CC BY
6Математические методы моделирования, управления и анализа данных
Особый интерес представляет случай, когда система (1) имеет более одного решения. В этом случае оценка (3) не дает искомого результата.
Был предложен следующий итерационный алгоритм поиска решений системы (1):
1. Выбирается начальное приближение yh (0) = yh И, где i соответствует такому значению
невязок, что || X' || = min {|| X[k]||} (4),
||X[i]||=1 jr I Xk [i ]|.
n k=1
2. Осуществляется итерационный процесс поиска корня системы по формуле
yh (N =
=fi>hCN(0-X, [i]) / 0*)ф(( yh (N-1) - yh[i]) / )!/
V i=i ,=1 0
/ [£ПF ((0 - X,[ j])/Cx, )ф ((y \ (N -1) - yh[ j])/Oy„ )j
где N = 1, 2, ..., пока выполняется условие |y \(N) - y \ (N -1)| <8, 8 - заданное число.
3. Производится переход к шагу 1, причем начальная точка выбирается по формуле (4), но минимум ищется по всей выборке, исключая использованную на предыдущей итерации точку.
Поиск корней системы заканчивается, если в формуле (4) станет выполняться условие
|| X' II ^s , где s - некоторое заданное число.
В итоге после к раз использования алгоритма получается к решений системы у'[г] , г = 1, ..., к. Возможна ситуация, когда на нескольких итерациях будет найден один и тот же корень системы, поэтому предлагается проверять полученные решения на близость по каждой координате в
соответствии с формулой [г]-у'к []]| <ст, где
I = 1, ..., к,] = 1, ..., к, ст - некоторое заданное число. Таким образом, образуется т групп решений системы. Решения, находящиеся в одной группе считаются эквивалентными. Чтобы получить т решений системы, предлагается искать среднее арифметическое значение решений в каждой группе.
Исследования методом математического моделирования на системе уравнений с размерностью 10 при объемах выборки не менее 200 и при уровне помех не более 5 % показали, что приведенный выше алгоритм дает ошибку моделирования не более 6 %.
Библиографический список
1. Медведев, А. В. Непараметрические системы адаптации / А. В. Медведев. Новосибирск : Наука, 1983.
2. Красноштанов, А. П. Комбинированные многосвязные системы / А. П. Красноштанов. Новосибирск : Наука, 2001.
Yu. V. Uvarov, N. N. Yakushev Siberian State Airspace University named after academician M. F. Reshetnev, Russia, Krasnoyarsk
COMBINED MODELS OF MULTIPLY CONNECTED SYSTEMS
The article is concerned to modeling scheme of multiply connected systems. The algorithm of output variable forecast in case when equations set describing the initial object has more than one solution is offered.
© Уваров Ю. В., Якушев Н. Н., 2009
УДК 602-506.1
Ю. В. Уваров, Н. Н. Якушев
Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Россия, Красноярск
ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ НЕПАРАМЕТРИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ МНОГОСВЯЗНОЙ СИСТЕМОЙ
Рассматривается алгоритм управления взаимосвязанными системами на основе обратной непараметрической оценки регрессии. Проводится анализ эффективности предложенного алгоритма методом статистического моделирования при различных объемах выборки и уровне помех.
В последнее время растет потребность в ными, имеющими техногенное происхождение,
управлении и контроле какими-либо системами т. е. созданными самим же человеком. Управле-
или процессами как естественными, существую- ние, в свою очередь, предполагает наличие моде-
щими независимо от человека, так и искусствен- ли системы. Главные особенности реальных сис-
Решетневские чтения
тем - многомерность и взаимосвязанность - усложняют работу, связанную с моделированием [1]. Многомерность и взаимосвязанность реальных систем обусловливает необходимость в математических методах, позволяющих в конечном итоге получить адекватную модель.
Рассмотрим пример многосвязной статической системы (см. рисунок), состоящей из 5 локальных объектов (далее - ЛО).
Пример многосвязной системы
Каждый ЛО имеет входы и выходы. Входными значениями для каждого ЛО могут быть не только входные переменные системы, но выходы других ЛО многосвязной системы. Например, для ЛО 1 входами являются входные переменные системы х1, х2 и выходное значение ЛО 4 ю2. Входные
переменные системы - х, выходные - у, выходные переменные ЛО, которые являются входами для других - ю . Если рассматривать каждый выход системы у, как функцию у1 = / (х, ю) , то
систему можно представить в виде системы трех уравнений. Перенесем у, в правую часть уравнений, обозначим ее как Х, = / (х,ю)- у1 и будем
называть невязкой 1-го уравнения.
Пусть имеется обучающая выборка
(х[1],ю[1],у[,]) объемом 5. Необходимо управлять данной системой, т. е. найти такое управляющее воздействие и , которое бы переводило систему в требуемое состояние у . Сформулированную задачу управления можно свести к задаче решения системы уравнений относительно х. Так как рассматриваемый класс систем - многосвязные, следовательно, решений у системы уравнений может быть более одного [2].
Для отыскания корня в данной работе предложен итеративный алгоритм, в основе которого лежат следующие формулы [2]:
(
и [ N ] =
¿ю,(и[N -1],~т)х,.ИПФ
(Х „-Х [, ] ^
р=1
С. Ч хо)
¿ю,(и[N -1],Т)Пф
р=1 (
Х р-Хр [,]
С . Ч хо)
V ^ \ло) 00 (1)
0
,(и[N -1],т) = ПФ
хг [1] - иг [ N -1]
где ю,(и[N -1],т) - множитель, позволяющий ограничить рассматриваемую область х; и N -1] - центр этой области; т - вектор параметров, определяющих размер области; с5 - вектор параметров размытости; Хр [,] = /р (х[1], ю[,]) - у* - невязкар-го уравнения;
п - число уравнений; N - номер итерации.
Итеративный алгоритм нахождения корня системы состоит из следующих этапов:
1. Пусть параметр т задан, в качестве начальной точки и[0] случайным образом выбирается
точка х[,] из обучающей выборки.
2. Производится настройка вектора параметров размытости с5 .
3. По формуле (1) вычисляется оценка управления и .
4. Проверяется условие остановки, если оно не выполняется, то принимается N = N +1 и осуществляется переход к шагу 2.
Таким образом, были проведены численные исследования методом статистического моделирования при уровне помех 0, 5, 10 % и выборке объемом 500, 1 000, 5 000.
Библиографический список
1. Медведев, А. В. Непараметрические системы адаптации / А. В. Медведев. Новосибирск : Наука, 1983.
2. Красноштанов, А. П. Комбинированные многосвязные системы / А. П. Красноштанов. Новосибирск : Наука, 2001.
х
