Научная статья на тему 'Комплементарное представление многочленов над конечными полями'

Комплементарное представление многочленов над конечными полями Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
190
16
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
КОНЕЧНОЕ ПОЛЕ / ВЕЙВЛЕТ-КОД / БИОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ / FINITE FIELD / WAVELET-CODE / BIORTHOGONAL TRANSFORM

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Соловьёв Александр Артёмович

Доказывается, что всякий многочлен над конечным полем является порождающим многочленом вейвлет-кода.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Complementary representation of polynomials over finite fields

In the paper it is proved that every polynomial over a finite field is a generating polynomial of the wavelet-code.

Текст научной работы на тему «Комплементарное представление многочленов над конечными полями»

Челябинский физико-математический журнал. 2017. Т. 2, вып. 2. С. 199-209.

УДК 519.725

КОМПЛЕМЕНТАРНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НАД КОНЕЧНЫМИ ПОЛЯМИ

А. А. Соловьёв

Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия alsol@csu.ru

Доказывается, что всякий многочлен над конечным полем является порождающим многочленом вейвлет-кода.

Ключевые слова: конечное поле, вейвлет-код, биортогональное преобразование.

Введение

Вейвлет-коды являются подклассом квазициклических кодов с циклическим сдвигом кодовых слов на две позиции [1]. Первоначально порождающая матрица вейвлет-кодов строилась с помощью ортогональных фильтров масштабирующей и вейвлет- функций [2; 3]. В работе [4] была предложена улучшенная схема помехоустойчивого кодирования над конечным полем с использованием биортогональных наборов фильтров точного восстановления. Вместо алгоритма факторизации использовалась лифтинговая схема [5], основанная на алгоритме Евклида нахождения НОД многочленов. Подобный подход позволил упростить и расширить возможности построения вейвлет-кодов с заданными свойствами.

Встаёт вопрос: какое место среди квазициклических кодов занимают вейвлет-коды? В работе доказывается, что класс вейвлет-кодов совпадает с подклассом 2-циркулянтных квазициклических кодов.

В поле чётной характеристики 2-циркулянтные коды являются циклическими кодами. Поэтому каждый циклический код является вейвлет-кодом.

1. Биортогональное кодирование над конечными полями нечётной характеристики

Содержание этого параграфа является кратким изложением работы [4]. В ней доказывается эквивалентность понятия биортогонального разложения векторного пространства и условия точного восстановления над конечным полем. Для двухка-нальной системы анализа-синтеза устанавливается связь с полифазным разложением. И, наконец, описывается схема биортогонального кодирования.

Рассмотрим конечное поле GF(pm), p — простое и p = 2. Положим n = pm — 1. Предположим, что найдётся пара разбиений пространства векторов GF(pm)n = V0

V0 = Vi 0 Wi = v1 0 Wi, (1)

таких, что dim V1 = dim W1 = n/2 и dim V2 = dim W2 = n/2. В подпространствах V1 и Vi и в их дополнениях W1 и W1 выберем базисы и составим матрицы H, G, H и G из компонент базисных векторов в качестве строк. Будем говорить, что разбиения

пространства Уо удовлетворяют условиям биортогональности, если

НН* = In/2, сС = 1п/2, (2)

НС* = Оп/2, ОН* = Оп/2 , и удовлетворяют условию точного восстановления, если

н'Н + с* С = 1п- (3)

Здесь и далее символом I будем обозначать единичную матрицу, а символом О — нулевую матрицу. Нижний индекс указывает на размер квадратной матрицы, верхний индекс Ь означает транспонирование.

В следующих двух теоремах формулируются критерии точного восстановления. Доказательства этих теорем приведены в работе [4].

Теорема 1. [4]. Для двух разбиений пространства У0 вида (1), заданных двумя парами матриц Н, С и Н, С, условие биортогональности (2) выполняется тогда и только тогда, когда выполняется условие точного восстановления (3).

Матрицу размера п/2 х п, каждая строка которой, начиная со второй, получается двойным циклическим сдвигом вправо предыдущей строки, будем называть 2-циркулянтной матрицей и обозначать как с\г2(ао, а1,... , ап-\).

В биортогональном кратномасштабном анализе разложение сигнала осуществляется при помощи свёртки с парой фильтров (к, д), а восстановление — при помощи свёртки с другой парой фильтров — (к,Рр). Процедура разложения и восстановления описываются 2-циркулянтными матрицами

Н = с\г2(ко, кг,..., К-1), С = сп^ (до ,д1,..., дп-г), Н = с1г2(ко, кг,..., кп-г), С = аг2 (до ,Р1,... ,Рп-1),

которые должны удовлетворять условию точного восстановления (3).

Для построения требуемых фильтров воспользуемся лифтинговой схемой на основе алгоритма Евклида нахождения НОД в усечённом кольце полиномов над конечным полем СЕ(д)[х]/(хп — 1), д = рт (см. [5]). Фильтру к = {ккЩ-о поставим в соответствие многочлен

п— 1

к(х) = ^^ к^хг = ко + кгх + к2х2 + ... + кп-1хп-1.

г=о

Многочлен к(х) представим в виде суммы полифазных компонент

к(х) = ке(х2) + хк0(х2),

где ке(х) содержит только чётные компоненты и к0(х) — только нечётные компоненты:

п/2-1 п/2-1

ке(х) = ^ к2кхк, ко(х) = ^ к2к+1хк. к=о к=о

С фильтрами д, дк и дд поступим подобным же образом. Все полифазные компоненты рассматриваются как элементы кольца СЕ(ц)[х]/(хп/2 — 1). Введём в рассмотрение полифазные матрицы

Р (х) =

ке(х) де(х)

ко(х) до(х)

Р(х)

ке(х) ре(х)

дк0(х) дд0(х)

и воспользуемся далее полифазным представлением условия точного восстановления.

Теорема 2. [4]. Для двухканальной схемы анализа-синтеза условие точного восстановления выполняется тогда и только тогда, когда полифазные матрицы Р и Р пар фильтров (Л, д) и (Л, р связаны соотношением

Р (х)Р(хп/2-1)4 = I

п/2.

(4)

Фильтры Л и д называются комплементарными, если определитель соответствующей полифазной матрицы равен 1. Для комплементарных фильтров Л и д многочлены Ле(х) и Л0(х) взаимно просты.

По фильтру Л всегда можно построить пару комплементарных фильтров (Л, д) и пару двойственных фильтров (Л,р так, чтобы выполнялось условие точного восстановления (4) (см. [5]).

Алгоритм Евклида нахождения НОД для полифазных компонент фильтра Л приводит к соотношению

Ле(х)

Ло(х)

п

г=1

9г(х) 1 1 0

к 0

К — еош^

которое позволяет построить фильтр д, комплементарный Л:

п

г=1

9г(х) 1 10

к0

0 (—1)т1/К

Ле(х) де(х)

Л0(х) д0(х)_

Р (х).

Ясно, что Р(х) = 1.

С помощью лифтинга [5] по паре (Л, д) можно построить другие комплементарные пары фильтров (Л, д8) с полифазной матрицей

Рв(х) = Р (х)

1 з(х) 01

где з(х) € (д)[х]/(хп/2 — 1), д = рт. Фильтр д3, комплементарный Л, определяется следующим образом: д8(х) = д(х) + Л(х)в(х2).

Пары фильтров (Л, д) и (Л,д), для которых выполняется условие точного восстановления, будем называть двойственными.

Из условия точного восстановления следует, что Р(х)-1 = Р(хп/2-1)4. Сравнивая элементы матриц, приходим к соотношениям между полифазными компонентами двойственных фильтров

Ле(х) = д0(хп/2-1), Л0(х) = —де(хп/2-1), де (х) = —Л0(хп/2-1), д0(х) = Ле(хп/2-1).

Из этих соотношений и (4) следует, что двойственная пара фильтров (Л, р) находится из соотношений

р(х) = —хд(—хп-1), р(х) = хЛ(—хп-1).

В [2] и [3] процедура вейвлет-кодирования определена как умножение информационного многочлена ^(х2) на порождающий многочлен кода вида Л(х) + ах2д(х), где Л(х) и д(х) — комплементарная пара фильтров, а € ^.

2. Описание вейвлет-кодов над конечным полем нечётной характеристики

В этом разделе будет доказана теорема о том, что всякий многочлен степени не более п — 1 представим в виде к(х) + ах2д(х), где (к(х),д(х)) — комплементарная пара фильтров.

Введём процедуру кодирования с помощью полифазных компонент

Ce(x) Co(x)

he(x) ge(x) ho(x) go(x)

1

ax

v(x) =

he (x) + axge(x) ho (x) + axgo(x)

v(x)

где v(x) — информационный многочлен степени не выше n/2 — 1, a Е GF(q) — константа, c(x) — кодовый многочлен. Предложенная схема полифазного кодирования является схемой биортогонального вейвлет-кодирования (см. [4]), так как

he(x2) + ax2ge(x2) + x(ho(x2) + ax2 go(x2)) = h(x) + ax2g(x).

Пары комплементарных фильтров (h, g) и (h, g) со свойством точного восстановления обеспечивают возможность синдромного декодирования кодового многочлена c(x). В самом деле, для a Е Fq и b Е Fq, таких, что ab = (p — 1) modp, имеем

[he(xn/2-1) + bxn/2-1~ge(xn/2-1) ho(xn/2-1) + bxn/2-1~g0(xn/2-1)] x

he (x) + axge (x)

x

ho(x) + axgo(x)

= (go(x) — bxn/2 1ho(x))(he(x) + axge(x))+ (5)

+ (—ge(x) + bxn/2-1 he(x))(ho(x) + axgo(x)) = = (go(x)he(x) — ge(x)ho(x)) + abxn/2(—ho(x)ge(x) + he(x)go(x)) = = 1 + ab • 1 = [1 + (p — 1)] mod p = 0.

Отметим, что преобразование кодирования инъективно. В частности, по кодовому многочлену восстанавливается информационный:

[he(xn/2-1) ~ho(xn/2-1)]

he(x) + axge(x) ho(x) + axgo (x)

= go(x)(he(x) + axge(x)) — ge (x)(ho(x) + axgo(x)) = = (go(x)he(x) — ge(x)ho(x)) = 1.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Теорема 3. Для всякого многочлена f (x), deg f ^ n — 1, над полем GF(pm) найдётся комплементарная пара фильтров (h(x),g(x)), степени которых не превосходят n — 1, такая, что f (x) = h(x) + ax2g(x) mod (xn — 1), где a Е Fq, a = 0.

Доказательство. Пусть f (x) — многочлен степени ^ (n — 1):

f (x) = fo + fix + ...fn-ixn-1.

Убедимся в том, что последовательность f0, f1,... , fn-1) принадлежит одному из вейвлет-кодовых пространств.

Выберем в поле Fq примитивный элемент а. В точках x = аг должно выполняться условие комплементарности

he(a2l)g0(a21) — h0(a2l)ge(a21) = 1, г = 0,1,...,n — 1.

Принадлежность вектора (/0, /ь... , /п-1) кодовому пространству, согласно (5), проверяется условием

(#0(х) - ЬхП-1Л.0(ж)) /е(х) + ( - 0е(ж) + ЬхП-1 Ъе(х)) /0(х) = 0.

В точке х = а2* проверочное условие запишется в виде

(у0(а2*) - 6а-2^0(а2*))/е(а2г) + ( - Уе(а2*) + Ьа^Ма^Ща2*) = 0.

Составим систему линейных уравнений:

М«2г)р0(а2*) - Ма2*Ыа2*) = 1, Ьа-2*Ма2г)/0(а2г) - ба-2*^2/^)

-р0(а2/(а2г) + ре(а2г)/0(«2г), г = 0

Определитель г-й системы относительно Ъе(а2*) и Ъ0(а2г) имеет вид

Уо(а2*) -Уе(а2*)

Ьа-270(а2*) -Ьа-2г/е(а2г)

п - 1

Ьа-2^Ре(«2г)/0(«2г) - £0(а2г)/е(а2*) = Ьа-2*А*

Если вторая строка матрицы ненулевая, то система уравнений относительно Л,е(а2г) и Л,0(а2г) перепишется в виде

йе(а2гЫ«2г) - й0(а2*Ы«2г) = 1, -Ъ (а2*)/о(а2*) + Ма2/ (а2* ) =

аа2*(-р0(а2*)/е(а2*) + Уе (а2*)/0(а2*)) = аа2*А

Матрица системы имеет вид

Определитель матрицы равен - А. Выберем у0 (а2*) и де(а2г) так, чтобы определитель системы равнялся единице, то есть - А =1. Тогда обратная матрица запишется в виде

/е(а2*) £е(а2У

/о(а2*) £0(а2*)

Выполним проверку:

#о(а2*) -£е(а2*)

-/о(а2*) /е(а2*)

,2г\ г /

X

/е(а2*) Уе(а2*) /о(а2*) £0(а2*)

2г\ г /

^0(а2*)/е(а2*) - £е(а2*)/0(а2*)

0

-/0(а2%е(а2*) + /е(а2%0(а2*)

-А*

0 -А*

-А ,,/2

= -= ^х2.

Перепишем систему в матричном виде:

у0(а2*) -0е (а2*)! Ъ (а2*)" 1 1

-/о(а2*) /е (а2*) _ _Ъ0(а2*)_ аа2*А * - аа2*

0

Тогда

Таким образом,

к е (а2г)

к0(а2г)

¡е(а2г) де(а2г) ¡0(а2г) д0(а2г)

1

X —аа2г

ке(а2г) = ¡е(а) — аа де(а),

к0(а2г) = ¡0(а2г) — аа2гд0(а2г)

и к(аг) = Не(а2г) + агк0(а2г) = ¡(аг) — аа2гд(аг). В результате получаем

к(аг) + аа2гд(аг) = ¡ (аг), г = 0 ...и — 1.

Выполняя обратное преобразование Фурье, находим, что в рассматриваемом случае к(х) + ах2д(х) = ¡ (х).

Если вторая строка матрицы системы (6) нулевая, то второе уравнение системы выполняется тождественно. Добьёмся того, чтобы к(аг) и д(аг) удовлетворяли (7) и условию

к(аг) + аа2гд(аг) = 0. (8)

Выберем д0(а2г) = 0 и перепишем (8) следующим образом:

ке (а2г) + аа2где (а2г) + аг(к0 (а2г) + аа2гд0(а2г)) = 0.

Умножим это соотношение на д0(а2г) и вычтем из условия комплементарности.

Получим д0(а2г)ке(а2г) + аа2где(а2г)д0(а2г) + аг(к0(а2г)д0(а2г) + аа2гд0(а2г)д0(а2г)) = 0 ------- -------------- _ --------- , /^

и —к0(а2г)де (а2г) — аа2где (а2г)д0(а2г) — аг( к0(а2г)д0(а2г) + аа2гд0(а2г)д0(а2г)) = 1 или — к0(а2г)(де(а2г) + агд0(а2г)) = аа2г(де(а2г)д0(а2г) + агд0(а2г)д0(а2г)) + 1. Поэтому

К(а2г)(де (а2г) + агд0(а2г)) = —аа2гд0(а2г)(де (а2г) + агд0(а2г)) — 1.

В результате получаем

1

к0(а2г) = —аа2гд0(а2г)--Г~2%\ ! г ( 2гу

де (а2г) + агд0(а2г)

Подставляя к0(а2г) в условие комплементарности, найдём ке(а2г):

ке (а) = —ааде (а) +

а

де (а2г) + агд0(а2г)'

Тогда ке(а2г) + агк0(а2г) = —аа2г(де(а2г) + агд0(а2г)). Выберем де(а2г) таким образом, чтобы де(а2г) + агд0(а2г) = 0. В этом случае для выбранных де(а2г), д0(а2г) и найденных ке(а2г) и к0(а2г) выполняется равенство к(аг) + аа2гд(аг) = 0.

Для рассматриваемых г = 0,... , п — 1 элементы поля а2г все различны. Поэтому

П _ 1 П _ 1

по найденным {ке(а2г)}2=0 и {к0(а2г)}2=0 из системы линейных уравнений находим

• 1

к0,к1,... , кп-1, а значит, находим к(х). Аналогично по выбранным {де(а2г)}2=0 и • 1

{д0(а2г)}2=0 находим д(х). Таким образом, вектор ¡0, ¡1,... , ¡п-1 для найденных к(х) и д(х) удовлетворяет проверочному соотношению и условию комплементарно-сти. Приходим к выводу, что можно подобрать комплементарную пару фильтров к(х) и д(х), такую, что вектор ¡о, ¡1,..., ¡п-1 является кодовым вектором вейвлет-кода. Теорема доказана. □

Так как всякий линейный циклический код является дважды циклическим, то порождающая функция циклического кода является порождающей функцией вейвлет-кода. Таким образом, кодовое вейвлет-пространство совпадает с кодовым пространством 2-циклического кода.

3. Полиномиальная схема построения циклического

биортогонального вейвлет-кода в поле характеристики два

Выберем в поле ^2т примитивный элемент а. Опишем биортогональные циклические вейвлет-коды длины п = 2т — 1 с длиной информационного слова 1.

Фильтру Н с импульсным откликом {Н& }П=о поставим в соответствие многочлен

n— 1

h(x) = ^^ hx1 = h0 + h1 x + ... hn—1x

n—1

i=0

Представим многочлен h(x) в виде суммы полифазных компонент h(x) = he(x2) + xho(x2), где

(n—1)/2 (n—3)/2

he(x) = ^ h2k xk, h0(x) = ^ h2fc+1xk. fc=0 fc=0

n1

Наряду с фильтром h рассмотрим фильтр g = {gkЩ=0.

Введём полифазную матрицу

P (x) =

he(x) ge(x)

ho(x) go(x)

Фильтры Н и g комплементарны, если det Р(ж) = 1.

Пусть V = (ь0 ... ) — вектор с компонентами из С^1 (2т). Дискретным преобразованием Фурье является вектор V = Т(V) = ("о,... , с компонентами

п— 1

" = ^ а*Ь, ^ = 0,..., п — 1.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

г=0

Обратное преобразование Фурье восстанавливает исходный вектор V:

n1

Vj, i = 0,...,n - 1.

i=0

Определение. Полифазные компоненты кодового многочлена с(ж) в кольце С^1 (2т)[ж]/(жп — 1) определим следующим образом:

v(x2).

Ce(x2) he(x2) ge(x2) 1

c0(x2)_ h0(x2) g0(x2) x2

Здесь v(x) = jn=0 )/ Vjxj — информационный многочлен степени не выше п=—, и длина информационного слова равна п==1.

В определении и в последующих рассуждениях умножение производится в кольце F2m [x]/(xn - 1).

Кодовый многочлен c(x), как и при биортогональном кодировании, запишется в виде

c(x) = ce(x2) + xco(x2) = (h(x) + x2g(x)) v(x2) mod (xn — 1).

Многочлен F(x) = h(x) + x2g(x) будем называть порождающим.

Вместе с парой фильтров (h, g) рассмотрим пару комплементарных фильтров (h, g) с полифазной матрицей

P

he(x) ge (x)

h0(x) go(x)

V

Введём условие точного восстановления Р(х2)Р(хп-1) = 12х2, отличное от условия точного восстановления в поле нечётной характеристики (см. (4)).

Согласно правилу Крамера связь между полифазными компонентами (к,д) и (к, д) выражается соотношениями

go(x2) = he(xn-i), ge(x2) = — ho(xn-1), ho (x2) = —ge(xn-1), he(x2) = ~go(xn-1).

(9)

Информационное слово восстанавливается по кодовому с помощью фильтров к и д. В самом деле,

[he(xn-1 ) ~ho(xn-1)}

he (x2) ge(x2) 1

ho(x2) go(x2)_ x2

= [go(x2) -ge(x2)]

= (he(x2)go(x2) — ge(x2)ho(x2)) + x2 (go(x2)ge(x2) — ge(x2)go(x2)) = 1. Если порождающая матрица имеет вид

G =

he(x2) + x2ge(x2)

e

ho(x2) + x2go(x2)

то проверочная матрица запишется в виде

Н = [ке(хп-1) + хп-2де(хп-1) к0(хп-1) + хп-2 до(хп-1

Учитывая (9), проверочное соотношение при вейвлет-кодировании перепишется следующим образом:

[go(x2) — xn 2ho(x2) — ge(x2) + xn 2he(x2

fe(x2) fo(x2)

0.

Выполнив действия, представим проверочное соотношение в виде

— xn-2fe(x2)ho(x2) + xn-2fo(x2)he(x2) = — fe(x2) g o(x2) + f0 (x2)ge(x2)

или

fo(x2)he(x2) — fe(x2)ho(x2) = x2 f(x2)ge(x2) — fe (x2)go(x2))

Более подробное изложение схемы построения биортогональных вейвлет-кодов в поле характеристики 2 можно найти в работе [6].

4. Описание вейвлет-кодов над полем характеристики 2

Пусть ¡(х) — многочлен степени не выше и — 1. Покажем, что найдутся ком-

плементарные фильтры h(x) = 5^n=o hjxj и g(x) = ^П=о gjxj с порождающим многочленом h(x) + x2g(x) mod (xn — 1), равным f (x).

Теорема 4. Для всякого многочлена f (x), deg f ^ n — 1, над полем GF (2m) найдётся комплементарная пара фильтров (h(x), g(x)), степени которых не превосходят n — 1, такая, что f (x) = h(x) + x2g(x) mod (xn — 1).

Доказательство. В точках x = аг условие комплементарности запишется в виде he(a2i)go(a2i) — h0(a2i)ge(a2i) = 1, г = 0,...,n — 1.

Принадлежность вектора (/0, /1,... , /п—1) вейвлет-кодовому пространству проверяется условиями

ge (а2>7о(а2г) — g0(а2V /е(а2г) = Не(а2г)а_г/о(а2г) — Н0(а2г)а_г/е(а2г) при г = 0,1,... , п — 1. Составим систему линейных уравнений:

Не(а2%0(а2г) — Н0(а2*Ыа2г) = 1, Не(а2г)/о (а2г) — Н0(а2г)/(а2г) = а2гА,

где Аг = ge(а2i)/0(а2i) — g0(а2i)/e(а2i).

Определитель г-й системы относительно Не(а2г) и Но(а2г) имеет вид

Аг.

Если вторая строка матрицы ненулевая и Аг = 0, то система уравнений (10) имеет единственное решение. Выберем ge(a2г) и go(а2г) так, чтобы Аг = 0. Тогда Не(а2г) и Но(а2г) определятся из системы (10). А именно: Но(а2г) = —А—1/0(а2г) + а2^о(а2г) и Не(а2г) = —А—1/е(а2г) + а2^е(а2г). Отсюда находим, что

^ (аг) = Н(аг) + а2^(аг) = —А_1/(аг).

Ничто не мешает выбрать ge(а2г) и go(а2г) так, чтобы А—1 = —1. Для таких г получаем, что ^(аг) = /(аг).

Если же вторая строка определителя Аг нулевая, то второе уравнение выполняется тождественно. В этом случае выберем ge(a2г), go(а2г), Не(а2г) и Но(а2г) так, чтобы выполнялось условие комплементарности и имело место равенство

Н(аг) + а2^(аг) = 0.

Перепишем это соотношение в виде

Не(а2г) + а2^(а2г) + аг(Н0(а2г) + а2^0(а2г)) = 0.

Добьёмся того, чтобы система

'Н(а2гЫа2г) — Н0(а2гЫа2г) = 1, Не(а2г) + а2^е(а2г) + аг(Н0(а2г) + а2^0(а2г)) = 0

была разрешима.

Выберем go(а2г) не равным нулю. Умножим последнее соотношение в системе на go(a2г) и вычтем из условия комплементарности. Получим

—Н0(а2гЫа2г) — а2^(а2%0(а2г) — агН0(а2%0(а2г) — а3^0(а2%0(а2г) = 1.

Выразим Но(а ):

Но(а2г) =--г ( 2А — а2^0(а2г).

ge(а ) + а^0(а2г)

Подставляя найденное Но(а ) в условие комплементарности, найдём Не(а )

Не(а2г) = ( 2А ^ г , 2А — а2^(а2г). ge(а2г) + а^о(а2г)

Выберем де(а2г) таким образом, чтобы де(а2г) + агд0(а2г) = 0. В этом случае для найденных к0(а2г), ке(а2г) д0(а2г) и де(а2г) выполняется равенство

к(аг) + а2гд(аг) = 0.

Таким образом, в первом случае, в предположении f (аг) = 0, д0(а2г) и де(а2г) выбирались так, чтобы Аг = — 1, и были построены к0(а2г), ке(а2г), для которых верно равенство Е(аг) = к(аг) + а2гд(аг) = f (аг).

Во втором случае, когда f (аг) = 0, д0(а2г) и де(а2г) выбирались так, чтобы д0(а2г) = 0 и де(а2г) + агд0(а2г) = 0. Тогда для найденных к(аг) выполняется равенство к(аг) + а2гд(аг) = f (аг) = 0.

Так как в поле характеристики 2 все а2г различны, г = 0,1,... ,п — 1, то из системы линейных уравнений относительно к0,к\,... , кп-\ находится многочлен к(х). Построенные многочлены к(х) и д(х) таковы, что для порождающего многочлена вейвлет-кода Е(х) = к(х) + х2д(х) спектральный многочлен ^Т—о Е(аг)у^ совпадает со спектральным многочленом У~]П-п f (а%)У^. Поэтому порождающий многочлен вейвлет-кода совпадает с многочленом f (х). □

В частности, доказано, что всякий порождающий многочлен циклического кода является порождающим многочленом вейвлет-кода.

Построенное представление многочлена над полем Ед будем называть комплементарным.

Список литературы

1. Мак-Вильямс, Ф. Дж. Теория кодов, исправляющих ошибки / Ф. Дж. Мак-Вильямс, Н.Дж.А.Слоэн. - М. : Связь, 1979. - 744 с.

2. Double circulant self-dual codes using finite-field wavelet transforms / F. Fekri, S.W. McLaughlin, R. M. Mersereau and R. W. Schafer // Applied Algebra, Algebraic Algorithms and Error Correcting Codes Conf. (Honolulu, HI, 1999). Lecture Notes in Computer Sciences. - 1999. - Vol. 1719. - P. 355-364.

3. Error Control Coding Using Finite-Field Wavelet Transforms / F. Fekri, S.W. McLaughlin, R. M. Mersereau and R. W. Schafer // Atlante : Center for Signal Image Processing, Georgia Inst. of Technology. - 1999. - No. 30332. - P. 1-13.

4. Chernikov, D. V. Error-correcting codes using biorthogonal filter banks / D. V. Chernikov // Siberian Electronic Mathematical Rep. - 2015. - Vol. 12. - P. 704-713.

5. Doubechies, I. Factoring wavelet transforms into lifting steps / I. Doubechies, W. Sweldens // The J. of Fourier Analysis and Applications. - 1998. - Vol. 4, no. 3. -P. 247-269.

6. Соловьев, А. А. Биортогональный вейвлет-код в полях характеристики два / А. А. Соловьев, Д. В. Черников // Челяб. физ.-мат. журн. - 2017. - Т. 2, вып. 1. -С. 66-79.

Поступила в редакцию 10.05.2017 После переработки 24.06.2017

Сведения об авторе

Соловьёв Александр Артёмович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой компьютерной безопасности и прикладной алгебры, Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; e-mail: alsol@csu.ru.

Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2017. Vol. 2, iss. 2. P. 199-209.

COMPLEMENTARY REPRESENTATION OF POLYNOMIALS OVER FINITE FIELDS

A.A. Soloviev

Chelyabinsk State University, Chelyabinsk, Russia alsol@csu.ru

In the paper it is proved that every polynomial over a finite field is a generating polynomial of the wavelet-code.

Keywords: finite field, wavelet-code, biorthogonal transform.

References

1. MacWilliams F.J., Sloane N.J.A. Teoriya kodov, ispravlyayushchikh oshibki [The theory of error-correcting codes]. Moscow, Svyaz' Publ., 1979. 744 p. (In Russ.).

2. Fekri F., McLaughlin S.W., Mersereau R.M., Schafer R.W. Double circulant self-dual codes using finite-field wavelet transforms. Applied Algebra, Algebraic Algorithms and Error Correcting Codes Conference (Honolulu, HI, 1999), Lecture Notes in Computer Sciences, 1999, vol. 1719, pp. 355-364.

3. Fekri F., McLaughlin S.W., Mersereau R.M., Schafer R.W. Error Control Coding Using Finite-Field Wavelet Transforms. Atlanta, Center for Signal Image Processing, Georgia Institute of Technology, 1999, no. 30332, pp. 1-13.

4. Chernikov D.V. Error-correcting codes using biorthogonal filter banks. Siberian Electronic Mathematical Reports, 2015, vol. 12, pp. 704-713.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

5. Doubechies I., Sweldens W. Factoring Wavelet Transforms into Lifting Steps. The Journal of Fourier Analysis and Applications, 1998, vol. 4, no. 3, pp. 247-269.

6. Soloviev A.A., Chernikov D.V. Biortogonal'nyy veyvlet-kod v polyakh kharakteristiki dva [Biorthogonal wavelet code in fields of characteristic two]. Chelyabinskiy fiziko-matematicheskiy zhurnal [Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal], 2017, vol. 2, iss. 1, pp. 66-79.

Accepted article received 10.05.2017 Corrections received 24.06.2017

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.