CC BY
28
УДК 621.391.15
В. С. Кугураков, А. П. Кирпичников
РЕШЕНИЕ КУБИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В КОНЕЧНОМ ПОЛЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 3
Ключевые слова: конечное поле, кубическое уравнение, коды, исправляющие ошибки.
Получены явные выражения для корней кубических многочленов с коэффициентами из конечного поля характеристики 3, которые можно использовать при декодировании троичных кодов Боуза-Чоудхури, исправляющих три ошибки.
Keywords: finite field, cubic equation, error-correcting codes.
We obtained explicit expressions for the roots of cubic polynomials with coefficients from a finite field of characteristic 3, which can be used when decoding the ternary codes Bose-Chowdhury, correcting three errors.
Рассмотрим общее кубическое уравнение с коэффициентами из конечного поля Р3т порядка 3т:
х3 — aix2 + а2х — а3 = 0,
(1)
а1,а2,а3 Е¥3т.
Известно [1], что это уравнение может быть приведено к виду
X3 -X2 = 0 (2)
или к виду
х3 — ах + Ь = 0; а,ЪЕ¥3т. (3)
Действительно, если ^0, то заменой х = с1у — аг/аг уравнение (1) приводится к виду
3 2, п -°23 _01°з уЛ — у£ + а = 0; а =-^-,
которое, в свою очередь, при аф 0 заменой у = 1/г приводится к виду (3).
Корнями уравнения (2) являются 0 (кратности 2) и 1. При а = 0 уравнение (3) имеет единственный корень (кратности 3), равный (—Ь3™ 1). Интересно, однако, то, что явные формулы можно указать и для корней уравнения (3) с аф 0.
Замечание. Уместно отметить, что в случае поля характеристики 3 для решения кубических уравнений известные формулы Кардано [2, § 64] непригодны (в них есть деление на 3, что для поля характеристики3 равносильно делению на 0). Для нахождения корней уравнения (3) обычно рекомендуют методы, в которых эта задача сводится к решению системы линейных уравнений ([1], [3, гл. 11,]; [4, гл. 3, § 4]).
Пусть ( - примитивный элемент поля Р3т. Если а = (¡2п (т.е. а - квадрат в Р3т), то уравнение (3) заменой х = (пу приводится к виду
у3-у + /3 = 0; = (4)
С3"
Аналогично, если а = (2п
(т.е. а - неквадрат в Р3т), то уравнение (3) приводится к виду
у3-(у + р = 0, (5)
(используемая замена та же). Отметим следующие известные факты об уравнениях (4) и (5) [5, §§ 13, 14; 6. Теорема 2]. Пусть
т5(р) = р3° + р3± + ••• + рзБ~1т5(р)
- след элемента @Е в поле Р3. Тогда, если Тт(Ю = 0, то корни уравнения (4) лежат в Р3т; ес-
ли Тт(р) ^0, то корни этого уравнения лежат в Р3зт \Р3т. Один корень уравнения (5) лежит в Р3т, а два других - в Р32т \Р3™.
Если корни уравнения (4) лежат в ¥3йт (здесь й = 1 или ), то они могут быть вычислены по формуле
йт-1 1-1
,3>
kew3
(6)
& = к+ £ 1=1 ]=0 где и - любой элемент поля РЗа.т, Тйт(м) = 2 (ввиду известных свойств функции Т такой элемент заведомо найдётся). Если т не кратно 3 и й = 1, то формула (6) может быть упрощена:
для которого
т
Корни уравнения (5) могут быть вычислены по формуле
т-1 /3i+i_1
4 = с
(7)
¿=о
Корень с, лежащий в Р3т, получается при к = 0. Два других корня лежат в ¥32т \Р3т. Элементы а, Ъ, ( и р можно рассматривать как элементы поля ¥32т. Пусть а примитивный элемент поля ¥32т.
примитивный элемент поля ¥3т,
Тогда ( = а3
v?=
, а - квадрат в поле ¥32т, р = Ь I— Так
что для вычисления корней уравнения (5) по формуле (7) требуется уметь извлекать квадратные корни из элементов поля Р3т [7].
В справедливости формул (6) и (7) нетрудно убедиться непосредственно подстановкой у = и У = соответственно в (4) и (5).
Замечание. Для вычисления корней уравнения (5) достаточно вычислить корень сЕ Р3т. Два других корня равны с + 6Ъ с + 82, где 61, 52 ненулевые корни уравнения у3 ~(у= 0, а именно:
Зт + 1
81 = ^ =а 2 , 82 Аналогично, корнями
уравнения (4) являются: с, с + 1, с + 2, где с любой из корней уравнения (4), получаемый по формуле (6).
Полученные в настоящей работе явные выражения для корней кубических многочленов с ко-
эффициентами из конечного поля характеристики 3 можно использовать при декодировании троичных кодов Боуза-Чоудхури, исправляющих три ошибки [8, 9].
Литература
1. Матвеева М. В. О решении уравнений третьей степени в поле характеристики 3. Проблемы передачи информации, 1968, 4, 4, 76-78.
2. Ван дер Варден. Алгебра. - М.: Наука, 1976.
3. Берлекэмп Э. Алгебраическая теория кодирования. -М.: Мир, 1971.
4. Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля, М.: Мир, 1988.
5. Альберт А. А. Конечные поля. - В кн.: Кибернетический сборник (новая серия). Вып. 3, 1966, с. 7-49.
6. Williams K. S. Note on Cubics over GF (2n) and GF (3n). J. of Number Theory, 7 (1972), pp. 361-365.
7. Bernstein D. J. Faster square roots in annoying finite fitlds, draft. Available from http://cr.yp.to/papers.html (2001).
8.Питерсон У. Коды, исправляющие ошибки. - М.: Мир, 1964.
9. Матвеева М. В. Об исправлении тройных ошибок в кодах Боуза-Чоудхури ml полем GF(3). Проблемы передачи информации, 1968, 4, 1, 20-27.
© В. С. Кугураков - канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры теоретической кибернетики К(П)ФУ, Vladimir.Kugurakov@ksu.ru; А. П. Кирпичников - д-р физ.-мат. наук, зав. кафедрой интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами КНИТУ, kirpichnikov@kstu.ru.
© V. S. Kugurakov - PhD, Associate Professor of the Department of Theoretical Cybernetics, K(P)FU, e-mail: Vladi-mir.Kugurakov@ksu.ru; А. P. Kirpichnikov - Dr. Sci, Head of the Department of Intelligent Systems & Information Systems Control, KNRTU, kirpichnikov@kstu.ru.
