CC BY
13
8. Хлопков Ю.И., Чернышев С.Л., Зея Мьо Мьинт, Хлопков А.Ю. Введение в специальность II. Высокоскоростные летательные аппараты. М.: МФТИ, 2013. - 192 с.
9. Belotserkovskii O.M., Khlopkov Yu. I. Monte Carlo Methods in Mechanics of Fluid and Gas, World Scientific Publishing Co. Lt., London, Singapore, Beijing, 2010.
10. Bird G.A. Molecular Gas Dynamics and the Direct Simulation of Gas Flows, Oxford University Press, 1998.
11. Khlopkov Yu.I., Chernyshev S.L., Zay Yar Myo Myint. Hypersonic aerothermodynamic investigation for aerospace system // Proceeding of 29th congress of the international council of the aeronautical sciences, St. Petersburg, September 7-12, 2014. (CD-Rom)
12. Khlopkov Yu.I., Zay Yar Myo Myint, Khlopkov A.Yu. Aerodynamic Investigation for Prospective Aerospace Vehicle in the Transitional Regime // International Journal of Aeronautical and Space Sciences, Vol. 14, N. 3, pp. 215-221. - 2013.
13. Kotov V., Lychkin E., Reshetin A., Shelkonogov A. An Approximate Method of Aerodynamics Calculation of Complex Shape Bodies in a Transition Region // In
Proceeding of 13 th International Conference on Rarefied Gas Dynamics, Plenum Press, New York, USA, vol. 1, pp. 487-494, 1982.
14. Lees L. Laminar Heat Transfer over Blunt nosed Bodies at Hypersonic Speeds // Jet Propulsion, vol. 26, no. 4, pp. 259-269, 1956.
15. Morsa Luigi, Zuppardi Gennaro, Schettino Antonio and Votta Raffaele Analysis of Bridging Formulae in Transitional Regime // 27th international symposium on rarefied gas dynamics. AIP Conference Proceedings, vol. 1333, pp. 1319-1324, 2011.
16. Potter J.L., Peterson S. W. Local bridging to predict aerodynamic coefficients in hypersonic, rarefied flow // Journal of Spacecraft and Rockets, 29, pp. 344-351, 1992.
17. Wilmoth R.G., Blanchard R.C., Moss J.N. Rarefied Transitional Bridging of Blunt Body Aerodynamics // NASA Langley Technical Report, 1988.
18. Zay Yar Myo Myint, Khlopkov Yu.I., Khlopkov A.Yu. Aerothermodynamics Investigation for Future Hypersonic Aerospace Systems // Conf. proc. 4th International Conference on Science and Engineering, Yangon, Myanmar, 9-10 December, 2013. (CD-Rom)
ТЕОРЕМА-КРИТЕРИИ РАВЕНСТВА РЕШЕНИИ ПРЯМОЙ И ОБРАТНОЙ ЗАДАЧ АНАЛИЗА ГЛАВНЫХ КОМПОНЕНТ
Жанатауов Сапаргали Утепович
к.ф.-м.н.,с.н.с. доцент кафедры "Информационные технологии и ЕНД", Евразийский технологический университет, г. Алматы
В соответствии с классическими представлениями вероятностная модель, где заранее фиксируется один из видов закона распределения вероятностей (равномерный, гауссовский, пуассоновский и т д) была предпочтительнее, однако, она не всегда была в состоянии описать адекватно реальные распределения вероятностей реальных генеральных совокупностей, выборки (таблицы данных) из которых изучались для выявления закономерностей по экспериментальным данным. Найден экспериментальный подход, который ответил бы прямо на вопрос об истинной эмпирической функции распределения (или эмпирической функции плотности распределения) или об ее приближенной оценке. Это предпочтительно при изучении новых объектов исследований, чем иметь дело с теоретической функцией плотности распределения, существенно отличающейся от эмпирической, оцененной по реальной выборке данных, полученной в результате экспериментов. Мы рассматриваем ситуации, когда нет необходимости иметь дело с теоретической функцией плотности распределения, а достаточно иметь одну реальную выборку данных, для которой существует совокупность с непрерывной функцией плотности распределения.
Доказана теорема о том, что реальная стандартизованная выборка 2тп - ассоциированное решение ПЗ АГК равна одной из ассоциированных решений ОЗ АГК 2(г)тп. Эти моделируемые новые Л-выборки, адекватны реальной многомерной выборке по определенным критериям [1,2,13,14], излагаются отличающиеся от традиционных новые свойства, полезные при анализе реальных данных [1]. Изложение будем вести на основе стандартизованной выборки 2тп, в которой z-переменные (их п штук, каждая переменная имеет т числовых знчений) могут иметь раз-
ные геометрические формы гистограмм (оценок эмпирических функций плотностей распределения переменных). Единицы измерения (в шкале отношений) показателей (свойств) объектов разные, поэтому обычно работают со стандартизованной выборкой 2тп (ее элементы безразмерны), вычисленной из реальной выборки.
Здесь ниже доазана теорема, объединяющая результаты решений [1]
обратной задачи анализа главных компонент (ОЗ АГК) и прямой задачи [2] анализа главных компонент (ПЗ АГК). В [1] рассматриваются свойства бесконечного множества решений ОЗ АГК - выборки Ymп и свойства ассоциированных решений - выборки 2тп, показаны новые их свойства и даны интерпретации свойств объединений этих выборок. В прямых и обратных задачах АГК [3,4,5] введены определения в ПЗ АГК: Ymn - решение, а связанная с Ymn (посредством ортогональной матрицы) матрица 2тп - ассоциированное решение. В [3] дана постановка новой ОЗ АГК. Оригинальным в постановках задач является требование: оценки параметров выборки (не генеральной совокупности), характеризующих взаимосвязи как между некоррелированными переменными, так и между коррелированными переменными, в точности равны заданным значениям. Это требование применено впервые, ранее в традиционных задачах теории вероятностей требовалась асимптотическая близость теоретических параметров генеральной к совокупности заданным значениям. Доказана [1,3-5 ] теорема о существовании и новых свойствах в ОЗ АГК бесконечных множеств решений Y(t)mп и ассоциированных решений 2(и)щп (связанных с Y(t)mп посредством ортогональной матриц С(1)т)), с номерами 1=1,...,к;,...,да,1=1,..., кг. Даны интерпретации 3-х новых свойств Л-выборок ОМ ГК (новой модели) и выводы. На основе формальных постановок задач: ПЗ АГК и ОЗ АГК
докажем теорему - критерий совпадения решения Y(t)mn ОЗ АГК с решением Ymn ПЗ АГК. Тем самым мы показываем, что каждая реальная стандартизованная выборка Zmn является одной из выборок ОМ ГК из бесконечного множества выборок ОМ ГК. Теорема доказывает совпадение решения ПЗ АГК с одним из решений ОЗ АГК.
При решении ПЗ АГК матрицы R n^GmAn^Ymn вычисляются для имеющейся реальной стандартизованной выборки - матрицы Zmn. Поэтому считаем, что для выборки Zmn всегда вычислены матрицы Rm, Ст, Лпп, Ymn, т е всегда реализована последовательность вычислений Zmn *Rnn *Спп,Лпп *Ymn. Формаль ные постановки задач -ПЗ АГК (и ОЗ АГК) вычисления (моделирования) нового набора переменных Y mn, формулируем для стандартизованной выборки Zmn, а не для исходной выборки X°mn с неизвестным распределением.
ПСЗ - прямая спектральная задача R=>(C, Л) диагонализа-ции известной выборочной корреляционной матрицы Rnn=RTm, решаемая для симметриической матрицы R=RT, в результате решения которой вычисляются 2 матрицы: ортогональная матрица Cm собственных векторов с]=(сц,с2г..сч)т, располо женных по её столбцам: Ст=[с1|с2|...|сп|. Матрица Cm согласована со спектром Лпп= =diag(X1,.Xn) так, что выполняются соотношения RC=CA, СтС=ССт=и diag(Rnn)=(1,...,1), tr(Rm)=1+1+... +1=tr^m)=Xi+.. ,+Х^п, Xi>.>Xn>0.
ПЗ АГК[]:Для матрицы Zmn стандартизованных коррелированных z- переменных с одинаковыми дисперсиями найти способ преобразования их в новые некоррелированные y-переменные (главные компоненты) из матрицы Ymn (m значений n переменных) с разными дисперсиями. Эта задача решена Г.Хотеллингом в [12].Главные компоненты (principal components)- система линейных ортогональных комбинаций стандартизованных z-переменных, которая характеризуется тем, что дисперсии этих комбинаций (y-переменных) имеют экстремальные значения, равные собственным числам {Xi, X2, . ..Дк, . ..Дп} корреляционной матрицы R: RC=CЛ, где к - ранг матрицы Rnn, 1<к< п, а ЛШl=diag (Xi,.Xn), tr^m)=Xi+... +Xn = n - спектр матрицы Rnn.Здесь решается ПСЗ диагонализации симметрической матрицы R „п. Модель, поучаемую при решении данной известной задачи, названа ПМ ГК и изображается так: Z=>(R,C, Л,Y), где 2 выборкам Z mn и Y mn соответствуют 3 матрицы парных корреляций (ковариаций): симметрическая R nn - между парами z-переменных, диагональная Л nn
- между парами y -переменных, С nn - между парами переменных (z,y). Для этих задач решены новые задачи: обратная спектральная задача (ОСЗ, задача симметризации диагональной матрицы Лпп и обратная задача анализа главных компонент (ОЗ АГК). ОСЗ - обратная спектральная задача
- обратная к ПСЗ задача симметризации известной диагональной матрицы Лпп, в результате решения которой [11] вычисляются 2 матрицы: ортогональная Спп и симметрическая Rm (их свойства в ПСЗ, ОЗС совпадают). В специальной литературе встречается термин «однородная спектральная задача» - традиционное название для ПСЗ.
ОЗ АГК[]: Для дисперсий Лпп неизвестных преобразованных некоррелированных у-переменных из матрицы Ymn найти способ преобразования их в матрицу Zmn стандартизованных коррелированных z-переменных с одинаковыми дисперсиями (m значений п переменных).Схематическое изображение ПМ ГК и ОМ ГК: Z => (R, C, Л, Y) - прямая модель Г. Хотеллинга (H. Hotellmg (1933 г.) Обратная модель Л=>(^1), C(l), Y(t), Z (u)), t=1,.. ,,kt 1=1,., ki (S. Zharntauov, 1978г.).Это-применяемая часть ОМ ГК вида:т,п,к,1,ф}=>Лпп=>{^(1)пп,С(1)пп, Y(t)mn,Z(t,l)mn), 1=1,...,
кг t=1,...,kt}=>{применения}. В ОМ ГК выходные параметры в силу не единственности решения У® и ассоциированного решения Ъ(4,г)) нумеруются двумя целыми числами t и I.
Так как спектр Лm=diag(Xl, ..., ^ является диагональной матрицей дисперсий некоррелированных у-переменных из матрицы Утп, то для заданных матриц Лпп и Y тп имеем равенство Л=(1/т)УТУ, Необходимо найти значения матриц Rnn, С пп Утп? Ътп. Решим обратную задачу симметризации диагональной матрицы (ОСЗ) Лпп (иначе называемая моделью [11] С.Р. ЗДа1теге-а Л=>(С(г)Д(г)), где выполняется равенство R(t)=C(t)ЛС(t)Т, С(1)с(1)Т=С(г)ТС(г)= =1пп.,1=1,..., Модель [3], поучаемую при решении этой новой задачи, изображается так: Л=> (С(1), Я(г), У, Ъ(1),), где У тп - также как и в ПЗ АГК является решением ОЗ АГК. Матрицу Ъ(г)тп=УтпС(г)Тпп называется ассоциированным решением ОЗ АГК. В ПМ ГК фиксируем последовательность их - матриц, вычислений: Ъ ^ С, Л ^ Y). здесь матрицы С, Л вычисляются одновременно при решении ОСЗ R=>(C, Л). Аналогично в ОМ ГК,в зависимости от варианта, фиксируем последовательность вычислений: Л^- С(1), Я(1) ^ У^ Ъ(1), 1=1,.,к1;. Пусть для единственной реальной выборки Хотп с неизвестным распределением вычислены стандартизованная выборка Ътп, ее корреляционная матрица Япп и спектр Лпп для матрицы Rnn. Когда мы рассматриваем ОМ ГК и ее входной параметр - спектр Лпп, то мы всегда предполагаем, что реализована ПМ ГК и для известной матрицы Rпn вычислены спектр Л пп и ее собственные векторы из матрицы Спп. Причем матрицы Rпn и Утп вычислены по известной выборке Ътп: Я=(1/т)ЪТЪ, У=ЪС. Здесь и везде фиксируем последовательность их - матриц, вычислений в ПМ ГК: Ъ ^Я^-С, Л^У). Здесь матрицы С, Л вычисляются одновременно при решении ОСЗ R=>(C, Л). Тогда каждая выборка Ъ®тп ОМ ГК 1-го варианта (ОМ ГК 1) имеет одни и те же матрицы R,C,Л: У®=Ъ®СТ, Я =(1/m)Ъ(t)ТЪ(t) и Л=(1/т)У® ТУ(t), Я=СЛСТ, СТС =ССт=1пп.И такую выборку Ъ®тп назовем (R,C,Л) -выборкой. Тогда выборка Ъ из соотношения ПМ ГК У= ЪС является (С,Л, У) -выборкой ОМ ГК.
При рассмотрении ОМ ГК предполагается известным ее входной параметр - спектр Л пп, являющийся выходным параметром ПМ ГК, т е известны всегда входной и выходные объекты в ПМ ГК, т е все матрицы из соотношений ПМ ГК имеются в наличии (вычислены) и пригодны для использования в ОМ ГК, ибо без их знания не может быть известен спектр Л - входной объект для ОЗ АГК. Определение 1. Связанную с решением Утп посредством матрицы собственных векторов Спп (С(1)т) выборку Ътп=УтпСТ пп (Ъ(1)тп=УтпС(1)Тпп) назовем ассоциированным решением ПЗ АГК (ОЗ АГК).
Теорема. Матрица главных компонент Утп является решением ОЗ АГК тогда и только тогда, когда матрица Утп является решением ПЗ АГК.
Доказательство. В формулах не будем приводить размерности матриц. Так как задано Утп - решение ОЗ АГК (номер t не приводим, ибо t=1), то в ОМ ГК, где известен входной параметр Л, выполняется равенство Л=(1/т)УТУ и решена ОСЗ Л=>(С(1), Я (1)), 1=1,., Следовательно, мы можем вычислить Ъ(1)=УС(1)Т, 1=1,., Назначим выборку Ъ(1)=УС(1)Т входным элементом выстраиваемой последовательности вычислений: Ъ(1) ^ ?.Далее вычислим матрицу (1/т)Ъ(1)ТЪ (1). Покажем, что она равна R(t). Так как в ОМ ГК выполняются равенства Ъ(1)=УС(1)Т и Л=(1/т)УТУ, то имеем равенство вида: (1/т)Ъ(1)ТЪ(1)= =(1/т) [УС(г)Т]ТУС(г)Т=(1/т)С(г)УТУС(г)Т=С(г)(1/т)УТУС(г) Т=С(1)ЛС(1)Т.Так как сре ди соотношений ОМ ГК имеется
равенство R(t)=C(t)ЛC(t)Т, то, приравняв левые части этих равенств, имеем равенство (1/т^(г)Т£(г)=Я(г). Следовательно, имея входной элемент 2(г), мы реализовали шаг 1^(г)—(Я(г)). Далее решаем ПСЗ, решаемую в ПЗ АГК: Я(1)=>(С(1),Л), где выполняются равенства: Я(г)=С(г)ЛС(г)Т, С(1)С(г)Т=С(г)Тс(г) =1т,1=1,...,®. Тем самым мы вычислили матрицы R(t), С(1) из шага 2 ПЗ АГК и этим реализована последовательность вычислений 2(г)^ (Я(1),С(1),Л). Наконец, вычисляем матрицу Y. Она вычисляется из равенства (из ОМ ГК) вида: 2(<^С(г)Т. Здесь Y=Ymn - заданное решение ОЗ АГК, номер 1 ко торого мы выше не привели. Умножив равенство Z(t)=YC(t)Т справа на матрицу С(1) получаем формулу Z(t)C(t)=Y- решение ПЗ АГК. Это - шаг 3 и конец последовательности вычислений Z(t) —(Я(г),С(г),ЛД), 1=1,., да, присущей ПМ ГК. Мы доказали что решение Y ОЗ АГК является решением ПЗ АГК. Докажем обратное утверждение. Пусть'Ущп является решением ПЗ АГК: Ъ—(Я,С, Л,У). Докажем, что Ymn является решением ОЗ АГК: Л—(С(1), Я (1), ^ Z(t)), 1=1,., да. Так как Ymп является решением ПЗ АГК, то в столбцах Ymп расположены значения у-переменных, а их дисперсии равны элементам диагональной матрицы Лпn=(1/m)YТY. В то же время в ПМ ГК эти дисперсии равны элементам спектра Лm=diag(^l,.. .Дп) известной из Пм ГК корреляционной матрицы Rпn: ЯппСпп=СппЛпп с известными собственными векторами в столбцах матрицы Спп: СтппСпп=СппСтпп=1пп. Так как Лm=diag(^l, ...Дп) является спектром корреляционной матрицы, то по лемме С.Р. Chalmers-a [11] существует бесконечное множество матриц С(1)пп собственных векторов таких, что, С(1)С(1)Т= =С(1)ТС(1)=1пп, Я(г)С(г)=С(г)Л, ^1)=Я(1)Т, ^(Я(1))=(1,.,1), 1=1,.,да. Этим мы реализовали последовательность вычислений Л—»(С(1), Я (1)), 1=1,., да, где С(1)пп - матрица собственных векторов из ОЗ АГК, Л - спектр матрицы R(t). Далее, зная выборку Ymn - решение ПЗ АГК и ортогональную матрицу С(1)пп из ОЗ АГК, вычисляем (Л^)-выборку Z(t): Z(t)=YC(t)Т,l=1,..., да, имеющую выборочную корреляционную матрицу, равную R(t): (1/m)Z(t)TZ(t)= =С(1)ТЛС(1)=Я(1).
Этим установлена последовательность вычислений Y—Z(t). Эти 2 последова- тельности вычислений Л^С^Д^^—Z(t),l=1,...,да, выполняются одновременно и связаны между собой: проводится вычисление (C(t),Y)—Z(t) посредством элемента С(1) из 1-ой последовательности и элемента Y из 2-ой. Объединив 1-ую последовательность вычислений с ней связанным вычислением (C(t),Y)— Z(t) имеем последовательность вычислений вида: Л—С(1), Я^Д— Z(t). Это означает, что матрица Y является решением ОЗ АГК. Причем реализуется последовательность вычислений из ОМ ГК варианта 2 [1,2]: Л=>(С(1), Я (1), ^ Z (1)), 1=1,., да. Теорема доказана.
Если объединить 2-ую последовательность вычислений с ней связанным вычислением (C(t),Y)—Z(t), то имеем последовательность вычислений Y—(Л— (С(1),Я(1))—Z(l)), 1=1,., да. Или (^—(Сдадда—^г)), 1=1,., да. Это означает, что матрица Y является решением ОЗ АГК, решаемой в ОМ ГК варианта 2, а ассоциированное решение Z(t) является (У, Л)-выборкой. Теорема выделяет для анализа только 3 выборочных матриц Спп, Лпп, Ymn из ПМ ГК, в то же время им соответствует бесконечное множество реальных стандартизованных выборок Z(t) - ассоциированных решений ОЗ АГК. Этим теорема «рекомендует» пригодность элементов матриц Спп, Лпп, Ymn из ПМ ГК и матрицы С(1) из ОМ ГК для когнитивного анализа не только одной (С,ЛД)-выборки 2щп из ПМ ГК, но и
пригодность каждой (С(г),ЛД)-выборки Z(t) из бесконечного множества стандартизованных выборок (одна из них^щп вычис-ляется из реальной выборки Хощп. При этом одна матрица главных компонент Ymп является (по теореме) решением ОЗ АГК, а стандартизованные выборки Zmn и Z(t)mn- (Л, Y)-выборками ОМ ГК. Таким образом использование модель ных (С(г),ЛД)-выборок Z(t),l=1,.,да из теоремы приводит к выводу: результаты когнитивного анализа матриц факторных нагрузок С(1)пп и Спп, анализа диспер сий Лnn=diag(Xl, ...,Хп) главных компонент, когнитивного анализа самих глав ных компонент Ymn совпадают как для выборки Ъ^ из ПМ ГК, так и для (С(1), Л,Y)-выборки Z(t)mп из ОМ ГК. Выборки Z(t)mп и Zmп являются ассоциирован ными решениями ОЗ АГК, полученными из единственного решения Ymп ПЗ АГК. Для инженера по знаниям (когнитолога), выступающего в роли промежу точного буфера между экспертом и базой формальных знаний, наличие многих матриц С(1)пп и Спп является обоснованием ценности и практической пригодности полученных им «цифровых» знаний. Для получения одного и того же знания (содержательного вывода из информации в виде таблиц С(1), Лд) безразлично из какой таблицы: Z(t)mn или Zmn, его получать, ибо (к,1)-тые элементы (1<1дж) матриц Спп, С(1)пп удовлетворяют одному и тому же критерию: 1ск11>сс, 1с(1)к1 1>сс, значение индекса к принадлежит подмножеству из {1,.,п}. Значение с> по критерию Джоллиффа равно 0.707106781~0.707^П(2)/2= sqrt(12+12)/2. Так как с(1)ы интерпретируется как косинус угла, то Xг=sqrt (12+12)/2 равна длине гипотенузы единичного квадрата. Все таблицы (матрицы Y) являются решениями или ПЗ АГК или ОЗ АГК. Оно - знание, будет оди- наковым для этих таблиц, хотя значения элементов в таблицах разные. Выводы будут правильными не только для одной (реальной) анализируемой (С, Л, Y) - выборки, но и для модельных (С(г),ЛД)-выборок Ъ(1) mn=Ymn С(1) Т, где (к,1)-тые элементы матриц Спп, С(1)пп удовлетворяют одному и тому же критерию: 1сы1> с>, 1с(1)к1 1> с>, значения номера I принадлежат множеству {1, ., кг}.
Примеры реальных данных, являющихся (С,ЛД)выборками ОМ ГК, можно найти в работах [1,410,13-16] и в них приведены описания новых примеров успешного применения модели Но1еШ^-Жанатауова [1,4,5,15] для анализа реальных (С,ЛД)-выборок. Содержательные выводы получены по одной (С,Л^)-выборке ОМ ГК, являющейся таковой и для соответствующей выборки Ъ из ПМ ГК с параметрами, в точности равными С, Л, Y.
Список литературы
1. Жанатауов С.У. Обратная модель главных компонент. -Алматы:Казстатинформ, 2013. - 201 с.
2. Жанатауов С.У. Метод получения выборки с заданными собственными числами ее корреляционной-матрицы.- В кн.Математические вопросы анализа данных. Новосибирск, 1980, С.62-76.
3. 3 Жанатауов С.У. Обратная задача, обратная модель, обратимая модель. Вестник АГТУ, № 1(9), 2012 г. с 7-13.
4. Жанатауов С.У. Анализ будущих дебиторской и кредиторской задолженностей муниципалитетов городов. печат .Экономический анализ: теория и практика. М.: № 2(353), 2014г., с. 54-62.
5. Жанатауов С.У. Когнитивная карта и модель социально-экономических факторов карьерной успешности школьников муниципальных школ США.
6. Сибирский педагогический журнал. «013, №6, с. 28-33.
7. Жанатауов С.У. Применение обратной модели главных компонент для оценки риска портфеля ГЦБ. Вестник АГТУ, № 2(8), 2011 г. с 28-32.
8. Жанатауов С.У.Моделирование значений «субъективных» относительных «ценностей» n видов услуг связи Вестник АГТУ, № 2(6), 2010 г. С. 14-19.
9. Жанатауов С.У. Моделирование субъективных вероятностей. Вестник АГТУ, № 1, 2010 г. с. 27-37
10. Жанатауов С.У. Применение одной экстремальной совокупности в драйверах КИС SAS/ABM. Вестник АГТУ, № 1, 2009 г. с. 120-128
11. Жанатауов С.У. Когнитивная схема для анализа проблемы ценообразования. АГТУ, №2,2010 г. № 2(6), с. 21-26
12. Chalmers C.P. Generation of correlation matrices with a given eigen - structure. -J. Stat. Comp. Simul., 1975, vol.4, p.133-139.
13. Hotelling H. Analysis of a complex of statistical variables into principal components. - J. Educ. Psychol., 1933, vol.24, p. 417-441, p. 498-520.
14. Zhanatauov S.U. The inverse problem of the principal component analysis// Proc.of thel-st World Congress of Soc. Math. Statist. and Probabillity Theory of Bernoulli.-Utrecht, 1987.- p. 116-119.
15. Zhanatauov S.U. The inverse problem of the principal component analysis. - -В кн.: 1- ый Всемирный конгр. об-ва по мат. стат. и теор. вероятн. им. Берн-нули, т.1, М.: Наука, 1986, с.89.
16. Zhanatauov S.U. The criterion of equality of solutions of the direct and inverse problems of the principal component analysis. «Seattle-2013: 4th International Academic Research Conference on Business, Education, Nature aM Techmlogy». 4-5 november 2013, р.447-449.
17. Zharntauov S.U. The (CA,Y) -sample is adequate to real multidimensional sample// Proc. Int. conf. "Leadership m Education Busmess aM Culture". 25 apriel 2014, Almaty-Seatle, ICET USA. Leadership Iter^tio^l Co^ererae "Leadership оп Education, Busmess aM Culture». р.151-155
