CC BY
5
Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2018. № 4(24). C. 40-49. ISSN 2079-6641
DOI: 10.18454/2079-6641-2018-24-4-40-49
УДК 517.956.6
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА ПАРАБОЛО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА В ПЯТИУГОЛЬНОЙ
ОБЛАСТИ
С.М. Мамажонов
Кокандский государственный педагогический институт имени Мукими, г. Коканд, ул. Туран, 23, Узбекистан E-mail: bek84-08@mail.ru
В настоящей работе ставится ряд краевых задач для уравнения четвертого порядка параболо-гиперболического типа вида dx + bi Jy^ (^а2dX + b2df^j (Lu) = 0 в пятиугольной области. Доказывается однозначная разрешимость одной из поставленных задач методами построения решения, интегральных и дифференциальных уравнений
Ключевые слова. Дифференциальные и интегральные уравнения, метод построения решения, краевая задача, однозначная разрешимость.
@ Мамажонов С.М., 2018
MSC 35M12
ABOUT ONE CLASS OF BOUNDARY TASKS FOR THE EQUATION OF THE FOURTH ORDER OF PARABOLO-HYPERBOLIC TYPE IN PENTAGONAL
AREA
S.M. Mamajonov
Kokand State Pedagogical Institute named after Mukimi, Kokand city, Turan Street, 23, Uzbekistan
E-mail: bek84-08@mail.ru
In this paper, a number of boundary tasks for the equation of the fourth order of a parabolo-hyperbolic type look (a1 jX + b1 Jy) (a2dx + b2dy) (Lu) = 0 is put in pentagonal area. Unequivocal resolvability of one of put tasks is proved by methods of creation of the decision, the integrated and differential equations.
Keywords. Differential and integrated equations, method of creation of the decision, boundary task, unequivocal resolvability.
© Mamajonov S.M., 2018
Введение
В настоящей работе ставится ряд краевых задач для уравнения четвертого порядка параболо-гиперболического типа вида
ai дх+bl I) (fl2 dx+b2 dy)(Lu) =0
(i)
в пятиугольной области О плоскости хОу, где О = О1 и О2 и О3 и/ и/2; «1, Ь, а2, Ь2 е Я, а2 + Ь2 = 0, г = 1,2;Ьм =
u
XX
uxx
- Uy, (x, y) G Gl,
- Uyy, (x, y) G G[, i = 2, 3;
а Ох- прямоугольник с вершинами в точках А (0; 0), В (1; 0), В0 (1, 1), А0 (0, 1); О2— треугольник с вершинами в точках В, С(0, —1), О(— 1, 0); О3— прямоугольник с вершинами в точках А, О, О0(—1, 1), А0, /1— открытый отрезок с вершинами в точках В, О; /2— открытый отрезок с вершинами в точках А, А0.
Перед тем, как приступить к постановке краевых задач, запишем все краевые условия и условия склеивания на линиях изменения типа, из которых будем пользоваться при постановке краевых задач: Краевые условия:
м (1, у) = ф (у), 0 < у < 1,
М (—1, у) = ф2 (у) , 0 < у < 1, Мх (1, у) = фз (у), 0 < у < 1, Мх (—1, у) = ф4 (у), 0 < у < 1, Мхх (1, у) = ф5 (у), 0 < у <, 1 Мхх (—1, у) = фб (у), 0 < у < 1, м|ВС = Щ (х), 0 < х < 1,
м|О^ = Щ2(х), —1 < х < — 2, к|ся = Щ (х), 0 < х < 2, м|ОС = Щ2 (х), — 1 < х < 0,
= Щ3 (х), 0 < х < 1,
= Щ4 (х), — 1 < х < 0,
= Щ5 (х), 0 < х < 1,
= щб (х), —1 < х < 0, условия склеивания на линиях изменения типа:
М (х, +0) = м (х, —0) = Т (х), 0 < х < 1,
u|df2 =
u|CF1 =
u|DC =
д u
д n BC
д u
д n DC
д 2u
д n2 BC
д 2u
д n2 DC
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10) (11) (12)
(13)
(14)
(15)
(16)
где
иу (х, +0) = иу (х, -0) = N(х), 0 < х < 1, (17)
иуу (х, +0) = иуу (х, -0) = М (х), 0 < х < 1, (18)
Мууу (х, +0) = (х, -0) = 0 (х), 0 < х < 1, (19)
и (+0, у) = и (-0, у) = т3 (у), 0 < у < 1, (20)
Их (+0, у) = их (-0, у) = Уз (у), 0 < у < 1, (21)
ихх (+0, у) = ихх (-0, у) = Дз (у), 0 < у < 1, (22)
Иххх (+0, у) = иххх (-0, у) = 03 (у), 0 < у < 1 (23)
Т (х) = N (х) = М (х) = 0 (х) =
т1 (х), 0 < х < 1,
т2 (х), -1 < х < 0;
'у1 (х), 0 < х < 1,
У2 (х), -1 < х < 0;
(х), 0 < х < 1,
Д2 (х), -1 < х < 0.
01 (х), 0 < х < 1,
02 (х), -1 < х < 0,
а <■, щ (г = 1, 6) - заданные достаточно гладкие функции, тг, Уг-, Дг-, 0 (г = 1, 4) -неизвестные пока достаточно гладкие функции, п- внутренняя нормаль к прямой х + у = -1 или х - у = 1, а точки и имеют координаты (2, - 2), (-1, - 2).
В зависимости от значений коэффициентов «1, ¿1, «2 и ¿2, то есть от значений угловых коэффициентов 71 = и 72 = у характеристик операторов первого порядка уравнения (1), получаются различные случаи, основными являются 21 из них. Учитывая это для уравнения (1) ставится следующая задача:
Постановка задачи
Найти функцию и(х,у), которая 1) непрерывна в О; 2) удовлетворяет уравнению (1) в области О при х = 0, у = 0; 3) удовлетворяет следующим краевым условиям и условиям склеивания на линиях изменения типа, которые указаны ниже:
1. Для значений у1 = 0, у2 = 0 - группы краевых условий (2), (3), (5), (7), (8), (9), (12), (13); Всего 72 таких групп краевых условий, а также - группу условий склеивания (16), (17), (20)-(23);
2. Для значений у1 = у2 = ^ - группы краевых условий (2), (3), (5), (7), (8), (9), (12), (13) и (2), (3), (10), (11), (12), (13), (14), (15), а также - группу условий склеивания (16)-(21);
3. Для значений у1 = 0, у2 = ^ - группы краевых условий (2), (3), (5), (8), (9), (12), (13), (14); Всего 32 таких групп краевых условий, а также - группу условий склеивания (16)-(18), (20)-(22);
4. Для значений у1 = 0, 0 < у2 < 1 - группы краевых условий (2), (3), (5), (7), (8), (9), (14), (15); Всего 50 таких групп краевых условий, а также - группу условий склеивания (16)-(18), (20)-(23);
5. Для значений у1 = 0, 1 < у2 < ^ - группы краевых условий (2), (3), (5), (7), (8), (9), (12), (14), (15); Всего 32 таких групп краевых условий, а также - группу условий склеивания (16)-(18), (20)-(23);
6. Для значений у1 = 0, —1 < у2 < 0 - группы краевых условий (2), (3), (4), (6), (8), (9), (12), (13); Всего 32 таких групп краевых условий, а также - группу условий склеивания (16)-(18), (20)-(23);
7. Для значений у1 = 0, —^ < у2 < —1 - группы краевых условий (2), (3), (4), (6),
(8), (9), (12), (13), (14); Всего 32 таких групп краевых условий, а также - группу условий склеивания (16)-(18), (20)-(23);
8. Для значений у1 = <*>, 0 < у2 < 1 - группы краевых условий (2), (3), (5), (8),
(9), (12), (14), (15); Всего 8 таких групп краевых условий, а также - группу условий склеивания (16)-(22);
9. Для значений у1 = <*>, 1 < у2 < ^ - группы краевых условий (2), (3), (5), (8), (9), (12), (13), (14), (15); Всего 4 таких групп краевых условий, а также - группу условий склеивания (16)-(22);
10. Для значений у1 = <*>, —1 < у2 < 0 - группы краевых условий (2), (3), (4), (8), (9), (12), (13), (14); Всего 8 таких групп краевых условий, а также - группу условий склеивания (16)-(22);
11. Для значений У1 = —^ < У2 < —1 - группы краевых условий (2), (3), (4), (8), (9), (12), (13), (14), (15); Всего 4 таких групп краевых условий, а также - группу условий склеивания (16)-(22);
12. Для значений 0 < У1 < 1, 0 < у2 < 1 - группы краевых условий (2), (3), (5), (7), (8), (9), (14), (15) и (2), (3), (5), (7), (10), (11), (14), (15), а также - группу условий склеивания (16)-(23);
13. Для значений 0 < у1 < 1, 1 < у2 < - группы краевых условий (2), (3), (5), (7), (8), (9), (12), (14), (15) или (2), (3), (5), (7), (8), (9), (13), (14), (15) или (2), (3), (5), (7), (10), (11), (12), (14), (15) или (2), (3), (5), (7), (10), (11), (13), (14), (15), а также - группу условий склеивания (16)-(23);
14. Для значений 0 < у1 < 1, —1 < у2 < 0 - группы краевых условий (2), (3), (4), (5), (8), (9), (12), (14); Всего 32 таких групп краевых условий, а также - группу условий склеивания (16)-(23);
15. Для значений 0 < У1 < 1, —^ < У2 < —1 - группы краевых условий (2), (3), (4), (6), (8), (9), (12), (13), (14); Всего 32 таких групп краевых условий, а также -группу условий склеивания (16)-(23);
16. Для значений 1 < у1 < +<^, 1 < у2 < - группы краевых условий (2), (3), (5), (7)-(9), (12)-(15) или (2), (3), (5), (7), (10)-(15), а также - группу условий склеивания (16)-(23);
17. Для значений 1 < У1 < +<*>, —1 < у2 < 0 - группы краевых условий (2), (3), (4), (5), (8), (9), (12), (13), (14); Всего 32 таких групп краевых условий, а также -группу условий склеивания (16)-(23);
18. Для значений 1 < У1 < +<*>, —^ < У2 < —1 - группы краевых условий (2), (3),
(4), (5), (8), (9), (12)-(15); Всего 8 таких групп краевых условий, а также - группу условий склеивания (16)-(23);
19. Для значений —1 < у1 < 0, —1 < у2 < 0 - группы краевых условий (2), (3), (4),
(5), (8), (9), (12), (13), (14); Всего 32 таких групп краевых условий, а также - группу условий склеивания (16)-(23);
20. Для значений —1 < y1 < 0, —^ < y2 < —1 - группы краевых условий (2), (3), (5), (6), (8), (9), (12), (13), (14); Всего 4 таких групп краевых условий, а также -группу условий склеивания (16)-(23);
21. Для значений —^ < yi < —1, —^ < у2 < —1 - группы краевых условий (2), (3), (5), (6), (8), (9), (12)-(15) или (2),(3),(5),(6),(10)-(15); а также - группу условий склеивания (16)-(23);
Здесь в настоящей статье мы будем исследовать лищь 1-случай с группой условий (2), (3), (5), (7), (8), (9), (13), (15).
Теорема. Если ^, ф2 g C4 [0, 1], ф4 G C3 [0,1], G C2 [0, 1], ^ g C4 [0, 1], G 4 [—1, — 1], ^4 G 3 [0, 1], % G 2 [—1, 0], причем выполняется условие согласования (0) = ^ (1), ф2 (0) = (—1), (0) = — (0), то задача-1 в 1-случае с группой условий (2), (3), (5), (7), (8), (9), (13), (15) допускает единственное решение.
Доказательство. Теорему докажем методом построения решения. Для этого уравнение (1) перепишем в виде
"1xx — M1y = «11 (y) x + «12 (y), (x, y) G G1, (24)
Uixx — Uyy = «-1 (y) X + «i2 (y), (x, y) G Gi, i = 2, 3, (25)
где введено обозначение и (х, у) = и (х, у), (х, у) с Gг■, г = 1, 3, причем Юг1 (у), Юг2 (у) , г = 1, 3 - неизвестные пока достаточно гладкие функции, подлежащие определению.
Исследование будем провести сначала в области G2. Решение уравнения (25), г = 2, удовлетворяющее условиям (16), (17), представляется в виде
х+у
11
U2 (x, y) = 2 [T (x + y) + T (x — y)] + 2J N (t)
2
х-у
ху ху
-х^ (у - п) Ю21 (п) Ап (у - п) Ю22 (п) ¿п. (26)
0 0 Подставляя (26) в условие (13), затем дифференцируя полученное уравнение, после некоторых выкладок, получим
-Ю21 (у) (1 + у) + Ю22 (у) = ^2^4 (-1 - у), - 1 < у < 0. (27)
А подставляя (26) в (15) и дифференцируя полученное уравнение, имеем
- Ю;21 (у) (1 + у) + Ю;22 (у) = 2^'б (-1 - у) , -1 < у < 0. (28)
Дифференцируя уравнения (27), приходим к уравнению
-Ю21 (у) - Ю'21 (у) (1 + у) + Ю 22 (у) = (-1 - у) , - 1 < у < 0.
Из последнего уравнения и (28) находим
Ю21 (у) = ^2^//4 (-1 - у) + 2^6 (-1 - у). Подставляя это в (27), получим
Ю22 (у) = ^4 (-1 - у) + (1 + у) 4 (-1 - у) + 2^6 (-1 - у)" .
Таким образом, мы нашли
х©21 (у) + «22 (у) = ^2^4 (-1 - у) + (1 + х + у) [■(-1 - у) + 2^ (-1 - у)
Подставляя (26) в условие (8) и дифференцируя полученное уравнение после некоторых выкладок, имеем первое соотношение между неизвестными функциями Т (х) и N (х)
Т/ (х)+ N (х) = а1 (х), -1 < х < 1, (29)
х-1
, 2
где «1 (х) = Щ1 + / [«21 (п) (х - п) + «22 (п)] Ап.
0
а) при 0 < х < 1 из (29) имеем
т/1 (х) + у1 (х) = а1 (х), 0 < х < 1; (30)
б) а при -1 < х < 0 -
т/2 (х) + у2 (х) = а1 (х), -1 < х < 0. (31)
Теперь подставляя (26) в условие (9), после некоторых преобразований, получим
т/2 (х) - У2 (х) = ¿1 (х), -1 < х < 0, (32)
х+1 2
где ¿1 (х) = щ/2 (^у1) - / [«21 (п) (х + п) + «22 (п)] Ап.
0
Решая систему (31), (32), находим
т/2 (х) = 1 [«1 (х) + ¿1 (х)],
У2 (х) = 1 [«1 (х) - ¿1 (х)]. (33)
Интегрируя первое из равенств (33) от -1 до х, имеем
х
Т2 (х) = 2 / [а (?) + ¿1 (?)] Л + Щ2 (-1) .
2 -1
Теперь переходя в уравнении (24) к пределу при у ^ 0, в силу (16) и (17) получим второе соотношение между неизвестными функциями Т1 (х) и У1 (х):
т//1 (х) - У1 (х) = «11 (0) х + «12 (0), (34)
Исключая из (30) и (34) функцию У1 (х) и интегрируя полученное уравнение от 0 до х, приходим к уравнению
т/1 (х) + Т1 (х) = «2 (х) + «т^ х2 + «12 (0) х + *1, (35)
х
где а2(х) =/а1 (?)А?, а «11 (0), «12(0) и к1- неизвестные пока постоянные, подле-
0
жащие определению.
0
Решая уравнение (35) при условиях т1 (0) = у2 (—1) + 2 / [а ) + 51 )] Л, т'х (0) =
-1
1 [«1 (0) + 51 (0)], Т1 (1) = ф1 (0), т;1 (1) = У1 (1) - ф/1 (0), находим функцию Т1 (х):
Л
Ti (x) = J exp (t - x) a2 (t) dt + Шц (0)
x2 1 . . — — x + 1 — exp (—x)
+ ®i2 (0) [x — 1 + exp (—x)] +
+k1 (1 — exp (—x))+ k2exp (—x), (36)
где
0
^2 = 2/ ["1 (t) + 51 (t)] dt + ^2 (—1),
1
k1 = 1 [«1 (0) + (0)] + k2,
2
Ш11 (0) =
3-e
1
J ехр (?) а2 (?) Л - ф1 (0) (е - 1) - ц>/1 (0) + у/1 (1) - а2 (1) + - к2 0
«12 (0) = ф1 (0) - ф/1 (0) + У1 (1) - «2 (1) - - 1 «11 (0).
Таким образом, мы определили и функции у1 (х), "2(х, у). Теперь переходим в область Рассмотрим следующую задачу:
"3хх - "3уу = «31 (у) х + «32 (у) ,
из (х, 0) = т2 (х), "3у (х, 0) = У2 (х), -2 < х < 1,
"3 (-1, у) = ф2 (у) , "3х (-1, у) = ф4 (у) , "3хх (-1, У) = фб (у) , "3 (0, у) = Т3 (у) , 0 < у < 1. Решение этой задачи будем искать в виде
"3 (х, у) = И31 (х, у) + "32 (х, у), (37)
где и31 (х, у) - решение задачи
"31хх - и31уу = 0,
и31 (х, 0) = т2 (х), и31у (х, 0) = 0, -1 < х < 0, (38)
,"31 (-1, у) = ф2 (у), "31 (0, у) = Т3 (у),
и32 (х, у) - решение задачи
"32хх - "32уу = «31 (у) х + «32 (у) ,
"32 (х, 0) = 0, "32у (х, 0) = У2 (х), -1 < х < 0, (39)
."32 (-1, у) = 0, "32 (0, у) = 0.
Методом продолжения находим решения задач (38) и (39). Они имеют вид
"31 (х, у) = 2 [Т (х + у) + Т2 (х - у)], (40)
'2ф2 (-1 -х) - т2 (-2 -х), -2 < х < -1, где Т2 (х) = <( Т2 (х), -1 < х < 0,
2т3 (х) - т2 (-х), 0 < х < 1.
хх+у ху ху
из2 (х, у) = 2 У N2 (?) А? - ху (у - п) Ю31 (п) Ап ^ (у - п) Ю32 (п) Ап, (41)
х-у 0 0
-1-х
- У2 (-2 - х) - 2 у [Ю31 (п) - Ю32 (п)] Ап, -2 < х <-1, 0
^ (х), -1 < х < 0,
хх
- У2 (-х) + 2 ! Ю32 (п) Ап, 0 < х < 1. 0
Подставляя (40) и (41) в (37), имеем
хх+у
где N2 (x) = <
и3 (х, у) = 2 [Т2 (х + у) + Т2 (х - у)] +1 У N2 (?) А? -х У (у - п) Ю31 (п) Ап ^ (у - п) Ю32 (п) ¿п.
х-у 0 0
Дифференцируя это решение по х дважды, получим
1 1 >
и3х (х, у) = 2 [Т/2 (х + у) + Т/2 (х - у) + 2 [N2 (х + у) - N2 (х - у)] - у (у - п) Ю31 (п) Ап,
ху
2 г 2 , у, , - 2 у,] , 2 N (х + у) - N (х - у)] -
0
(42)
и3хх (х, у) = 2 [Т//2 (х + у) + Т//2 (х - у)] + 2 [^2 (х + у) - ^2 (х - у)]. (43) Полагая в (42) и (43) х ^ -1, имеем
ху
Ю31 (у) -IЮ31 (п) Ап - Ю32 (у) = ф//2 (у) + ф/4 (у) - т//2 (у - 1) - У/2 (у - 1), (44) 0
Ю31 (у) - Ю32 (у) = ф//2 (у) - фб (у). (45)
Из (44) и (45) находим
Ю31 (у) = Т///2 (у - 1) + V//2 (у - 1) - ф//4 (у) - ф/б (у)
Ю32 (у) = Т///2 (у - 1) + V//2 (у - 1) - ф//4 (у) - ф/б (у) - ф//2 (у) + фб (у) . А полагая в (42) х ^ 0, имеем соотношение
Vз (у) = т/3 (у) + в1 (у), (46)
у у
где в1 (у) = т/2 (-у) - V2 (-у) + / Ю32 (п) ап -/ (у - п) Ю31 (п) ¿п.
00
Теперь переходим в область Оь Переходя в уравнениях (24) и (25), г = 2 и в уравнениях Щххх - И1ху (у) = юп (у) и мзххх - изхуу (у) = Юц (у) к пределу при х ^ 0 в силу (20), (21), (22) и (23) имеем
Ю12 (у)= Мз (у) - т'з (у), (47)
Ю32 (у) = Мз (у) - т''з (у). (48)
Ю11 (у) = бз (у) - V'з (у), (49)
юз1 (у) = бз (у) - V''з (у). (50)
Исключая из уравнений (47), (48) функцию мз (у), а из уравнений (49), (50) функцию бз (у), получим
Ю12 (у) = [т"з (у) - т'з (у)] + Юз2 (у)
Ю11 (у) = [V''з (у) - V'з (у)] + юз1 (у). Подставляя (46) в последнее из равенств (51), имеем
Ю11 (у) = [т'''з (у) - т''з (у)] + [в'' 1 (у) - в'1 (у)] + юз1 (у)
(51)
(52)
Далее, записываем решение уравнения (24), удовлетворяющего условиям (2), (16) при 0 < х < 1 и (20):
"1 (x, y) =
1
2^
у
Тз (n) G% (x, y;0, n) dn - J Ф1 (n) G% (x, y; 1, n) dn+
y 1
+ | Т1 (%) G (x, y; %, 0) d% -J dnj [«11 (n) % + «12 (n)] G (x, y; %, n) d%
0 00
Дифференцируя (53) по х и полагая х ^ 0, получим
V3 (y) =
1
2^
У У
-J' т'з (n) N (0, y; 0, n) dn + / Ц>\ (n) N (0y; 1, n) dn+
(53)
i у у
+ J т'1 (%) N (0, y; %, 0) d% + J «11 (n) N (0, y; 1, n) dn + J «12 (n) N (0, y; 1, n) dn -
^ ^ 1
-J «12 (n) N (0, y; 0, n) dn -J «11 (n) dn/N (0, y; %, n) d%
(54)
G (x, y; %, n Ь 1 v , где N (x, y; %, n ) = ^ J-J exp
(x-%-2n) ' 4(y-n)
2 "1
T exp
(x+% - -2„)2"
4(y- n)
- функции Грина
первой и второй краевых задач для уравнения Фурье.
Таким образом, мы получили систему уравнений (46), (51), (52), (54) относительно неизвестных функций Vз (у), Тз (у), Юц (у), Ю12 (у). Исключая из этой системы
1
функции Юц (y), ©12 (y) и Уз (y) после длинных вычислений, мы приходим к интегральному уравнению Вольтерра второго рода относительно т"з (y). Решая это уравнение, находим функцию т"з (y), тем самым и функции Тз (y), V3 (y), Юц (y), Ю12 (y). Тогда будут известными и функции из (x,y) и ui (x,y). Итак, мы нашли решение поставленной задачи 1 в случае 1 с группой условий (2), (3), (5), (7), (8), (9), (13), (15) единственным образом.
Замечание. В работах [1] - [2] был рассмотрен ряд краевых задач для уравнений четвертого порядка параболо-гиперболического типа в области с одной линией изменения типа.
Список литературы
[1] Джураев Т. Д., Мамажанов М., "Краевые задачи для одного класса уравнений четвертого порядка смешанного типа", Дифференциальные уравнения, 200:1 (1986), 2531. [Dzhuraev T. D., Mamazhanov M., "Kraevye zadachi dlya odnogo klassa uravnenij chetvertogo poryadka smeshannogo tipa", Differencial'nye uravneniya, 200:1 (1986), 2531].
[2] Джураев Т. Д., Сопуев А., Мамажанов М., "Краевые задачи для уравнений параболо-гиперболического типа", Фан, 1986, 220 с. [Dzhuraev T. D., Sopuev A., Mamazhanov M., "Kraevye zadachi dlya uravnenij parabolo-giperbolicheskogo tipa", Fan, 1986, 220 pp.]
Для цитирования: Мамажонов C. М. Об одном классе краевых задач для уравнения четвертого порядка параболо-гиперболического типа в пятиугольной области // Вестник КРА-УНЦ. Физ.-мат. науки. 2018. №4(24). C. 40-49. DOI: 10.18454/2079-6641-2018-24-4-40-49
For citation: Mamajonov S. M. About one class of boundary tasks for the equation of the fourth order of parabolo-hyperbolic type in pentagonal area, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2018, 24: 4, 40-49. DOI: 10.18454/2079-6641-2018-24-4-40-49
Поступила в редакцию / Original article submitted: 14.10.2018
