CC BY
11
2019 Прикладная теория кодирования №44
УДК 519.725
О СПИСОЧНОМ ДЕКОДИРОВАНИИ ВЕЙВЛЕТ-КОДОВ НАД КОНЕЧНЫМИ ПОЛЯМИ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДВА
Д. В. Литичевский
Челябинский государственный университет, г. Челябинск, Россия
Доказывается, что вейвлет-код над полем GF(2m) c длиной кодовых и информационных слов n = 2m — 1 и (n — 1)/2 соответственно, у которого среди коэффициентов спектрального представления порождающего многочлена имеется d + 1 последовательных нулей, 0 < d < (n — 3)/2, допускает списочное декодирование за полиномиальное время. Шаги алгоритма, осуществляющего списочное декодирование с исправлением до e < n — л/n(n — d — 2) ошибок, реализованы в виде программы. Приведены примеры её применения для списочного декодирования зашумленных кодовых слов. Отмечено, что неравенство Варшамова — Гилберта при достаточно больших n не позволяет судить о существовании вейвлет-кодов c максимальным кодовым расстоянием (n — 1)/2.
Ключевые слова: вейвлет-коды, полифазное кодирование, декодирование списком.
DOI 10.17223/20710410/44/7
ON LIST DECODING OF WAVELET CODES OVER FINITE FIELDS
OF CHARACTERISTIC TWO
D. V. Litichevskiy
Chelyabinsk State University, Chelyabinsk, Russia
E-mail: litichevskiydv@gmail.com
In this paper, we consider wavelet code defined over the field GF(2m) with the code length n = 2m — 1 and information words length (n — 1)/2 and prove that a wavelet code allows list decoding in polynomial time if there are d + 1 consecutive zeros among the coefficients of the spectral representation of its generating polynomial and 0 < d < < (n — 3)/2. The steps of the algorithm that performs list decoding with correction up to e < n — д/n(n — d — 2) errors are implemented as a program. Examples of its use for list decoding of noisy code words are given. It is also noted that the Varshamov — Hilbert inequality for sufficiently large n does not allow to judge about the existence of wavelet codes with a maximum code distance (n — 1)/2.
Keywords: wavelet codes, polyphase coding, list decoding.
Введение
Вейвлет-коды, согласно [1], являются подклассом квазициклических кодов с циклическим сдвигом кодовых слов на две позиции. Первоначально их порождающие матрицы строились с помощью ортогональных фильтров масштабирующей функции и вейвлет-функции. Описание этих подходов доступно в [2, 3]. Однако практическое
применение описанных методик было затруднено необходимостью построения масштабирующих функций с заданными свойствами [4, 5]. На основании результатов [6] о факторизации параунитарных матриц в работах [7, 8], а также в работах других авторов трудность с построением требуемых порождающих многочленов вейвлет-кодов была преодолена.
В дальнейшем класс вейвлет-кодов был расширен путём использования биортого-нальных наборов фильтров [9, 10]. Это упростило построение порождающих многочленов и позволило находить вейвлет-коды с требуемыми свойствами.
В [11] предложена схема помехоустойчивого кодирования, основанная на использовании биортогональных наборов фильтров точного восстановления. Использование лифтинговой схемы из [12] расширило возможности построения вейвлет-кодов с заданными характеристиками, в частности позволило построить биортогональные вейвлет-коды с максимально возможным и заданным кодовым расстоянием над конечными полями нечётной характеристики.
Однако предложенная в [11] схема кодирования не позволяет строить коды с максимально возможным кодовым расстоянием над полем характеристики два. Поэтому в работе [13] предложена иная схема помехоустойчивого кодирования, названная полифазной, и доказано, что с помощью этой схемы возможно построение над конечным полем ОЕ(2т) биортогональных вейвлет-кодов с длиной кодовых и информационных слов п и (п — 1)/2 соответственно с максимально возможным и заданным кодовым расстоянием, где т — натуральное число, п = 2т — 1.
В полифазной схеме кодирования для вычисления кодового многочлена с(х) ис-
пользуется пара комплементарных фильтров (h,g), где h(x)
п— 1
Е xj j=о
и
g(x) =
п1
= Е 9]Х. Пара фильтров (Л.,д) называется комплементарной, если определитель их 3=0
полифазной матрицы Р (х)
^е(х) 9е(х) Но(х) 9о(х)
P (x)
равен 1, где Л-е(ж), Л-о(ж) и 9е(х), 9о(х) —полифазные компоненты фильтров Л,(ж) и 9(х) соответственно.
Определение 1 [13]. Полифазные компоненты кодового многочлена с(х) в кольце ОР2т [ж]/(жга — 1) определяются как
Ce (x2) he(x2) ge(x2) 1
c0(x2)_ h0(x2) g0(x2)_ x2
v(x2)
he(x2) + x2ge(x2) ho(x2) + x2g0(x2)
v(x2),
(n—3)/2
где v(x) = vjxj —информационный многочлен.
j=0
Тогда кодовый многочлен c(x) имеет вид
c(x) = ce(x) + xco(x) = f (x)v(x2) mod (xn — 1), (1)
все операции умножения многочленов выполняются в кольце GF2m [x]/(xn — 1).
Определение 2. Многочлен f (x) = h(x)+ x2g(x) mod (xn — 1) называется порождающим многочленом вейвлет-кода.
Процедура построения порождающих многочленов f (ж) для вейвлет-кодов с максимально возможным и заданным кодовым расстоянием при помощи процедуры лиф-тинга (см. [12]) описана в работе [13].
Существование вейвлет-кодов с максимально возможным и заданным кодовым расстоянием над конечными полями характеристики два согласуется с результатом Э. Берлекэмпа [14], согласно которому над конечным полем ОЕ(д) существуют линейные коды с произвольно большой длиной кодового слова п, скоростью Я и кодовым
расстоянием -, которые удовлетворяют соотношению
-
- > ¿(Я),
п
где ¿(Я) —наименьшее решение уравнения
Я = 1 - И,(¿(Я));
И, (р) = р (д — 1) — р р — (1 — р) (1 — р) — д-значная энтропия Шеннона. При этом неравенство Варшамова — Гильберта, которое, согласно [15], записывается в виде
V,(2е,п) ^ дп(1-д),
где V,(2е, п) —объём (число элементов) шара радиуса 2е в пространстве слов длины п, состоящих из символов алфавита мощности д, напротив, не позволяет судить о суще-твовании найденных в [13] вейвлет-кодов, поскольку оно является только достаточным условием существования кода.
В [13] также доказано, что найденные вейвлет-коды с максимально возможным кодовым расстоянием являются кодами Рида — Соломона, построенными во временной области, а коды с заданным кодовым расстоянием являются подпространствами кодов Рида — Соломона во временной области, поэтому к ним применим алгоритм помехоустойчивого декодирования Берлекэмпа — Уэлча, описанный в [16].
Одним из важнейших свойств кода является существование для него алгоритма, осуществляющего декодирование списком за полиномиальное время от параметров кода. В классической задаче декодирования требуется, чтобы исправление ошибки в принятом кодовом слове осуществлялось однозначно. В задаче декодирования списком допускается на выходе декодера иметь до Ь вариантов декодирования при некотором фиксированном Ь. Код допускает декодирование списком длины Ь с исправлением е ошибок, если множество кодовых слов обладает следующим свойством: любой шар радиуса е в кодовом пространстве содержит не более Ь кодовых слов. Тогда утверждение о том, что алгоритм позволяет осуществлять списочное декодирование кода с исправлением е ошибок, означает, что любой шар радиуса е в кодовом пространстве содержит не больше некоторого заранее фиксированного для кода количества кодовых слов, формирующих возвращаемый алгоритмом список. В [17] показано существование кодов, допускающих декодирование списком длины п + 1 с исправлением до е < у/п(п — -) ошибок, вблизи границы Хэмминга
дкV,(е, п) ^ дп, (2)
где д — мощность алфавита, над которым построен код; п и к — длины кодовых и информационных слов соответственно; V,(е,п) —объём шара радиуса е в пространстве слов длины п, состоящих из символов алфавита мощности д. К сожалению, сложность
описания таких кодов, а также экспоненциальная зависимость процедур их кодирования и декодирования от длины кодового слова п значительно ограничивают область их применения.
Однако для кода Рида — Соломона КБ[п, к,^ = п — к + 1] разработаны алгоритмы списочного декодирования, сложность которых полиномиально зависит от длины кодового слова. В кодах Рида — Соломона КБ[п, к] со спектральной схемой кодирования информационному слову г0, г^... , ■ид— ставится в соответствие кодовое слово
к-1
уо,уь... ,Уп-1, где Уг = г(х^) = Е г^. Здесь хо,хь... ,хп-1, х = Xj при г = ], —про-
¿=о
извольные зафиксированные для конкретного кода элементы поля СЕ(^), над которым определён код.
Первоначальная версия алгоритма списочного декодирования для кода Рида — Соломона, описанная в [18], позволяла исправлять до е < п — \/2п(к — 1) ошибок. Это означает, что в любом шаре радиуса ^ е содержится не более Ь кодовых слов, при этом Ь полиномиально зависит от параметров кода. На вход алгоритма подаётся принятое искажённое кодовое слово уо, у1,..., уп-1, на выходе получается список кодовых слов, содержащихся в шаре радиуса е с центром в принятом искажённом кодовом слове. Построение списка кодовых слов состоит из двух этапов: интерполяционного и факторизационного. На интерполяционном этапе алгоритма выполняется поиск отличного от нуля многочлена от двух переменных Я(х, у) Е СЕ(д)[х,у], такого, что Я(х,у) обращается в нуль во всех точках (xj ), ] = 0, ...,п — 1, и его (1,к — 1)-взвешенная степень не превосходит фиксированного значения, являющегося функцией от параметров кода п и к. (их,иу)-Взвешенная степень монома Tj1j2хлyj2
равна ^и^ + ,72 иу; (их, иу)-взвешенная степень многочлена Я(х, у) = Е Tj1j2xjlyj2 рав-
jl,j2
на максимальной среди всех (их,иу)-взвешенных степеней его мономов с ненулевыми коэффициентами т^. На факторизационном шаге осуществляется поиск всех многочленов г(х) Е СР(^)[х] степени не выше к — 1, таких, что у — г(х) делит Я(х,у) и г(хг) = уг не менее чем в п — е точках. Найденные многочлены формируют искомый список кодовых слов.
Позднее в [19] представлена улучшенная версия алгоритма, позволяющая исправлять уже до е < п — \/п(к — 1) = п — \/п(п — ошибок, что является улучшением упомянутого результата из [17], поскольку при таком же радиусе шаров количество попадающих в них кодовых слов получается меньшим и их список восстанавливается за полиномиальное время. При этом общая структура алгоритма не претерпела изменений, он по-прежнему состоит из интерполяционного и факторизационного шагов. Однако на многочлен Я(х,у) при построении на интерполяционном шаге накладываются дополнительные требования, а именно: должны существовать натуральные г и /, связанные соотношениями
I > \/пг(к — 1)(г + 1), I ^ г(п — е),
такие, что каждая из точек (хг, уг), г = 0,... , п — 1, должна быть нулём кратности г многочлена Я(х,у), а его (1,к — 1)-взвешенная степень не должна превосходить /. Многочлен Я(х, у) имеет в точке (а, Ь) нуль кратности г, если многочлен Я(и + а, г + Ь) не имеет мономов, (1,1)-взвешенная степень которых меньше т.
Возможность списочного декодирования вейвлет-кодов с заданным кодовым расстоянием над полем нечётной характеристики, описанных в [11], была изучена в [20]. Данная работа является её продолжением, в ней рассматривается возможность спи-
сочного декодирования вейвлет-кодов с заданным кодовым расстоянием над полем характеристики два, описанных в [13].
В работе доказывается, что если для порождающего многочлена f (x) некоторого вейвлет-кода, определённого над полем GF(2m) (m Е N) с примитивным элементом а, с длиной кодовых и информационных слов n = 2m — 1 и (n —1)/2 соответственно имеют место равенства
f(а) = 0 при j = j V..,j* + d,
где 0 ^ j * ^ n — 1 — d и 0 <d< (n — 3)/2, то вейвлет-код с кодовым расстоянием d + 2 допускает списочное декодирование.
Помимо этого, в работе приводится одна из возможных реализаций алгоритма списочного декодирования для допускающих его вейвлет-кодов, определённых над полем характеристики два, работающая за полиномиальное время, а также даются примеры её использования.
Устанавливается факт, что неравенство Варшамова — Гильберта не позволяет судить о существовании вейвлет-кодов с заданным кодовым расстоянием над полем характеристики два.
1. Допустимость списочного декодирования вейвлет-кода
Выберем в поле GF(2m) примитивный элемент а. Рассмотрим вейвлет-код с длиной кодовых слов n = 2m — 1, длиной информационных слов (n — 1)/2, порождающим многочленом f (x) и процедурой кодирования (1). Символом W[n, (n — 1)/2, d] будем обозначать кодовое пространство (n, (n — 1)/2)-вейвлет-кода с кодовым расстоянием d.
Лемма 1. Если для порождающего многочлена f (x) вейвлет-кода c длиной кодовых и информационных слов n и (n — 1)/2 соответственно выполняются соотношения
f (aj) = 0 при j = j *,..., j * + d, 0 < d < (n — 3)/2,
то кодовое расстояние вейвлет-кода не меньше d + 2.
Доказательство. Выберем d так, чтобы выполнялось 0 < d < (n — 3)/2. Будем считать, что для многочлена f (x) степени не больше n — 1 имеют место равенства
f (a) = 0 при j = j*,... , j* + ^
где 0 ^ j * ^ n — 1 — d. Согласно [21], многочлен f (x) является порождающим многочленом вейвлет-кода, то есть найдётся комлементарная пара фильтров h(x) и g(x), такая, что f (x) = h(x) + ax2g(x) mod (xn — 1), где a Е GF(2m), a = 0. Преобразование Фурье кодового многочлена c(x), равное
c(a4) = v(a2i)f (a4), i = 0,..., n — 1,
запишется в виде
(Со,... , Cj*р ^ Cj* +d+l,... , Cn-i).
d+1
Спектральный многочлен С(y) = С0 + С1у + ... + Cn-1yn-1, y Е GF(2m), представим в виде
C (y) = Co + ■ ■ ■ + Cj*-iyj*-1 + Cj* +d+iyj*+d+1 + ■ ■ ■ + Cn-i yn-1 = = Cj* +(myj*+d+1 + ■ ■ ■ + Cn-1 yn-1 + Coyn + ■ ■ ■ + Cj*-1yn+j*-1 = = yj*+d+1(Cj*+d+1 + ■ ■ ■ + Cn-1yn-j*-d-2 + Coyn-j*-d-1 + ■ ■ ■ + Cj*-1yn-d-2).
Так как коэффициент сг = С(а-г) равен нулю тогда и только тогда, когда а-г является корнем многочлена С (у), а число его отличных от нуля корней не превосходит п — d — 2, вес кодового слова построенного вейвлет-кода не может быть меньше п — (п — d — 2), следовательно, кодовое расстояние будет не меньше d + 2. ■
Теорема 1 (о допустимости списочного декодирования вейвлет-кода). Существует алгоритм, позволяющий осуществлять списочное декодирование вей-влет-кода Ш[п, (п — 1)/2^ + 2], 0 < d < (п — 3)/2, со схемой кодирования (1), для порождающего многочлена которого выполняются соотношения
/(а) = 0 при = *,..., 2 * + ^
Доказательство. Опираясь на полученное в лемме 1 представление спектрального многочлена С (у), сг запишем в виде
(П-]*-<1-2 п-й-2
Е С]+]*+<+1а-г] + Е С]+]*+<-„+1 а-]
]=0 ]=п-]*-<-1
где г = 0,..., п — 1, иначе
п—]* —<—2 п-<-2
сгаг(]*+<+1) = Е С]+г+<<+1а-] + Е С]+]*+<-п+1а-г]. (3)
]=0 ]=п-]* -<-1
Полученное в (3) представление задаёт код Рида — Соломона (п, п — d — 1), в котором кодовое слово 5 = {з^п- получается из некоторого информационного слова в = {в]}п=о-2 по формулам
п-<-2
5 = Е в]а-г], г = 0,..., п — 1, (4)
]=о
поскольку а-1 также является примитивным элементом поля ОЕ(2т).
Список возможных спектральных многочленов С (у) может быть получен при помощи любого алгоритма списочного декодирования кода Рида — Соломона Яб"(п, п—d— 1) с процедурой кодирования (4). Однако в этот список могут попасть последовательности, не порождённые кодовыми словами вейвлет-кода.
Согласно процедуре кодирования (1) вейвлет-кода Ш[п, (п—1)/2, d+2], значения С], 2 = 0,..., п — 1, могут быть найдены как
^(а2])/(а]) = С], 2 = 0,..., п — 1.
Данные равенства задают систему линейных уравнений относительно коэффициентов информационного многочлена ■и(ж), решая которую, можно либо найти коэффициенты ■и(ж), либо показать, что не существует кодового многочлена с(ж), соответствующего значениям С], 2 = 0,... , п — 1. По свойствам порождающего многочлена /(ж), ^ + 1) уравнений системы являются вырожденными. С учётом результатов о декодировании кода Рида — Соломона полученную систему линейных уравнений можно записать в виде
^(а2])/(а]) = в]+п-]*-<-1, 2 = 0,... ,2* — 1, (5)
^(а2])/(а]) = в]-]*-<-1, 2 = 2* + d + 1,..., п — 1.
Система уравнений, заданная (5), содержит (п — 1)/2 неизвестных и п — d — 1 > > (п — 1)/2 уравнений. Это означает, что рассматриваемый вейвлет-код Ш[п, (п — 1)/2, d + 2] является подпространством кода Рида — Соломона ИБ[п, п — d — 1]. Поэтому для него длина списка и число исправляемых ошибок не превосходят таковых для кода КБ[п,п — d — 1]. ■
Замечание 1. На основании теоремы 1 алгоритм списочного декодирования вей-влет-кода Ш[п, (п — 1)/2, d + 2] с порождающим многочленом /(х) состоит из следующих шагов:
1) вместо полученного зашумлённого кодового слова с = {с^П- вейвлет-кода Ш[п, (п — 1)/2^ + 2] рассматривается зашумлённое слово Г = {Гг}П-о, = = сго^'"^^), кода Рида — Соломона КБ[п, п — d — 1];
2) к зашумлённому слову ¿Г применяется алгоритм списочного декодирования кода Рида — Соломона КБ[п, п — d — 1] с процедурой кодирования (4), в результате получаем список информационных слов в;
3) для каждого найденного информационного слова в решаем систему уравнений (5). Из найденных векторов г формируем список информационных слов вейвлет-кода Ш[п, (п — 1)/2, d + 2].
Замечание 2. Существует алгоритм, позволяющий осуществлять списочное декодирование вейвлет-кода Ш[п, (п — 1)/2, d + 2], 0 < d < (п — 3)/2, для порождающего многочлена которого выполняются соотношения
/(а) = 0 при = ^ *,..., * + ^
Замечание 3. При использовании в качестве алгоритма списочного декодирования кода Рида — Соломона улучшенной версии алгоритма Гурусвами — Судана, описанной в [19], алгоритм списочного декодирования вейвлет-кода Ш[п, (п — 1)/2, d + 2] будет исправлять до п — 2) ошибок и работать за полиномиальное время
от параметров кода.
Замечание 4. Предельный случай d = (п — 3)/2 в теореме не рассматривается, так как, согласно результатам работы [13], он соответствует вейвлет-коду Ш[п, (п — 1)/2, (п + 3)/2] с максимально возможным кодовым расстоянием, то есть является кодом Рида — Соломона, построенным во временной области. Поэтому списочное декодирование в этом случае может быть осуществлено при помощи алгоритмов списочного декодирования кодов Рида — Соломона КБ[п, (п — 1)/2].
Замечание 5. О применимости неравенства Варшамова — Гилберта в вопросе существования вейвлет-кода с максимальным кодовым расстоянием.
Рассмотрим вейвлет-код Ш[п, (п — 1)/2, d + 2], 0 < d < (п — 3)/2, определённый над полем ОЕ(2т), п = 2т — 1. При п = 2т — 1 и к = (п — 1)/2 неравенство Варшамова — Гилберта (см. [15]) имеет вид
£I
Е псп-1 < (п + 1)(п+1)/2. (6)
^=0
Учитывая поведение СП_ 1 при больших п и то, что d < (п — 3)/2, получаем, что самым большим слагаемым в сумме является 1. Оценим снизу значение суммы
£
Е псп_ 1 при максимально допустимом d = (п — 5)/2: ^=о
Е nj 1 > п£с£_ 1 = п(п-5)/2с(п-5)/2.
^=о
Применив к полученному выражению формулу Стирлинга, находим
п(п-5)/2С1п-5)/^ п(п-5)/2-
■\/п — 1 (п — 1)
п— 1
(^)(^) И^
п(п-5)/2^п—Г 2п-1(п — 1)п-1
п, „ (п — 5)(п-5)/2(п + 3)(п+3)/2' 2(п — 5)(п + 3) Правую часть представим в виде
п(п-5)/2^п—Г 2п-1(п — 1)п-1
П(п — 5)(п + 3) (п — 5)(п-5)/2(п + 3)(п+3)/2
2п-1п(п-5)/2уп—г(п—2) (п-5)/2 (п—1) (п+3)/2
п , . . ч V п — 5 / V п + 3 2(п — 5)(п + 3) 4 7 4
2п-1п(п-5)/2— 1 ( 4 )((п-5)/4)^2 ( 4 ) (-(п+3)/4)(-2)
п . ,, ч\ п — 5 / V п + 3
2(п — 5)(п + 3) 4 7 '
Поделив полученное выражение на правую часть неравенства (6), приходим к соотношению
2п-1 — 1 п(п-5)/2 ( 4 )((п-5)/4)^2 ( 4 ) (-(п+3)/4)(-2)
(п — 5)(п + 3) (п + 1}("+1)/Ч п — Ь! V п + 3
2п-1^п—Г / п уп+1)/^ 4 \((п-5)/4)-2 ✓ 4 ч (-(п+3)/4)(-2)
о П. .. . \п + 1/ V п — 5/ \ п + 3
п А/ ^(п — 5)(п + 3)
2п-1^п—Г ( 1 )-(п+1)(-1/2)
1--т X
п3, /2(п — 5)(п + 3^ п +1
4 ч ((п-5)/4)^2 ( 4 ч (-(п+3)/4)(-2)
х( 1 +-г 1 —
п - 5 п + 3
Полученное выражение при достаточно больших п больше 1 и стремится к бесконечности при п ^ Поэтому, начиная с некоторого п, код Ш[п, (п —1)/2, d+2 = (п —1)/2] не удовлетворяет неравенству Варшамова — Гилберта.
Таким образом, неравенство Варшамова — Гилберта не позволяет судить о существовании найденных в [13] вейвлет-кодов.
2. Примеры
Чтобы проиллюстрировать работу алгоритма, описанного в замечании 1, приведём примеры его использования для списочного декодирования зашумлённых кодовых слов нескольких вейвлет-кодов.
Пример 1. Рассмотрим некоторый вейвлет-код, определённый над полем СЕ (8) с неприводимым многочленом 1+ ж + ж3 и порождающим элементом а, с длиной кодовых и информационных слов 7 и 3 соответственно, порождающим многочленом
/ (ж) = 2ж2 + 5ж3 + 6ж4 + ж6
и процедурой кодирования (1). При этом комплементарные фильтры к и д, использованные при построении вейвлет-кода, равны соответственно
к(ж) = 3 + 2ж + 7ж2 + 6ж3 + 4ж4 + 2ж5, д(ж) = 5 + 3ж + 2ж2 + 2ж3 + ж4 + 3ж5 + 2ж6.
Для того чтобы при помощи леммы 1 получить кодовое расстояние построенного вейвлет-кода, вычислим значения кодового многочлена /(ж) в точках 1,а,... ,а6. Получаем, что /(а]) = 0 при 2 = 0,..., 2, следовательно, параметры 2* и d равны 0 и 2 соответственно, поэтому, согласно лемме 1, рассматриваемый вейвлет-код имеет кодовое расстояние 4 и может быть обозначен как Ш[7, 3, 4].
Для иллюстрации работы алгоритма рассмотрим кодовое слово
с = (0, 0,0, 0, 0, 0,0)
и соответствующее ему зашумлённое кодовое слово
с = (1, 7, 0, 0, 0,0, 0).
Описанный в п. 1 алгоритм позволяет найти все информационные слова вейвлет-кода Ш[7, 3, 4], соответствующие кодовые слова которых попадают в шар радиуса 2 с центром в зашумлённом кодовом слове <с. На первом шаге алгоритм преобразует принятое зашумлённое кодовое слово с" вейвлет-кода Ш [7, 3, 4] в зашумлённое кодовое слово кода Рида — Соломона КБ [7, 4]
? = (1, 2, 0, 0, 0,0, 0).
На втором шаге алгоритм применяет к зашумлённому кодовому слову в процедуру списочного декодирования кодов Рида — Соломона и получает список информационных слов в кода Рида — Соломона КБ [7, 4]
(0,0, 0, 0), (1,1, 0,1), (5, 7, 0, 3).
На третьем шаге алгоритм решает систему из трёх линейных уравнений с тремя неизвестными
^о + 5г>1 + 7^2 = во, 4^о + 3г>1 + 6^2 = в1, 5^о + 6г>1 + 4^2 = в3
для каждого информационного слова в из списка, полученного на втором шаге, и получает список информационных слов V вейвлет кода Ш[7, 3,4]
(0, 0, 0), (4, 0, 2), (0, 0, 2).
Полученным информационным словам соответствуют кодовые слова
(0, 0, 0, 0, 0, 0, 0), (1, 7, 3,0, 5, 0, 0), (1, 7, 0, 2, 0, 0, 4)
вейвлет-кода W [7,3,4] с процедурой кодирования (1) и порождающим многочленом f (x), каждое из которых попадает в шар радиуса 2 с центром в зашумлённом кодовом слове С.
Пример 2. Рассмотрим некоторый вейвлет-код, определённый над полем GF(32) с неприводимым многочленом 1 + x3 + x5 и порождающим элементом а, с длиной кодовых и информационных слов 31 и 15 соответственно, порождающим многочленом
f (x) = 7 + 24x + 2x2 + 5x4 + 29x5 + 2x6 + 18x7 + 3x8 + x9 + 15x10 + 22X11 + x12+ + 16x13 + 29x14 + 17x15 + 6x16 + 16x17 + 17x18 + 25x19 + 21x20 + 26x21+ + 10x22 + 30x23 + 18x24 + 6x25 + 24x26 + 4x27 + 31x28 + 14x29 + 15x30
и процедурой кодирования (1). При этом комплементарные фильтры h и g, использованные при построении вейвлет-кода, равны соответственно
h(x) = 23 + 13x + 27x2 + x3 + 15x4 + 13x5 + x6 + 16x7 + x8 + 21x9 + 28x10 + 30x11 +
+ 12x12 + 19x13 + 17x14 + 4x15 + x16 + 19x17 + 14x18 + 3x20 + 5x21 + 6x22, g(x) = 25 + x + 10x2 + 16x3 + 3x4 + 2x5 + 2x6 + 20x7 + 19x8 + 8x9 + 13x10 + 3x11+ + 12x12 + 21x13 + 7x14 + 3x15 + 31x16 + 25x17 + 22x18 + 31x19 + 12x20 + 30x21 + + 18x22 + 6x23 + 24x24 + 4x25 + 31x26 + 14x27 + 15x28 + 16x29 + 21x30.
Для того чтобы при помощи леммы 1 получить кодовое расстояние построенного вейвлет-кода, вычислим значения кодового многочлена f (x) в точках 1,а,...,а30. Получаем, что f (aj) = 0 при j = 0,..., 2, следовательно, параметры j* и d равны 0 и 13 соответственно, поэтому, согласно лемме 1, рассматриваемый вейвлет-код имеет кодовое расстояние 15 и может быть обозначен как W[31,15,15]. Для иллюстрации работы алгоритма рассмотрим кодовое слово
c = (0,0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,0, 0, 0, 0,0, 0, 0, 0,0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)
и соответствующее ему зашумлённое кодовое слово
с = (1, 3,1,8, 6,12,19,17, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,0, 0, 0, 0,0, 0, 0, 0,0, 0, 0, 0).
Описанный в п. 1 алгоритм позволяет найти все информационные слова вейвлет-кода W [31,15,15], соответствующие кодовые слова которых попадают в шар радиуса 8 с центром в зашумлённом кодовом слове С. На первом шаге алгоритм преобразует принятое зашумлённое кодовое слово С вейвлет-кода W [31,15,15] в зашумлённое кодовое слово кода Рида — Соломона RS [31,17]
С = (1, 5, 5, 3, 29, 28, 2, 20, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,0, 0, 0, 0,0, 0, 0, 0,0, 0, 0, 0).
На втором шаге алгоритм применяет к зашумлённому кодовому слову С процедуру списочного декодирования кодов Рида — Соломона и получает список информационных слов ß кода Рида — Соломона RS [31,17]
(0, 0, 0,0, 0, 0, 0,0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0), (28, 22, 21,17, 8,15, 26, 0, 8, 6,4,12, 20, 5, 26, 7, 21).
На третьем шаге алгоритм решает систему из семнадцати линейных уравнений с пятнадцатью неизвестными (в связи с большой размерностью она не приведена) для каждого информационного слова в из списка, полученного на втором шаге, и получает список информационных слов v вейвлет-кода W[31,15,15]
(0, 0,0, 0, 0, 0,0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0), (21, 31,18,19, 6,12,11, 8, 25, 9, 24, 8, 6,5, 22).
Полученным информационным словам соответствуют кодовые слова
(0, 0, 0, 0, 0, 0,0, 0, 0, 0,0, 0, 0, 0,0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,0, 0, 0, 0), (12, 3,1, 8,6,12,19,17, 31, 0, 2, 0, 5, 0,17, 0, 0, 27, 0, 23, 0, 0,0, 0, 0, 0,0,11, 0,0, 0)
вейвлет-кода W [31,15,15] с процедурой кодирования (1) и порождающим многочленом f (x), каждое из которых попадает в шар радиуса 8 с центром в зашумленном кодовом слове С.
Заключение
В работе доказано, что вейвлет-код, определённый над полем GF(2m), с длиной кодовых и информационных слов n = 2m — 1 и (n — 1)/2 соответственно и процедурой кодирования (1), c порождающим многочленом f (x), для которого выполняются соотношения
n3
f (aj ) = 0 при j = j *,..., j* + d, 0 < d < ,
имеет кодовое расстояние ^ d + 2 и допускает списочное декодирование. На основании приведённых доказательств описаны шаги алгоритма, позволяющего осуществлять списочное декодирование вейвлет-кодов.
Алгоритм реализован в виде программы, реализующей декодирование вейвлет-кода W [n, (n—1)/2, d+2] с исправлением до e < n—\J n(n — d — 2) ошибок за полиномиальное время от параметров n и d (получено авторское свидетельство №2017619148). Для осуществления списочного декодирования кода Рида — Соломона используется улучшенная версия алгоритма Гурусвами — Судана из [19]. Написанная программа была успешно применена для декодирования зашумлённых кодовых слов кодов W[7, 3, 4] и W[31,15,15].
Доказано, что неравенство Варшамова — Гилберта не позволяет судить о существовании вейвлет-кода W [n, (n — 1)/2, d + 2], 0 < d < (n — 3)/2, над полем характеристики два c кодовым расстоянием (n — 1)/2 при достаточно больших n.
ЛИТЕРАТУРА
1. Мак-Вильямс Ф. Дж., СлоэнН. Дж. А. Теория кодов, исправляющих ошибки. М.: Связь, 1974. 744 c.
2. FekriF., McLaughlin S. W., Mersereau R. M., and Schafer R. W. Double circulant self-dual codes using finite-field wavelet transforms // Applied Algebra, Algebraic Algorithms and Error-Correcting Codes. Berlin: Springer, 1999. P. 355-363.
3. Fekri F., McLaughlin S. W., Mersereau R. M., and Schafer R. W. Error Control Coding using Finite-Field Wavelet Transforms. Atlanta: Center for Signal Image Processing, 1999. 13 p.
4. Daubechies I. Десять лекций по вейвлетам. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. 464 c.
5. Mallat S. Wavelet Tour of Signal Processing. 2nd ed. Boston: Academic Press, 1999. 799 p.
6. Phoong S. M. and Vaidyanathan P. P. Paraunitary filter banks over finite fields // IEEE Trans. Signal Processing. 1997. V.45. No. 6. P. 1443-1457.
7. FekriF., Mersereau R. M., and Schafer R. W. Theory of paraunitary filter banks over fields of characteristic two // IEEE Trans. Inform. Theory. 2002. V.48. No. 11. P. 2964-2979.
8. Fekri F. and Delgosha F. Finite-Field Wavelet Transforms with Applications in Cryptography and Coding. Upper Saddle River: Prentice Hall, 2010. 304 p.
9. Caire G., Grossman R. L., and Poor H. V. Wavelet transforms associated with finite cyclic groups // IEEE Trans. Inform. Theory. 1993. V. 39. No. 4. P. 1157-1166.
10. Fekri F., Mersereau R. M., and Schafer R. W. Theory of wavelet transform over finite fields // Proc. IEEE Intern. Conf. Acoustics, Speech, and Signal Processing. 1999. V. 3. P. 1213-1216.
11. Черников Д. В. Помехоустойчивое кодирование с использованием биортогональных наборов фильтров // Сибирские электрон. матем. известия. 2015. Т. 12. С. 704-713.
12. Doubechies I. and Sweldens W. Factoring wavelet transforms into lifting steps // J. Fourier Anal. Appl. 1998. V. 4. No. 3. P. 247-269.
13. Соловьев А. А., Черников Д. В. Биортогональные вейвлет-коды в полях характеристики два // Челяб. физ.-мат. журн. 2017. Т. 2. №1. С. 66-79.
14. Берлекэмп Э. Алгебраическая теория кодирования. М.: Мир, 1971. 479 с.
15. Сидельников В. М. Теория кодирования. М.: Физматлит, 2008. 324с.
16. Berlekamp E. R. and Welch L. R. Error Correction of Algebraic Block Codes. US Patent 4633470A. 30.12.1986.
17. Ромащенко А. Е., Румянцев А. Ю., Шень А. Заметки по теории кодирования. М.: МЦН-МО, 2011. 80с.
18. Sudan M. Decoding of Reed Solomon codes beyond the error-correction bounds // J. Complexity. 1997. V. 13. No. 1. P. 180-193.
19. Guruswami V. and Sudan M. Improved decoding of Reed — Solomon and algebraic-geometric codes // IEEE Trans. Inform. Theory. 1999. V.45. No. 6. P. 1757-1767.
20. Литичевский Д. В. Списочное декодирование биортогональных вейвлет-кодов с заданным кодовым расстоянием в поле нечётной характеристики // Прикладная дискретная математика. 2018. №39. С. 72-77.
21. Соловьев А А. Комплементарное представление многочленов над конечными полями // Челяб. физ.-мат. журн. 2017. Т. 2. Вып. 2. С. 199-209.
REFERENCES
1. MacWilliams F. J. and Sloane N. J. A. The Theory of Error-Correcting Codes. Elsevier, 1977. 744 p.
2. FekriF., McLaughlin S. W., Mersereau R. M., and Schafer R. W. Double circulant self-dual codes using finite-field wavelet transforms. Applied Algebra, Algebraic Algorithms and Error-Correcting Codes. Berlin, Springer, 1999, pp. 355-363.
3. Fekri F., McLaughlin S. W., Mersereau R. M., and Schafer R. W. Error Control Coding using Finite-Field Wavelet Transforms. Atlanta, Center for Signal Image Processing, 1999, 13 pp.
4. Daubechies I. Desyat' lektsiy po veyvletam [Ten Lectures on Wavelets]. Izhevsk, SRC "Regular and Chaotic Dynamics", 2001. 464 p. (in Russian)
5. Mallat S. Wavelet Tour of Signal Processing, 2nd ed. Boston, Academic Press, 1999. 799 p.
6. Phoong S. M. and Vaidyanathan P. P. Paraunitary filter banks over finite fields. IEEE Trans. Signal Processing, 1997, vol.45, no.6, pp. 1443-1457.
7. FekriF., Mersereau R. M., and Schafer R. W. Theory of paraunitary filter banks over fields of characteristic two. IEEE Trans. Inform. Theory, 2002, vol.48, no. 11, pp. 2964-2979.
106
fl. B. fluTMHeBCKuPi
8. Fekri F. and Delgosha F. Finite-Field Wavelet Transforms with Applications in Cryptography and Coding. Upper Saddle River, Prentice Hall, 2010. 304 p.
9. Caire G., Grossman R. L., and Poor H. V. Wavelet transforms associated with finite cyclic groups. IEEE Trans. Inform. Theory, 1993. vol.39, no. 4, pp. 1157-1166.
10. Fekri F., Mersereau R. M., and Schafer R. W. Theory of wavelet transform over finite fields // Proc. IEEE Intern. Conf. Acoustics, Speech, and Signal Processing, 1999, vol. 3, pp. 1213-1216.
11. Chernikov D. V. Pomekhoustoychivoye kodirovaniye s ispol'zovaniyem biortogonal'nykh naborov fil'trov [Error-correcting codes using biorthogonal filter banks]. Siberian Electronic Mathematical Rep., 2015, vol.12, pp. 704-713. (in Russian)
12. Doubechies I. and Sweldens W. Factoring wavelet transforms into lifting steps. J. Fourier Anal. Appl., 1998, vol.4, no. 3, pp. 247-269.
13. Soloviev A. A. and Chernikov D. V. Biortogonal'nyye veyvlet kody v polyakh kharakteristiki dva [Biorthogonal wavelet codes in the fields of characteristic two]. Chelyabinsk Physics and Mathematics J., 2017, vol.2, no. 1, pp.66-79. (in Russian)
14. Berlekamp E. R. Algebraic Coding Theory. N.Y., McGraw-Hill Book Company, 1968. 470 p.
15. Sidelnikov V.M. Teoriya kodirovaniya [Theory of Coding]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2008. 324 p. (in Russian)
16. Berlekamp E. R. and Welch L. R. Error Correction of Algebraic Block Codes. US Patent 4633470A, 30.12.1986.
17. Romashchenko A. E., Rumyantsev A. J., and Shen A. Zametki po teorii kodirovaniya [Notes on the theory of coding]. Moscow, MCCME Publ., 2011. 80 p. (in Russian)
18. Sudan M. Decoding of Reed Solomon codes beyond the error-correction bounds. J. Complexity, 1997, vol. 13, no. 1, pp. 180-193.
19. Guruswami V. and Sudan M. Improved decoding of Reed — Solomon and algebraic-geometric codes. IEEE Trans. Inform. Theory, 1999, vol.45, no. 6, pp. 1757-1767.
20. Litichevskiy D. V. Spisochnoye dekodirovaniye biortogonal'nykh veyvlet-kodov s zadannym kodovym rasstoyaniyem v pole nechetnoy kharakteristiki [List decoding of the biorthogonal wavelet code with predetermined code distance on a field with odd characteristic]. Prikladnaya Diskretnaya Matematika, 2018, no. 39. pp. 72-77. (in Russian)
21. Soloviev A. A. Komplementarnoe predstavlenie polinomov nad konechnymi polyami [Complementary representation of polynomials over finite fields]. Chelyabinsk Physics and Mathematics J., 2017, iss.2, pp. 199-209. (in Russian)
