CC BY
11
УДК 621.391.15
В. С. Кугураков, А. П. Кирпичников
ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ТЕОРИИ КОДИРОВАНИЯ ДАННЫХ ПРИ ПЕРЕДАЧЕ ИНФОРМАЦИИ ПО КАНАЛАМ СВЯЗИ
Ключевые слова: кодирование данных, уравнения в конечном поле, коды, исправляющие ошибки.
Получено решение задачи, возникающей в теории кодирования данных при передаче информации по каналам связи. Результаты могут быть также использованы в ряде других разделов прикладной информатики и компьютерной математики.
Keywords: encoding data, equations in finite field, error-correcting codes.
Solution of the problem, arising in the theory of data encoding when transmitting information over channels is obtained. The results can also be used in a number of other topics in applied computer science and computer mathematics.
Введение
В теории кодирования данных при передаче информации по каналам связи, а также в ряде смежных областей прикладной информатики, дискретной математики и компьютерных наук, в том числе таких, как оптимизация, теория управления, криптография, комбинаторика и компьютерная алгебра, возникает задача вычисления корней алгебраических (полиномиальных) уравнений в конечных полях. В данной работе рассматривается уравнение xpS + ax + b = 0, a, be Wpt (1)
и указаны явные формулы для его корней, лежащих в Fpt. Здесь F4 - конечное поле, содержащее q элементов (q - степень простого числа р); s и t - натуральные числа.
Отметим вкратце известные факты об уравнении (1) и сделаем некоторые замечания.
Многочлен в левой части уравнения (1) относится к так называемым аффинным (а при Ъ = 0 и к линеаризованным) многочленам. Для нахождения корней таких многочленов обычно рекомендуют метод Берлекэмпа (см., например, [1], гл. 11), в котором эта задача сводится к решению системы линейных уравнений.
При а = 0 уравнение (1) имеет единственный корень (кратности ps), равный —ЬрГ, где г> 0 -любое целое число такое, что г + s = 0 (mod t). Поэтому всюду далее будем считать, что аф 0. Полагая п = -, т = - и q = pd, где d = (s, t) — наи-d d
больший общий делитель s и t, уравнение (1) можно теперь переписать так:
xq +ax + b = 0; а, be F„m, аф 0,
(2)
(п, ш) = 1.
Последнее уравнение исследовалось в [2], где показано. что оно может иметь 0, 1 или (п, т) корней, лежащих в ; однако, какая из этих возможностей реализуется при тех или иных а и Ь, не установлено. Вопрос о разрешимости уравнения (2) рассмотрен в [3, стр. 244. Аддитивная форма теоремы Гильберта 90; см. также 4, гл.У, § 11.5], откуда можно извлечь также и формулы для корней этого уравнения.
К уравнениям типа (2) относятся квадратное уравнение над и приведённое кубическое уравнение над Р3™, а именно:
х2 +ах + Ь = 0; a, beW7
(3)
х3+ах + Ь = 0; а, Ье¥3т. (4)
Здесь будет уместно отметить, что хорошо известная "школьная" формула для корней квадратного уравнения в случае поля характеристики 2 оказывается непригодной: в таком поле деление на 2 равносильно делению на 0. То же самое можно сказать и о кубическом уравнении над полем характеристики 3 (как, впрочем, и над полем характеристики 2) -формулы Кардано здесь также непригодны. Для указанных полей это влечёт определённые трудности и при решении уравнений четвёртой степени. Заметим, что в поле характеристики р> 5 такие проблемы не возникают и при решении уравнений степени п< 4 можно использовать известные формулы [5, § 64]. Некоторые результаты об уравнениях (3) и (4) получены соответственно в [6] и [7]. Исследуя более общее уравнение (2), мы приводим формулы, которые пригодны, конечно, и для решения указанных квадратного и кубического уравнений. В отличие от [6] (где, заметим, дано несколько формул для корней уравнения х2+х + Ь = 0; ЬЕ , соответствующих различным значениям пит) мы показываем, что корни уравнений (3) и (4) могут быть вычислены по одной - единственной формуле, которая "работает" во всех случая, когда эти уравнения имеют решения соответственно в и Р3т (см. также [8] и [9]).
Формулы для корней уравнения (2)
Положим
А = ач~! - (-1)"
т—1
T(u) = ^
¿=о
т—1
и
где а, Ъ, п, т, q те же, что и в уравнении (2); с0 = 1, С; = — С1_1а~ч1П, ¿ = 1, 2,... Величина 5 известна как резольвента Гильберта-Лагранжа.
Отметим следующее свойство функции Т(и), называемой обычно следом элемента иЕ ¥чт относительно расширения ¥цт /¥С{: для любого гЕ найдётся иЕ ¥чт такой, что Тг(и) = г.
Лемма. Если А = 0, то в ¥цт найдётся элемент w
такой, что №чП-1 = - а.
Доказательство. Все аЕ ¥С{т, для которых А = 0, суть следующие элементы:
аг = ^(ч-1)+/, г = 0,
gm-i
-1,
где £ - первообразный элемент мультипликативной группы поля ¥чт, а / = 0 или соответственно случаям: 1) т или q чётно; 2) т и q оба нечётны. Если а = аг, то в качестве искомого w можно взять w_ где I - любое число, для которого
дп-1 цт-1
I
= 1 (mod ) q-1 q-1
(ввиду (^"-1, qm-1) = ц{т'п) -1 = ц-1 такое I существует);
5= 0, --или 11+--)/2
2(4-1) V 4-1 )'
соответственно случаям, когда 1) q чётно; 2) т чётно, а q нечётно; 3) т и q нечётны. ■
Теорема. Учитывая только те из корней уравнения (2), которые лежат в ¥цт, имеем:
1) если А = 0, но 5^0, то уравнение (2) не имеет корней;
2) если АФ 0, то имеется единственный корень ^ = (-1)т5-(аЛ)-1; (5)
3) наконец, если А = 5 = 0, то имеется q корней , а именно:
Учитывая, что vq =v для любых vE ¥qm и г = 0, 1,.... и
cm-i = (-1)m-1a-^n-^2n-- - о(т~1)п = (-1)т-1а-ч1-ч2--- ч(т_1) (последнее имеет место ввиду (п, ш) = 1 и qn + q2n + ••• + q(m"Dn
= q1 + q2 + - + q<-m~V (mod qm-1)), получаем
(- 1)m~1aA^ + 5=0. (8)
Из тождества (8) вытекают утверждения 1) и 2) в формулировке теоремы. Убедиться в том, что ^^ -корень уравнения (2), когда АФ 0, можно непосредственно - подстановкой х = % в (2). Остаётся проверить, что в случае А= 5 = 0 любое из q значений , определяемое согласно (6), является корнем уравнения (2):
^f + a$k+b = (wkyn + awk
m—l n i-1
i=l J = 0
m—l i-1
i=l J = 0
m—l i-1 m—l i-1
= £ Cib«ln - £ cib^ln Y^^11 + b
1=2 j=0 i = l j=o
/т—1 \
= Cib^in +
V i=2
c-ib*
i-1
+b\-u + \ + b
7=0
= -uS + bT(u) + b = 0.1
$k=wk
m—l i-1
U4 ,
(6)
1=1 7 = 0 кЕ ¥ч,
где ш,и - любые элементы поля ¥чт, для которых
wчn-1 = -а и Т(и) = -1. (7)
Замечание 1. Существование элементов w и и, удовлетворяющих (7), было обосновано выше. Для случая А = 0 имеем = (а\м)1~ ¿ = 0, 1,..., и 5 = w7, (—-). Поэтому здесь 5 = 0 равносильно
= 0. Формула (6) переписывается так:
(т—1 цЫ 1-1 \
к
¿=1 7=0 ) Доказательство теоремы. Пусть ^ - некоторый корень уравнения (2), лежащий в ¥цт (в предположении, что он существует). Тогда
т—1
с^ + а^ + ЬУ
¿=0
т т—1
1=1 1=0 = ст-1^чтП + с0а$ + 5.
Некоторые следствия
1) Полученные формулы могу быть использованы для решения общих уравнений над и Р3т третьей и четвёртой степени. Поскольку этот вопрос уже неоднократно освещался в литературе, мы ограничимся здесь минимальными ссылками: в [6] показано, что решение указанных уравнений над ¥2т в конечном итоге сводится к решению уравнения (3); в [7] показано, что решение общего кубического уравнения над Р3т сводится к решению уравнения (4). (Вьфожденные случаи, когда такое сведение невозможно, исследуются достаточно просто.) Отметим лишь, что решение уравнения над Р3т четвёртой степени, как и в случае комплексных чисел, методом Феррари (см. [10], § 38) сводится к решению квадратного и кубического уравнений.
С уравнением (1) связаны и некоторые другие уравнения. Так, если ^ - один из корней уравнения
хр"+1 + ах + Ь = 0, а, ЬЕ ¥р(, Ъф 0, (9) то нетрудно показать, что остальные его корни суть £ + у^1, где У[,1 = 1,., рБ, - корни уравнения
уР +
f
(Р +а
У +
а
= 0.
(10)
Уравнение (10) есть уравнение типа (1), и мы можем вычислить его корни, применяя полученные формулы. Вопрос, однако, в том, как найти хотя бы один корень уравнения (9).) Покажем, как вычислить корни уравнения (9), лежащие в ¥рт, на примере уравнения
х2*+1 + ах + Ь = 0; а, ЪЕ ¥2т. (11)
Пусть (Е — корень данного уравнения. Если + а Ф 0, то уф 0, и для вычисления у используем уравнение (2). Если + а = 0, то + а2 =0, и тогда £ = а2 , или а = %2 . Поскольку = £ для любого ¥2т, и +1 2 £ + Ь = Ъ = 0. В этом случае уравнение (11) имеет вид х2*+1 + ах = 0
и, следовательно,
х = 0 и х = от . Корни уравнения (11) удобно представить в степенном или нормальном базисах над полем Р2 . Это позволит свести вычисление корней к решению системы нелинейных квадратичных уравнений над полем Р2 .
Таблица 1 - Представление элементов поля Р24 в степенном и нормальном базисах
В виде В виде В виде В виде
степени многочлена вектора вектора
а а3а?а1а0 Ь3Ь2Ь1 ьп
а™ = 0 0 0000 0000
а0 1 0001 1111
а1 а 0010 1001
а2 а2 0100 0011
а3 а3 1000 0001
а4 а+1 0011 0110
а5 а2 +а 0110 1010
а6 а3 +а2 1100 0010
а7 а3 +а +1 1011 0111
а8 а2 +1 0101 1100
а9 а3 +а 1010 1000
а10 а2 +а+1 0111 0101
а11 а3 +а2 +а 1110 1110
а12 а3 +а2 +а + 1 1111 0100
а13 а3 +а2 +1 1101 1101
а14 а3 +1 1001 1011
В качестве простого примера рассмотрим уравнение
х9 + ах + Ь = 0; а,Ь е¥2
(12)
Поле Р24 (см. таблицу), рассматривается как факторкольцо кольца Р2 [х] по идеалу, порожденному примитивным многочленом /(х) =х4 +х + 1бР2 [х]. Элементы поля могут быть представлены в степенном базисе а = (1, а, а2,а3), и нормальном базисе р= (£>,р2,р4,р8), где р = а3,а - прими-
тивный элемент поля Р24
Любой элемент сЕ Р24
однозначно представим в виде
с = а0 •1 + а1 •а + а2 •а2 + а3 •а3
= ь0^р + ь^р2 + ь2^р4 + ь3^р8
для некоторых аь Ъ^ 6Р2 ,1 = 0,1,2,3. Переход от нормального базиса к степенному базису, и обратно, реализуется с помощью линейных преобразований
(Ь0,Ь1,Ь2,Ь3)А = (а0,а1,а2,а3) (а0,а1,а2,а3)А~1 = (Ь0,Ь1,Ь2,Ь3),
где
А =
А-1 =
Пусть в уравнении (12) а = а, Ь = а13. Тогда, записывая а, Ъ, х в нормальном базисе, а именно: а = р + р8, Ь= р +р4 +р8, х = хор + х1р2 + х2р4 +хзрв, получим следующую систему нелинейных квадратичных уравнений относительно х0,х1,х2,х3 £Р2 :
ХдХ^ "Ь х^х2 "Ь х^х3 -Ъх^ ~Ьх2х3 -(-х3 — 1, Х0Х2 + Х^Х3 ""("Хр +ххх2 +хх + Х2Х3 +х3 — 0, ХрХ^ Х^Х3 + Х1Х3 + Х2Х3 +х2 +х3 — 1,
ХрХ^ ~^Х^Х2 -|-Х0Х3 +Х1Х2 +х2 — 1.
Вычисляя редуцированный базис Грёбнера [11, гл. 2, §8] при линейном упорядочении х0 >хх > х2 >х3, получаем эквивалентную систему уравнений:
х0 +х3 + 1 = 0, ^ + 1 = 0,
х2х3 +х2 +х3 + 1 = 0. Её решениями являются:
х0 = 1, хг = 1,х2 = 1,х3 = 0, х0 = 0, хг = 1,х2 = 0,х3 = 1, х0 = 0, хг = 1,х2 = 1,х3 = 1. Соответственно решениями уравнения (12) будут: а3 + а6 + а12 = а1, а6 + а9 = а5, а6 + а12 +а9 = а14.
Если характеристика рассматриваемого поля равна 2 и (2х — 1,2т — 1) = 1 (что, заметим, выполняется для уравнения (12)), то можно использовать следующий способ вычисления корней уравнения (9). Осуществим замену х = у2*-1, затем умножим обе части полученного уравнения на у. В результате получим уравнение
у2 +ау2 +Ьу = 0.
(13)
С учетом соотношения у =у для уЕ Р24 уравнение (12) преобразуется к виду
у4 + ау8 + Ъу = 0. (14)
Многочлены в (13) и (14) являются линеаризованными, вычисление их корней, как уже отмечалось, сводится к решению системы линейных уравнений. Возникающие □ лишние □ корни отбрасываются.
Полагаем у = у0р + у^Р2 +У2Р4 +УзР8. Тогда уравнение (14) сводится к решению следующей системы уравнений относительно у0, у1, у2, у3 Е
ру2 = 0, рв(у0+у1+у3) = 0. Решениями этой системы будут (Уо, У±,У2, Уз) = (0,0,0,0) (Уо, У1,У2, Уз) = (0,1,0,1) (Уо, У1,У2, Уз) = (1,0,0,1) (Уо, У1,Уг, Уз) = (1,1,0,0) Соответственно решениями уравнения (12) являются:
и
4 .
у = а5, у = а7, у = а14, приобретенное решение у = 0 является лишним. Остальные шесть корней уравнения (12) лежат в некоторых расширениях поля ¥2* . Они могут быть вычислены как корни уравнения (10).
2) Приведём ещё два следствия доказанной выше теоремы. Первое из них о разложении многочлена
д(х) = х4 + ах + Ь = 0; а, ЪЕ ¥2т, аф 0, (15) на неприводимые над ¥2т множители — уточняет (применительно к многочлену (15)) результат из [12] о разложении многочленов над ¥2т четвёртой степени; второе есть обобщение одной теоремы Диксона (см. [13], § 21 или [14], § 14).
Будем говорить, что многочлен д(х) имеет тип (14), если он разлагается в произведение линейных множителей над ¥2т; многочлен д(х) имеет тип (122х), если он разлагается в произведение двух линейных множителей над ¥2т и неприводимого над ¥2т квадратного многочлена и т.д. Элемент аЕ ¥2т будем называть кубом, если а = с3 для некоторого сЕ ¥2т, и некубом - в противном случае. Наконец, положим
т-1 т-1
Г0(£)= и Т1(Р)=^Р221, 1=0 1=0 причём 7\ определено лишь для чётного т.
Следствие 1. Для многочлена (11) возможны следующие типы:
а) (14); б) (122х); в) (^З1); г) (22); г) (41).
Условия, при которых имеет место соответствующий тип, суть следующие:
а) т чётно, а - куб и Т1_(Р) = 0;
б) т нечётно и Т0(р) = 0;
в) т чётно, а - некуб;
г) т чётно, а - куб и Тг(р) Ф0;
д.) т нечётно и Т0(р) Ф0,
где р= а w - корень уравнения ж3 = а.
Доказательство этого утверждения опускается: оно осуществляется разбором случаев и непосредственным применением доказанной выше теоремы. Отметим лишь, что в тех случаях, когда требуется вычислить w, этот элемент лежит в ¥2т. ■
Следствие 2. Пусть q - степень простого числа, причём цф 2; т и I - любые натуральные числа, причем (¿, ц-1) = 1, исключая случай, когда т, q и
нечётны, для которого (¿, ц-1) = 2. Пусть также Ъ - произвольный элемент поля ¥цт, и а = , где ( - первообразный элемент поля ¥чт. Тогда многочлен
д(х) = хч + ах + Ь = 0 есть произведение линейного многочлена и неприводимого над ¥чт многочлена степени ц-1.
Замечание 2. В [14] это утверждение доказано для а= - ( (т.е. ¿ = 1, если q чётно и цф 21, и
дт +1
¿= —-—, если q нечётно). В исходной работе [13] к тому же т = 1.
Доказательство следствия 2. Здесь достаточно показать, что многочлен д(х) имеет единственный корень в каждом из расширений ¥цкт, к =
1,2,..., ц- 2 , поля ¥чт, или, что равносильно ввиду доказанной теоремы,
,дкт-1
= «-1 -(-1)^*0 (16) при любом к = 1,2,... ^-2 . Для доказательства (16) предположим противное: пусть
Акд,т = 0 при некоторых к, ц, т (1 < к < 4-2).
Допустим, что хотя бы одно их к, ц или т, для которых имеет место (17), чётно. Тогда из (17) следует, что
(17)
i3-—- =0 (mod qm-1). (18)
ч-i
Так как
ik
4-1
= к (mod q-1),
то —- - целое число, что невозможно ввиду к<
q-1 и свойств числа i.
Предположим теперь, что любое из чисел к, q или т, для которых имеет место (17), нечётно. Тогда из (17) следует, что
iH _1 (mod qm-1). Если к = 1, то-делится на-и, следо-
2 д-1
вательно, (mod q-1), что, однако, невоз-
можно ввиду (¿,^р) = 1. Поэтому пусть к> 3. Нетрудно показать, что qkm-1 = k(qm-1) + c(q - 1){qm-1), где с - некоторое целое число. Тогда из (18) следует, что - нечётное число, но это
также невозможно ввиду к< q -1 и свойств числа i.
Поскольку предположение (17) приводит к противоречию, то имеет место (16). ■
Заключение
Результаты, представленные в данной работе, могут быть использованы в теории кодирования данных при передаче информации по каналам связи для целей декодирования линейных циклических кодов, исправляющих ошибки. Кроме того эти результаты могут быть использованы и в ряде других смежных разделов прикладной информатики и дискретной математики, в частности, могут найти применение в оптимизации, криптографии, теории управления, комбинаторике и компьютерной алгебре.
Авторы благодарны А.В. Клинову за полезное обсуждение результатов работы.
Литература
1. Э. Берлекэмп. Алгебраическая теория кодирования. -М.: Мир, 1971.
2. Кловис Виланова. О некоторых трёхчленных уравнениях над конечными полями. - Тр. Унив. дружбы народов им. П. Лумумбы, 1977, вып. 21, с. 17-31.
3. С. Ленг. Алгебра. - М.; Мир, 1968.
4. Н. Бурбаки. Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы. - М.: Наука, 1965.
5. Ван дер Варден. Алгебра. - М.: Наука, 1976.
6. Chin-long Chen. Formulas for the solutions of quadratic equations over GF(2n). - IEEE Trans. Inform. Theory, 1982, v. 28, №5, pp. 792-794.
7. М. В. Матвеева. О решении уравнений третьей степени в поле характеристики 3. - Проблемы передачи информации, 1968, т. IV, вып. 4, с. 76-78.
8. В. С. Кугураков. Замечание о решении квадратных уравнений в конечном поле характеристики 2. Вероятностные методы и кибернетика, вып. 21, с. 107-108. -Казань: Изд-во Казанского университета, 1985.
9. В. С. Кугураков, А. П. Кирпичников Решение кубических уравнений в конечном поле характеристики 3. -
Вестник Технологического университета, т. 18, № 6, с. 221-222. - Казань: Изд-во КНИТУ, 2015.
10. А.Г. Курош Курс высшей алгебры. - М.: Физматгиз, 1962.
11. Д. Кокс, Дж. Литтл, Д.О' Ши. Идеалы, многообразия и алгоритмы. - М.: Мир, 2000.
12. P.A. Leonard. Quartics over GF(2n). - Proc. Amer. Math. Soc., 1972, v. 36, № 2, pp. 947-950.
13. L.E. Dickson. A fundamental system of invariants of the modular linear group with a solution of the form problem. -Trans. Amer. Math. Soc., 1911, v. 12, pp. 75-91.
14. А.А. Альберт. Конечные поля. - В кн.: Кибернетический Новая серия. - М.: Мир сборник., 1966, вып. 3, с. 7.
© В. С. Кугураков - канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры теоретической кибернетики К(П)ФУ, [email protected]; А. П. Кирпичников - д-р физ.-мат. наук, зав. кафедрой интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами КНИТУ, [email protected].
© V. S. Kugurakov - PhD, Associate Professor of the Department of Theoretical Cybernetics, K(P)FU, [email protected]; А. P. Kirpichnikov - Dr. Sci, Head of the Department of Intelligent Systems & Information Systems Control, KNRTU, [email protected].
