =0.
А,у = ¥,уА"-
а также выражение для определите-
ля присоединенной матрицы се1 аг |= Ап 1.
Согласно (1.4), а., у = Д, у А и, следовательно, ¿ег | а,у |= ¿ег | АД,у |= А^ег | Д,у |, 1
ЕЕр.РУ
V .=1 у=1
Уравнение (1.13), как и функция Я , содержит п параметров и определяет движение на каждом интегральном многообразии семейства первых циклических интегралов системы (1.1) при (1.7) фиксированных значениях постоянных р.. Обра-
г. = А*-
г,у дп-2
Ап
-Д, у||АДкЛ =
А'
п-1
А
—дуРкЛ = ЩМЛ (.,у = 1,-,п). (1.8)
тим внимание на то, что данное уравнение не содержит параметров со у, входящих в функцию Рауса Я . Таким образом, уравнению (1.13) соответствует целое семейство функций Рауса и, следова-
Здесь через Ц.у||-|| обозначены алгебраические тельн0' Лагранжа. Очевидно, при юу=0
дополнения элементов соответствующей матрицы. 0 = 1,и) Функции (1.12) можно сопоставить
Соотношение (1.7) можно переписать в виде функцию Рауса
Ап-1 = Апйег | Д,у |, откуда А = йег | Д,у |-1.
Последнее равенство и (1.8) позволяют записать искомое выражение для ¥1 у (., у = 1, „., п) :
2Я = вч2+1 -
\Ру (тг, ,ч1+1 + п, у ) + СЧп2+^
Р =Д, уНДкЛ
¿егД
п+1 ЕЕ Г 1Гу\---1,у-
.=1 у=1
дифференциальные уравнения Рауса которой также имеют вид (1.13). (., у =1,^,п). (1.9) Функцию Я будем называть базовой, а
функцию Я (1.12) — расширенной. Ясно, что для базовой функции Рауса с помощью приведенного выше алгоритма можно записать соответствую-
п п
п п
п п
пп
2
ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения
щую функцию Лагранжа. Для этого достаточно в формулах для коэффициентов Ьг 7 (1.9)—(1.11) искомой функции положить со7 =0 (7 = 1,., п) .
Уравнения Лагранжа, определяемые функцией (1.1), со значениями коэффициентов, найденными выше, имеют вид
d_
dt
(
dL
\
dq
dL
n+1 у
dq
= TFJ,n+iqj +
dF„
n+1
j=1
dq
n+1,n+1 • 2
■ qn+1
n+1
f{q2)q2 =
dS(q.
q2 или f(q2) =
dS (q2)
Нетрудно проверить, что дифференциальное уравнение Рауса будет одинаково для функций й ий:
kq2 + (p"a-d)q2 = 0.
(2.3)
1 п п ОЬ ■
2 ¿=1 7=1 ^п+1
Формулы для линейных по скоростям первых интегралов
п+1
^Ьк,7 (Чп+1 = Рк (к = 1., п)
7=1
после подстановки значений Ь , как и выражения
для дифференциальных уравнений, становятся громоздкими и здесь не приведены явно.
2. Инвариантные многообразия исходной и редуцированной системы
Рассмотрим задачу выделения инвариантных множеств уравнений Лагранжа и Рауса как задачу анализа множеств стационарности «расширенных» характеристических функций указанных систем. Для демонстрации предлагаемого подхода ограничимся для простоты семейством «расширенных» лагранжианов с одной позиционной и одной циклической координатой
2Ь = kq2 + (aq2 + Ь)-1(^ + / (^ )2 + содержащих произвольную гладкую функцию
/(q2) .
Соответствующая Ь система дифференциальных уравнений допускает циклический первый интеграл:
оЬ
— = (<^2 + Ь)-1(ql + / (q2)q2) = р. (2.1)
Данному семейству характеристических функций Ь , по известному алгоритму [2], можно сопоставить следующее семейство функций Рауса: Я = Ь- рс1х =
= ^[Щ;+2р/(д2)42-p2(aq;+b) + dq¡]. (2.2)
Фактически, это семейство является расширением базовой функции Рауса
2Я = кс£ - р1 (ас[2 + Ь) + dq2, к которой добавлена полная производная некоторой функции £^2):
Замечание. Располагая алгоритмом первой части работы, можно задать «расширенную» функцию Рауса Я (2.2) и восстановить по ней семейство лагранжианов Ь , указанных выше.
Поставим задачу о выделении и качественном анализе стационарных множеств уравнений Рауса и Лагранжа по методике Рауса — Ляпунова, используя вместо первых интегралов «расширенные» характеристические функции.
2.1. О стационарных множествах редуцированной системы. Начнем с анализа стационарных множеств уравнения Рауса (2.3), используя для этого «расширенную» функцию Рауса Я (2.2) следующим образом. Запишем необходимые условия экстремума Я :
^- = kq2 +pf(q2) = 0,
dq2
^- = P.f'(q 2)q2-(p2ci-d)q2=0.
dq2
(2.1.1)
Потребуем, чтобы полученные уравнения были зависимыми. Для этого исключим скорость из второго уравнения с помощью первого. В результате получим условие вырожденности системы (2.1.1):
P2f (q2)f 'Ы + k(p2a -d)q2 =0. (2.1.2)
Нетрудно видеть, что при значениях f (q2) ,
удовлетворяющих последнему дифференциальному уравнению, первое уравнение (2.1.1)
kq2+Pf{q2) = 0 (2.1.3)
определяет стационарное множество рассматриваемой системы уравнений.
Проинтегрировав (2.1.2), мы получаем алгебраическое уравнение
2Н = p2f2 {q2) — k{d — p2d)q2 = 0 (2.1.4) для нахождения интересующих нас значений
f q).
Очевидное сопоставление позволяет утверждать, что (2.1.4) есть уравнение Гамильтона -Якоби [3] для системы Гамильтона
рх = k(d - p2d)q2 = 0, кё[2 = рх, соответствующей уравнению Рауса (2.3).
В терминологии [3], уравнение (2.1.2) представляет систему уравнений Гамильтона - Якоби при n = 1:
Современные технологии. Механика и машиностроение
дН
8Ч2
= р2/ШГ(ч2)+Кр2а-а)д2 = 0.
и запишем условия ее стационарности:
(2.2.1)
ш
Уравнение (2.1.4) имеет два решения:
/ (Ч2) = ±—V к (Л - р 2 а)Ч2.
Р
Таким образом доказано
Утверждение 1. Два многообразия
кд2 ± ^¡Ш - рга)д2 = 0 (2.1.5)
доставляют стационарное значение соответственно двум расширенным функциям Рауса:
2Д 2 = кд2 ± ^к(с/ - р2а)д2д2 - р2 (ад2 + Ь) + <1д2.
Поставим теперь вопрос об инвариантности найденных стационарных множеств, действуя по определению инвариантного многообразия.
Производная от уравнения (2.1.3), вычисленная на данном множестве в силу уравнения Рауса (2.3), записывается так:
к'42 + Р.Г^кПг = -к(р2а-с1)д2 -р2/(д2)/'(д2). Поскольку данное выражение совпадает с левой частью системы Гамильтона — Якоби (2.1.2), полученной ранее, и, следовательно, равно нулю на множествах (2.1.5), то это и служит основанием считать инвариантными множества, определяемые уравнениями (2.1.5) для уравнения Рауса (2.3). Будем называть такие многообразия (по понятным причинам) инвариантными многообразиями стационарных движений (ИМСД).
Приведенные рассуждения позволяют считать доказанным
Утверждение 2. Для того чтобы уравнение Рауса (2.3) имело инвариантные многообразия (2.1.5), доставляющие стационарное значение расширенной функции Рауса Я (2.2), функция /(д2) , определяющая расширение Я , должна удовлетворять уравнению Гамильтона - Якоби (2.1.4).
Покажем, что найденные для уравнения Рауса ИМСД могут быть «подняты» в фазовое пространство лагранжевой системы как ИМСД.
2.2. О стационарных множествах лагранжевой системы. Построим функцию К, вычитая из расширенной функции Лагранжа слагаемое РЧ\ ■
К = I- - 1Щ =^[кд22 + (<щ\ + ЬУ1 («^ + /(д2)д2)2 +
8К
— = (ад2 +Ъу1(д1+/(д2)д2)-р = Ъ, дд1
8К
— = кд2+ (ад\ + Ъ)'1 (д + Яд2)д2)/(д2) = 0, дд2
с)К
— = (ад\ +ъу\д1 + /(д2)д2)Г(д2)д2 - (2.2.2) дд2
-ад2(ад22 + Ьу2(д1 + /(д2)д2)2 +с1д2=0 Исключив скорость д с помощью первого уравнения из остальных, получим
|К = кд2 + Р/"(д2) = 0, 8д 2
IК = Р/'(д2)Ч2 - ад2Р2 + ¿Ч2 =0.
8д 2
Как и в раусовском случае, потребуем, чтобы рассматриваемые уравнения были зависимы. Для этого исключим из второго уравнения скорость с помощью первого. В результате получим следующее условие вырожденности системы (2.2.2):
Р2/(д2)/'(д2) + к(Р2а -¿)д2 =0. (2.2.3)
Как легко видеть, оно совпадает с аналогичным условием (2.1.2) для раусовского случая.
Проинтегрировав (2.2.3), мы получаем, как и выше, алгебраическое уравнение
Р2/2(д2) = к (Л - Р2а)д1
для нахождения интересующих нас значений /(д2) . Следовательно, можно утверждать, что при значениях /(д2) , удовлетворяющих последнему уравнению (равносильно уравнению (2.1.4)), стационарными множествами для функции К будут множества, определяемые уравнениями:
к д2 +р/Ш = °,
(ад22 +Ьу\д1+/(д2)д2)-р = 0
(2.2.4)
или после подстановки найденных значений
Д<72): _
кд2 ± д:^к(с! - а/г ) = 0,
(ад2 +Ьу1(д1±<^к(<Л -ар2)д2)-р = 0. Соответствующие функции К, а значит и Ь, имеют здесь вид
К12= кд2 + (ад2 + Ъ) 1 ^ ± д2^к(с{ - ар2)д21
+Лд2 - Рд1= А?- Рд1.
+
Последние формулы показывают, что уравнения стационарного множества функции К получаются, если к уравнению стационарного множества функции Я (2.2) добавить циклический интеграл (2.1).
ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения
Покажем, что уравнения (2.2.4) определяют инвариантные многообразия уравнений Лагранжа, соответствующих «расширенной» функции Лагранжа L (при условии (2.1.4) на f (q2) ).
Уравнения Лагранжа записываются так:
(2.2.5)
кс}^ + а^ (ад2 + Ь) 2 + /(^ )2 - = О,
(аЯ2 + Ъ)~1 + / (<?2 Ц2)-р = 0.
Здесь из первого уравнения с помощью второго уравнения и соотношения (2.2.3) исключены & и /'(&)•
При указанных значениях /(^) уравнения (2.2.5) принимают вид:
кд2 + ад2 {ад2 + ^ ± д2-ар2)д21 - с!д2 = 0,
(ад2 +Ъу1(с1х ± д2-^к(с! - ар2)д2)~ р = 0.
Сказанное справедливо и для базовых уравнений Лагранжа при соответствующем значении циклического интеграла.
Проведем доказательство сначала для случая уравнений с «расширенным» лагранжианом
2Ц ,, = кф, + (сщ2 + Ьу1^ ±у/к(с1 -ар2| + ¿/д2,
действуя по определению инвариантного многообразия.
Производная от первого уравнения уравнений (2.2.4), вычисленная на этом множестве в силу уравнения Лагранжа (2.2.5), записывается так:
+ р/(я2)) = % + аЛ<?2 )<?2 •
т
После исключения из этого выражения производных ^, q 2 с помощью уравнений движения (2.2.5) и многообразия (2.2.4), будем иметь:
4" + Р? (12)) = P2f (<?2 )/'($. р2а)ср_.
т
Поскольку полученное выражение совпадает с условием вырожденности уравнений стационарности К и обращается в нуль при значении / (^), которое соответствует обсуждаемому многообразию, то исследуемое многообразие инвариантно. Ясно, что добавление к уравнению, определяющему инвариантное многообразие первого интеграла, снова будет определять инвариантное многообразие.
Проведем аналогичное доказательство в случае базового лагранжиана:
2Ь = кс£ + (ац2 + Ъ)~1 </2 + сЛ/2. Соответствующие уравнения Лагранжа записываются здесь так: кср, + ад2 (ас[2 + б)-2 ¿¡2 - ¿к/2 = 0, (а</2 + Ь)~1 ¿¡х = р.
Производная от первого уравнения многообразия, вычисленная на данном многообразии в силу выписанных уравнений движения, имеет вид
к¿¡^ + = + 6)~2д2 +
р2
+^2 У' (q2^-/ (q2)• к
Исключив скорость ^ из последнего выражения с помощью циклического интеграла, получим
р2
кд2 + рГШя2=-р2аЯ2 +с1ч2 —-/'Ш/Ш-
к
Это выражение обращается в нуль при значениях /) , соответствующих нашим многообразиям. Тем самым инвариантность рассматриваемых многообразий, определяемых уравнениями
кс[2 ± ^к(с/ - ар2 )с/2 = 0, {ас[2 + Ьу1 ^ = р,
доказана и для базовых уравнений Лагранжа.
3. Заключение
Таким образом, показано, что использование «расширенных» характеристических функций позволяет проводить анализ консервативных систем на базе стандартной техники выделения вырожденных стационарных множеств. Интересной при этом оказывается аналогия с формализмом Гамильтона — Якоби, которая естественно возникает при нахождении условий вырожденности уравнений стационарности и сводится к определению при данном подходе расширяющей функции. Нетрудно видеть, что функции, достигающие стационарного значения на выделяемых так инвариантных многообразиях, могут быть использованы как функции Ляпунова для получения достаточных условий устойчивости этих многообразий.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Борисов А. В., Матвеев И.С. Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике. — Ижевск : ИД «Удмурт. ун-т», 1999. — 460 с.
2. Арнольд В. И., Козлов В. В., Нейштадт А. И. Математические аспекты классической и небесной механики // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. — М. : ВИНИТИ, 1985. — Т. 3. — С. 5—303.
3. Гельфанд И. М., Фомин С. В. Вариационное исчисление. М.—Л. : ГИФ, 1961. — 228 с.
