Вариационный принцип в гамильтоновой механике Текст научной статьи по специальности «Математика»

Сер. 4. 2009. Вып. 2

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

КРАТКИЕ НАУЧНЫЕ СООБЩЕНИЯ

УДК 517.43+531.31

Л. В. Прохоров, А. С. Ушаков

О ВАРИАЦИОННОМ ПРИНЦИПЕ В ГАМИЛЬТОНОВОЙ МЕХАНИКЕ

Введение. Чтобы задать гамильтонову механику, нужно задать некоторую функцию (гамильтониан) на чётномерном многообразии М2п с заданной на нём симплекти-ческой структурой, т. е. невырожденной замкнутой 2-формой [1, 2]:

Ю = Ю^ (х)йх^ Л йх', х € М2п,

где х = (ц1,..., цп,р1,... ,рп), 4 и р - обобщённые координаты и импульсы, соответственно.

Уравнения движения записываются с помощью скобок Пуассона. В общем случае имеем

2п

Х^ = {х, Н} = ^ щГ (хдН; (1)

\=1

здесь дуН = дН/дхх и юцу - матрица, обратная ю^у. В координатах Дарбу симплекти-ческая матрица имеет вид

ю"=( Е оП.У <2)

Еп и Оп - единичная и нулевая матрицы, соответственно. Для получения уравнений движения используют действие

Экстремум Бн(8Бн = 0) ищется с учётом граничных условий ц(1\) = Ц1,4(^2) = 42.

Выражение (3) неудовлетворительно с геометрической точки зрения, так как не обладает свойством ковариантности. Изначально геометрическая (ковариантная) формулировка гамильтоновой механики предполагает существование инвариантного действия с заданой симплектической матрицей ю^. Действие (3) получают из лагранжевой механики, а между лагранжевой и гамильтоновой механиками существует принципиальная разница. В лагранжевой теории п независимых функций от времени ц1 (£), а в гамильтоновой - 2п функций (дг(t),pi(t)). Кроме того, в гамильтоновой механике независимо от функции Гамильтона задается симплектическая структура, чего нет в лагранжевой

© Л. В. Прохоров, А. С. Ушаков, 2009

механике. Поэтому, следует ожидать принципиальных отличий между вариационными принципами в лагранжевой и гамильтоновой механиках. В лагранжевой механике варьируется действие

Бь = Ь(д,д)М

(4)

Начальная точка траектории системы в (4) фиксируется заданием координат и скоростей. Вместо скоростей можно фиксировать координаты в конечный момент времени. Итого имеем 2п постоянных ц(Ь\), ^(^2), обеспечивающих обращение в ноль внеинте-гральных членов при варьировании действия Б^. При этом начальную и конечную точки можно выбирать произвольно. В гамильтоновой механике нельзя произвольно фиксировать и начальную, и конечную точки х^х^х^) в фазовом пространстве, так как при этом фиксируется 4п переменных, что в два раза больше числа возможных независимых граничных условий.

В литературе не описан общий случай вариационного принципа для нетривиальной симплектической формы (проблема ковариантной формулировки обсуждается в [3], но игнорируется проблема граничных условий; см. также [4], где в качестве фазового пространства берётся кэлерово многообразие). Между тем эта проблема достаточно важна. Например, системы с гироскопическими силами не могут быть описаны обычным способом как гамильтоновы системы с точными симплектическими формами. Проблему можно решить переходом к некоторой нетривиальной симплектической структуре [5, 6].

Далее обсуждается ковариантная формулировка вариационного принципа [3, 7]. При этом возникает вопрос о фиксации граничных условий. Задача решается путём ограничения класса вариаций. Для более детального анализа проблемы вариационные принципы рассматриваются с точки зрения квантовой механики, поскольку именно из неё они должны следовать. В результате строится вариационный принцип в симметричной форме. В конце решается проблема граничных условий для ковариантной формулировки вариационного принципа. Доказывается, что существуют канонические переменные, в которых ковариантное действие имеет вид (3).

Ковариантная формулировка вариационного принципа. Вариационный принцип с действием (3) и соответствующими граничными условиями даёт уравнения движения (1) со стандартной симплектической формой в М2". Но эта формулировка не обладает свойством явной инвариантности. Гамильтонова механика определяется заданием симплектической формы ю, т. е. матрицы ю^, тогда как в (3) входит только часть суммы ю^Хх’х^ (по повторяющимся индексам предпологается суммирование).

Естественно исходить из следующего действия:

где |Л,,V = 1, ...,2п г = 1,...,п. Предположим, что гамильтониан не вырожден по импульсам:

— — Н

(5)

Тогда функция Лагранжа для данного гамильтониана определяется стандартно:

Т •% ТТ •% дН

Ь =рм - И, д = —;

дрг

она отличается от лагранжиана V в (5) только полной производной по времени:

Ь = Ь' -\--—, / = —рг'</г, 1 = 1,..., П.

<и.’ 2 ’ ’

Функция / зависит от координат и импульсов: / = /(д,р,2). Таким образом, лагранжианы Ь и V будут эквивалентны, только если можно воспользоваться граничными условиями 1) = 8д(22) = 8р(2{) = 8р(22) = 0 для вариаций координат и импульсов:

Зй'ясо = ^ <уРгЫ - д*5р<) |£ + I ^-Рг ~ ^ + (V “ §2^ * =

= ^ Юйу.г,й5.г’',|*2 + [ (Юцуж'' — д^Н)Ъх^&\ (6)

2 1 Л 1\

здесь требуется в два раза больше независимых граничных условий на координаты и импульсы, чем при использовании действия (3). Если же использовать только половину граничных условий, то эти лагранжианы не будут эквивалентны.

Кроме того замена Ь ^ Ь + сI/(д,д)/С2 фактически вводит в лагранжиан ц, т. е. Ь(С,с) ^ Ь(q, Я,Ч).

Разрешение проблемы требует ясного понимания того, что вариационный принцип выступает в двух разных качествах: во-первых, как свойство классического движения (из всех траекторий, соединяющих начальную и конечную точки, только физические доставляют экстремум действию), во-вторых, как средство для получения уравнений движения (из условия экстремальности действия находят уравнения движения).

В лагранжевой механике эти два аспекта вариационного принципа эквивалентны. В гамильтоновой механике первое условие остается неизменным, а второе требует выполнения дополнительных условий, именно: нужно ограничить класс вариаций. Ограничимся вариациями, отличными от нуля лишь в промежутке времени Д2 : 21 ^ 2 < 22 или 21 <2 < 22 Д С [21,22) или Дг С (21,22]), т. е.

8х(2) = 0 если 2 // Дг.

Разумеется, 8х(2) может быть отличным от нуля на сколь угодно малом интервале внутри Дг. При этом внеинтегральные члены в (6) обращаются в ноль. Получив уравнения движения, убеждаемся в справедливости первого условия: решение уравнений движения доставляют экстремум действию (5) в стандартном понимании, т. е. при фиксированных х(21) и х(22).

Таким образом, при инвариантном формулировании вариационного принципа в гамильтоновой механике для получения уравнений движения необходимо изменить класс допустимых вариаций.

Ещё раз подчеркнём принципиальные отличия вариационного принципа гамильтоновой механики. Во-первых, варьируются два набора произвольных функций (2), Рг(2). То, что, в отличие от гамильтоновой механики, в действии (4) варьируется

лишь один набор функций ді(ї), объясняется тем, что при переходе И ^ Ь используются уравнения движения д = дИ/др. Во-вторых, в действии Бна (5) существует проблема фиксации граничных условий, поэтому требуется ограничить класс вариаций. С целью более детального изучения проблемы обратимся к квантовой механике, поскольку именно из неё должны следовать классические вариационные принципы.

Вариационные принципы и квантовая механика. Переменные q, р. Рассмотрим матричный элемент (интегральное ядро) оператора эволюции и(ї — ї') = = ехр[—іИ(і — ї')/П], для инфинитезимального временного интервала ї — ї' = Є. При Є ^ 0 выражение (д\иє\д') = ичч*(є), где иє = и(Є), равно [8]:

(ч\ІЇє\ч' ) = ( д

ехр ( — - Не

іЄ

1 - Щд,р)

д д

р) (р\д')

іЄ

1 ~~ И н^р)

д

с1пр ехр ( -- Н{д,р)г ) {д\р) {р \д') .

Учитывая, что (д\р) = (2кП) п/2 ехр(ірд/П), имеем

(7)

Формула (7) позволяет понять физическое содержание принципа наименьшего действия. Классический предел соответствует пределу Н ^ 0. В экспоненте выражения (7) стоит инфинитезимальное действие (3). Доминирующий вклад в асимптотику (7) даётся экстремальным значением показателя экспоненты (действия Бн), т. е. вкладом единственной траектории, удовлетворяющей уравнениям движения. Таким образом, мы получили вариационный принцип с действием вида (3). Как же получить действие в ковариантной форме (5)? Чтобы понять это, рассмотрим случай комплексных переменных.

Вариационные принципы и квантовая механика. Комплексные переменные. Введём комплексные переменные г и £*: х = (д + гр)/\/2, г* = (д — *р)/\/2 (относительно смысла этих переменных - далее). Гильбертовым пространством является пространство Фока целых аналитических функций /(г) порядка р ^ 2, х\/) = /\/) с 8-функцией {г*\г) = ехр(г*г/К). Скалярное произведение в пространстве Фока определяется интегралом

I ф№'><г*'Ы= I ^^ехр(^^)(Л-2*|Л-')(Л-*,Ы.

2піП

П

Проделывая выкладки, аналогичные выкладкам предыдущего раздела, обнаруживаем, что для получения уравнений Гамильтона нужно взять два инфинитезимальных временных интервала £1 и £2:

ехр ( — — Н(х*, х) П

ехр ( — — Н(х*, х) П

(—Х"Х'\ (X*Х' іЄ2 тт/ * ,Л (х""х іЄ\тт/ Л

ехр \~1Г)ехр (т - Тя(г ’г <) “р Ьг - Хя(г ’*">) ■

2піП

В пределе при П ^ 0 интегралы по х' и х*' определяются инфинитезимальными дей-

ствиями

Бш = (іх*'х — И(х*', х))єі,

(8)

д

г м г

г =

Б2Н = (гг'г * + Н (г *,г'))£2, (9)

соответственно (здесь г* « (г* — г*')/£2, г « (г' — г)/£\), которые дают уравнения

движения:

дН(г*,г) . дН(г*,г)

~ • дх о,-*-г дх* “°- (10)

Уравнения Гамильтона (10) комплексно сопряжены, поэтому фактически любое из действий (8), (9) даёт сразу оба уравнения (10).

Теперь ясно, что нужно сделать, чтобы получить вариационный принцип в симметричной форме - надо взять два инфинитезимальных интервала. Но сначала поясним, что значит «вариационный принцип в симметричной форме». Под симметрией будем понимать равноправие между координатами и импульсами в действии, а именно, тот факт, что всегда можно произвести каноническое преобразование, которое ведёт к взаимной замене координат и импульсов (с точностью до знака).

Для получения вариационного принципа в симметричной форме берём два инфи-нитеземальных временных интервала £1 и £2:

(рР^гАч) = [ (р\д')(д'\р')(р'\д) ехр (^-г-^Н(р,д')^ х ехр ( - %^-Н(р , д)) =

=/10$^- М-Щ-)ехр(~тЩр'"'Оехрехр(-тН(р' «О

Асимптотика интеграла по р' определяется инфинитезимальным действием (р'д— —Н(р', с))£1, а по с'— действием —(с'р + Н(р, с'))£2 (здесь д « (с' — с)/£1,р « (р — р')/£2). Таким образом, следует брать два действия Б1Н = /(рС — Н)С2, Б2Н = /(—др — Н)С2 и варьировать в первом по р(2), а во втором по q(t). В этом случае каждое из условий экстремальности действий (Бн или Б2Н) есть необходимое условие для получения уравнений движения. Достаточным условием будет выполнение двух вариационных принципов: 8рБ1Н = 0, 8ЯБ2Н = 0. Эта формулировка вариационного принципа гамильтоновой механики естественна, так как удваивается число варьируемых функций и не возникают внеинтегральные члены, т. е. отсутствует проблема начальных условий.

Граничные условия в случае комплексных переменных. Рассмотрим проблему граничных условий при вариации действия (5) с другой точки зрения. Матрицу Ю^ преобразуем к главным осям. Для простоты ограничимся случаем двумерного фазового пространства. Собственные значения стандартной симплектической матрицы (2) равны ^12 = ±*, а собственные векторы есть

Л = 71 (* ) ’/2 = 71 ( -*

Составим матрицу из собственных векторов /1, /2 и подействуем ею на вектор фазового пространства:

— ( 1 * ^ ( Ч \ = п ( 4 \ = — ( д + '1р ^ 2

г \ л ■ I \ 1=1 М = -7= • = I * • (И)

у2 \ 1 ~г / \ р / \ Р / \/2\ Ч~гР ) \ г ;

Матрица и унитарна и превращает переменные д,р в комплексные канонические переменные г, г*, хотя само преобразование не является каноническим [8]. Уравнения движения (1) в новых переменных

z = -idz*H(z, z*), z* = idzH(z, z*) (12)

индентичны уравнениям (10).

Действие (5) в переменных z, z* записывается так:

Sho

^-(z*z - z*z) - H

dt.

Для получения уравнений мы, как и ранее, можем взять два действия (8) и (9) (комплексных!) и варьировать одно по г, а другое по г*. Но так как первое и второе уравнения в (12) комплексно сопряжены, достаточно взять одно из них, например,

t2

Б1Н = ![гг*г - Н(г,г*)]скЬ. (13)

Варьировать действие (13) можно только по одной переменной г*. Тем самым получим первое уравнение (12); второе получается комплексным сопряжением. При вариации действия (13) по г * не возникают внеинтегральные члены. В итоге мы избавились от проблемы начальных условий.

Граничные условия в случае переменных q, р. Переход к переменным г, г* является неканоническим; кроме того мы перешли от теории с вещественными переменными к теории с комплексными переменными. Этот переход важен для понимания квантовой механики и её связи с классической [9]. Но если мы все же хотим работать с вещественными переменными и получить вариационный принцип в более привычном виде, можно поступить следующим образом. Представим переменные г, г* в виде = -^=ег^, где г2 = </2 +р2,ф = al'ctg^ и перейдём к новым каноническим переменным г, ф. В действии (5) в качестве граничных условий фиксируем на концах траектории значения функции ф, т. е. ф(^) = фь ф(Ь2) = ф2. Вариация ф на концах равна

5ф' Р?><1 ~ Ч?>Р

' ti ,t2 q2 + p2

= 0.

tl ,t2

Внеинтегральный член вариации действия в (6) совпадает с числителем вариации ф; таким образом, на концах траектории он обращается в ноль, что решает проблему граничных условий. Зафиксировав в определенный момент времени значение функции ф, мы выделяем подпространство размерности n (в случае двумерного фазового пространства — это будет прямая линия, наклонённая к оси импульсов p под углом ф! в момент времени ti и прямая линия, наклонённая под углом ф2 в момент времени t2).

Действительно, если выразить p, q через ф, r, то

q = r sin ф^ = r cos ф.

Таким образом концы кривой должны находиться в подпространстве ф = фl в момент времени ti и ф = ф2 в момент времени t2. Суть: r, ф — канонические переменные, полученные из q, p с помощью неканонического преобразования. Если положить P = r2/2,

то получаем \{pq — qp) = Рф (преобразование от q,p к Р, ф каноническое). Таким образом, фиксируя ф на концах, мы переходим к действию (3), а именно

t-2 t2 ^ ^

Й'Ф = I (рф - Я(ф,Р)) dt = I Qr2<j> - Я(ф, гИ dt. (14)

tl ti

Действия (5) и (14) эквивалентны (дают одни и те же уравнения движения), если на концах фиксировать значение ф; точнее для действия (14) фиксируется каноническая переменная ф, а для действия (5) фиксируется значение комбинации переменных q, p, т. е. функции ф = ф(р, q).

Заключение. В гамильтоновой механике к вариационному принципу следует относится с учётом её специфики. Во-первых, как к утверждению о свойстве уравнений движения: если q(t),p(t) - решения уравнений движения, то действие (5) будет минимально на решениях уравнений движения. Во-вторых, как к средству для получения уравнений движения; в этом случае нужно поступить одним из следующих способов:

а) Модифицировать SH к виду (3). Это можно сделать явно (14), но тогда формально будет нарушена ковариантность, или неявно, работая с действием (5), где в качестве граничных условий фиксируется ф = axctg| в начальный и конечный моменты времени. Если модифицировать действие неявно, то сохранится ковариантность формулировки вариационного принципа.

б) Брать два действия: Sih = J(pq — H)dt, S2h = f (-qp — H)dt и варьировать в первом по p(t), а во втором - по q(t). Это согласуется с квантовой механикой. В этом случае, вообще говоря, каждое условие экстремальности действия (Sih или S2h) есть необходимое условие получения уравнений движения. Достаточным условием будет выполнение двух вариационных принципов: 8pSiH = 0, 5qS2h = 0. Впрочем, первое из них будет и достаточным, если в нем варьировать и p(t), и q(t).

в) Брать действие (5), а варьировать в классе вариаций

bx(t) = 0 при t ф At,

где At С [ti,t2) или At С (ti,t2]. Тем самым ограничивается класс вариаций, но сохраняется ковариантность формулировки вариационного принципа.

г) Перейти от переменных p,q к комплексным каноническим переменным z, z* (11). Само преобразование не является каноническим, но возникает естественным образом (преобразование симплектической матрицы к главным осям). Этот переход важен для понимания квантовой механики и её связи с классической механикой [9]. Действие имеет вид (13). Варьировать можно только по одной переменной z*. Тем самым получим первое уравнение (12), второе уравнение получается комплексным сопряжением. При вариации действия (13) по z* внеинтегральные члены не возникают.

Литература

1. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. Москва., 2000. 408 с.

2. Болсинов А. В., Фоменко А. Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Ижевск, 1999. 444 с.

3. Martinez-Merino A., Montesinos M. Hamilton-Jakobi theory for Hamiltonian systems with non-canonical symplectic structures // Ann. Phys. 2006. Vol. 321. P. 318-330.

4. McEwan J. A complex formulation of generalized Hamiltonian (Birkhoffian) theory // Found. of Phys. 1993. Vol. 23. N 2. P. 313-327.

5. Souriau J. M. Structure des systemes dynamiques. Paris: Dunod, 1970. 414 p.

6. Новиков С. П. Гамильтонов формализм и многозначный аналог теории Морса // Усп. мат. наук. 1982. T. 37. № 5. C. 1-56.

7. Sergi A. Variational principle and phase space measure in non-canonical coordinates // Preprint cond-mat/0508193.

8. Прохоров Л. В., Шабанов С. В. Гамильтонова механика калибровочных систем. СПб., 1997. 292 c.

9. Прохоров Л. В. О физике на планковских расстояниях. Пространство как сеть // Физ. элементарн. част. атомн. ядра. 2007. T. 38. Вып. 3. C. 696-733.

Принято к публикации 14 октября 2009 г.