CC BY
145
ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
2014 ЭКОНОМИКА Вып. 1(20)
УДК 330.101.541
ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ МАКРОЭКОНОМИКИ
П.М. Симонов, д. физ.-мат. наук, проф. кафедры информационных систем и математических методов в экономике
Электронный адрес: [email protected]
Пермский государственный национальный исследовательский университет, 614990, г. Пермь, ул. Букирева, 15
Рассмотрены модификации некоторых моделей макроэкономики на основе введения вместо инерционных звеньев первого порядка инерционных звеньев первого порядка с кусочно-постоянными запаздываниями. Изучается устойчивость некоторых модифицированных моделей макроэкономики.
Ключевые слова: динамические модели макроэкономики; инерционное звено с кусочнопостоянным запаздываниям первого порядка; устойчивость модифицированных моделей.
1. Введение
Предложена модификация некоторого класса динамических моделей макроэкономики на основе моделирования переходных процессов в таких моделях решениями линейных дифференциальных уравнений с кусочнопостоянными запаздываниями.
Как известно, в динамических моделях экономики [4, 9, 12, 14, 21, 23, 25, 28, 44-48] используются инерционные и дискретные запаздывания между входными и выходными процессами. При этом инерционные запаздывания первого порядка определяют бесконечно длящиеся переходные процессы, что не всегда адекватно реальным процессам. Нами предложено моделировать запаздывание между входным и выходным процессом линейным дифференциальным уравнением вида
Ту'(0 + уф/Т]Т) = х(0, Г>0, (1) где Т - время (лаг) запаздывания (переходного процесса); [¿/Г] - целая часть числа / /'/'; х(1) - входной процесс; у(1) - выходной процесс. Ниже для простоты изложения будем считать все функции заданными при (> 0 и дифференцируемыми столько раз, сколько это необходимо для вывода моделей. В случае х(1) = 1 и у(0) = 0 решение уравнения (1) имеет
вид у(1) = (/Т при 0<t<T и у(0 = 1 при t>T. Таким образом, переход из состояния 0 в состояние 1 происходит по линейной зависимости за время Т .
Подобные зависимости для моделей микроэкономики опубликованы в работах [32,
33, 36, 37, 40, 41] (первые статьи относительно моделей макроэкономики: [32, 34, 35-40]). В
статье [29] сделан вывод, что принципиальная проблема противоречивости микро- и макроэкономической теории в современной науке не преодолена окончательно.
Далее для простоты изложения будем считать все функции заданными при Г>0. Кроме специально оговоренных случаев, полагаем, что функции дифференцируемы столько раз, сколько это необходимо для вывода моделей.
2. Модификация известных моделей
2.1. Простейшая линейная модель динамики чистого внутреннего продукта (ЧВП) с учетом запаздывания ввода индуцированных инвестиций [4, гл.3, 3.2, с.73-75; 3.3, с.75-79; гл.8, 8.1, с.225; 13, гл.2, 2.1, с.42-46; 14, гл.2, § 1, с.42-46; 21, гл.13, 13.3, с.327-331; 25, гл.ХІІІ, § 1, с.414-419; 28, гл.2, § 2.1, с.21-22, гл.4, § 4.4, с.92-93; 44, гл.10, 1, А, с.270-271; 45, гл.14,
14.1.1, с.491-497; 46, гл.2, 2.1, с.34-36; 48, ч.У, гл.18, 18.1, с.556-557].
Модифицированная модель ЧВП может быть записана в виде уравнения
© Симонов П.М., 2014
TY\t) + Y\[tlz]T)-pY(t) = -pC(t\ где Y(I) - интенсивность воспроизводства ЧВП в момент времени t ; С(1) - интенсивность конечного непроизводственного потребления в момент времени t ; г - лаг запаздывания ввода реальных индуцированных инвестиций; р = 1/ В - технологический индекс роста (темп
прироста); В - мощность, коэффициент акселератора, капиталоемкость ЧВП. В этой модели за основу берется макроэкономическое тождество Y(t) = I(t) + C(t), где 1(1) - интенсивность ввода реальных индуцированных инвестиций в момент времени t, причем в соответствии с моделью [14, гл.2, § 1, с.55-59] величина инвестиций определяется будущим приростом ЧВП, т.е. имеет место зависимость типа акселератора с лагом т : I(t) = BY'(t + т). Последнее равенство заменяем равенством
1(0 = В Y'([t/z]T) + Y”(t) .
2.2. Нелинейная модель Филлипса - Гудвина динамики ЧВП [4, гл.3, 3.4, с.79-81, 3.5, с.81-83, гл.7, 7.1-7.3, с. 191-199, гл.8, 8.2, с.226-230; 9, гл.11, § 3, с.100-105; 12, гл.3, 3.1-3.5, с.40-63; 18, 8.3, с.237; 21, гл.13, 13.3, с.330-331; 23, гл.5, § 3, с.146-162; 30, гл.4, 1, с.76-94; 47, гл.3, 3-3, с.66]
Модифицированный вариант модели А. Филлипса и Р.М. Гудвина в обозначениях нашей статьи принимает вид
TY'(t) + Y([t/ Т\Т) = cY(t) + I(t) + A(t), rr(t)+I([t/T]r) = 0(Y’(t)) + 71(t), где T - лаг запаздывания воспроизводства ЧВП; г - лаг запаздывания ввода реальных индуцированных инвестиций; с - предельная склонность к потреблению; A(t) = Са (t) + 1а (!) + +Ex(t) + Gv(t) - сумма интенсивностей автономного потребления, автономных инвестиций чистого экспорта и государственных закупок в момент времени t ; Ф(-) - функция нелинейного акселератора индуцированных инвестиций; jj(-) - неконтролируемое возмущение. В этой модели за основу берется макроэкономическое тождество YD(t) = C(t) + I(t) + Ex(t) + Gv(t), где
Yd (I) - интенсивность спроса на ЧВП в момент времени t ; C(t) = cY(t) - интенсивность индуцированного потребления в момент времени t . Кроме того, предполагается, что интенсивность запланированных индуцированных инвестиций J (t) в каждый момент времени t определяется
через нелинейный акселератор J(t) = Ф(К'(/)) + T](t). Дифференциальные уравнения модели возникают в результате запаздывания воспроиз-
водства ЧВП Y(t) с лагом T по отношению к спросу на ЧВП YB (t), а также в результате запаздывания ввода реальных индуцированных инвестиций I(t) по отношению к запланированным индуцированным инвестициям J (t). Свойства функции Ф(-) можно найти в работе [4, гл.7, 7.3, с.196-199; 30, гл.4, 1.2, с.79-83].
2.3. Линейная односекторная модель динамики валового внутреннего продукта (ВВП) [9, гл.11, § 3, с.94-99; 28, гл.3, § 3.3, с.60-61].
Модифицированная модель динамики ВВП имеет вид
TvV'(t) + V([t / v ]tv ) = J(t) + A(t) + Vl (t),
кхо+^т^о+ъ«),
TxX'(t) + X([tlTx]Tx) = vK(t) + Tk(t), TjJ'(t)+J([t/Tj]Tj) = aX(t) + i)A (t).
Здесь K(t) - уровень основных производственных фондов (ОПФ, производственного капитала) в момент времени t; I'(/) - интенсивность ввода реальных валовых инвестиций в ОПФ в момент времени t; J(t) - интенсивность выделения запланированных валовых инвестиций в ОПФ в момент времени I: X(t) - интенсивность воспроизводства ВВП в момент времени t; . 1(1) - интенсивность автономных инвестиций в момент времени t; г,. - лаг запазды-
вания ввода реальных инвестиций; цк - норма амортизации ОПФ, Тх - лаг запаздывания воспроизводства ВВП; тj - лаг принятия решения
о выделении инвестиций, v - капиталоотдача; а
- норматив инвестиций в ОПФ; r]k (•), к = 1.4 -неконтролируемые возмущения. Заметим, что в этой модели отдельные запаздывания могут быть инерционного или дискретного типа.
2.4. Ранняя модель Калецкого динамики ВВП и ОПФ с учетом амортизации [4, гл.7, 7.4-
7.5, с.199-205; 21, гл.13, 13.3, с.327; 23, гл.5, § 3, с.146-162; 47, гл.3, 3-3, с.66]
Модифицированная модель М. Калецкого имеет вид
K'(t) + JuK(t) = V(t) + fll(t), rV'(t) + V(\i/г]г) = aV(t) -bK(t) + ciA(t) + r/2(t), где в основном приняты обозначения примера 3. Кроме того, 0<а<1 и Ъ>0 - параметры модели. Для вывода уравнений модели были использованы тождества X(t) = C(t) + V(t) + A(t), где C(t) = cX(t) - интенсивность индуцированного потребления в момент времени t; Ж0 = Со(0 + 4(0+4(0+<Я(0 - сумма интенсивностей автономного потребления, автономных инвестиций, чистого экспорта и государственных закупок в момент времени t;
J(t) = asX(t)-bK(t) + r|2(t), где с - предельная склонность к потреблению (предельная норма непроизводственного потребления) относительно ВВП; 5 =1 - с - предельная склонность к сбережению (инвестированию) (предельная норма производственного накопления) относительно ВВП; ./(;) - интенсивность выделения запланированных индуцированных ВВП и ОПФ валовых инвестиций в ОПФ в момент времени I: I'([) - интенсивность ввода реальных индуцированных ВВП валовых инвестиций в ОПФ в момент времени I. причем справедливо равенство тУ'(0 + Уф/т]г) = Щ).
2.5. Неоклассическая нелинейная односекторная модель Рамсея - Солоу - Свена (РСС) динамики ВВП с учетом запаздывания ввода инвестиций [5, Ч.Ш, гл.2, § 1, 1, с.241-246;
6, л.8, 8.2, с.313-322; 7, § 1, с.69-75; 8, 1.1, с.22-
23, 3.4, с.186-198, 3.4.4.А-3.4.4.Б, с.199-202; 12, гл.4, 4.1, с.65-70; 13, гл.2, 2.2, с.46-48; 14, гл.2, §
4, с.86-95; 18, 3.1, с.39-41; 19, § 1, с.51, § 4, с.72-82; 20, гл.16, 16.1, с.470-477; 21, гл.10, 10.2, с.247-248; 22, гл.4, 4.1, с.105-112, 4.2, с.112-116;
25, гл.ХШ, § 3, с.442-451; 26, гл.У, § 1, с.156-168; 28, гл.3, § 3.4, с.62-71, § 3.5, с.71-74, гл.6, §
6.2, с.142-144; 43, л.4, 4.5, с.133-138; 44, гл.12, 1, Б, с.339-343, В, с.343-347, гл.13, 1-4, с.372-394; 45, гл.14, 14.1.2, с.422-531; 48, Ч.У, 18.1, с.560-566].
Модифицированная модель РСС в абсолютных показателях имеет вид
*'(о+мт=г(о тГ(0 + Уф / г]г) = 5^(0, Щ)) + щ (0 > где 1.(1) = Ь(0)ер> - уровень трудовых ресурсов в момент времени /; /и - норма амортизации ОПФ; У(/) - интенсивность ввода реальных валовых инвестиций в ОПФ в момент времени I: т- лаг ввода реальных валовых инвестиций; 1<(К.1.) - неоклассическая линейно однородная производственная функция (ПФ), Х(1) = 1' (К(1).1{1)) ; 5 - предельная склонность к сбережению (инвестированию) по отношению к ВВП; г/1 (•), Т}2 (■) - неконтролируемые возмущения. Перепишем модель РСС в относительных удельных показателях: к(1) = К(1)/1.(1) - капиталовооруженность (фондовооруженность); \’(1) = ¥(()/1.(1) - подушевые, удельные инвестиции; /(к(1)) = ^(£(?),1) = ¡•(К(1).1.(1))11.(1) - производительность труда. Выразим К'(1) = к'(1)1.(1) +к(1)1. '(0 , У'(1) = у'(1)1.(1) +\’(1)1,'(1), подставим в исходные уравнения, разделим оба уравнения на Щ). Получим к'(0 + (// + Р)Щ) = 40 + 771 (0 > гу'(0 + тМО + У{[И т]т)/ц 0 = 5/ (к( 0) + Г}2 (0.
Далее вычислим
V([t / т]т)/Ь(0 = v([t / г]г) ехр(-рг{^ / г}), где {/ / г} - дробная часть числа th.
Модифицированная модель РСС динамики ВВП с учетом запаздывания ввода инвестиций в относительных, удельных показателях имеет вид
k'(t) + (/л + p)k(t) = v(0 + Vi (0 ,
Tv'(t) + prv(t) + exç(-pr{t ! r})v(\t! т]г) =
= sf(k(t)) + ri2(t).
Заметим, что в модели запаздывание ввода инвестиций может быть либо инерционным, либо дискретным. В случае дискретного переменного запаздывания с лагом г(0 модель примет вид
k'(t) + (ju + p)k(t) =
= sf (k(t - г(0)) exp(-/?r(0) + 77i (0 •
2.6. Неоклассическая нелинейная односекторная модель РСС динамики ВВП с акселератором и с учетом запаздывания ввода инвестиций [27].
Модифицированная модель РСС в абсолютных показателях имеет вид
K'(t) + juK(t) = V(t) + îil(t),
TV'(t) + V([t/T]T) =
TV'(t) + V([t/T]r) =
= X(t)-BX'(t)-C(t)-A(t)-i}2(t), где к обозначениям примера 2.5 дополнительно введено: C(t) - интенсивность конечного непроизводственного потребления в момент времени г. II -мощность (коэффициент) акселератора ВВП; АО = Ca(t) + Ia(t) + Ex(t) + Gv(t) -сумма интенсивностей автономного потребления, автономных инвестиций, чистого экспорта и государственных закупок в момент времени t'. F(K,L)
- неоклассическая линейно однородная непрерывно дифференцируемая ПФ воспроизводства ВВП, X(t) = F(K(t), L(t)). В этой модели за основу взято макроэкономическое равенство X(t) = I(t) +J(t) + C(t) + A(t) + 772(0,где I(t) = BX’(t) - интенсивность ввода реальных индуцированных (приростом ВВП) инвестиций в момент времени t (зависимость типа акселератора); J(t) -интенсивность выделения запланированных валовых ИНВеСТИЦИЙ В ОПФ В МОМеНТ Времени t '. T/i (0 • fj2 (•) - неконтролируемые возмущения.
Аналогично примеру 2.5 перепишем модель РСС в относительных показателях. Воспользуемся равенствами dF
х'(0 = —(K(i),L(t))K(t) +
дК
+ ^-(K(t),L(t))L{t) =
CL
= f'(k(t))K’(t) + Сf(k(t)) - k(t)f’(k(t)))L'(t),
так как в [5, ч.Ш, § 2, с.219] показано, что dF/дК = f'(k), 8F/8L = f(k)~kf'{k). Отсюда
получим, что X\f)lL(t) = f'(k(t))(k'(t)+pk(t))
+ (f(KO)-KOf'(KO)p-
Итак, в относительных показателях модель имеет вид
к'(О + (ju + p)k(t) = v(t) + ^ (0 , iv'(0 + Bf'(k(t))k'(t) + Tpv(t) +
+exp (-p z{t / t})v(\t / t] t) =
= (1 - Bp)f{k{t)) - c(t) - a(t) - rj2 (0 •
2.7. Неоклассическая нелинейная двухсекторная модель с запаздыванием ввода инвестиций [5, ч.Ш, §1, 2, с.246-250; 8, 3.4.4.В, с.202-204; 12, гл.4, 4.2, с.70-75; 13, гл.2, 2.2, с.54-56;
20, гл.16, 16.3, с.491-504; 28, гл.2, § 2.6, с.48-49]
Модификация этой модели в абсолютных показателях имеет вид
*;(0+м*(0 = ^ (0+^(0,
+ ПФ/Т^Т,) = sF^KMMt)) + Ы0, к'г (о+р2к2 (о = v2 (о+щ (о,
Г2^(0 + Г2(р/г2]г2) =
= (l-s)F1(K1(t),L1(t)) + 7f4(t),
C{t) = F2{K2{t),L2{t)), ц (0 = <?Д0, 4 (0 = (1 - <?) ДО, ДО = Д0)ех". Здесь Xj(0 = /-'(^ (/)./.,(/)) и Х2(0 =
F2(K2(t),L2(t)) - интенсивности валовых выпусков двух секторов некоторой экономики в момент времени г. /'’(АТ,. 1Л ) и F2(K2,L2) - неоклассические линейно однородные ПФ этих секторов; [Л\ и ¡л2 — нормы амортизации ОПФ этих секторов; Kt (I) и /,,(/) - уровни ОПФ и трудовых ресурсов первого сектора в момент времени/; K2(t) и L2(t) - уровни ОПФ и трудовых ресурсов второго сектора в момент времени /; V\ (t) и V2 (0 - интенсивности ввода реальных валовых инвестиций в ОПФ в момент времени /; г, и г2 - лаги запаздываний ввода реальных валовых инвестиций; 0 < s, q < 1 -доли (нормативы) распределения инвестиций и трудовых ресурсов по секторам; C(t) - интенсивность конечного непроизводственного потребления в момент времени t.
Далее, обозначив кх (0 = Кх (0 / Ц (t),
¿2 (0 = к2 (0 / 4 (0, V, (0 = V, (0 / К, (0,
v2 (О = f2 (О / к2 (О, fx (К (0) = 4 № (0,1), f2{k2{t)) = F2{k2{t\\), из первых четырех уравнений модели получаем систему
¿/(О+(а + />№ (0=vi (0 + Vi (0,
TiVi (0 + PTiVjiO + exp(-/7T1{r/r1})v1(p/r1]r1)
= sfl{kl{t))+rh{t),
К (0+(/fz + рЖ (0 = v2 (0+% (0 >
^(0 + Pbvl(0 + exp(-/7T2{r/r2})v2(p/r2]T2)
= (i—5X/i (К (0)+Va (0 •
Аналогично могут быть рассмотрены и записаны некоторые трехсекторные модели (см., например, [8, 3.4.4.Г, с.204-209; 22, 4.4, с. 121126; 28, гл.2, § 2.6, с.48-49]).
2.8. Неоклассическая нелинейная модель Занга динамики ВВП с учетом запаздывания ввода инвестиций в ОПФ и запаздывания образования человеческого капитала [18, 4.4, с.94-101]
Модифицированная модель В.-Б. Занга в абсолютных показателях имеет вид
K'(t) + JuKK(t) = V(t) + ijl(t),
tvV'(0 + V([t / tv]tv) = sX{t) + A{t) + fj2 (0, Q\f) + HQQ(f) =
= KX(t) + H(ClX(t)l до. A (0><2(0) + %(0> tgG'(0 + G([Y / tg ]tg ) = 6(0 + щ (0 , где L(f) - уровень общих трудовых ресурсов в момент времени t; /.(/) = L(0)ep'; /,, 0) - уровень трудовых ресурсов умственного труда в момент времени V. /,, = i/Zj , где 0 < <7 < 1; L2(0
- уровень трудовых ресурсов физического труда в момент времени V. L2 = (1 - q)L, rjk (•), k = 1,4,
- неконтролируемые возмущения. Пусть, далее, X(t) - интенсивность воспроизводства ВВП в момент времени t; X(l) = F(K(t),L2(t),G(0), где F(K,L2,G) - неоклассическая линейно однородная ПФ; K(t) - уровень ОПФ в момент времени /, (1(1) - реальный уровень человеческого капитала (ЧК) (знаний) в момент времени t, 6(0 - потенциальный (будущий) уровень ЧК (знаний) в момент времени t, fj.K - норма амортизации ОПФ, fi() - норма обесценивания ЧК
(знаний), индекс обесценивания знаний, сг и с2 -соответствующие нормы потребления для работников умственного и физического труда, причем, Ci > с2, s = \-c2+(c2-cl)q, к - коэффициент эффективности обучения работников физического труда, H(t) =
Н^Х^)/Ь(0,Ц(0,Я(0) - интенсивность
вклада работников умственного труда в процесс накопления знаний. Функция Н = Н(х, у, z)
является дважды непрерывно дифференцируемой по всем аргументам неоклассической ПФ, причем по второму и третьему аргументам обращается в нуль, если хотя бы один аргумент равен нулю. Кроме того, для любых чисел у>0 и z > 0 справедливы неравенства дН/дх>0,
д2Н/дх2 < 0 и существует lim H(x,y,z). Пример этой функции см.: [18, 4.4, с.96]. Как и в примере 6, A(t) = Ca(t) + Ia(t) + Ex(t) + Gv(t) -сумма интенсивностей автономного потребления, автономных инвестиций, чистого экспорта и государственных закупок в момент времени t.
Перейдем к модели в относительных показателях k(t), v(t), /(k(t)), q(t) = Q(t) / L(t) -удельного (подушевого) потенциального уровня знаний; g(t) = G(t) / L(t) - удельного (подушевого) реального уровня знаний и h(k(t), g(t)) = H(cJ{¿(¿)),-£j (0,^(0)/ L(t) - удельного (подушевого) вклада работников умственного труда в процесс накопления знаний. Получим следующую систему:
k’(t) + (/лк + p)k(t) = v(t) + 77! (t), rvv'(t) + Tvpv(t) +
+ Qx$(-prv{t / rv})v([t / tv]tv) =
= sf(k(t)) + a(t) + î]2(t), q'(t) + (jliq + p)q(t) =
= 4 (k(t))+KK t), g(t)) + % (0,
%я'(0 + %Ж0 +
+exp(-pTG{t/rG})g([t/TG]/TG) =
= q(t)+TjA(t).
2.9. Неоклассическая нелинейная двухсекторная модель Удзавы - Лукаса динамики ВВП и человеческого капитала с учетом запаздывания ввода инвестиций в ОПФ и с учетом запаздывания образования человеческого капитала [17; 49, гл.4, 4.3; 52; 53].
Модифицированная модель Х. Удзавы и Р.Е. Лукаса (мл.) в абсолютных показателях имеет вид
K'(f)+MKm=v(f)+m,
TV'(t) + V(lt/Tv]Tv) =
= Fx(K(t),(\-u(t))G(t),G(t))--С( i)-A(f) + Tj2(f),
rGg'(0 + g([tlTG\rG) = h(t) + (0 ,
h'(t) + juHh(t) = fh(u(t)M\m) + ЛЛ0 ■
Здесь L(t) = 1.(())е‘" - уровень общих
трудовых ресурсов в момент времени /; u(t) -доля времени обучения, затраченного на образование в момент времени /; G(t) = g(t)L(t) -реальный уровень ЧК (знаний) в обществе в момент времени /; H(t) = h(t)L(t) - потенциальный (будущий) уровень ЧК (знаний) в обществе в момент времени v. G(t) = g(t)L(t) - общественный уровень ЧК (знаний) (уровень образовательных услуг, оплачиваемых государством) в момент времени t. Соответственно обозначено: g(t) - реальный индивидуальный сред-
ний уровень ЧК (знаний) в момент времени V. h(t) - потенциальный (будущий) индивидуальный средний уровень ЧК (знаний) в момент времени /; g(t) - общественный средний уровень ЧК (знаний) (уровень образовательных услуг на одного человека, оплачиваемый государством) в момент времени t. Далее обозначено: V(t) - интенсивность реальных валовых инвестиций в ОПФ в момент времени t; C(t) - интенсивность конечного непроизводственного потребления в момент времени t; A(t) = A (t) + Ia(t) + Ex(t) + Gv(t) - сумма интенсивно -стей внешних, автономных инвестиций чистого экспорта и государственных закупок в момент времени /; цк - норма амортизации ОПФ; //„
- норма амортизации ЧК (включает в себя потери от снижения квалификации, смертности и выигрыш от приобретения опыта). Кроме того, Fx (К, (1 - u)G, G) - неоклассическая и линейно однородная по первым двум аргументам, а также непрерывно дифференцируемая по всем аргументам ПФ воспроизводства ВВП, X(t) = Fx(K(t), (1 -u(t))G(t),G(t)) , функция
Fx(-, - , • ,) обращается в нуль, если хотя бы один из ее аргументов равен нулю, причем эластичность такой ПФ по третьему аргументу больше нуля и не больше единицы. Введена также дваяеды непрерывно дифференцируемая по всем аргументам функция fh(u,h,g) - ПФ (сектора) образования, обращающаяся в нуль, если хотя бы один из ее аргументов равен нулю. Предположено, что dfh/du> 0, д2 fh! д2и < 0 при ()<«< 1: ôfh/dh> 0 при h > 0 и существует такое h> 0, что d2fhldh2 >0 при 0 <h<h, d2fh/dh2 =0 при h = h и d2fh/dh2< 0 при h > h . Кроме того, функция fh является неоклассической линейно однородной ПФ по второму и третьему аргументам с эластичностью замещения (7,v <Е (0, оо) . Примеры функций Fx
и f можно найти в работе [17].
Перейдем к модели в относительных показателях k(f), v(f), g(t), h(t),
fx(k(t),(l~u(t))g(t),g(t)) =
= Fx СK(t), (1 - u(t))G(t), G(t)) / L(t)
= Fx(k(t),(l-u(t)g(t),g(t)).
Получим следующую систему: k'(t) + (рк + p)k(t) = v(t) + щ (t),
Tvv’(t) + Tvpv(t) +
+ ex$(-pTv{t / Tv})v([t / Ту\Ту) =
= fx (*(0, (1 - u(t))g(t), g(t)) ~ c(t) ~ a(t) - î]2 (0, rGg'(0 + g([t/TGM=40 + i73(0,
h'(t) + juHh(t) = fh (u(t)MXg(t)) + Щ(О.
2.10. Неоклассическая нелинейная односекторная модель Тобина - Сидрауски динамики ВВП с учетом денежного рынка [18, 3.3, с.46-48, 9.5, с.280; 48, ч.у гл.18, 18.2, с.566-574,
18.3, с.574-579]
Модифицированные варианты модели Дж.Тобина и М.Сидрауски в относительных, удельных, подушевых показателях имеют следующий вид:
а) в случае статических ожиданий пе (0 = Jü(f) , или 7Ге (t) = 7l(t - T) :
k'(t) + (jus + p)k(t) = sf (k(t)) - cm(t)(f'(k(t)) + +zn(t)-M-r(k(t\m(t)))-a(t) + ^(t), m'(t) = m(t)(f'(k(t)) + zn (t) --(ju + p)~ r(k(t), m(t))) + щ (t) ;
б) в случае статических ожиданий ne(t) = n(t + T) :
k’(t) + (jus + p)k(t) =
= ¥ 0k(t))-cm(t)(f'(k(t-T))
+zn (0 -M- r(k(t - t), m(t - t))) - a(t) + //, (t), m'(t) = m(t)(f'(k(t - t)) + zn (t) -
~(M + P)~ r(k(t - t), m(t- t))) + щ (t) ;
в) в случае стандартных адаптивных ожиданий n\(f) = a(n(f) — пe(fj), или ш'е (t) + 7iе (t) = jt(t) при т = l/а :
k'(t) + cm'if) = sf (k(t)) - (jus + p)k t --cpm(f) - a(t) + t]x (t), m'(t)(l + m(t)D(k(t),m(t))) + +m(t)B(k(t), m(t))k’(t) =
= m t f k t/т t +zn t -
-(¿и + p)~ r(k(t),m(t)) + tj2 (t) ;
г) в случае адаптивных ожиданий m'e(t) + ne([t/r]r) = n(f)\
k'(t) + cm'(t) =
= sf (k(t)) - (jus + p)k(t) - cpm(t) - a(t) + т]г (t), m'(t)(\ + m(t)D(k(t),m(t))) + +m(t)B(k(t), m(t))k'(t) =
= m(t)(f'(k([t / + zn(t)
-(jU + p)~ r(k([t / r]r), m([t / r]r)) + rj2 (t).
Здесь и ниже используются следующие обозначения: Kn(t) и Ln(t) - номинальные уровни (уровни в денежном выражении в номинальных ценах) ОПФ и трудовых ресурсов в момент времени t: K(t) и L(t) - реальные уровни (уровни в денежном выражении в реальных ценах) ОПФ и трудовых ресурсов в момент времени t, K(t) = Кп (t)/ IV), L(t) = Ln (t)/ I’(i), где P(t) - номинальный уровень цен в стране в
момент времени /.(/ ) = L(0)ept. Соответственно определяем: Xn(t) - интенсивность воспроизводства номинального ВВП в стране в момент времени /; X (I) - интенсивность воспроизводства реального ВВП в стране в момент времени t; X(t) = Xn(t)/P(t). Полагаем, что X(t) = F(K(t),L(t)), где F(K,L) - дважды непрерывно дифференцируемая по всем аргументам линейно однородная неоклассическая ПФ. Справедливы равенства Xn (t) = F(Kn (t), Ln (t)) и Xn(t)!Ln(t) = X(t)!L(t) = F(k(t), 1) =
f(k(t)) - интенсивность (реальной) производительности труда в момент времени t, где k(t) = K(t)l L(t) = Кп (t) / Ln (t) - уровень (реальной) капиталовооруженности в момент времени t.
Заметим, что если ji - норма амортизации ОПФ в реальных ценах, то для нормы амортизации jin (t) в номинальных ценах справедливо равенство jun (f) = ju- n(f), где n(t) = P'(t)/P(t) - индекс изменения номи-
нального уровня цен (скорость, индекс, темп инфляции) в момент времени t. Действительно, если динамика реального уровня ОПФ описывается уравнением K'(t) + juK(t) = V(t), где V(l)
- интенсивность реальных валовых инвестиций в ОПФ в момент времени t, то замены K(t) = Kn(t)!P(t), V(t) = Vn(t)!P(t) приводят к уравнению К'п (0 + (ji - n(t))Kn (t) = Vn (t), где Vn(t) - интенсивность номинальных валовых инвестиций в ОПФ в момент времени t.
В основу модели для ОПФ взято макроэкономическое равенство X(t) + fj^l) = C(t) + V(t) + Ex(t) + (>v(l). где C(t) - интенсивность реального конечного непроизводственного потребления в момент времени /; Ex(f) -интенсивность реального чистого экспорта в момент времени /; Gv(t) - интенсивность реальных государственных закупок в момент времени t. Определим
ДО = са (0 + 4 (0 + 4 (0 + 4(0 - сУмма интенсивностей реального автономного конечного непроизводственного потребления, реальных автономных инвестиций, реального чистого экспорта и реальных государственных закупок в момент времени V. a(t) = A(t) / /,(/) ; fjY (•) и fj2 (•)
- неконтролируемые возмущения.
В основу модели для денежного рынка положены следующие обозначения и предположения: Mn(t) и М(1) - соответственно номинальный и реальный уровни (количества) де-
нежных запасов в стране в момент времени M(t)=Mn(t)/P(t); mn(t)=Mn(t)/L(t) и m(t)=M(t)/ L(t) - соответственно подушевые, удельные уровни (количества) номинальных и реальных денег (денег в номинальных и реальных ценах) в момент времени V. zn(t)=M'n(t)/Mn(t) и z(f)=M'(t)/M(t) -соответственно индексы роста номинальных и реальных денежных накоплений в стране в момент времени t, zn (t) = z(t) + n(f) ; rn (t) и r(t) -соответственно интенсивности ожидаемого номинального и реального удельного, подушевого притока денег на капитал в момент времени V. r(t) = rn(t)/P(t); Rn(t) и R(t) - соответственно интенсивности ожидаемого номинального и реального притока денег в стране в момент времени/; rn(t)=Rn(t)/L(t), r(t)=R(t)/L(t).
Величины rB (t) и r(t) определяются из равенства номинальных уровней спроса и предложения на деньги (из равенства спроса и предложения на номинальные деньги) в момент времени t:
Ms,n{t)=Mn{t)=MD,n(t) =
= LPn(Xn(f),Wn(f),Rn(f)), где функция номинального спроса на деньги LPn (•,•,•) является непрерывно дифференцируемой по всем аргументам, линейно однородной, Wn(t) = Kn(t) + Mn(t) И W(t) = K(t) + Mil) - соответственно номинальный и реальный уровни (уровни номинального и реального) благосостояния в стране в момент времени t.
Перейдем к относительным показателям:
mn(t) = Mn(t)/ Р t L t =
= LPn (Xn (f), Wn (f), Rn (t)) /(P(t)L t )
= lp(x(t),w(t),r t , где x(t) = f(k(l)) - интенсивность воспроизводства реального подушевого, удельного ВВП в реальных ценах в момент времени t; w(t) = k(l) + m(t) - реальный удельный, подушевой уровень благосостояния в стране в момент времени t.
Предполагается, что функция 1р( - , - , реального удельного, подушевого спроса на деньги возрастает по первым двум аргументам и убывает по третьему аргументу, причем d(Jp)/dw< 1. В таком случае существует неявно заданная функция г = г(к,т), причем дг/дк> 0, дг/дт< 0. В модели также предполагается зависимость r(t) = f'(k(t)) -
ll + Ke(t) + rj2(t),THQ ne(t) = PXt)!Pe(t) - индекс
изменения ожидаемого (номинального) уровня цен (ожидаемая скорость, ожидаемый индекс, ожидаемый темп инфляции) в момент времени t.
Используют несколько гипотез инфляционных ожиданий: а) «наивные», статические или стационарные ожидания того, что инфляционные ожидания всегда соответствуют действительной инфляции [43, л.8, 8.3, с.230; 45, гл. 10,
10.2.2, с.302], т.е. 7te(t) = 7t(t). В качестве варианта таких ожиданий рассматривают статические ожидания с лагом запаздывания г , т.е. ле (t) = 7i(t - г), или же (t + z) = n(t). В этом случае будем брать зависимость r(t) = f'(k(t)) -/и + ле(1 + т) + rj2{(). В дальнейшем оказывается, что эти два типа ожиданий приводят к одинаковой модели.
Рассматривают также следующие гипотезы об инфляционных ожиданиях: б) статические ожидания с лагом опережения г, т.е. пе (t) = n(t + г), или пе (t-r) = n(t); в этом случае берем зависимость r(t) = f'(k(t)) - ¡и + ле(I) + fj2{t); в) стандартные адаптивные ожидания того, что в каждый момент времени t скорость ожиданий ir'e(f) измеряется пропорционально ошибке наблюдения л(1) - ле(1), т.е. л'е (!) = a{n{f) - ле (!)), где а > 0 - коэффициент ожиданий, параметр адаптации (ожиданий) [18, 5.5, с.127; 43, л.2, 2.6, с.64-65, л.6, 6.5, с.189-190, л.8., 8.2, с.228]. Можно переписать это уравнение в виде тлКО + ле(0 = x(t), где т = \/а -лаг запаздывания ожидаемого индекса инфляции. И, наконец, рассмотрим гипотезу г) адаптивного ожидания вида тл'е(/) + ж,(|/7г \т) = л(1).
Далее введем уравнения для величины m(t) =Mn(t)/Ln(t) =Mn(t)/(P(t)L(t)) =
= M(t)/L(t).
Действительно, справедливы равенства m'(t)/m(t)=M'n(t)/Mn(t)--L'(t)l L(t)-P'(t)l P(t) =
= z„(t)-p-K(t),
откуда
m'(t) = m(t\zn(t)-p-n(t)).
Как показано в работе [18, 3.3, с.46-47], в случае «наивных» ожиданий ле (I) = л(/) = r{t) - f'(k(t)) + ju - ?7,(V) и получаем уравнение
m'(t) = m(t)(f'(k(t))+zn(t) -
~(Р + Р)~ r(k(f), + т]2 (0 .
В случае стационарных ожиданий ле(^) = л(^-т) и зависимости r(t) = f'(k(t)) -ц + л_(1) + rj2(t) приходим к такому же уравне-
нию. В случае стандартных адаптивных ожиданий из равенства r(t) = f'(k(t)) - и + 7Te(t) + rj2it) выводим
n(t) = m[(t) + ne(t) =
= T(r'(t) - f"(k(t))k'(t) - 77' (0) +
+04 0 - fXKt))+M-V2 (0) =
= rT (t) - (Tf"(k(f))k'(t) + f'(k(t))) - fj2 it) + Ц, где
rT it) = Tr\f) + r(t), fj2 (t) = Tfj’2 (t) + Jj2 (?) .
Вычислим
rT (t) = rr'(0 + 7-(0 =
Г dr dr ^
= t\ — k(t),m(t))k'(t)-\----(k(t),m(t))m'(t) +
V dk dm )
+r{k{t),m{t)).
Окончательно получаем
тг (/) = P'(t)/P(t) = B{k{f),m{t))k'{t)
+r(k(t),m(t)) - f'(k(t)) + ju-ïj2(t), где
B(k(t),m t (k(t\m(t)) - f"(k(t)) j ,
-Л
D(k(t),m(t)) = T—^—(k(t),m(t)) . dm
Подставим полученное выражение для
ж (t) в уравнение m'(t)l m(t) = zn(f)~ p-n(t), выведем уравнение
ти'(0(1 + m(t)D(k(t),m(t))) +
+m(t)B(k(t), m(t))k'(t) =
= m(t)(f’(k(t)) + zn(t)--(ju + p)~ r(k(t), m(t))) + r/2 (0 .
В случае адаптивных ожиданий вида
т’е(t) + !т\т) = л(1) аналогичное уравнение
примет вид
ти'(0(1 + m(t)D(k(t),m(t))) + +m(t)B(k(t), m(t))k'(t) =
= m(t)(f(k([t ! Ф)) + zn (0 -(p + p)~ -r(k([t/ т]т),т(Ц/ r]r))) + 772(0.
И, наконец, в случае статических ожиданий вида ne(t) = n(t + T) и зависимости
7Ге(0 = r(0~ +приходим к
уравнению
m’(t)=m(t)(f’(k(t-T)) +
+zn (0 - О + Р - - 7), mit - т))) + г/2 it) .
Для вывода первого уравнения модели используется зависимость С it) = cYv it) + Са if), где Yvif) = Xif)-p.K(f)+M'(f) - интенсивность реального располагаемого дохода (РРД) в момент времени /; с - предельная склонность к потреблению относительно РРД; s = 1—с - пре-
дельная склонность к сбережению относительно РРД.
Далее из макроэкономических равенств X{t) + й(0 = cYv{t) + V{t) + Ex{t) + Gv{t)
= cYv (t) + pK(t) + K'(t) + A(t), Yv{t)=X{t)-MK{t)+M\t) получаем, что
K\t) + pK(l) = X(t) - cYv (t) -A(t) + щ (t) =
= X(t) - c(X(t) - pK(t) +M’(t)) -A t + ff1(f) =
= sX(t) + jucK(t) - cM'(t) -A(t)~ rjY (0, откуда следует уравнение
K'(t) + psK{t) = sX{t) - cM'{t) - Д0 - //j (0. Переходим к относительным реальным показателям k (t), x(t ) = f (k(t)), a (t ) =
A(t)/L(t), 77i(0 = ?7| (0/^(0- В результате для динамики капиталовооруженности получим уравнение
¿'(0 + (jus + p)k{t) =
= sf (k(t)) - с(ти'(0 + pmi})) - a(t) + îjx (t),
или, по-другому,
kr(t)+cmr(t) =
= 5/(¿(0) - (/«• + p)k(t) - cpmit) - ait) + /7j (0 .
В случае статических ожиданий neit) = nit) это уравнение можно упростить (см., например, [18, 3.3, с.47]), подставив выражение для m'it) из другого уравнения. В итоге получим
k'(t) + {jus + p)k(t) = sf (k(t)) - cm(t)(f'(k(t)) + +^„ (t)-JU- rikit), 777(0) - ait) + 77j (0 •
В случае статических ожиданий neit) = nit-T) это уравнение может быть преобразовано к виду
k'(t) + (ps + p)k(t) = sf (k(t)) - cm{t){f'{k{t - t)) + +zn(t)-jU-r(k(t - t),mit - t)) -a(t) - (t).
3. Устойчивость модифицированных моделей
В предлагаемой статье методом модельных уравнений [1-3] исследованы на устойчивость некоторые модификации моделей экономики. Рассмотрим несколько примеров применения теоремы 3 из статьи [31] (см. также работы А.И. Башкирова [10, 11] и А.И.
Домошницкого с соавторами [16, 51]) для исследования устойчивости решений периодических линейных функциональнодифференциальных уравнений с последствием (ЛФДУП), возникающих при моделировании задач экономики.
3.1. Простейшая линейная модель динамики чистого валового продукта (ЧВП) с уче-
том запаздывания ввода индуцированных инвестиций
Модифицированная модель ЧВП может быть записана в виде уравнения
г7"(0 + Г(Р/ф)-рУ(0 = -рС(0, (>0.
Здесь Y ^) - интенсивность воспроизводства ЧВП в момент времени I, C ^) - интенсивность конечного непроизводственного потребления в момент времени ?, г - лаг запаздывания ввода реальных индуцированных инвестиций, р = 1/В - технологический индекс роста (темп прироста), B - мощность (коэффициент) акселератора, (приростная) капиталоемкость ЧВП, коэффициент инвестиций. В этой модели за основу берется макроэкономическое Т05ВДеСТВ0 7(/) = /(/) + ('(!), где 1(1) - интенсивность ввода реальных индуцированных инвестиций в момент времени I, причем величина инвестиций определяется будущим приростом ЧВП, т.е. имеет место зависимость типа акселератора с лагом т \ 1(0 = ВУ'Ц + т). Последнее равенство заменяем равенством
1(() = В(Гф/т]т)+¥"(()).
Докажем неустойчивость нулевого решения г - периодического линейного однородного уравнения второго порядка
тх”(0 + х'ф/т]т)-рх(0 = 0, (>0. (2)
Фундаментальные решения x1 и x2 уравнения (2) на отрезке [0,г],
удовлетворяющие соответственно начальным условиям хг (0) = 1, х[ (0) = 0, х2 (0) = 0 , х' (0) - 1. имеют вид х, (/) = сЫи!).
х2(0 = -1 /р сЬ(<тО + 1 /<Т8Ь(<гО +1 /р, где
<т = ^р/т .
Матрица монодромии Х(т)
эквивалентной двумерной системы имеет вид х!(г)
' ' (х[С) *!(<%)
где Х1(т) = сЬ(^тр) , х[(т) = С7^
х2(т) = -1/рсЪ(у[тр) +
+1/а в Ь(^тр) + Ир,
х'(г) = -1/^[тр 8Ъ(-^Тр) + сЪ(*{гр). Отсюда находим коэффициенты ах = И ^тр?,Ь(^тр)-2сЬ(у^ир)
и
а2= 1—Ъ(^тр)
характеристического уравнения Л, + ~ 0
для собственных чисел \ и Х2 матрицы Х(т).
Оба корня этого уравнения по модулю меньше единицы тогда и только тогда, когда выполнены неравенства (см., например, [15, гл. III, § 16, с. 190])
1 + а1+а2>0, \-а1+а2>\, 1-а2>0.
В нашем случае получается, что
1 + Я] + а2 = 2(1-сЪу[рт) < 0 , т.е. тривиальное
решение уравнения (2) неустойчиво.
3.2. Линейная модель Филлипса - Гудвина динамики ЧВП
Модифицированный вариант модели А. Филлипса и Р.М.Гудвина в обозначениях статьи принимает вид
7У'(0 + ШАТО = сУ (0+1(0+АО, />0.
Здесь в обозначениях примера 3.1 интенсивность индуцированных инвестиций I(:) определяется через линейный акселератор 1(0 = ВУ'(0 + 77(0 • где 7)(0 - неконтролируемое возмущение, T - лаг запаздывания воспроизводства ЧВП, с - предельная склонность к потреблению, A(t) = €а (0 + 4 у) +
Ех(0 + Оу(0 - сумма интенсивностей автономного потребления, автономных инвестиций, чистого экспорта и государственных закупок в момент времени t .
В этой модели за основу берется макроэкономическое тождество ^ ^) = C^) +
/(/) + Л'г(/)+(■;, (/). где Ув(0 - интенсивность спроса на ЧВП в момент времени /, ('(/) = сУ(1) - интенсивность индуцированного конечного непроизводственного потребления в момент времени t, c - предельная склонность к потреблению. Дифференциальное уравнение модели возникает в результате запаздывания воспроизводства ЧВП Y^) с лагом T по отношению к спросу на ЧВП ^ ^), а также вследствие эффекта акселерации.
Будем изучать при Т ф В экспоненциальную устойчивость тривиального решения Т - периодического линейного однородного уравнения первого порядка
(Т-В)У’(0 + У(и/Т]Т)-сУ(0 = 0, ¿>0. (3)
На отрезке [0,Г] фундаментальное решение Y1 этого уравнения определено формулой
ВД = 1/с - (1/с - 1)схр(с//(У - В)),
откуда
УГ(Т) = 1/с-(1/с-1)ехр(с77(Г-£)).
Проверка неравенства | )|<1
приводит к критерию: тривиальное решение уравнения (3) экспоненциально устойчиво тогда и только тогда, когда выполнено неравенство
T > B. Неустойчивость имеет место в случае
T < B.
3.3. Линейная односекторная модель динамики валового внутреннего продукта (ВВП) с равномерным способом начисления амортизации
Модифицированная модель динамики ВВП имеет вид
K'(t) + мК([ф = V(t) + A(t) + 77(0 ,t> 0 ■ (4)
Здесь K(t) - уровень ОПФ (производственного капитала) в момент времени t, ц -норма амортизации ОПФ, V(t) = aX(t) - интенсивность ввода реальных валовых инвестиций в ОПФ в момент времени t, а - норматив инвестиций в ОПФ, X(t)=vK(t) - интенсивность воспроизводства ВВП в момент времени t, v -капиталоотдача, A(t) - интенсивность автономных инвестиций в момент времени t, //(■) -неконтролируемое возмущение.
На отрезке [0,T] фундаментальное решение K1 уравнения (4) определено формулой Kx{t) = (1 - //(ûrv))exp(ürvO + ju/(av), откуда Àj(1 ) = (1 - //(ûtv))exp(av) + p/(av). Проверка неравенства | Kx(1)|<1 приводит к критерию: тривиальное решение уравнения (4) при V(t) = 0, A(t) = 0, 77(0 = 0
экспоненциально устойчиво тогда и только тогда, когда выполнено неравенство av< ¡и. Неустойчивость имеет место в случае av> ¡и. Нулевое решение устойчиво (но не экспоненциально) при av = /л.
3.4. Линейная односекторная модель Рамсея - Солоу - Свена (РСС) динамики ВВП с равномерным способом начисления амортизации
Модифицированная модель РСС в абсолютных показателях имеет вид
Kit) + juK([t]) = V(t) + 77(0 ,t> 0.
Здесь в обозначениях примера 3.3: K (t) -уровень ОПФ (производственного капитала) в момент времени t, ц - норма амортизации ОПФ, V(t) = sX(t) - интенсивность ввода реальных валовых инвестиций в ОПФ в момент времени t , s - предельная склонность к сбережению (инвестированию) по отношению к ВВП, X(t) = F(K(t), L(t)) - интенсивность воспроизводства ВВП в момент времени t, F(K,L) = аК + ЪЬ - линейная производственная функция, L(t)=L(0)exp(pt) - уровень трудовых ресурсов В момент времени t , 770 - неконтролируемое возмущение.
Модель РСС динамики ВВП с равномерным способом начисления амортизации в относительных, удельных показателях имеет вид
¿'(0 + М(0+рехр(-рйЖИ) =
= 5/(£(0) + 77(0, t> О, где /с(0 = К(1)! 1,(1) - капиталовооруженность (фондовооруженность), у(0 = Г(0/Д0 - ПОдушевые, удельные инвестиции,
пт = Е(Щ),Ь(0)/Ь(0 = аЩ)+Ъ
- производительность труда, ^} - дробная часть числа /, 77(0 = 77 (0/Д0 •
Запишем модель в виде периодического линейного уравнения первого порядка относительно капиталовооруженности Щ):
к’{ 0 + {р-яа)Щ) + )к(\!\) =
= + 77(0 , t> 0.
На отрезке [0,1] фундаментальное решение k1 (?) этого уравнения имеет вид: ку{ 0 = (1 - //(да))ехр((да - рУ) +
+ /У(.?а)ехр(-р0,
откуда
ку{\) = (1-//(да))ехр(да - р) + //(да)ехр(-/?).
Таким образом, экспоненциальная устойчивость тривиального решения уравнения будет при выполнении неравенства
1(1- //(да)) с\р(да - р)+ //(да) ехр(-/7) |< 1 . Неустойчивость нулевого решения будет иметь место при
1(1- //(да)) ехр(да - р) + //(да) с\р( р) |> 1, устойчивость (не экспоненциальная) - при |(1- //(да)) ехр(да - р) + //(да) ехр(-/?) |= 1.
В последнем случае однородное уравнение будет иметь периодические решения.
Рассмотрим несколько примеров
применения теоремы 4 из статьи [2] для исследования устойчивости решений
нелинейных периодических ЛФДУП,
возникающих при макромоделировании задач экономики.
Нелинейное скалярное функционально-дифференциальное уравнение
(¿хХ0 = (^х)(0+Д0, t>0
будем называть локально С—устойчивым в окрестности тривиального решения (будем говорить, что уравнение обладает локальным С -свойством), если существует такое > 0. что
для любой пары /(’, а ^ х Я. \\/\\К<30
| а \< д0 существует единственное решение хеС задачи Коши 1.x - /<х + /, х(0) = а, и это решение по норме C непрерывно зависит от {/, а} по норме ^ х к .
Здесь Lx - пространство измеримых и существенно ограниченных функций f : 00
с нормой
II / IL = vraisup | f{t) |,
t>a
С - пространство непрерывных и ограниченных функций и : |, оо R с нормой
II и llc= sup | u(t) I .
t>a
3.5. Нелинейная модель Филлипса - Гудвина динамики ЧВП
Модифицированный вариант модели А. Филлипса и Р.М. Гудвина в обозначениях статьи принимает вид
TY’(t) + Y([t/T]T) = cY(t)+I(t)+A(t), ¿>0.(5) Здесь в обозначении примеров 3.1 и 3.2: Y (t) - интенсивность воспроизводства ЧВП в
момент времени t; cY(t) - интенсивность индуцированного непроизводственного потребления в момент времени t; c - предельная склонность к потреблению; I(t) - интенсивность индуцированных инвестиций, которая в каждый момент времени t определяется через
нелинейный акселератор I(t) = Ф(7'(0) + ij(t); Ф(-) - непрерывно дифференцируемая функция нелинейного акселератора индуцированных инвестиций, причем Ф(0) = 0, dQ>/dY' > 0; ?](■) — неконтролируемое возмущение; T - лаг запаздывания воспроизводства ЧВП;
A(t) = Ca(t)+Ia(t) + Ex(t) + Gv(t)
- сумма интенсивностей автономного потребления, автономных инвестиций, чистого экспорта и государственных закупок в момент времени t.
В этой модели за основу берется макроэкономическое тождество Y) (t) = C(t) +
lit) + Ехit) + Gv(t), где Yd(t) - интенсивность спроса на ЧВП в момент времени t. Дифференциальное уравнение модели возникает в результате запаздывания воспроизводства ЧВП Y(t) с лагом T по отношению к спросу на ЧВП Y> (t), а также вследствие эффекта акселерации. Обозначим d<t>/dY' = В .
В окрестности нуля для уравнения (5) линейное однородное уравнение первого приближения имеет вид
(T-B)Y'(t)+Y([t/T]T)-cY(t) = 0, t> 0. (6)
В примере 3.2 установлено, что
тривиальное решение уравнения (6)
экспоненциально устойчиво тогда и только тогда, когда T > B. Тогда из работ А.И. Башкирова (см., например, [10, 11]) следует, что
функция Коши этого уравнения имеет
экспоненциальную оценку с отрицательным показателем. Отсюда следует, что
С— устойчивость уравнения (6) [1]. А значит, в силу теоремы 4 из статьи [2] уравнение (5) локально С—устойчиво в окрестности нулевого решения.
3.6. Нелинейная односекторная модель динамики ВВП с равномерным способом начисления амортизации
Модифицированная модель динамики ВВП имеет вид
K'(t) + MK([t]) = V(t) + A{t) + 77(0 ,t> 0. (7)
Здесь в обозначениях примера 3.3: K (t ) -уровень ОПФ (производственного капитала) в момент времени t ; /и - норма амортизации ОПФ; V(t) = aX(t) - интенсивность ввода реальных валовых инвестиций в ОПФ в момент времени t ; a - норматив инвестиций в ОПФ; X (t) = F (K (t)) - интенсивность воспроизводства ВВП в момент времени t ; /•’(■) - однофакторная непрерывно дифференцируемая производственная функция, причем F( 0) = 0,
dF/dK > 0 ; А(1) - интенсивность автономных инвестиций в момент времени t ; //(/) - неконтролируемое возмущение.
Обозначим dF/dK(0) = v. В окрестности нуля для уравнения (7) линейное однородное уравнение первого приближения имеет вид
K'(t) + juK([t])-avK(t) = 0, t> 0. (8)
В примере 3.3 установлено, что тривиальное решение уравнения (8) экспоненциально устойчиво тогда и только тогда, когда /i>av. Тогда из работ А.И. Башкирова (см., например, [10, 11]) следует, что функция Коши этого уравнения имеет экспоненциальную оценку с отрицательным показателем. Отсюда следует С—устойчивость уравнения (8) [1]. А значит, в силу теоремы 4 из статьи [2] уравнение (7) локально С—устойчиво в окрестности тривиального решения.
3.7. Неоклассическая нелинейная односекторная модель РСС динамики ВВП с равномерным способом начисления амортизации
Модифицированная модель РСС в абсолютных показателях имеет вид
K'(t) + juK( И) = V(t) + ?7(0 ,t> 0.
Здесь в обозначениях примера 3.4: K (t) -уровень ОПФ в момент времени t ; ц - норма амортизации ОПФ; V(t) = sX(t) - интенсивность ввода реальных валовых инвестиций в ОПФ в момент времени t ; s - предельная склонность к сбережению (инвестированию) по отношению к ВВП; X(t) = F(K(t), L(t)) - ин-
тенсивность воспроизводства ВВП в момент времени t; F(К, Г) - дважды непрерывно дифференцируемая линейно однородная производственная функция, причем 7^(0, Г) = 0 и ¡• (К.0) = 0, с!-/сК > 0 дР/дЬ > 0;
1.(1) = 1.(())ег‘ - уровень трудовых ресурсов в момент времени I \ 77(7) - неконтролируемое возмущение.
Модифицированная модель РСС динамики ВВП с равномерным способом начисления амортизации в относительных, удельных показателях имеет вид
к\Г) + рКо + /1схр(-р{() )к(\1\) =
= 4{Щ)) + Т1Ц), t> 0, (9)
где {} - дробная часть числа t,
77(0 = Щ)/Щ.
%
Пусть к - какое-либо 1 - периодическое решение уравнения (9) при некотором 1- периодическом измеримом и существенно
ограниченном возмущении г/*. Тогда функция х = к — к* является решением уравнения
х'(0 + /ск(0 + /7ехр(—7?{/})х([/]) =
= 5/(х(0+^*(0) +
+ 7*(0 - •?/(£*(0) - 77*(0, '>0. (Ю)
В окрестности тривиального решения уравнения (10) линейное однородное уравнение первого приближения имеет вид
х'(0 + (р-5/'(^*(0)Ж0 +
+ //ехр(-/?{?})х([?]) = 0, ?>0. (11)
Аналогично примеру 3.4 на отрезке [0,1] фундаментальное решение хх () этого
уравнения имеет вид
t
хх(0 = ехрО - р0 х
о
I г
Х(1-// ^Хр(-5 )й?г).
о о
Отсюда следует, что тривиальное решение уравнения (11) экспоненциально устойчиво тогда и только тогда, когда
выполнено неравенство
1 г
| Ц ^ехр(-5 ^\к* _ 1 К
0 0
1
< ехр{р - я {т))(1т).
о
В случае выполнения последнего
неравенства из работ А.И. Башкирова (см., например, [10, 11]) следует, что функция Коши этого уравнения имеет экспоненциальную
оценку с отрицательным показателем. Отсюда
следует С—устойчивость уравнения (11) [1]. А значит, в силу теоремы 4 из статьи [2] уравнение (10) локально С—устойчиво в окрестности тривиального решения.
Заметим, что существование
*
1 - периодического решения k можно получить с помощью теорем об интегральных или функционально-интегральных неравенствах (см., например, [3, 24]).
*
Пусть к - какое-нибудь положительное и ограниченное на [0,оо) решение уравнения (9) при некотором измеримом и существенно
*
ограниченном возмущении 77 . Введем отрезок
[а, В\, где а = тт&*(/) , /3 = тах&*(0. Тогда в
/>0 />0
окрестности тривиального решения уравнения (10) линейное однородное уравнение первого приближения имеет вид
(1х)(0 = х'(0 + {р - */'(** (0))*(0 +
+ ,«ехр(-/9{г1}МИ) = 0, t>0. (12)
Сопоставим уравнение (12) с
минорантным уравнением
{Ьтх){0 = х'{0 + {р-*ПР))х{0 +
+ /7ехр(-уО{?})х([?]) = 0, ?>0. (13)
Сопоставим уравнение (12) с
мажорантным уравнением
(£'ях)(0 = х'(0 + (р-^/'(«)Ж0 +
+ /7ехр(-р{?})х([?]) = 0, ! > 0. (14)
Нетрудно доказать, что если х^) - решение уравнения (12) при начальном условии х(0) = х0, то оно удовлетворяет двухсторонней
оценке хт(0 < х(0 < хтф . Здесь хт(0 -решение уравнения (13) при начальном условии хт(0) = х0т, хга(0 - решение уравнения (14) при начальном условии хт (0) = х'". Причем
х ^ х ^ хт
*^0 т — *^0 — *^0 •
Нужно установить, что уравнение (14) экспоненциально устойчиво.
В примере 3.4 установлено, что тривиальное решение уравнения (14) экспоненциально устойчиво тогда и только тогда, когда выполнено неравенство
|(1- /У(5/'(0Г))) ехр(5/'(«) - Р) +
+ /У(5/'(«))ехр(-р)|<1.
В случае выполнения последнего неравенства из работ А.И. Башкирова (см., например, [10, 11]) следует, что функция Коши уравнения (14) имеет экспоненциальную оценку с отрицательным показателем. Отсюда следует С — устойчивость уравнения (14) [1]. А решения этого уравнение оценивают решения уравнения (12). Отсюда следует С—устойчивость уравнения (12) [1]. Далее из сравнения функций Коши уравнения первого приближения (12) и
периодического мажоратного уравнения сравнения (14) в силу теоремы 4 из статьи [2] уравнение (10) локально С—устойчиво в окрестности тривиального решения.
Заметим, что существование
7 *
ограниченного решения k можно получить с помощью теорем об интегральных или функционально-интегральных неравенствах (см., например, [3]).
Историю вопроса об общем экономическом равновесии и современное состояние моделей экономического роста можно посмотреть в статьях [42, 50].
Работа выполнена при финансовой поддержке ЗАО «ПРОГНОЗ».
Список литературы
1. Азбелев Н.В., Симонов П.М.
Устойчивость уравнений с запаздывающим аргументом // Изв. вузов. Математика. 1997. № 6 (421). С. 3-16.
2. Азбелев Н.В., Симонов П.М.
Устойчивость уравнений с запаздывающим аргументом. II // Изв. вузов. Математика. 2000. № 4 (455). С. 3-13.
3. Азбелев Н.В., Симонов П.М. Устойчивость решений уравнений с обыкновенными производными. Пермь: Изд-во Перм. ун-та, 2001. 230 с.
4. Аллен Р. Математическая экономия. М.: ИЛ, 1963. 668 с.
5. Ашманов СА. Введение в математическую экономику. М.: Наука, 1984. 294 с.
6. Аткинсон Э.Б., Стиглиц Дж.Э. Лекции по экономической теории государственного сектора. М.: Аспект Пресс, 1995. 832 с.
7. Баркалов Н.Б. Производственные функции в моделях экономического роста. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1981. 128 с.
8. Бугаян И.Р. Макроэкономика. Ростов-н/Д: Феникс, 2000. 352 с.
9. Багриновский К.А. Модели и методы экономической кибернетики. М.: Экономика, 1973. 208 с.
10. Башкиров А.И. К вопросу об устойчивости уравнения с последействием с периодическими параметрами / Перм. политехн. ин-т. Пермь, 1983. 19 с. Деп. в ВИНИТИ 24.08.83, № 4605-83 Деп.
11. Башкиров А.И. Признак
экспоненциальной устойчивости уравнения с последействием и с периодическими параметрами // Дифференц. уравнения. 1986. Т.
22, № 11. С. 1994-1997.
12. Бергстром А.Р. Построение и применение математических моделей. М.: Прогресс 1970. 176 с.
13. Голиченко О.Г. Экономическое развитие в условиях несовершенной конкуренции: Подходы к многоуровневому моделированию. М.: Наука, 1999. 192 с.
14. Гранберг А.Г. Динамические модели народного хозяйства. М.: Экономика, 1985. 240 с.
15. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 472 с.
16. Домошницкий А.И. Возрастание вронскиана и свойства решений уравнения второго порядка с периодическими коэффициентами / Перм. политехи. ин-т. Пермь, 1983. 9 с. Деп. в ВИНИТИ 28.04.83, № 2250-83 Деп.
17. Д’Отюм А., Шараев Ю.В. Образование и эндогенный экономический рост: модель Лукаса: науч. докл. М.: ГУ ВШЭ, 1998. 34 с.
18. Занг В.-Б. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории. М.: Мир, 1999. 336 с.
19. Иванилов Ю.П., Лотов А.В. Математические модели в экономике. М.: Наука, 1979. 304 с.
20. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. М.: Прогресс, 1975. 607 с.
21. Кобринский Н.Е., Майминас Е.З., Смирнов А.Д. Экономическая кибернетика. М.: Экономика, 1982. 408 с.
22. Колемаев В.А. Математическая
экономика. 3-е стереотип. изд. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. 400 с.
23. Ланге О. Введение в экономическую кибернетику. М.: Прогресс, 1968. 208 с.
24. Мартынова М.И., Симонов П.М. Две теоремы о существовании периодических решений для нелинейного дифференциального уравнения запаздывающего типа // Краевые задачи: межвуз. сб. науч. тр. / Перм. политехн. ин-т. Пермь, 1991. С. 62-74.
25. Моделирование народнохозяйственных процессов / под ред. В.С.Дадаяна. М.: Экономика, 1973. 480 с.
26. Моделирование народнохозяйственных процессов / под ред. И.В.Котова. Л.: Изд-во Ле-нингр. ун-та, 1990. 288 с.
27. Накоряков В.Е., Гасенко В.Г. Математическая модель плановой макроэкономики // Экономика и мат. методы. 2002. Т. 38, № 2. С. 118-124.
28. Основы теории оптимального управления / под ред. В.Ф.Кротова. М.: Высш. шк., 1990. 432 с.
29.Перский Ю.К., Шульц Д.Н. Развитие представлений об иерархическом устройстве экономики в истории экономической мысли // Вестник Пермского университета. Сер. Экономика. 2013. Вып. 4. С. 13-19.
30. Пу Т. Нелинейная экономическая динамика. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. 200 с.
31. Симонов П.М. Теоремы об устойчивости обобщенных линейных периодических уравнений // Функционально-дифференц. уравнения: межвуз. сб. науч. тр. / Перм. политехи. ин-т. Пермь, 1986. С. 23-26.
32. Симонов П.М. Динамические математические модели с последействием в экономики и биологии // Обозрение прикл. и промышл. матем. 2002. Т. 9, вып. 3. С. 634-655.
33. Симонов П.М. О некоторых динамических моделях микроэкономики // Вестник ПГТУ. Математика и прикладная математика / Перм. гос. техн. ун-т. Пермь, 2002. С. 109-114.
34. Симонов П.М. О некоторых динамических моделях макроэкономики // Экономическая кибернетика: Математические и инструментальные методы анализа, прогнозирования и управления: сб. ст. / Перм. ун-т. Пермь, 2002. С. 213-231.
35. Симонов П.М. Об одном методе исследования динамических моделей // Развитие профессионального образования в XXI веке: сб. ст. / Перм. колледж экономики, статистики и информатики. Пермь, 2002. С. 135-144.
36. Симонов П.М.Исследование
устойчивости решений некоторых
динамических моделей микро- и макроэкономики // Вестник Пермского ун-та. Математика. Информатика. Механика / Перм. гос. ун-т. Пермь, 2003. С. 88-93.
37. Симонов П.М. Об одном методе исследования динамических моделей экономики (метод элементарных моделей) // Развитие экономико-математического моделирования: сб. ст. М.: Грант Виктория ТК, 2006. С. 77-94.
38. Симонов П.М. On a method of research of dynamic economic models // Известия Института математики и информатики Удмуртского государственного университета. 2006. № 3. С. 137-138.
39. Симонов П.М. Об одном методе исследования динамических моделей экономики (метод модельных уравнений) // Труды Братского государственного университета. Сер. Естественные и инженерные науки. 2006. № 2. С. 55-58.
40. Симонов П.М. Об одном методе
исследования динамических моделей экономики // VI Всесоюзная научная конференция «Математическое моделирование
развивающейся экономики, экологии и биотехнологии», ЭКОМОД-2011: сб. тр. /
ВятГУ. Киров, 2011. С. 347-353.
41. Симонов П.М. Об одном методе исследования динамических моделей микроэкономики // Вестник Пермского университета. Сер. Экономика. 2012. Спец. выпуск. С. 50-57.
42. Симонов П.М., Шульц Д.Н., Шульц М.Н. Эволюция теории общего экономического равновесия // Вестник Пермского университета. Сер. Экономика. 2012. Вып. 3. С. 32-38.
43. Смирнов А.Д. Лекции по макроэкономическому моделированию. М.: ГУ ВШЭ, 2000. 352 с.
44. Столерю Л. Равновесие и экономический рост (принципы макроэкономического анализа). М.: Статистика, 1973. 472 с.
45. Тарасевич Л.С., Гребенников П.И., Леус-ский А.И. Макроэкономика: учебник. 6-е изд., испр. и доп. М.: Высшее образование, 2008. 655 с.
46. Тинбэрхэн Я., Бос Х. Математические модели экономического роста. М.: Прогресс, 1967. 176 с.
47. Титов Н.И., Успенский В.К. Моделирование систем с запаздыванием. Л.: Энергия, Ле-нингр. отд-ние, 1969. 97 с.
48. Харрис Л. Денежная теория. М.: Прогресс, 1990. 751 с.
49. Шараев Ю.В. Теория экономического роста: учеб. пос. для вузов. М.: Изд. дом ГУ ВШЭ, 2006. 254 с.
50. Шульц Д.Н. Об ограничениях современной модели экономического роста России // Вестник Пермского университета. Сер. Экономика. 2011. Вып. 3. С. 37-44.
51. Agarwal R., Bohner M., Domoshnitsky A., Goltser Y. Floquet theory and stability of nonlinear integro-differential equations // Acta Math. Hungar. 2005. V. 109, № 4. P. 305-330.
52. Lucas R.E., Jr. On the mechanics of economic development // J. of Monetary Economics. 1988. Vol. 22, № 7. P. 3-42.
Uzawa H. Optimum technical change in an aggregative model of economic growth // Internat. Economic
