Об одном классе смешанных абелевых групп Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.541

П.А. Крылов, Е.Г. Пахомова, Е.И. Подберезина ОБ ОДНОМ КЛАССЕ СМЕШАННЫХ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, гранты Ns 97-01-00795 и 96-15-96095. Рассматриваются условия конечности для одного класса смешанных абелевых групп.

В последнее время возрос интерес к смешанным абелевым группам и их кольцам эндоморфизмов. Согласно определению смешанной группы, такая группа содержит как ненулевые элементы конечных порядков, так и элементы бесконечного порядка. В ряде статей рассматривались смешанные абелевы группы, лежащие между суммой и произведением своих p-компонент. Чтобы дать точное определение таких групп - основного объекта изучения в нашей статье, приведем некоторые определения и обозначения.

Все группы, встречающиеся в статье, - абелевы. Буква р обозначает простое число. Если К - группа, то Ар -ее p-компонента, т.е. наибольшая подгруппа в А, являющаяся р-группой. Далее, Т(А) - периодическая часть группы А - совокупность всех ее элементов конечного порядка. Известно, что Т(А)® А . Считаем, что А- ре-

р

дуцированная смешанная группа, имеющая бесконечное число отличных от нуля р-компонент.

Назовем SP-группой такую группу А, что естественное вложение Ф А -> А продолжается до сервантного

р р

вложения A -»J"[ Ар. Тогда для SP-группы А можно

р

считать, что Ф Ар с А с Ар, причем А сервантна в

р р

Y\Ap. Здесь и далее подразумевается, что р пробегает

р

множество всех простых чисел, относящихся к А, т.е. множество всех р, для которых Ар*0. SP-группы изучались или появлялись в [1-5].

Основной результат §1 - теорема 1.5 - содержит характеризации самомалых SP-групп. В §2 показывается, что каждую SP-rpynny можно наделить структурой модуля над некоторым (довольно специфическим) кольцом. Это дает другие средства для изучения SP-групп (теорема 2.2).

Пусть А - группа. Тогда FXA) - кольцо ее эндоморфизмов; г(А) - ранг группы А; Ф А - прямая сумма 91 копий

я

группы А (91- некоторое кардинальное число); N- множество натуральных чисел; Z - кольцо целых чисел; Q - аддитивная группа (или поле) рациональных чисел. Группа А называется ограниченной, если порядки ее элементов ограниченны в совокупности.

§1. Условия конечности для SP-rpynn

Лемма 1.1 [5]. Следующие свойства смешанной группы А эквивалентны:

1) для каждого р имеет место прямое разложение А=АР®ВР для некоторой группы Вр срВр=Вр,

2) справедливы сервантные вложения ФЛ.сЛс

р

сПА? ,т.е. А - SP-rpynna;

р

3) справедливы вложения Ф Ар с А с ]""[ Ар и А/ЦА) -

р р

делимая группа.

Класс всех SP-групп необозрим. Для получения содержательных результатов рассмотрим некоторые условия типа конечности. Для группы А положим EfA) Hom(i4, 1\А)), Ef(A)={aeE(A) \ аА содержится в сумме конечного числа компонент Ар} и ЕЬ(А) = {ае(А) | аА -ограниченная группа}. Здесь Е{А), Е/А) и ЕЬ(А) - идеалы кольца Е(А), причем Eb(A)cEj{A) сЕ,(А).

Пусть F - свободная подгруппа SP-группы А, порожденная максимальным независимым множеством ее элементов бесконечного порядки Подгруппу F назовем существенной свободной подгруппой группы А. Отметим, что A/F - периодическая группа. Для каждого р по лемме 1.1 имеем А=Ар®Вр с рВр=Вр, где слагаемое Вр находится однозначно. Обозначим через пр проекцию А-*АР с ядром Вр.

Лемма 1.2. Делимость p-компоненты фактор-группы AJF равносильна делимости фактор-группы AMpF.

Доказательство. Предположим, что р - компонента фактор-группы А/F является делимой группой. Тогда для каждого neN имеем p\A/F)=A/F или pnA+F=A. Запишем А=Ар®Вр. Тогда pnAp+pnBp+F=Ap®Bp и pnAp+Bp+F=Ap+Bp и для аеАр получаем a=p"a+b„+cm где а„еАр, ЬпеВр, c„eF. И далее, л/а)=лДр 'Ь^уы^Сп) или а.=р”а„Щсп). Это означает, что Ap=p”Ap+n.pF. Следовательно, A/UpF - делимая группа.

Пусть AAipF - делимая группд Из доказанного видно, что нужно установить справедливость равенства рпАр+Вр+ +F=Ap+Bp для любого neN. Для этого достаточно, чтобы Af/zp"Ap+Bp+F. Имеем Ap=pn+TipF. Осталось проверить, что npFcJBp+F. Возьмем элемент ceF и представим с+а+6, где а еАр, ЬеВр. Тогда лДс)=7сДа)=а, с=п^с)+Ь, п^с)=п--b+ceBp+F. Значит, itpFcBp+F, чем доказательство леммы закончено.

Предложение 1.1. Следующие свойства SP-группы А эквивалентны:

1) Е{А)=Е/А);

2) выполняется естественный изоморфизм

Нот(/4, Т(А)) = ф Нот(Л, FJ;

р

3) если М- периодический эпиморфный образ группы Я, то А/ есть прямая сумма делимой группы и конечного числа редуцированных р-групп;

4) для каждой существенной свободной подгруппы F группы А фактор-группа A/itpF делима при почти всех р.

Доказательство. Свойства 1) и 2) эквивалентны всегда.

1)=> 3). Допустим напротив, что нашлась подгруппа G

такая, что — = Ф С, Ф V, где С, - редуцированная р,-груп-G '=1

46

па (pi - различные простые числа), V - дополнительное слагаемое. Имеем Ар 0, поскольку в противном случае

рА -А и pkAIGjrAIG, что невозможно.

Для каждого / существует ненулевой гомоморфизм у,: С, —> Ар/. Пусть \|/ - гомоморфизм АЮ-+1\А), сов-па-

дающий с у, на С, и аннулирующий V , a tvA-^AIG - канонический эпиморфизм. Тогда ц/пеЕ^А), но щеЕ/А), что противоречит 1).

3) => 4). Возьмем некоторую существенную свободную подгруппу F группы А. На основании 3) почти все р-компоненты группы A/F делимы. Учитывая лемму 1.2, получаем 4).

4) => 1). Предположим существование такого <р 6 еЕЦА), что (рг£/Л). Тогда образ <рА будет суммой бесконечного числа ненулевых редуцированных /мрупп. Из /4/кегср=фЛ следует, что то же верно для Л/kercp. Ядро кепр содержит некоторую существенную свободную подгруппу F группы А. Поскольку Atкепр является гомоморфным образом группы А/F, то последняя также имеет бесконечно много ненулевых редуцированных /ькомпо-ненг. Но ввиду леммы 1.2 и 4) это невозможно. Значит, 1) выполняется. Предложение доказано.

В книге [2] сформулирована такая проблема 44 -«Исследовать группы А со следующим свойством: если А содержится в прямой сумме редуцированных групп, то существует neN такое, что пА содержится в прямой сумме конечного числа этих групп». Следуя [6], группы со свойством, описанным в проблеме 44, назовем Фукс-44 группами.

Предложение 1.2. Пусть А - SP-группа. Следующие утверждения эквивалентны:

1) Е£А)=Еь(А);

2) E/(A)=Ej(A) и каждая компонента Ар - ограниченная группа;

3) если М - периодический эпиморфный образ группы А, то М есть прямая сумма делимой и ограниченной групп;

4) А является Фукс-44 группой;

5) для каждой существенной свободной подгруппы F группы А равенство npF=Ap верно для почти всех р и каждая Ар - ограниченная группа.

Доказательство. 1)=>2). Компонента Ар совпадает с образом проекции пр:А-+Лр. Значит, преЕь(А) и Ар-ограниченная группа. Из ЕЬ(А)с£/Л )<^Е£А) и 1) получаем E£A)=Ej(A).

2) => 3). Пусть подгруппа GcA такова, что AJG - периодическая группа. Ввиду предложения 1.3 можно написать A/G-D®Mi®...@Mk, где D - делимая группа, Мк - редуцированные р-группы. Положим Т=ЦА). Из 2) и изоморфизма (G+T)/G=T/(Gf\7) выводим ограниченность каждой p-компоненты группы (G+T)/G. Рассмотрим еще один изоморфизм (A/G)/(G+T)/G= =A/(G+T). Группа, стоящая здесь справа, является делимой периодической в силу того, что A/G - периодическая, а отделимая группы (лемма 1.1). Отсюда понятно, что редуцированные части p-компонент группы А/G, т.е. группы Mi,...Мк, должны быть ограниченными, что дает 3).

Равносильность 3) и 4) для произвольной группы А установил А.В. Иванов [6, теорема 1.3].

3)=> 5). Каждая группа Ар является ограниченной как периодический эпиморфный образ группы А. Возьмем некоторую существенную свободную подгруппу F группы А. По предложению 1.1 Apl^pF- делимая группа для почти всех р. Вместе с ограниченностью групп Ар это влечет Ap/npF^ 0 и npF=Ap для почти всех р.

5)=> 1). Пусть аеЕЦА). По предложению 1.1 аеЕ/А), т.е. аА лежит в сумме конечного числа слагаемых Ар Но все Ар- ограниченные группы. Откуда аА - ограниченная группа и аеЕ^А). Предложение доказано.

Модуль А над некоторым кольцом называется малым, если для каждого гомоморфизма а: А -*■ Ф Сп где С, -

/е/

произвольные модули, существует конечное подмножество Jczl со свойством а А а.® С,. Малые абелевы группы

igJ

совпадают с конечно порожденными группами. Чтобы получить более широкое понятие, условимся малой группой называть группу А, удовлетворяющую записанному выше условию для а относительно любых редуцированных групп С,. Из [6, теорема 1.3] следует, что малая группа является Фукс-44 группой.

Группа А называется самомалой, если образ всякого

гомоморфизма А-*® А (91- произвольный кардинал) я

содержится в сумме конечного числа слагаемых А.

Теорема 1.1. Следующие условия для SP-группы А эквивалентны:

1) А- самомалая группа;

2) Е{А)=ЕЬ{.А) и каждая компонента Ар - конечная группа;

3) А — малая группа;

4) если М- периодический эпиморфный образ группы А, то Месть прямая сумма делимой и конечной групп;

5) для каждой существенной свободной подгруппы F справедливо яpF=Ap при почти всех р и каждая Ар -конечная группа.

Доказательство. 1)=> 2). Прямое слагаемое самомалой группы является самомалой группой. Поэтому Ар -самомалая периодическая группа. Откуда Ар - конечная группа.

Допустим, что аеЕ^А) и аеЕь(А). Этот а можно считать гомоморфизмом а: А -> Ф А , образ которого

Р

не содержится в сумме конечного числа слагаемых Ар. Ввиду 1) образ любого гомоморфизма А -* ФА дол-

«о

жен лежать в сумме конечного числа слагаемых А. Теперь, принимая во внимание то обстоятельство, что каждая группа Ар является прямым слагаемым группы А, видим, что существование гомоморфизма а противоречит 1). Следовательно, Е£А)=ЕЬ(А).

2)=> 4). Периодический эпиморфный образ М группы А по предложению 12 является прямой суммой делимой и ограниченной групп. На основании конечности групп Ар из доказательства импликации 2)=> 3) этого предложения можно вывести, что на самом деле М- прямая сумма делимой и конечной групп.

5) => 3). Пусть а: А -*■ ® С, - гомоморфизм, где С, -

/еУ

редуцированные группы. По пред ложению 12 А — Фукс-44 группа Следовательно, существуют neN и конечное под-

47

множество JcJ со свойством п(а)А с ® С,. Обозначим

ieJ

буквой я проекцию суммы ® С. на ее слагаемое ® С,.

Тогда п(па)А=0, т.е. (ла)А - ограниченная группа. Найдется лишь конечное множество компонент Ар с (па)Ар*0. Все компоненты - конечные группы, поэтому (па)А - конечная группа. Значит, имеется конечное подмножество Kcl-J, для которого (па) А с® С„ от-

isK

куда а А с Ф С, и А- малая группа.

ieJUK

3)=> 1) верно всегда и теорема доказана.

Ранг фактор-группы А/Т(А) называется рангом без кручения группы А и обозначается го(А). Таким образом, г0(А)=г (АЩА)).

Специфическим условием конечности для группы можно считать дискретность ее кольца эндоморфизмов относительно конечной топологии. Базис окрестностей нуля кольца Е(А) в конечной топологии составляют аннуляторы конечных подмножеств группы А [2, §107].

Предложение 1.3. Кольцо эндоморфизмов SP-rpyn-пы А дискретно в конечной топологии тогда и только тогда, когда существует свободная подгруппа F конечного ранга группы А такая, что npF=Ap д ля почти всех р, а для остальных р ЫР|<Х0.

Доказательство. Пусть кольцо Е(А) дискретно в конечной топологии. Тогда группа А обладает элементами

а{...а„ с тем свойством, что из а а, =...=а, а„=0 следует

ctfO для любого аеЕ(А). Возьмем некоторое р, затем запишем А=АрФВр, и пусть пр:А->Ар - проекция с ядром Bp. Множество элементов яДаО,.... яДа„) группы Ар таково, что из а^Пра^О (г=1, ..., и) вытекает ю=0 для любого aeE(A). Это влечет дискретность кольца Е(АР) и конечность />-группы Ар.

Удалим из множества {at, ..., а„) все элементы конечного порядка и отбросим те слагаемые Ар, в сумме которых они лежат. Не уменьшая общности, считаем также, что система элементов аь ..., а„ линейно независима. В итоге сумма (<2i)+...+(an) будет прямой, а

Я

группа F, равная ®(<з,), - свободной. Из рассуждения, /=1

проведенного недавно, видно, что для каждого шеЦЛД если (s>(npF)=0, то тАр=0. Но Ар - конечная группа, поэтому яpF=АР.

Предположим, что условия предложения имеют место.

Я

Запишем F = Ф(а,). Имеем %pF=Ap для всех р, за исключением, скажем, чиселр\, ...,рь Обозначим черезXобъединение множества {аи..., а„) с множествами образующих каждой из групп Арх ,—,Apt . Покажем, что для любого

авЕ(А) из аХ=0 вьпекает а=0, что означает дискретность кольца Е(А). Без потери общности считаем, что п^=Ар для всех р. Пусть аеЕ(А) и аХ=0 или, что все равно, aF=0. Возьмем произвольный элемент аеАр. Тогда а=яДс) для какого-то ceF и далее с=а+Ь, где ЬеВР Из ас=0 следует оса=0 (учесть вполне характеристичность Ар и Вр). Получим аАр=0 при всех р и, значит, а7(А)=0. Поскольку А/ЦА) -делимая группа, то а=0. Предложение доказано.

Пусть у SP-группы А г(А)«х>. Тогда любые две существенные свободные подгруппы F и Е группы А

48

квазиравны, т.е. mFc£ и nE<zF для некоторых m, neN. Для такой группы А в п.4 предложения 1.1, п.п. 5 предложения 1.2 и теоремы 1.1 вместо «каждой» можно писать «некоторой».

§2. SP-группы как модули

Произведение колец /?( и R2 обозначаем Л,хЛ2. Пусть Z^ - кольцо вычетов по модулю />*,£?’- кольцо целых р-адических чисел.

К изучению SP-ipynn можно привлечь модули. Именно всякая SP-группа является модулем над определенным коммутативным кольцом. Введем эти кольца и определим на SP-группе структуру модуля над соответствующим кольцом.

Пусть x=ikp) - некоторая характеристика Договоримся считать, что кр*0 для бесконечного множества чисел р. Для каждого р определим кольцо Rp (зависящее от х), полагая Rp=0, если кр=О, Rp = Z^kp, если 0<кр«х>, и Rp=Qp при

кр=<х>. Положим К(х) = ПRp> ^(Х) = ® RP- Пусть К(у) -

р р

такое подкольцо в К(х), что 7(х)сК(х) и K(yyi\x)=Q. Если х состоит только из символов оо, х=(®)> то соответствующее кольцо К(х) обозначаем просто К.

Остановимся на некоторых свойствах колец К(х). Если Хъ Х2 - характеристики, то Xi^X2- <=> существует сюръективный гомоморфизм колец a:K(xj)-*K(X\). Отображение а индуцируется гомоморфюмом ст: К(х) -> А"(х),

действующим покоординатно. На координатах о совпадает с одним из сюръективных гомоморфизмов колец Z^ -» Z(т<п), Qp -» . Таким образом, вся-

кий АТ(хО-модуль есть притягивающий К(Хг)*модуль. В частности, всякий К(х)-модуль будет притягивающим /^-модулем.

Если записать К (х) = Rn х...х Rp xR, то любой элемент дополнительного множителя R однозначно делится на каждое из простых чисел ри ..., ps.

Какой вил имеют элементы го К(х)? Если е*=ееК(у) и е*0, 1, то либо идемпотент е является суммой единичных элементов некоторых колец Rp, либо 1-е имеет подобное строение. Возьмем теперь произвольный элемент О*геК(у). Существуют числа 0*m, пеZ и элемент seT(x) такие, что mr=nl+s. Пусть Ki - произведение конечного числа каких-то колец Rp, причем se/Ti и Rf/zK\ для всех р, делящих т. Тогда Kiyj^RxK] и e/meR где е - единичный элемент дополнительного множителя R. Запишем далее \=e+(ee.R, е\ еК{) и t^TifaeR, г2еК{). Ясно, что тг^пе и г\=(п/т)е. Итак, элемент г равен ri+r* где г2е 7(х), а rx=(nlm)e с 0*=е. Можно включить в Ki также кольца Rp для р, делящих и. В таком случае e/neR.

Выясним строение идеалов кольца К(х)- Возьмем один из таких ненулевых идеалов I. Если /с7(х), то / = Ф(/ПЯ.), где lf\Rp - идеал кольца Rp. Строение

р р

последних известно. Предположим, что 1&Т(х). Выберем элемент rel-T(x)- Запишем, как в предыдущем абзаце, K(y$=RxK\ и г=г\+г2, где r{=(n/m)e, г2&Кх и

mR=R=nR. Тогда /(7ГУ?)®(/ПАГ1), причем г,е7Г1Л. Далее находим (т/п) г^=(т/п)х(п/т) е=е, откуда eslf]R. Это влечет Г^/ЩШК^е и А (х )©£ (X )$® (Л~1Я, ),

где е^е, р пробегает некоторое конечное множество простых чисел.

Предложение 2.1. Любой конечно порожденный идеал I кольца А(х) является главным и конечно представимым. Доказательство. Из предыдущего выводим еК(у) Ф

Ф Ф(/ П Rpi), где Jf]Rpi=rlRp для какого-то rt е Лд

(/=1,..., л). Тогда / порождается элементом е+Г|+.. Лг„.

Убедимся в конечной представимости идеала I, т.е. в существовании эпиморфизма ©А(х)->/ с конечно-по-

Я

рожденным ядром. Идеал еК(у) представим как проективный. Поскольку кольцо х...хR^ нетерово, то

0(/ ПЛ ) - тоже конечно представимый идеал. Тогда и I

конечно представим, что завершает доказательство.

Получается, что А(х) - когерентное кольцо. Из разобранного выше строения идеалов кольца А(х) можно еще вывести, что наследственность кольца А(х) равносильна тому, что х состоит из 0, 1 и оо. Единственными регулярными в смысле Неймана будут кольца К(Х), где х содержит только 0 и 1.

Любая р-группа В является Q'p -модулем. Если В -ограниченная группа и р" - точная верхняя грань порядков ее элементов, то В есть Z^ -модуль для всякого п>т.

Пусть дана SP-ipynna А. Составим характеристику х*г(кр) следующим образом. Полагаем кр=0 при Ар=0 и кр=оо, если Ар - неограниченная группа, в противном случае

пусть ркр - точная верхняя грань порядков ее элементов. Зафиксируем некоторую характеристику х с х^Хт-Зададим на Л структуру А(х>модуля. Группу А мы считаем сервантной подгруппой в \\Ар. Произведение J~[ Ар

р р

будет модулем над кольцом ^ (х) ~ О ^р (см- н343™5 §2).

р

В частности, Y\Ap- А(х)-модуль. Убедимся, что А -

р

А'СхЗ-подмодуль в ЦАр Возьмем элементы аеА, геА(х)

р

и запишем, как перед предложением 2.1, A(x)=AxXi и r=r,+r2) ry={nlm) е. Рассмотрим разложение А=А1®А2, где А2~ сумма компонент Ар для всехр, относящихся mK\\A\-дополнительное слагаемое, причем тА\=А\. Запишем CF=ai+a2 с а,еА, а2еА2. Тогда

где r2a2eA2, a rial={nlm)(eaiy={n/m)aieAl. Отсюда гаеА и А - А(х)-модуль. А является притягивающим А(х)-модулем относительно сюръективного гомоморфизма колец а:К(х)-рК(х^), т.е. га=а(г)а для всех геК(х), аеА. В частности, А есть А-модуль.

Задавая на SP-группе структуру модуля над кольцом А(х), мы на самом деле не слишком удаляемся от ее групповых свойств. Этому утверждению можно придать строгий смысл, привлекая понятие £-модуля. Модуль А/ над коммутативным кольцом R называется £(/?)-модулем при условии, что Нотл(Д,Л/)=Ноп12(Л,А0 [7]. Если Rr -

E(R)-модуль, то кольцо R называют £-кольцом. Рассмотрим теперь SP-группы А и В, являющиеся А(х)-модулями. По построению кольца А(х) фактор-группа А(хУ(1) делима. Следовательно, Нот(А(хУ(1), А(х)>=0=Нот(А(хУ(1), А). На основании [7] заключаем, что К(у) - £-кодьцо, я А (и В)-Е(К(х))-модуль. Это влечет, что групповые гомоморфизмы А-*В совпадают с А(х)-модульными [7]. Кроме того, для данной характеристики х структура А(х)-модуля на группе А единственна [7].

Характеристика xHffy) называется локально свободной, если кр< оо при всех р. SP-группа А является А(х)-модулем для некоторой локально свободной характеристики х тогда и только тогда, когда каждая компонента Ар - ограниченная группа. Как и в §1, пр обозначает проекцию А-+Ар с ядром Вр, где А=Ар®Вр.

До конца параграфа по отношению к SP-группе мы употребляем параллельно как групповую, так и модульную терминологию. Теорема 2.1 подтверждает, что использование теории модулей дает новые средства для исследования SP-rpynn.

Обратимся к SP-группам конечного ранга без кручения. Для таких групп, рассмотренные в §1 условия, имеющие характер конечности, по существу равносильны. Объединяющей идеей здесь выступает понятие конечно порожденного А-модуля.

Теорема 2.1. Для SP-группы А эквивалентны записанные ниже утверждения:

1) А - конечно порожденный А-модуль;

2) А - конечно порожденный А(х)-модуль для некоторой локально свободной характеристики х;

3 )А- малый А-модуль;

4) г0(А)«х> и А- самомалая группа;

5) r0(A)«x>, E/iA)rEf{A) и \ар | <Х0 при всех р\

6) го(А)<оо и найдется существенная свободная подгруппа F в А такая, что npF=Ap для почти всех р, а для остальных/? |Ар| <Х0;

7) г0(А)«х> и кольцо Е(А) дискретно в конечной топологии.

Доказательство. 1)=>2). Для каждого р можно записать А=Ар®Вр и К-QpxKp (Кр- дополнительный множитель). Конечная порожденность A-модуля А влечет конечную порожденность Q'p -модуля Ар. А это равносильно конечности /?-группы Ар. Пусть рр - точная верхняя грань порядков ее элементов. Образуем локально свободную характеристику хК^»)- Группа А будет А(х)-модулем, причем его конечная порожденность эквивалентна конечной порожденное™ A-модуля А (учесть, что А-модуль А является притягивающим относительно гомоморфизма о:А-»А(х)). Это замечание доказывает также 2)=>3).

3) =>4). А-модуль АЩА) является малым как гомоморфный образ малого модуля. Положим Т{К) = Ф Qp. Так

как идеал ДА) аннулирует АЩА), то А1ЦА) - малый

А/ДА>модуль, т.е. 0-модуль. Откуда r£A)^miAlT(A)<<x>.

Всякий групповой гомоморфизм <р: А -> Ф А будет гоЯ

моморфизмом A-модулей ввиду того, что ФЛ - £(А)-мо-

49

дуль. Из 3) заключаем, что срА содержится в сумме конечного числа слагаемых А. Таким образом, А - самомалая группа.

Импликация 4)==>5) непосредственно получается из теоремы 1.1, 5)=>6) - из предложения 1.2, а 6)=>7) - из предложения 1.3.

7)=>1). Согласно предложению 1.3 имеется свободная подгруппа F группы А со свойством яpF=Ap для почти всех р, а для остальных р Ар- конечная группа. Удаляя последние Ар, считаем, что npF=Ap для всех р. Принимая затем во внимание г0(А)<оо, можно в качестве F выбрать существенную подгруппу. Пусть {С(| /=1,...,л} - свободный базис группы F. Из npF=Ap для всех р выводим T\A)qKF. Далее, KF/T{A) есть подпространство ^-пространства АЩА), содержащее его базис {с,+7\А) | /= 1,...,«}. Значит, KF/T\A)=A/T\A)

П

и KF-A или £ Кс, = А, что означает конечную по-

is]

рожденность А как ^-модуля. Теорема доказана. Теорему 2.1 дополняет

Предложение 2.2. Пусть А - SP-группа конечного ранга без кручения. Равенство Е{А)гЕ{А) имеет место в том и только в том случае, если А=В@С, где В - конечно

порожденный К-модуль, С - прямая сумма конечного числа р-групп.

Доказательство. Предположим, что E£A)=Ej(A). Если F- некоторая существенная подгруппа группы А, то по предложению 1.1 группа A/UpF делима для почти всех р. Но г{А)=г(А/Т(А))<оа и поэтому UpF - конечная группа. Следовательно, npF=Ap для всех, за исключением конечного, множеств чисел р. Пусть С - сумма компонент Ар для всех р из этого множества, В - дополнительное слагаемое, т.е. А=ВФС. Обозначив через р проекцию А-*В относительно этого разложения, получаем, что рF - существенная свободная подгруппа группы В (ограничение р на F есть мономорфизм) и n^pF)=Ap для всех Ар, принадлежащих В. По теореме 2.1 SP-rpyn-па В является конечно порожденным А!-модулем.

Пусть обратно, А = В ф С, где В и С удовлетворяют условиям предложения. Найдется существенная свободная подгруппа Ев В такая, что ярЕ=Ар для почти всех Ар из В (теорема 2.1). Для любой другой существенной свободной подгруппы F группы А имеем mFqE и nE<zF для каких-то m, neN. Откуда ярЕ=Ар для почти всех р. По предложению 1.1 Е^АУ^Е^А), что заканчивает доказательство.

ЛИТЕРАТУРА

1. Fuchs L., Rangaswamy K.V. On generalized regular rings//Math. Z. 1968. № 107 C. 71-81.

2. ФуксЛ. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир, 1974, 1997. Т. 1,2.

Ъ-GlazS., Wickless W. Regular and principal projective endomorphism rings of mixed abelian groups // Commun. Algebra 1994 V. 22, №4 C. 1161-1176.

4: VinsonhalerC., Wickless WJ. Realizations of finite dimensional algebras over the rationales // Rocky Mountain J. Math. 1994. V. 24, Ns 4. C. 1553-1565

5. Albrecht U.F., Goeters H P., Wickless W. The flat dimension of mixed abelian groups as E-modules // Rocky Mountain J. Math. 1995. V. 25, № 2. C. 569-590.

6. Иванов А. В. Об одной проблеме абелевых групп // Матем. сб. 1978. Т. 105, № 4. С. 525-542.

7. Pierse R.S. E-modules // Content. Math. 1989. V. 87. С. 221-240.

Статья представлена лабораторией алгебры и топологии научно-исследовательской части Томского государственного университет!, поступила в научную редакцию «Математика» 10 ноября 1998 г

50