CC BY
3ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ УПРОЩЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЧИСЛОВЫХ ВЫРАЖЕНИЙ,
СОДЕРЖАЩИХ КУБИЧЕСКИЕ КОРНИ
Аносов Виктор Петрович
кандидат физико-математических наук, доцент, Новосибирский Государственный Педагогический
Университет, г. Новосибирск
ONE METHOD OF SIMPLIFICATION OF SOME NUMERICAL EXPRESSIONS CONTAINING CUBIC ROOTS Anosov Viktor Petrovich, candidate of physical-mathematical sciences, assitant professor, Novosibirsk State Pedagogocal University, Novosibirsk АННОТАЦИЯ
В работе приводится метод упрощения некоторых числовых выражений, содержащих кубические корни. ABSTRACT
Given in work is a method of simplification of some numerical expressions containing cubic roots. Ключевые слова: метод упрощения числовых выражений, кубические корни. Keywords: method of simplification of numerical expressions, cubic roots.
Эта публикация является повторной в связи с отступлениями, допущенными при её первой публикации в журнале НАУ # IV (9) за 2015 год. Прошу считать мою первую публикацию недействительной.
При упрощении числовых выражений, нам приходится сталкиваться с двумя взаимно обратными операциями, и, как правило, выполнение одной технически существенно сложнее, чем выполнение другой. С такой ситуацией мы часто встречаемся при возведении в степень и извлечении корня. Легко получить, что
(5 + Зу2)2 = 4Э+ЗОу2 (5+3V2)3-395+279Л и т
раздо труднее прочесть эти равенства справа налево. При этом, как утверждается в [1], если при решении задач
встретились выражения "/о+ьТс или \а + Ь\С (а / Ь
— целые числа, с — натуральное число), то необходимо извлечь соответствующий корень, и это часто можно сделать! И как сказано в [1], если подобное извлечение возможно, то его можно найти методом подбора.
Остановимся на одной из задач из [1], решаемых этим методом. Задача состоит в упрощении выражения
У'2+\ 5+V2-V5 ,
{а+Ь V5
Но этот метод подбора малоэффективен при более сложных выражениях, чем выражение (1).
Мы предлагаем применять для данных случаев другой метод. Поясним его на примере.
Обозначим выражение (1) через х , т. е.
31
3 Г
х=\2+ \5+V2-V5
(2)
И возведём обе части (2) в третью степень. Мы получим, что
(1)
Указание к решению этого примера из [1], приведённое на странице 213. Рассмотрим выражение
Давая а и ^ натуральные значения, уже на первом шаге получим (1 + ^ ^) —8(2 + \5) дТСЮда
понятно, что ——8(2—\о) проводя ещё несколько очевидных операций, устанавливаем, что выражение (1) равно 1.
х3 = 4 + 3 л 2 + у"5• л 2 - \/5 (\2 + у'5 + у 2 - V5)
Учитывая обозначение (2) и то,
\ 2 + ч 5-у 2 — Г) = — I в виде
(3)
что
, уравнение (3) можно записать
xJ+3x-4 = 0,
X = 1
Очевидно, что является корнем уравнения
(4). Других действительных корней уравнение (4) не имеет, что следует из равносильности его дизъюнкции
х—1 = 0, х2+Х+4 = 0.
(5)
второе уравнение которой корней не имеет.
Х = 1
Итак, ответ .
Подобная же схема решения может быть применена для задач 8-10, 15-16 (стр. 13), предложенных в [1].
Для иллюстрации простоты применения данного метода, предлагается сравнить первый и второй метод, решая задачу упрощения выражения
31
3 г.
\ 395 + 279 \ 2+ \ 395-279 \ 2 ,
(6)
Далее обобщаем сказанное выше, предварительно введя следующие обозначения:
О
множество рациональных чисел;
fnl •
I J '
q"=Q\{O
— множество положительных рациональных чисел;
■ — множество целых чисел;
•=г\{о}.
Теорема 1. Пусть дано числовое выражение
Где
a€(Q,be<Q ,се(Q+,
k=\ (Г - It С
Проводя те же рассуждения, что и при упрощении
выражения (2), приходим к тому, что Л должно удовлетворять уравнению (8). Осталось установить его единственность. Для этого надо проверить выполнение соответствующих условий теоремы 9.2 из [2] или условие (а) теоремы 3.3 из [3] (стр. 528). Это действие затруднений не вызывает.
Теорема 1 доказана.
Следующая теорема даёт возможность найти целые корни уравнения (8).
х„=ше2
Теорема 2. Пусть
уравнения (8) с целыми коэффициентами
является корнем
3 k 2 a у0_
гда
m
2 a
(7)
, и пусть произведение
слагаемых из (7) 1 есть рациональное число и
пусть (7) так же есть рациональное число, тогда (7) является единственным решением уравнения
х3 — Зкх + 2а = 0 , ,0.
(о)
Доказательство. Как и выше, обозначим выражение (7) через х , т. е.
х = \ а+6 \ с+л а-Ь4с ,
(9)
является делителем Доказательство этой теоремы не представляет особых затруднений.
В заключении отметим, что предложенный метод неоднократно апробирован на занятиях со студентами математического факультета НГПУ.
Список литературы
1. Шарыгин И. Ф. Факультативный курс по систематике. Решение задач. Учебное пособие для 10 кл. сред. шк., — М.: Просвещение, 1989. — 252 с.
2. Решетняк Ю. Г. Курс математического анализа, Ч. I, кн. 1, — Новосибирск: Издательство Института Математики, 1999. — 454 с.
3. Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел. Учебное пособие для педагогических институтов, — М.: Высшая Школа, 1979. — 559 с.
КОГНИТИВНАЯ КАРТА И КОГНИТИВНАЯ МОДЕЛЬ АНАЛИЗА ГЛАВНЫХ КОМПОНЕНТ
(ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННАЯ ОТРАСЛЬ)
Жанатауов Сапаргали Утепович
кандидат физико-математических наук., старший научный сотрудник, доцент Евразийского
технологического университета, г.Алматы, Республика Казахстан
COGNITIVE MAPS AND COGNITIVE MODELS PRINCIPAL COMPONENT ANALYSIS (TELECOM INDUSTRY) Zhanatauov Sapargali Utepovich, Candidate of Physic and mathematical Sciences, senior research associate, assistantprofessor of Eurazian Technological University, Almaty, Kazakhstan АННОТАЦИЯ
В статье предложена модель извлечения знания из табличной информации, вычисленной из реальных данных. Выявлен один вычисляемый фактор, «заменяющий» измеряемые 6 показателей. С применением когнитивной карты и когнитивной модели анализа главных компонент сформулировано словесно новое знание: смысл выделенного и вычисленного фактора: «мощность предприятия по вкладу в ВРП и объему промышленного производства». Когнитивное исследование обосновано на расчетах по реальным данным. ABSTRACT
The paper proposes a model of extracting knowledge from the tabular information, calculated from the actual data. Revealed a calculated factor "replaces" 6 economical variables. With the use of cognitive maps and cognitive model of principal component analysis verbally formulated new knowledge: the meaning of the selected and calculated factor: "the capacity of the company to the gross regional product and industrial production". Cognitive research is justified on the calculations of the real data.
Ключевые слова: когнитивная карта, когнитивная модель, обратная модель анализа главных компонент. Keywords: cognitive map, cognitive model, inverse model of principal component analysis.
Введение
В результате технического прогресса распространились телекоммуника ционные системы, способные обеспечить универсальные услуги связи людям по всему миру,
благодаря объединению телекоммуникационных технологий с информационными технологиями в смежных областях, таких как электроника и обработка данных. При
