CC BY
69
М.Ю. Молчанова
РАЗДЕЛ II. ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
УДК 330.4:519.86:330.101.542
ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ МИКРОЭКОНОМИКИ *
П.М. Симонов, д. физ.-мат. наук, проф. кафедры информационных систем и математических методов в экономике
Электронный адрес: simonov@econ.psu.ru
Пермский государственный национальный исследовательский университет, 614990, г. Пермь, ул. Букирева, 15
Рассмотрены модификации некоторых моделей микроэкономики на основе введения вместо инерционных звеньев первого порядка инерционных звеньев первого порядка с кусочно постоянными запаздываниями. Изучается устойчивость некоторых модифицированных моделей микроэкономики.
Ключевые слова: динамические модели микроэкономики; инерционное звено с кусочно постоянным запаздываниям первого порядка; устойчивость модифицированных моделей.
1. Введение
Разнообразные явления окружающего мира представляют собой источники моделей, учитывающих не только настоящее состояние объекта исследования, но и существенно использующих предысторию его развития. Кроме того, возникают такие постановки задач, которые требуют построения и анализа моделей, учитывающих зависимость текущего состояние объекта от его будущих состояний. Для таких задач обыкновенные дифференциальные уравнения уже не являются удовлетворительной математической моделью. Более точное математическое описание в этом случае дают функционально-дифференциальные уравнения (ФДУ) с последействием (ФДУП).
Здесь для случая непрерывного распределенного запаздывания предложено использовать операторы Вольтерры, которые являются операторами Коши [1] некоторых элементарных ФДУП, возникающих в экономических задачах. Как известно [3, 17, 19] в динамических моделях экономики используют инерционные и дискретные запаздывания между входными и выходными процессами. При этом инерционные запаздывания первого порядка определяют бесконечно длящиеся переходные процессы, что не всегда адекватно реальным процессам. Нами предложено моделировать запаздывание между
входным и выходным процессом линейным дифференциальным уравнением (элементарной моделью) вида
Ту’(0 + у([1/Т]Т) = х(0, Г>0, (1) где Т - время (лаг) запаздывания (переходного процесса); [/Т] - целая часть вещественного числа t/Т; х(^ - входной процесс; у({) - выходной процесс. Ниже для простоты изложения будем считать все функции заданными при ^ > 0. В случае х(() = 1 и _у(0) = 0 решение уравнения (1) имеет вид у(€)~1!Т при
О < ^ < Г и ХО -1 ПРИ ^ > Т. Таким образом, переход из состояния 0 в состояние 1 происходит по линейной зависимости за время Т .
В монографии [16, с. 60] отмечено: «Имеется большое разнообразие способов начисления амортизации. В зависимости от принятого способа годовая норма амортизации может выбираться следующими способами: равномерно, если стоимость каждой единицы основных фондов возмещается равными долями в течение всего срока службы; прогрессивно, по нарастающей шкале; по убывающей шкале; по проработанному времени. На практике наиболее распространен равномерный способ начисления амортизации. Он наиболее прост и удобен в задачах учета и анализа хозяйственной деятельности. Однако непосредственное использование равномерной нормы амортизации в задачах математической экономики встречает некоторые затруднения. Это связано с тем, что при разно-
временных капиталовложениях и равномерном способе начисления амортизации невозможно записать динамику основных фондов в виде обыкновенного дифференциального уравнения».
Далее авторы приводят уравнение динамики основных производственных фондов (ОПФ), которое в принятых нами обозначениях имеет вид
K'(t)=I(t)-1uK(t), (2)
где K(t) - уровень ОПФ в момент времени t; I(t) - интенсивность валовых инвестиций в ОПФ в момент времени t; jLi - (постоянная) норма амортизации (выбытия) ОПФ за единицу времени.
В монографии [16, с. 60] также отмечено, что уравнение (2) «... приближенно реализует равномерный способ начисления амортизации. По сравнению с равномерным способом уравнение (2) приводит к несколько ускоренной амортизации».
Нами предложена линейная ФДУ равномерного способа начисления амортизации в виде
K’(t)=i(t)-MKm)- (3)
Как правило, норму /л определяют равенством fi = \!T, где Т - количество единичных временных промежутков. Величина T берется целочисленной и имеет смысл времени (лага) амортизации. В модели (3) при I(t) = 1 и К{0) = 0 на промежутке [0,1) амортизация не производится, поэтому ОПФ растут по линейному закону К(1) = I. Далее K(t) будет возрастающей кусочно линейной функцией, стремящейся на бесконечности к уровню T единиц ОПФ.
В книге [28, с. 66] приведен следующий перевод одной фразы из статьи М.Калецкого 1935 года [31]: «... никоим образом введение постоянного запаздывания не соответствует действительности; есть только средняя величина различных наблюдаемых продолжительностей периода запаздывания и система, в которой т есть постоянная величина, должна рассматриваться как простейшая модель действительности». В монографии [17, с. 41] отмечена необходимость использования в динамических моделях экономики переменного характера памяти о предыстории, влияющей на развитие системы и приводящей к принципиальному изменению характера развития процесса.
В статье с учетом моделей (1), (3) предлагаются модификации известных моделей микроэкономики. Первые статьи на эту тему были опубликованы в [26, 27].
Всюду ниже для простоты изложения будем считать все функции заданными при
t> 0. Кроме специально оговоренных случаев полагаем, что функции дифференцируемы столько раз, сколько это необходимо для вывода моделей.
2. Модификация известных моделей
2.1. Модель Вальраса - Эванса -Самуэльсона (ВЭС) рынка одного товара с учетом запаздывания цен спроса (2) и предложения (см., например, [3, гл. 1, 1.8, с. 3637; 4, Ч. II, гл. 2, § 7, с. 165; 5, гл. VI, § 2, с. 196-198; 8, гл. 2, 2.1, с. 18-19; 14, 2.4, с. 30-31;
19, Ч. II, гл. 7, 7.1, 7.1.2, с. 197-198; 32]). Модифицированная модель ВЭС такого вида может быть записана в виде системы
Т8Р’(1) + ВД/7Ж) = Рп( 0 + 7^(0,
твР'{і)+Рвтвїїв) =
= я [Е(Рв(0,адЛ('Ш0)] + %(0,
где р (ґ) - цена предложения товара в момент времени ґ; р (ґ) - цена спроса на товар в момент времени ґ; Т, Тв - лаги запаздывания; >11 (■). )/-,(■) - неконтролируемые возмущения; Н\■ | - функция чувствительности, скорости реакции или подстройки цены, //|0| = 0,
Н’> 0; Е(0=Е(Рв(0,адЛ('ШО) -
функция избыточного спроса, Л = I) — S. где 1) = 1X1),-1)',) - функция спроса (функция
взаимосвязи спроса и цены), причем
дО/дРв < 0, дО!дР'в < 0; 5 = ОД ,Р.’') -
функция предложения (функция взаимосвязи предложения и цены), причем д8/81\. > 0, дБ/дР^ > 0. Свойства функций II . I) и Л’ можно найти, например, в [4, Ч. II, гл. 2, § 7, с. 165; 14, 2.4, с. 30; 15, гл. 9, 9.2, с. 352-354; 20, гл.
5, 5.4, с. 220; 21, Ч. III, 12.3, с. 228; 23, гл. VI, §
19.1, с. 431, § 19.2, с. 437-438].
2.2. Модель ВЭС рынка одного товара с учетом запаздывания спроса от предложения, а также с учетом запаздывания цены спроса от цены предложения. В статье [22] предложен вариант модели ВЭС с тремя переменными и с тремя инерционными запаздываниями. Запишем модифицированный вариант модели в обозначениях нашей статьи:
ТШ)+ЄВ([^К)=Qs( 0+яСО,
Ш(о+а ([/яда=од(о)+%(о, адо+^([//тда=р0{і)+%(0, тАР'в (г)+рв ф/т4]т4) = д;1 (вв (0)+//ДО,
где О, (ґ) - текущий спрос на товар в момент времени ґ; ^ (ґ) - текущее предложение
товара в момент времени і; %(•), к = 1,4 -
неконтролируемые возмущения; T, k = 1,4 -лаги запаздывания; 1) 1 ((),,) = 1) 1 ((),,). если D+1(Qd)>0 , 1) '(Q„) = (). если D \Qd)< 0. Здесь D = D(P) - функция спроса, S = S(P) -функция предложения.
2.3. Модель Маршалла рынка одного товара с учетом запаздывания предложения и запаздывания цены предложения (см., например, [3, гл. 1, 1.8, с. 38-39; 14, 2.4, с. 3132]). Модификация модели А.Маршалла может быть записана в виде системы
ГЛ (0+Ps т ]Г,) = D1 (S(t))+ъ (t),
T2s\t)+S’([t/T2 ]T2)=H[D1 (S(t) - (0)] + % (0, где большинство обозначений аналогичны соответствующим обозначениям из примера 2.1. Кроме того, D~\S(t)) = PD(t) - цена спроса, определяемая из условия равновесия S(t) = D(Pd (t)).
2.4. Модель Аллена рынка одного товара с учетом запаздывания предложения и с зависимостью спроса и предложения от цены и скорости изменения цены (см., например, [3, гл.
1, 1.3, с. 25-27; 15, гл. 8, 8.9, Задача 1, с. 333334]). Модификация модели Р.Аллена может быть записана в виде системы
TS'(t) + S([t/T]T) = D(P(t),P'(t)) + 7,(0, 4>(P(t),P'(t)) = S(t)+ 17,(1), где D = D(P,P') - функция взаимосвязи спроса и цены, причем dD/dP < О, dD/dP' < 0 ;
Ч/= '11(/>./>') - функция взаимосвязи
предложения и цены, причем сНЧдР> О, дТ/дР' > 0.
2.5. Модель ВЭС рынка одного товара с учетом отклонения запаса от заданного уровня и с учетом запаздывания цены (см., например, [3, гл. 1, 1.7, с. 35-36; 8, гл. 2, 2.2, с. 21-22; 13, гл. 6, 6.3, п. 1, с. 193, п. 4, с. 198; 15, гл. 8, 8.9, Задача 3, с. 334; 32]). Модификация этой модели может быть записана в виде системы
TP\t) + P'(\i/T\T) = -H(QU)-QUY) + ,hU).
Q'{t) = -E{P{t\P'{t)) + il2{t\ где большинство обозначений аналогичны соответствующим обозначениям из примера 2.1. В частности, Е = Е(Р,Р') - функция
избыточного спроса, E = D—S, где D = D{P,P') - функция спроса, a S = S{P,F) -функция предложения; Q (t) - заданный
уровень запаса в момент времени t .
2.6. Модель ВЭС рынка нескольких товаров учетом запаздывания цен предложения и спроса (см., например, [4, Ч. II, гл. 2, § 7, с. 164-176; 14, 3.4, с. 51; 15, гл. 9, 9.2, с. 353-355,
9.7, 9.8, с. 381-389; 20, гл. 5, 5.4, с. 219-222; 21,
Ч. III, 12.3, с. 226-234; 23, гл. VI, § 19.1, с. 429437, § 19.2, с. 437-452]). Модификация этой модели для п товаров может быть записана в виде системы п пар уравнений вида
Т8ЛР8Л (0 + Р8Л ([^Д ) = Рол (0 + %л (О,
ТвлР^ + Р^1Твк\Твк) =
= нк [Е(Рв к (0, р'вл (Ґ), р8л (0, Р1к (0)] + (0,
где все обозначения аналогичны соответствующим обозначениям из примера 2.1.
2.7. Модель Видала - Вулфа (ВВ) объема сбыта одного товара в зависимости от расходов на рекламу (см., например, [13, гл. 1,
1.1, п. 4, с. 25-26, гл. 6, 6.1, п. 1, с. 183-184; 33]). Модификация этой модели для одного товара может быть записана в виде уравнения
7£'(0 + 0(\1Л\Т) = Н[АШ 1 -0(1)/М)\ + 77(0, где Q(ґ) - объем реализации товара в момент времени ґ; А(ґ) - интенсивность затрат на рекламу в момент времени ґ; М - уровень насыщения рынка данным товаром; Т - среднее время забывания потребителями информации о рекламируемом товаре. Все остальные обозначения аналогичны соответствующим обозначениям из примера 2.1, причем функция /У | <71 такова, что //|е/| = 0 при q < 0 .
2.8. Модель ВВ объема сбыта двух взаимодополняющих товаров в зависимости от расходов на рекламу (см., например, [13, гл. 1,
1.1, п. 5, с. 30, гл. 5, 5.4, с. 149-150; 31]). Модификация этой модели может быть записана в виде системы
тт)=#м(о(і ^-асо/мо]+т^о, тті)+о2(\іл2[і2) =
=я2[4(0(і ■-асомдаажг))]+%со,
где Q1(0 и Q2(ґ) - объемы реализации товаров в момент времени ґ. Все остальные обозначения аналогичны соответствующим обозначениям из примера 2.1, причем функции Ик [д] таковы, что Ик [д] = 0 при q < 0. Первый товар считается ведущим, т.е. второй товар необходим для потребления первого. Поэтому в модели сектор рынка второго товара ограничен контролируемой долей рынка первого товара. Эго означает, что на всех траектория модели при всех ґ > О должны выполняться неравенства 0< ^ (ґ)/М2
< й (0/М; <1.
2.9. Модель динамики уровня основных
производственных фондов (ОПФ,
производственного капитала) с учетом выбытия и запаздывания освоения инвестиций (см., например, [10, гл. 2, § 4, с. 87-88; 19, Ч. I, гл. 4, 4.2, с. 112-113; 24, гл. 2, § 2.4, с. 43-46]).
Модификация этой модели может быть записана в виде системы
Г(/)+//^(0 = ^(0+?71(0,
TV'(t) + V([t/T]T) = I(t) + ^(t), где K(t) - уровень ОПФ в момент времени t; V (t) - интенсивность ввода реальных
инвестиций в момент времени t; I(t) -
интенсивность выделения (запланированных) инвестиций в момент времени t \ /I — норма
амортизации, т - инвестиционный лаг.
В случае равномерного способа начисления амортизации первое уравнение модели примет вид
Kxo+MKm^io+^it).
2.10. Модель управляемого
производства в зависимости от поступающих заказов и заданного уровня запасов на складе [28, гл. 3, 3-3, с. 67-69]. Модификация этой модели может быть записана в виде уравнения
Tz"{t) + z'([t/T]T) + klk2z(t) =
= kxk^z(f) -AtjX(0 + 77(f).
Здесь z(t) - текущий уровень запасов продукции на складе в момент времени t, z(t) =
t
=/(.УС?) - лгСу))^ + ij\ (0, где x(t) -
о
интенсивность заказов на продукцию в момент времени t, y(t) - действующая
производительность или интенсивность выпуска продукции в момент времени t; z (t) -
заданный уровень запасов продукции на складе в момент времени t; x(l) = Tx\t) +
+ x([t/T]T) - k3x(t); кг, кг, къ -
положительные параметры модели. В модели предложена зависимость y(t) = k2(z(t)~z(t)) + + k3x(t) + г]2 (t) для планируемой
производительности выпуска продукции (интенсивности выпуска продукции) y (t) в момент времени t , а также запаздывание между действующей и планируемой
производительностью выпуска продуки, описываемое уравнением
Ty'(t) + y([t/T]T) = m + i7M
2.11. Модель формирования связанных установок поведения индивидов с учетом запаздывания. В работах [9; 18] приведены, а также аналитически и численно исследованы гомеостатические системы и структуры социально-экономических установок. Приведем модификацию одной модели из статьи [9]:
х'(0 = 4 (0 - <т,х, (0 -
-д
^(0-Х^л(0
гх(о+*лтжг)=х,«)+77,до, г=і, д.
Здесь xi (ґ) - уровень установки индивидов из і -й референтной группы; 4, як, сг,., д.,
уіг, Сі, , Тіг - неотрицательные параметры,
где Д - склонность к подражанию, лА - вес к -
п
той установки, 'У/Ч: = 1, а, - коэффициент
к=\
(вес) собственной значимости, В -коэффициент самоутверждения или
коэффициент силы инерции, уіг -
коэффициенты усреднения, 'Yj'n = 1 ,
C. -
коэффициент внушаемости, Ь, - навяз^іваем^іе извне установки, Т - лаг запаздывания влияния пред^ідущих значений і -й установки. Смысл основного уравнения модели состоит в том, что интенсивность изменения установки складывается их трех величин: интенсивности изменения
установки в сторону «большинства» («подражание», «социализация»), интенсивности инертности («индивидуализм»), интенсивности давления на установку индивида извне (воспитание, пропаганда, реклама и т.п.).
3. Устойчивость модифицированных моделей
Рассмотрим несколько примеров применения теоремы 3 из статьи [25] (см. также работы А.И.Башкирова [6;7] и А.И.Домошницкого с соавторами [12;30]) для исследования
устойчивости решений линейных периодических линейных ФДУП, возникающих при моделировании задач микроэкономики.
3.1. Линейная модель ВЭС рынка одного товара с учетом запаздывания цены. Модифицированная модель ВЭС имеет вид
Т1>"(1) + Р’(\і/ї\ї) = ЛЕ(Р(0) + г](1). (4)
где Р(ґ) - цена единицы товара в момент времени г ; Г > 0 - лаг запаздывания, ?](■) -
неконтролируемое возмущение, Л> 0 -
коэффициент чувствительности, скорости реакции или подстройки цены; Е(Р(ґ)) - функция
избыточного спроса в момент времени / , £■=£)—5”, где 0 = а—аР - функция спроса (функция взаимосвязи спроса и цены),
5” = -[I+ ЪР - функция предложения (функция взаимосвязи предложения и цены), причем все параметры а, Ъ и а и /? положительны.
Будем изучать экспоненциальную устойчивость нулевого решения
К
г=1
R
r=1
k=1
X (T ) =
Т - периодического линейного однородного уравнения второго порядка
ТЩ) + х{Щ]Т) + А{а+Ь)х^) = 0, t>0, (5)
описывающего отклонение х = Р-Р* цены Р от положения равновесия Р* = (а + /?)/(а + Ь) .
Фундаментальные решения х и х уравнения (5) на отрезке [0,Т], удовлетворяющие соответственно начальным условиям Хх (0) = 1, х1(0) = 0, х2(0) = 0 , х2(0) = 1, имеют вид
Х1(/) = С05(<Т/) ,
х2(0 = 1/(Л(а +й))со5(<т/) +
+1/сгзт(сг0 -1!{Л{а + Ъ)),
где а = ^Л(а + Ь)/Т .
Матрица монодромии X (Т)
эквивалентной двумерной системы имеет вид \(Т) х2(ТУ Л(Т) х2(Т)у где х, (Т) = совСсгТ), х, (Т) = -оттС сТ) , х2(Т) = 1 /(Л(а + й))со5(сгГ) +
+1/(7 зт(<т2’) - И(А(а + Ъ)), х2 (Т) = -а!(Л(а + Ъ)) 5т(<тГ) + сое(сгТ). Отсюда находим коэффициенты а1 = а!(Л(а + Ъ)) ып(ггг/) - 2 сое (сгТ)
и
а2= 1 - <у/(Л(а +Ь)) 5т(оТ) характеристического уравнения Л Ч- &2 0 для собственных чисел \ и Х2 матрицы X (Т).
Оба корня этого уравнения по модулю меньше единицы тогда и только тогда, когда выполнены неравенства (см., например, [11, гл. Ш, § 16, с. 190]):
1 + я1+я2>0, 1-я1+я2>1, 1-я2>0.
В нашем случае такая система неравенств имеет вид
соэ(сг'/') < 1, ч\п((т1' - ф) < НА, ч\п((т1) > 0, где
аТ = ^ЛТ{а + Ь), А = ^\ + Н{ЛТ{а + Ь)) ,
$,тф = НА, со$,ф = 1/^1 + ЛТ(а + Ь) . Отсюда получаем, что зоны экспоненциальной устойчивости положения равновесия модели (4) определены неравенствами
2лI + агсзт(\/А) < ^ЛТ(а + Ь) <
< 2я-/+2агс5т(1/Д), I или неравенствами
(2т + \)л < ^ЛТ(а + Ь) <
< (2т + Х)л + агс5т(Ш), т<г2+
3.2. Линейная модель ВЭС рынка одного товара с кусочно постоянным запаздыванием
цены предложения. Модифицированная модель ВЭС имеет вид
ПО = AE(P(t),P([t/T])T) + Ш (6)
где E = D — S, D(t) = a-aP{t), S(t) =
= ~/3 + bP([tlT]T); Л, T, а, Ъ, a, p -
положительные параметры.
Будем изучать экспоненциальную
устойчивость тривиального решения
Т - периодического линейного однородного уравнения первого порядка
х(0 + Abx([t/T]T) + Aax(t) = 0, t > 0, (7)
описывающего отклонение х = Р-Р* цены Р от равновесной цены /’" = (а + f3)Ka + h).
На отрезке [0,T] фундаментальное
решение X уравнения (7) определено равенством
X(t) = (1 + Ыа)схр(-/«0 -Ыа,
откуда
X(Т) = (1 + Ыа) ехр(-ЛаТ) - Ыа .
Так как параметры Я, Т, а и Ъ положительны, то неравенство X(T)<1 всегда выполнено. Итак, установили, что положения равновесия модели (6) экспоненциально устойчиво.
3.3. Линейная модель Маршалла рынка одного товара с учетом запаздывания предложения. Модификация модели А.Маршалла может быть записана в виде уравнения TS"(t) + S'dt/ТЮ = A(PD(t)-Ps(t)) + Ш (8) где большинство обозначений аналогичны соответствующим обозначениям из примера 3.1. Заметим только, что р (t) - цена спроса единицы товара в момент времени t , определяемая из условия равновесия S(t) = D(Pd (t)), Ps (t) - цена предложения единицы товара в момент времени t .
Найдем условия экспоненциальной устойчивости нулевого решения
Т - периодического линейного однородного уравнения второго порядка
Tx(t) + х(\ИТ\Г) + Л(а + b)/(ab)x(t) = 0, t>0,
описывающего отклонение x = S—Sf предложения S от равновесного предложения (положения равновесия) S* = (аЪ — /За)/(а + Ь) > >0.
Вывод этих условий аналогичен выводу условий примера 3.1. В нашем случае получается система неравенств
cos(o7-) < 1, sin(crJ’ - ф) < НА, sin(crJ’) > 0, где
аТ = ^AT(a + b)l(ab), А = *J\ + аЫ(ЛТ (а + Ь)),
sin ф = НА, cos ф = 1/л/1 + ЛТ (а + b)/(ab). Отсюда получаем, что зоны экспоненциальной устойчивости положения равновесия модели (8) определены неравенствами
І7ТІ + arcsin( 1//4) < ^AT(a + b)/(ab) <
< 2жІ + 2 arcsin(l/4), І є Z+ , или неравенствами
(2да + 1)ж < AT (a + b)/(ab) <
< (2m + Y)n + arcsin(l/4 ),meZ+.
3.4. Линейная модель Аллена рынка одного товара с учетом запаздывания предложения. Модифицированная модель P.Аллена имеет вид
TS'(t) + SflY/TF) = D(t) + 77(0, (9)
где P(t) - цена единицы товара в момент времени t; '/' > 0 - лаг запаздывания
предложения, //(•) - неконтролируемое
возмущение; D = a—aP - функция спроса (функция взаимосвязи спроса и цены); S' = +ЬР - функция предложения (функция взаимосвязи предложения и цены); причем все параметры а, b и а и /3 положительны.
Будем изучать экспоненциальную устойчивость тривиального решения Т - периодического линейного однородного уравнения первого порядка
Tbx(t) + bx(\tlT]T) + ax(t) = 0, і > 0. (10)
описывающего отклонение x = S—S предложения S от равновесного предложения (положения равновеси) S* — (аЬ-аД)/(а + Ь) > >0.
На отрезке [0,T] фундаментальное решение X уравнения (І0) определено формулой
X{t) = (1 + Ыа)exp(~at/(bT)) -Ыа,
откуда
X(Т) = (1 + Ыа)ехр(—а!Ъ) -Ыа.
Так как параметры a и b положительны, то неравенство X(T) < 1 всегда выполнено. Итак, установили, что положения равновесия модели (9) экспоненциально устойчиво.
3.5. Линейная модель ВВ объема сбыта одного товара в зависимости от расходов на рекламу. Модификация этой модели для одного товара может быть записана в виде уравнения
Т0'(1) + 0(\1/Т\Т) =
= AA(t)(l-Q(t)/M) + rj(t), где Q(t) - объем реализации товара в момент времени t; A(t) > 0 - интенсивность затрат на рекламу в момент времени t ; M >0 - уровень насыщения рынка данным товаром; T >0 -среднее время забывания потребителями информации о рекламируемом товаре. Все остальные обозначения аналогичны
соответствующим обозначениям из примера З.І.
Кроме всего прочего, будем предполагать, что А(■) - периодическая функция с периодом Т .
Найдем условия экспоненциальной
устойчивости нулевого решения
Т - периодического линейного однородного уравнения первого порядка
Т0’(О+ДОГЮ + г(00(0 = о, / > о, (11)
где гЦ) = ААЦ)/М.
На отрезке [0,Т ] фундаментальное решение а уравнения (11) определено формулой
exp
й (0 =
1-^Jexp ^~\(т)а1т
Т
О /V о о
Отсюда видим, экспоненциальная устойчивость тривиального решения уравнений (11) имеет место тогда и только тогда, когда выполнено неравенство
( Л Т \ А Т ~ ~
1<exp
^-[(s)ds U^Jexp ^-[(r)d
'у* 0 I -L Г\ Л
о L о
Критерий неустойчивости имеет вид
f 1 1
1 > ехр
/
о
При
(1 т
1 = ехр
1 т ) іг Г іf
-]f(s)ds +- Jexp -\-(T)dr
r\ I -L r\ -L r\
d s .
d s
^]г(5)й?5 +1|ехр ^-j^(т)dт ds
о ) о |_ О _
в модели возникают периодические процессы.
3.6. Линейная модель динамики уровня ОПФ с равномерным начислением амортизации. Модификация этой модели может быть записана в виде уравнения
^'(0 + /Ж(И) = Г(0 + ?7(0, (12)
где К(0 - уровень (объем) ОПФ в момент времени t; V(0 - интенсивность ввода
реальных валовых инвестиций в ОПФ в момент времени / : /и - норма выбытия (износа,
амортизации), Т)(-) - неконтролируемое
возмущение, ^] - целая часть вещественного числа t.
На отрезке [0,Т] фундаментальное решение К1 уравнения (12) определено формулой К1 (I) = 1 - /й. откуда /Г, (1) = 1 - //. Так как 0 < // < 1, то тривиальное решение модели (12) всегда экспоненциально устойчиво.
3.7. Модель управляемого производства в зависимости от поступающих заказов и заданного уровня запасов на складе. Модификация этой модели может быть записана в виде уравнения
Тг”(0 + г'([ИТ]Т) + кхк2г(/) =
= к1к21( 0 - кхх( 0 + 77(0.
Здесь z(t) - текущий уровень запасов продукции на складе в момент времени t; где x(t) -интенсивность заказов на продукцию в момент времени t; y(t) - действующая
производительность или интенсивность выпуска продукции в момент времени t; z (t) - заданный уровень запасов продукции на складе в момент времени I ; x(l) = Tx'(t) + х(\ИТ\Г) - - k3x(t), t > О; Л- . кх, к\ - положительные параметры модели. В модели предложена зависимость для планируемой производительности выпуска продукции (интенсивности выпуска продукции) в момент времени t , а также запаздывание между действующей и планируемой производительностью выпуска продукции, описываемое уравнением
mo+уФ/гю = т+ъ«х t>o.
Найдем условия экспоненциальной устойчивости нулевого решения
Т - периодического линейного однородного уравнения второго порядка
Tz"(f) + z'([t/T]T) +k1k2z(t) = 0,t>0. (13)
Вывод этих условий аналогичен выводу условий примера 3.1. В нашем случае получается, что зоны экспоненциальной устойчивости тривиального решения модели (13) определены неравенствами
2л1 + arcsin( 1//4) < yfkT <
< 2nl + 2 arcsin(lA4), I e Z+, или неравенствами
(2т + \)ж < л[кТ <
< (2m + Y)7t + arcsin(l/А), in ■ Z .
где A = ф + H(kT) .
3.8. Нелинейная модель ВЭС рынка одного товара с кусочно постоянным запаздыванием цены предложения.
Модифицированная модель ВЭС имеет вид
P’(t) = H[E(P(t),P([t/T]T))] + Ш (14)
где Т > 0 - лаг запаздывания цены предложения; //(■) - неконтролируемое возмущение, Н\ \ -непрерывно дифференцируемая функция чувствительности, скорости реакции или подстройки цены, /7[0] = 0, Н’> О, Н'(0) = Л > > 0; E(t) = D(t) — S(t) - функция избыточного спроса в момент времени t, где D(t) = D(P(t)) - непрерывно дифференцируемая функция спроса в момент времени t (функция взаимосвязи спроса и цены в момент времени t), причем 8D/BP <0, 5(0 = S(P([t/T]T)) -
непрерывно дифференцируемая функция предложения в момент времени t (функция взаимосвязи предложения и цены в момент времени t), причем dS/SP > 0 .
Предположим, что уравнение (14) имеет единственное положение равновесия Р* > 0. Обозначим (д1)1дР)(Р' ) = -а, (881дР)(Р' ) = Ь.
Линейное однородное уравнение первого приближения имеет вид
х(0 + ЛЬх(Щ]Т) + Лах(Г) = 0, / > 0, (15)
где х = Р-Р* - отклонение цены Р от равновесной цены Р*. В примере 3.2 установлено, что тривиальное решение уравнения (15) экспоненциально устойчиво. Тогда из работ А.И.Башкирова (см., например, [6, 7]) следует, что функция Коши этого уравнения [1] имеет экспоненциальную оценку с отрицательным показателем. Отсюда следует С — устойчивость уравнения (15). А значит, в силу теоремы 4 из статьи [2] уравнение (14) локально С —устойчиво в окрестности положения равновесия.
3.9. Нелинейная модель Аллена рынка одного товара с учетом запаздывания предложения. Модифицированная модель Р. Аллена имеет вид
75"(0 + 5([//Г]Г) = £>(Р(0) + 77(0, (16)
где Р^) - цена единицы товара в момент времени ?; Т> 0 - лаг запаздывания
предложения; //(•) - неконтролируемое
возмущение; О(^) = _О(Р(0) - непрерывно
дифференцируемая функция спроса в момент времени I (фунция взаимосвязи спроса и цены в момент времени / ). причем 81)/дР < 0. 8(1) = S(P(t)) - непрерывно дифференцируемая
функция предложения в момент времени t (функция взаимосвязи предложения и цены в момент времени I), причем дБ/8Р > 0 .
Предположим, что уравнение (16) имеет единственное положение равновесия S > 0 и Р > 0. Обозначим (81)18Р)(Р) = -а, (дБ/дРХР* )=Ь.
Линейное однородное уравнение первого приближения имеет вид
7Ъх(() + Ьхф/Т]Т) + ах(() = 0, / > 0. (17)
где х = 8—8 - отклонение предложения 5 от от равновесного предложения (положения равновесия) S . В примере 3.4 установлено, что тривиальное решение уравнения (17) экспоненциально устойчиво. Тогда из работ А.И.Башкирова (см., например, [6, 7]) следует, что функция Коши этого уравнения [1] имеет экспоненциальную оценку с отрицательным показателем. Отсюда следует С —устойчивость уравнения (17). А значит, в силу теоремы 4 из статьи [2] уравнение (16) локально С —устойчиво в окрестности положения равновесия.
Список литературы
1. Азбелев Н.В., Симонов П.М. Устойчивость уравнений с запаздывающим аргументом // Изв. вузов. Сер. Математика. 1997. N° 6 (421). С. 3-16.
2. Азбелев Н.В., Симонов П.М. Устойчивость уравнений с запаздывающим аргументом. II // Изв. вузов. Сер.: Математика. 2000. № 4 (455). С. 3-13.
3. Аллен Р. Математическая экономия. М.: ИЛ, 1963. 668 с.
4. Ашманов С.А. Введение в математическую экономику. М.: Наука, 1984. 294 с.
5. Багриновский К.А., Матюшок В.М. Экономико-математические методы и модели (микроэкономика). Изд. 2-е, переб. и доп. М.: Изд-во РУДН, 2006. 221 с.
6. Башкиров А.И. К вопросу об устойчивости уравнения с последействием с периодическими параметрами / Перм. политехн. ин-т. Пермь, 1983. 19 с.
7. Башкиров А.И. Признак экспоненциальной устойчивости уравнения с последействием и с периодическими параметрами // Дифференц. уравнения. 1986. Т. 22, № 11. С. 1994-1997.
8. Бергстром А.Р. Построение и применение математических моделей. М.: Прогресс, 1970. 176 с.
9. Гаврилец Ю.Н., Карташева А.В. Модель формирования связанных установок при активном участии индивидов // Мат. и компьютер. моделирирование соц.-экон. процессов: сб. ст. / под. ред. Ю.Н.Гаврильца; ЦЭМИ РАН. М., 1997. С. 8-26.
10. Гранберг А.Г. Динамические модели народного хозяйства. М.: Экономика, 1985. 240 с.
11. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 472 с.
12. Домошницкий А.И. Возрастание вронскиана и свойства решений уравнения второго порядка с периодическими коэффициентами. Пермь, 1983. 9 с.
13. Дыхта ВА., Самсонюк О.Н. Оптимальное импульсное управление с приложениями. М.: Физматлит, 2000. 256 с.
14. Занг В.Б. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории. М.: Мир, 1999. 336 с.
15. Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике. М.: Мир, 1964. 839 с.
16. Китайгородский В.И., Котов В.В. Моделирование экономического развития с учетом замещения невозобновляемых энергетических ресурсов. М.: Наука, 1990. 166 с.
17. Кобринский Н.Е., Кузьмин В.И. Точность экономико-математических моделей. М.: Финансы и статистика, 1981. 256 с.
18. Ковалев Д.А. Компьютерный анализ динамики установки с запаздыванием // Мат. и
компьютер. моделир. социально-эконом. процессов: сб. ст. / под. ред. Ю.Н.Гаврильца. ЦЭМИ РАН. М., 1997. С. 27-32.
19. Колемаев ВА. Математическая экономика. 3-е стереотип. изд., М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. 400 с.
20. Лакшмикантам В., Лила С., Мартынюк АА. Устойчивость движения: метод сравнения. Киев: Наукова думка, 1991. 248 с.
21. Ланкастер К. Математическая экономика. М.: Советское радио, 1972. 464 с.
22. Неймарк Ю.И., Островский А.В.
Дифференциальные экономические модели типа Самуэльсона // Вестн. ННГУ. Сер.: Мат.
моделирование и оптим. управление. Н.Новгород: Изд-во Нижегор. ун-та, 1999. Вып. 1 (20). С. 123-129.
23. Никайдо X Выпуклые структуры и математическая экономика. М.: Мир, 1972. 519 с.
24. Основы теории оптимального
управления / под ред. В.Ф.Кротова. М.: Высш. шк., 1990. 432 с.
25. Симонов П.М. Теоремы об устойчивости обобщенных линейных периодических уравнений // Функцион.-дифференц. уравнения: межвуз. сб. науч. тр. / Перм. политехн. ин-т. Пермь, 1986. С. 23-26.
26. Симонов П.М. О некоторых
динамических моделях микроэкономики // Вестн. ПГТУ. Математика и прикладная математика / Перм. гос. техн. ун-т. Пермь, 2002. С. 106-116.
27. Симонов П.М. Исследование
устойчивости решений некоторых динамических моделей микро- и макроэкономики // Вестн. Пермского ун-та. Математика. Информатика. Механика / Перм. гос. ун-т. Пермь, 2003. С. 88-93.
28. Титов Н.И., Успенский В.К. Моделирование систем с запаздыванием. Л.: Энергия, 1969. 97 с.
29. Шешукова Т.Г., Сергеева Н.В.
Формирование системы показателей для оценки эффективности научной деятельности // Экономический анализ: теория и практика. 2012. № 4. С. 53-63.
30. Agarwal R., Bohner M., Domoshnitsky A., Goltser Y. Floquet theory and stability of nonlinear integro-differential equations // Acta Math. Hungar. 2005. Vol. 109, № 4. P. 305-330.
31. Dorroh J.R., Ferreyra G. A Multistate, multicontrol problem with unbounded controls // SIAM J. Contr. and Optim. 1994. Vol. 32, № 5. P. 1322-1331.
32. Kalecki M. On macrodynamic theory on bisness cycle // Econometrica. 1935. Vol. 3. P. 327-344.
33. Samuelson PA. The stability of equilibrium comparative statics and dymanic // Econometrica. 1941. Vol. 9. P. 97-120.
34. Sethi S.P., Thomson G.I. Optimal control theory. Application to management science. USA. Boston, 1981. 370 p.
