КОГНИТИВНАЯ КАРТА И КОГНИТИВНАЯ МОДЕЛЬ АНАЛИЗА ГЛАВНЫХ КОМПОНЕНТ (ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННАЯ ОТРАСЛЬ) Текст научной статьи по специальности «Математика»

31

3 г.

\ 395 + 279 \ 2+ \ 395-279 \ 2 ,

(6)

Далее обобщаем сказанное выше, предварительно введя следующие обозначения:

О

множество рациональных чисел;

fnl •

I J '

q"=Q\{O

— множество положительных рациональных чисел;

■ — множество целых чисел;

•=г\{о}.

Теорема 1. Пусть дано числовое выражение

Где

a€(Q,be<Q ,се(Q+,

k=\ (Г - It С

Проводя те же рассуждения, что и при упрощении

выражения (2), приходим к тому, что Л должно удовлетворять уравнению (8). Осталось установить его единственность. Для этого надо проверить выполнение соответствующих условий теоремы 9.2 из [2] или условие (а) теоремы 3.3 из [3] (стр. 528). Это действие затруднений не вызывает.

Теорема 1 доказана.

Следующая теорема даёт возможность найти целые корни уравнения (8).

х„=ше2

Теорема 2. Пусть

уравнения (8) с целыми коэффициентами

является корнем

3 k 2 a у0_

гда

m

2 a

(7)

, и пусть произведение

слагаемых из (7) 1 есть рациональное число и

пусть (7) так же есть рациональное число, тогда (7) является единственным решением уравнения

х3 — Зкх + 2а = 0 , ,0.

(о)

Доказательство. Как и выше, обозначим выражение (7) через х , т. е.

х = \ а+6 \ с+л а-Ь4с ,

(9)

является делителем Доказательство этой теоремы не представляет особых затруднений.

В заключении отметим, что предложенный метод неоднократно апробирован на занятиях со студентами математического факультета НГПУ.

Список литературы

1. Шарыгин И. Ф. Факультативный курс по систематике. Решение задач. Учебное пособие для 10 кл. сред. шк., — М.: Просвещение, 1989. — 252 с.

2. Решетняк Ю. Г. Курс математического анализа, Ч. I, кн. 1, — Новосибирск: Издательство Института Математики, 1999. — 454 с.

3. Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел. Учебное пособие для педагогических институтов, — М.: Высшая Школа, 1979. — 559 с.

КОГНИТИВНАЯ КАРТА И КОГНИТИВНАЯ МОДЕЛЬ АНАЛИЗА ГЛАВНЫХ КОМПОНЕНТ

(ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННАЯ ОТРАСЛЬ)

Жанатауов Сапаргали Утепович

кандидат физико-математических наук., старший научный сотрудник, доцент Евразийского

технологического университета, г.Алматы, Республика Казахстан

COGNITIVE MAPS AND COGNITIVE MODELS PRINCIPAL COMPONENT ANALYSIS (TELECOM INDUSTRY) Zhanatauov Sapargali Utepovich, Candidate of Physic and mathematical Sciences, senior research associate, assistantprofessor of Eurazian Technological University, Almaty, Kazakhstan АННОТАЦИЯ

В статье предложена модель извлечения знания из табличной информации, вычисленной из реальных данных. Выявлен один вычисляемый фактор, «заменяющий» измеряемые 6 показателей. С применением когнитивной карты и когнитивной модели анализа главных компонент сформулировано словесно новое знание: смысл выделенного и вычисленного фактора: «мощность предприятия по вкладу в ВРП и объему промышленного производства». Когнитивное исследование обосновано на расчетах по реальным данным. ABSTRACT

The paper proposes a model of extracting knowledge from the tabular information, calculated from the actual data. Revealed a calculated factor "replaces" 6 economical variables. With the use of cognitive maps and cognitive model of principal component analysis verbally formulated new knowledge: the meaning of the selected and calculated factor: "the capacity of the company to the gross regional product and industrial production". Cognitive research is justified on the calculations of the real data.

Ключевые слова: когнитивная карта, когнитивная модель, обратная модель анализа главных компонент. Keywords: cognitive map, cognitive model, inverse model of principal component analysis.

Введение

В результате технического прогресса распространились телекоммуника ционные системы, способные обеспечить универсальные услуги связи людям по всему миру,

благодаря объединению телекоммуникационных технологий с информационными технологиями в смежных областях, таких как электроника и обработка данных. При

анализе описываемых ниже данных выяснилось, что ощутимо выражены эластичности спроса по Т-фактору, некоторые из которых мы рассматриваем ниже. В то время как в теории спроса на услуги или товары рассматривают эластичность спроса по цене. Здесь же оказалось, что спрос по цене на вид услуги связи для предприятий не эластичен по цене. Цены на виды услуг связи практически не влияют на объемы вида услуги связи «междугородный трафик (минуты) для предприятий». Ценообразование в большинстве телекоммуникационных компаний остается в ловушке между затратным подходом и подходом, опирающимся на поведение потребителей - фирмы и население. Их поведение совершенно несовместимы между собой.

Рассмотрим задачу выявления неценовых факторов, которые на практике влияют на важный для бизнеса показатель у=«Междугородный трафик (минуты) для предприятий». Ранее было показано, что цена на этот вид услуги связи практически не влияет на объем трафика. Раз цена не определяет спрос, то надо рассматривать те неценовые факторы, те причины, которые на практике влияют на объем трафика для предприятий. Такими факторами, влияющими на объем трафика междугородних переговоров для предприятий (на переменную х6=(у), как видно, в частности, из анализа элементов выборочной корреляционной матрицы R66 (см таблицу 1) оказались 5 Т-факто-ров: Т1,Т4,Т5, Т9, Т15 (из множества 22 Т-факторов), которые мы переобозначим так:

X X

1 =( Т1) - ВРП; 2 =( Т4)-Доля прибыльных пред-

X

приятий; 3 =(Т5) - Совокупный доход до налогообложения предприятий и организаций; х4=(Т9)-Объем промышленного производства на 1 предприятие; х5=(Т15)-Коли-чество междугородных разговоров на 1 предприя-тие;х6=(у)=Междугородный трафик (минуты) для предприятий. Ниже покажем, что наши 6 показателей можно заменить одним обобщенным вычисляемым фактором. Он оказался равным линейной комбинации некоторого числа Т-факторов. Далее интерпретация смысла данного фактора производится с применением когнитивной карты и когнитивной модели анализа главных компонент [1,2,3]. Этот обобщенный фактор (у1) содержательно интерпретируется как «мощность предприятия по вкладу в ВРП и объему промышленного производства» и является существенным фактором, определяющим спрос на междугородный трафик (минуты), оплачиваемый предприятиями.

Подробное обоснование этих выводов, следующее. Пусть дана таблица данных размерности т*6 значений 6-тью показателями, где т=44 равно числу месяцев, в течение которых велись регистрации этих показателей.

В соответствии с этой целью рассмотрены задачи:

1. Изучение экономического смысла показателей, входящих в формулу обобщенного фактора;

2. Исследование синтетических линейных комбинаций учетных показателей, а также рассматриваемых микроэкономических показателей;

3. Придание смысла линейным (ой) комбинациям (ии) учетных показателей, рассматриваемых(мого) обобщенных(ого) фактора;

4. Вычисление «весов» значимых (как по смыслу, так и по числовому критериям) показателей в составе полученных(ого) обобщенных(ого) факторов(а).

Предметом исследования является действующая в государственных органах статистики Республики Казахстан практика учета показателей, некоторые из них (Т-фак-торы) здесь впервые используются для формирования обобщенных смысловых факторов, пригодных для управления бизнесом в телекоммуникационной отрасли. Объектом исследования служат цифровые данные по 6 показателям, влияющих на динамику изменения количества «междугородного трафика (минуты) для предприятий», потребляемых в офисах предприятий (абонентов-юриди-ческих лиц). Можно рассматривать и другую систему показателей, матрица данных по которой обладала бы достаточной избыточностью (см. таблицу 1). Здесь число 1=1 выражает высокую избыточность информации в системе из 6 показателей.

Ниже покажем, что этим коррелированным 6-ти Т-факторам соответствуют 6 некоррелированных факторов. Они вычисляются в ПМ ГК [1] после стандартизации значений 6 показателей: вычисляем 6 стандартизованных и-перемен-ных. Полученные 6 и-переменные после решения ПЗ АГК [1,10] преобразуются в некоррелированные 6 у-переменные, из которых только одна-у1. Этот синтетический фактор содержательно интерпретируются, является по выражению авторов работы [8] «смысловым» переменным. Смысл этой вычисленной переменной выявляется с применением когнитивной карты и когнитивной модели анализа главных компонент [1,2,3], применяемых здесь в другой предметной области - в телекоммуникационной отрасли.

Построим когнитивную карту и применим когнитивное моделирование к данным по микроэкономическим, телекоммуникационным показателям, проведем когнитивный анализ. В соответствии с целью «когнитивный подход в моделировании ориентирован на то, чтобы активизировать интеллектуальные процессы исследователя (субъекта) и помочь ему зафиксировать свое представление проблемной ситуации в виде формальной модели. В качестве такой модели обычно используется когнитивная карта ситуации. Методология когнитив-ного моделирования (предложена Аксельродом [9]) основана на моделировании субъективных представлений экспертов о ситуации и включает: методологию структуризации ситуации, включающую модель представления знаний эксперта в виде ориентированного орграфа (когнитивной карты С], где (Z,Y=ZC)- множество факторов (п и- и п у-переменных) ситуации, Спп - мно-жество измерений п2 причинно-следственных отношений между факторами ситуации) и п методов анализа экономической ситуации, выделяющие визуализируемые подмножества факторов. Мы конструируем когнитивную карту (КК) из 1<п фактор-следствий со своими моделями причинно-следствен-ной зависимости в виде функций уij=zi1с1j+zi2с2j+...+zmсn1, ¡=1,...,т=44, j=1,..., 1=1, где обнуляем по своим критериям некоторые из совокупности измеренных (в числах) воздействий (д1,с 2 j,...,сnj ) на j-ый фактор системы [1]. Поэтому в КК изображаются только те факторы zik, которые имеют ненулевые измерения ск отношений между факторами ситуации. Критерий же вычисления числа I выбирается исследователем из числа практически применяемых, здесь применяем критерий Джоллиффа [1]. Здесь £=1, ибо Л1=4.6798>Бдг1 (2)/2= =^(п/4)=0,76 соот-

ветствует критерию Джоллиффа. Наш выбор критерия связан с нашей возможностью придать смысли 1 доминирующему по величине дисперсиям Х1 у-переменной у1.

Когнитивная интерпретация - совокупность значений (смыслов, поэтому применяем прямую и обратную модели главных компонент (ПМ ГК, ОМ ГК [1, 6,10-12]). Ниже такому «осмыслению» подвергаются сами элементы - матрицы Л, С, Y теории - ((ОМ ГК) + (ПМ ГК)[1,10]), то есть интерпретируем символы связи объектов, формулы. При анализе этой сложной ситуации используем параметры и переменные обратной задачи симметризации диагональной матри-цы Л собственных чисел из ОМ ГК[1,2,3]:Л => Из формулировки обратной задачи

(ОМ АГК) из ОМ ГК [1,4,13] следует, что обратная задача: вычисление оптимальной системы весов (из матрицы Спп), т.е. вычисление совокупности воздействий (сj1,с2j,...,сnj) на j-ый фактор системы (со своей моделью причинно-следственной зависимости в виде функций уij=zi1с1j+zi2 с2j+ ..^¡пс^, ¡=1,...,т, зависит от элементов спектра Лnn=diag(X1...,Xn), Х1+...+Хп=п, Х1>Х2>... >Хп>0, и

Так как 1=1, и доля дисперсий одного (1=1!) обобщенного фактора равна 4,6798/6=0.78 (78%), то полагаем, что вариабельность наших 6 z-переменных состоящей из 2-х частей - информативной и «погрешностной», где последняя обусловлена ошибками разного рода. Информативную долю 6 2-переменных равной доле суммы I доминирующих собственных чисел (Х1+...+Х£)/6, 1<6 выборочной корреляционной матрицы R=(1/m)ZTZ, RC=CЛ, где С66 - матрица собственных векторов такая, что СтС=ССт=166, Л=diag(Л1,...Л6)-спектр (диаго-нальная матрица собственных чисел), полагаем достаточной для нашей цели.

Гипотеза о примерном равенстве вариабельности обобщенного фактора у1 (она равна линейной комбина-

от параметров спектра [3]. Модель главных компонент как частный случай факторного анализа позволяет отразить более глубокую картину динамики значений показателя «междугородный трафик (минуты) для предприятий».

Программа преобразования данных (матрицы Х044,6) из z-переменных (решается прямая задача анализа главных компонент (ПЗ АГК)) анализирует стандартизованную (С,Л^)-выборку ОМ ГК Z=YСТ, где Y- решение обратной задачи анализа главных компонент (ОЗ АГК), Z - ассоциированное решение ОЗ АГК, решаемой в ОМ ГК. Каждая выборка Z из ПМ ГК является одной из бесконечного множества (С,Л^)-выборок ОМ ГК[1-3,14-15]. Выборка Z=YСТ из ПМ ГК имеет те же параметры, в точности равные параметрам матриц С, Л, Y из ОМ ГК. Эта программа рассчитала 3 параметра (С,ЛД) -выборки: собственные числа Л66=diag(4.6798,0.7050,0.3390,0.2249, 0.0500, 0.0013), C66-матрица собственных векторов, элементы ее 1-го столбца приведены ниже в массиве ^N,1). Матрицу Y44,6 не приводим. Расчеты проведем с применением ППП «Спектр» [1,7]. Получены следующие числовые результаты.

Таблица 1

ции значений 5-ти z-переменных соответствующих исходным Т-факторам) подтверждена, как показано ниже, выявлением экономического смысла фактора у1 экспертом, внедрена в работу менеджмента АО «Казахтелеком». Покажем каким образом содержательно интерпретируется обобщенный фактор у1, выражаемый фразой «мощность предприятия по вкладу в ВРП и объему промышленного производства». Мы рассматриваем 2 вычисленные оптимальные системы весов (из матриц Спп и С(к)пп), т.е. вычисляем 2 разные совокупности воздействий (д1, с2j,...,сnj) на 1-ый фактор системы (со своей моделью причинно-следственной зависимости в виде функций уij=zi1с1j+zi2 с2j+.+zinсnj, Ь!,...^. Они определяют 2 модели причинно-следственной зависимости из когнитивной модели в виде функций:

т=44=число значений Т-факторов, n=6=5+1=4m^q существенных Т-факторов+у-показатель._

К=6=ранг матрицы R(N,N); L=1 - число существенных (доминирующих по величине дисперсии) обобщенных Факторов (главных компонент). F4 F3 F2 F5 F1 F6

0.7800 3501.9570 22.5655 0.1680E-04 6.0000 52.1285_

РН1=0.7431=среднеквадратическое коэффициентов корреляций. F4=0.78=(4.6798)/6 - доля 1-ого доминирующего по

величине дисперсии) обобщенного фактора (главной компоненты)._

Выборочная корреляционная матрица имеет вид: MATRIX R(N,N) 6 ROWS 6 COLUMNS COLUMN 1 2 3 4 5 6

ROW 1 1.0000.7941.6193.9979.8266.8450

ROW 2.7941 1.0000.5380.7914.6578.7381

ROW 3.6193.5380 1.0000.6047.4084.4574

ROW 4.9979.7914.6047 1.0000.8174.8287

ROW 5.8266.6578.4084.8174 1.0000.9413

ROW 6.8450.7381.4574.8287.9413 1.0000

VECTOR VL(N): WHIT 6 COMPONENTS

ROWS 1 2 3 4 5 6

4.6798 0.7050 0.3390 0.2249 0.0500 0.0013

VECTOR C(N,1) 6 ROWS 1 COLUMNS

ROWS 1 2 3 4 5 6

0.4479 0.3961 0.3051 0.4444 0.4129 0.4259

у(к)1=c(к)11*z1+c(к)12*z2+c(к)14*z4+c(к)15*z5+ ф)16*z6+ е1(к) у1=c11*z1+c12*z2+c14*z4+c15*z5+ c16*z6+ £1

Использование наших расчетных величин в этих формулах дают 2 соотношения, пригодные для когнитивного анализа:

у1=0. 4349*z1+0. 4195*z2+0. 4005*z4+0. 4194* z5+0. 4389*z6+£(к)1, у1=0.4479*z1+0.3961*z2+0.4444*z4+0.4129*z5+0.4259*z6+£l.

Коэффициенты в этих формулах вычислены двумя программами, но их матрицы С(к)66, С66,, элементами которых они являются, при заданном решении Y44,6 ПЗ АГК, образуют 2 разные ассоциированные решения Z(к)mn=Y44,6C(к)T66 и Z44,06. Но в матрицах С(к)66, С66 элементы 1-го собственного вектора удовлет-воряют по величинам одному и тому же критерию (см. ниже). Матриц С(к)Т66, к=1,...,~, существует бесконечное число, а матрица С66 одна и вычисляется в ПМ ГК как решение прямой спектральной задачи (ПСЗ) [1-3,6]. Модельная Z(к)mn=Y тпС(к)Тпп и реальная Zmn выборки адекватны как удовлетворяющие одной модели, так и по оценкам функций плотностей переменных [13-15].

Когнитивная интерпретация их дает одну и ту же совокупность словесных смыслов: смысл(у1)=«мощность предприятия по вкладу в ВРП и объему промышленного производства», имеющего большое количество расходов на «трафик междугородных разговоров». Вес этого обобщенного фактора у1 наибольший среди 6-ти и равен 78% (4.6798/6=0.7800). Когнитивный анализ состоит в следующем. В узле №1 для фактор-следствия КК (для у-перемен-ной №1) с наибольшей вариабельностью, равной Л1=4.6798, пороговое значение с(1) полагаем (по шкале Чеддока 0.4 входит в интервал [0,3-0,5]-умеренной связи) равным 0.4. Тогда значения ск1 по модулю превышают пороговое значение с(1)=0.4, соответственно только 5 (из 6) z-переменных с номерами к=1,2,4,5,6, они оказывают «ощутимое» влияние на у-переменную №1. Вариабельность этих z-переменных преимущественно обеспечивают диспер-сию Л1=4,6798 - наибольшую интерпретируемую оценку информативности (из всей, равной 6) матрицы Z44,06 посредством весов с(к)11=+0,4349, с(к)12=+0,4195, с(к)14=+0.4005, с(к)15=+0,4194, с(к)16=+ 0,4389. Здесь к=1млн 538-порядковый номер матрицы С(к) 66 из формулы Z(к)mn=YmnC(к )Тпп ассоциированного решения Z(к)mn обратной задачи анализа главных компонент (ОЗ АГК) [1-3,6]. Этому же интервалу принадлежат также коэффициенты с11=+0.4479, с12=+0.3961, с(к)14=+0.4444, с15=+0.4129,с16=+0.4259, вычисленные в ПМ ГК.

Так как приве-денные здесь коэффициенты с(к)11=+0,4349, с(к)12=+0,4195, с(к)14=+0.4005, с(к)15 +0,4194, с(к)16=+0,4389 и коэффициенты с11=+0.4479, с12=+0.3961, с(к)14=+0.4444, с15=+0.4129,с16=+0.4259 принадлежат одному интервалу [0.3,0.5] «умеренной» силы связи пар переменных, то когнитивный анализ когнитивных карт в обеих случаях дает одинаковые результаты по смыслу - одинаковые выводы в виде знаний, «вытянутых» из цифровых таблиц. Выше приведены значения компонент 1-го собственного вектора, расположенного в 1-ом столбце матрицы С66. Данная матрица С66 получена при решении ПСЗ R66=> (С66, Л66) в ПЗ АГК. Элементы другой матрицы С(к)66: с(к)11, с(к)12, с(к)14, с(к)15, с(к)16,

- являют-ся компонентами 1-го собственного вектора, расположенного в 1-ом столбце другой матрицы С(к)66.Мат-рица С(к)66 получена при решении ОСЗ Л=>(С(к), R(к)), где симметрическая корреляционная матрица R(к) удовлетворяет соотношению R(к)=C(к)ЛС(к)Т, к=1,..., решаемой в ОЗ АГК из ОМ ГК:Л=>^(к),С(к)ДД(к)), к=1,...,~. Матрица С(к)66 определяет ассоциированное решение Z(к)mn=YmnC(к )Тпп при известном решении Ymn ПЗ АГК. Предполагается, что ПЗ АГК решена всегда, ее решение имеет вид Ymn=ZmnCnn, если известна матрица Zmn -стан-дартизованная выборка, вычисленная по известной выборке реальных данных Х0mn и известна матрица Спп собственных векторов для матрицы Rnn.

Здесь матрицы Л, Y присутствуют и в ПМ ГК (ПЗ АГК) и в ОМ ГК (ОЗ АГК) [6,12]. Матрицы С66, С(к )66. соответственно вычисляются и моделируются в ПЗ АГК: Z=>(C,Y) и в ОЗ АГК: Л=>(С(£)^(£)), £=1,...,~ [1,6,12]. Значения элементов матриц R66, R(£)66 не приводим, ибо они не используются при когнитивном анализе когнитивной карты узла №1, соответствующей главной компоненте у1. Аналогично [1-3] мы разработали «модель представления знаний эксперта в виде ориентированного орграфа (когнитивной карты [£Д),С], где (Z,Y=ZC)- множество факторов (п=6 z- и п=6 у-переменных) ситуации, С66 - множество измерений п2=62 причинно-следственных отношений между факторами ситуации) и п=6 методов анализа экономической ситуации в телекоммуникационной отрасли, выделяющие визуализируемые подмножества факторов» в виде одного фактора у1.

смысл(у1)=0.4479*смысл^1)+0.3961*смысл^2)+0.4444*с мысл^4)+0.4129*смысл^5)+0.4259*смысл^6)+£1.

Эту линейную комбинацию смыслов мы когнитивно формулируем как «мощность предприятия по вкладу в ВРП и объему промышленного производства». Заметим, что этот обобщенный фактор аналогичен обобщенному фактору «трафик Интернет для предприятий»:

у1=0.4087*z1+0.4041*z3+0.3342*z4+0.3755*z5+0.41 21*z7+0.4067*z8+£l, зависящего от аналогических показателей.

В итоге мы видим, что на единственный обобщенный фактор воздействует набор Т-факторов: на у1 влияют Т-факторы Т1, Т4, Т9, Т15, Z6. В соответствии со своим набором Т-факторов наш обобщенный фактор и интерпретируется когнитивно. При этом чем больше расходов разных, тем больше расходов и на интернет. Это свидетельствует о том, что междугородным трафик и интернетом пользуется наиболее успешно работающая часть крупных предприятий. Регионы, где работают такие предприятия, имеют развитую телекоммуникационную инфраструктуру.

Рисунок 1. Когнитивная карта узла №1

Литература

1. Жанатауов С.У. Обратная модель главных компо-нент.-Алматы: Казстатин форм, 2013. - 201 с.

2. Жанатауов С.У. Когнитивная карта и модель социально-экономических факторов карьерной успешности школьников муниципальных школ США. Сибирский педагогический журнал. «013, №6, с. 2833.

3. Жанатауов С.У. Анализ будущих дебиторской и кредиторской задолженностей муниципалитетов городов. Экономический анализ: теория и практика. М.: № 2(353), 2014г., с. 54-62.

4. Жанатауов С.У. Обратная задача, обратная модель, обратимая модель. Вестник АГТУ,№ 1(9), 2012 г. с 713.

5. Жанатауов С.У. Метод получения выборки с заданными собственными числами ее корреляционной матрицы.- В кн.Математические вопросы анализа данных. Новосибирск, 1980, С.62-76.

6. Жанатауов С.У. Теорема-критерий равенства решений прямой и обратной задач аннализа главных компонент. Матер. X межд. конф.: «Современные концепции научн. исследований». (Москва, 27-30 декабря 2014 г.)

7. Жанатауов С.У. О функциональном наполнении ПГП «Спектр». В книге «Мо-делир. в информатике и вычислительной.технике». Новосибирск ВЦ СО АН СССР,1988г. с. 3-11..

8. Мостеллер Ф., Тьюки Дж.(1982). Анализ данных и регрессия: в 2-х выпус-ках, вып. 2. М.: Финансы и статистика,1982,239 с., илл. - (Математико-стати-стические методы за рубежом).

9. Axelrod R. The Structure of Decision: Cognitive Maps

of Political Elites-Princeton.Univ.Press, 1976.

10. Hotelling H. Analysis of a complex of statistical variables into principal components. - J. Educ. Psychol., 1933, vol.24, p. 417-441, p. 498-520.

11. Zhanatauov S.U. The inverse problem of the principal component analysis// Proc.of the1-st World Congress of Soc. Math. Statist. and Probabillity Theory of Bernoulli.-Utrecht, 1987.- p. 116-119.

12. Zhanatauov S.U. The criterion of equality of solutions of the direct and inverse problems of the principal component analysis. «Seattle-2013: 4th International Academic Research Conference on Business, Education, Nature and Technology». 4-5 November 2013, p.447-449.

13. Zhanatauov S.U. The inverse problem, inverse model, invertible model. Proc.«Intern. Con fer. "Science: lntegrating Theory and Practice" (February 24-25. 2014), Bozeman, ISET, Montana, USA/ ICET ( lnternat ionaCl enterf or Educat ion& Technology USA) Iternational Academic Rese arch Conference on Business, Edu cation, Nature and Technol-ogy». p.447-449.

14. Zhanatauov S.U. The real multidimensional sample values of character ristics of the stude ntts is adequate to (C,AA,Y)-samples. Universitat of Food Technologies - Plovdiv. Scientific works, vol..61, part 1,2014. pp. 701-705.

15. Zhanatauov S.U. The (C,A,Y) -sample is adequate to real multidimensional sample// Proc. Int. conf. "Leadership in Education, Business and Culture". 25 apriel 2014,Seatle, ICET USA. Leadership Iternational Conference "Leadership on Education, Business and Culture». p.151-155