Об одном классе комбинированных непараметрических моделей Текст научной статьи по специальности «Математика»

Решетневские чтения

УДК 62-506.1

Ю. В. Уваров, Н. Н. Якушев

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Россия, Красноярск

ОБ ОДНОМ КЛАССЕ КОМБИНИРОВАННЫХ НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

Приведена схема построения комбинированных моделей многосвязных систем. Предложен алгоритм получения прогноза выхода в случае, когда система уравнений, описывающая исходный объект, имеет более одного решения.

В последнее время все чаще на практике приходится сталкиваться с задачей построения моделей производственных комплексов и других сложных объектов, которые представляют собой многомерные системы, состоящие из нескольких подобъектов, в которых выходные переменные одних подобъектов являются входными для других. Системы, имеющие подобную структуру, называются многосвязными [1].

Рассматриваются многосвязные объекты, состоящие из М локальных объектов (далее - ЛО). Входные переменные X — (X], Xm), а выходные У — (Уь ..., Уп). Априорная информация о ЛО имеет различные уровни: байесов, параметрический и непараметрический [1]. Имеется выборка наблюдений входных и выходных переменных (Х[/'], У[г], г — 1, 2, ..., 5). Модели, построенные в таких условиях, называются комбинированными.

В общем случае задача построения комбинированной модели решается в два этапа. На первом этапе строится система уравнений, описывающая объект, а на втором этапе эта система решается при фиксированных значениях входных переменных для получения прогноза выхода [2].

Общий вид системы уравнений

'Fi (X),У(г)) = 0,

• Fj (X(1), У(1), а(1) ) = 0, (1),

^- (X(^),У(^)) = 0,

где г = 0,1, I - число ЛО с байесовым уровнем априорной информации; 1 = 0, V, V - число ЛО с параметрическим уровнем априорной информации; g = 0, г, г - число ЛО с непараметрическим уровнем априорной информации; F¡ (•) - известные функции; FJ (•) - функции, известные с точностью до набора параметров а(г); запись X(г) означает набор компонент вектора X, входящих в г-е уравнение; Ок (•) - непараметрические статистики,

Ок (X(к),У(к)) = £>кИПФ((X, -^[ф/С^ ) X

г=1 ,

хПФ((Ур -Ур[г])/)/

р

/IПф((X,-X,[I])/С )х

1=1 ,

ХПФ((УР - УР[1 ])/С5Ур ), р

где , - номера X, входящих в 1-е уравнение; р -номера У, входящих в 1-е уравнение. Колоколооб-разные функции Ф(-) и параметры размытости

С5 удовлетворяют некоторым условиям [1].

При построении системы уравнений производится настройка параметрических и непараметрических моделей ЛО.

На втором этапе построения модели производится решение полученной системы при фиксированном входном воздействии в какой-либо

требуемой точке X.

Чтобы решить полученную систему уравнений, необходимо сгенерировать выборку вспомогательных переменных X , которые, по сути, являются невязками между выходами объекта и модели при фиксированном входном воздействии:

X,. [г ] = ^ (X), У)[? ]), <Х 1 [г] = FJ (X °\У а)И, а(1)), (2), Хк [г ] = л [г ] - 5 (X(к ),У(к )[г ]).

где г — 1, ..., 5.

Решение системы (1) будем искать как условное математическое ожидание вида

ук = М{ун | X = 0}, где к — 1, ..., п. Оператор математического ожидания заменим на его оценку [1]

Ун = М (Ук | Х = 0) =

(I УнЩ Ф((0-X'[г])/С5Х1)] (3)

I П Ф((0-X' [/Т)/С*

V1= '= 0

Математические методы моделирования, управления и анализа данных

Особый интерес представляет случай, когда система (1) имеет более одного решения. В этом случае оценка (3) не дает искомого результата.

Был предложен следующий итерационный алгоритм поиска решений системы (1):

1. Выбирается начальное приближение yh (0) = yh И, где i соответствует такому значению

невязок, что || X' || = min {|| X[k]||} (4),

||X[i]||=1 jr I Xk [i ]|.

n k=1

2. Осуществляется итерационный процесс поиска корня системы по формуле

yh (N =

=fi>hCN(0-X, [i]) / 0*)ф(( yh (N-1) - yh[i]) / )!/

V i=i ,=1 0

/ [£ПF ((0 - X,[ j])/Cx, )ф ((y \ (N -1) - yh[ j])/Oy„ )j

где N = 1, 2, ..., пока выполняется условие |y \(N) - y \ (N -1)| <8, 8 - заданное число.

3. Производится переход к шагу 1, причем начальная точка выбирается по формуле (4), но минимум ищется по всей выборке, исключая использованную на предыдущей итерации точку.

Поиск корней системы заканчивается, если в формуле (4) станет выполняться условие

|| X' II ^s , где s - некоторое заданное число.

В итоге после к раз использования алгоритма получается к решений системы у'[г] , г = 1, ..., к. Возможна ситуация, когда на нескольких итерациях будет найден один и тот же корень системы, поэтому предлагается проверять полученные решения на близость по каждой координате в

соответствии с формулой [г]-у'к []]| <ст, где

I = 1, ..., к,] = 1, ..., к, ст - некоторое заданное число. Таким образом, образуется т групп решений системы. Решения, находящиеся в одной группе считаются эквивалентными. Чтобы получить т решений системы, предлагается искать среднее арифметическое значение решений в каждой группе.

Исследования методом математического моделирования на системе уравнений с размерностью 10 при объемах выборки не менее 200 и при уровне помех не более 5 % показали, что приведенный выше алгоритм дает ошибку моделирования не более 6 %.

Библиографический список

1. Медведев, А. В. Непараметрические системы адаптации / А. В. Медведев. Новосибирск : Наука, 1983.

2. Красноштанов, А. П. Комбинированные многосвязные системы / А. П. Красноштанов. Новосибирск : Наука, 2001.

Yu. V. Uvarov, N. N. Yakushev Siberian State Airspace University named after academician M. F. Reshetnev, Russia, Krasnoyarsk

COMBINED MODELS OF MULTIPLY CONNECTED SYSTEMS

The article is concerned to modeling scheme of multiply connected systems. The algorithm of output variable forecast in case when equations set describing the initial object has more than one solution is offered.

© Уваров Ю. В., Якушев Н. Н., 2009

УДК 602-506.1

Ю. В. Уваров, Н. Н. Якушев

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Россия, Красноярск

ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ НЕПАРАМЕТРИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ МНОГОСВЯЗНОЙ СИСТЕМОЙ

Рассматривается алгоритм управления взаимосвязанными системами на основе обратной непараметрической оценки регрессии. Проводится анализ эффективности предложенного алгоритма методом статистического моделирования при различных объемах выборки и уровне помех.

В последнее время растет потребность в ными, имеющими техногенное происхождение,

управлении и контроле какими-либо системами т. е. созданными самим же человеком. Управле-

или процессами как естественными, существую- ние, в свою очередь, предполагает наличие моде-

щими независимо от человека, так и искусствен- ли системы. Главные особенности реальных сис-