Об одном диофантовом уравнении с лакунарными слагаемыми Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 15 Выпуск 4 (2014)

УДК 519.2+511

ОБ ОДНОМ ДИОФАНТОВОМ УРАВНЕНИИ С ЛАКУНАРНЫМИ СЛАГАЕМЫМИ1

В. Н. Чубариков (г. Москва), Н. М. Добровольский (г. Тула)

Аннотация

С помощью метода М. П. Минеева основных и вспомогательных систем доказана теорема о количестве решений диофантова неоднородного уравнения с неизвестными из лакунарной последовательности натуральных чисел.

Исследован вопрос о количестве основных систем и для него получено полиномиальное выражение с использованием чисел Бернулли.

Получены оценки для числа вспомогательных систем.

Ключевые слова: диофантово уравнение, лакунарная последовательность.

Библиография: 12 названий.

ON SOME DIOPHANTINE EQUATION WITH VARIABLES FROM LACUNAR SEQUENCE

V. N. Chubarikov (Moscow), N. M. Dobrovolskiy (Tula)

Abstract

By M. P. Mineev's method of basic and auxiliary systems, we prove a theorem on a number of solutions of some inhomogeneous Diophantine equation with variables from a lacunar sequence of natural numbers.

Using Bernoulli numbers, we obtain a polynomial-type expression for the number of basic systems. The estimates for the number of auxiliary systems are also given.

Keywords: Diophantine equation, gap sequence.

Bibliography: 12 titles.

1 Работа выполнена по гранту РФФИ, ЖНК-13-01-00835

1. Введение

Рассмотрим -х — лакунарную последовательность натуральных чисел типа в. Напомним, что монотонная последовательность -х натуральных чисел называется лакунарной типа в с константой А, если выполнены соотношения

^ в> 1, -х ^ Авх.

- х

Нетрудно видеть, что лакунарные последовательности имеют экспоненциальный рост:

-вх-1 ^ -х ^ Авх. (1)

В класс лакунарных последовательностей попадают целочисленные геометрические прогрессии со знаменателем больше 1, многие рекуррентные последовательности с характеристическими числами больше 1 [5].

тельность натуральных чисел такая, что ^рТ1 ^ в > 1- Тогда для количества

Лемма 1. Пусть N,к,т1,..., тк — натуральные числа, а -х — последова-льность натуральных ч решений гк N) уравнения

N = т—х-1 + ... + Шк -'Хк (2)

в целых числах х1,... ,хк ^ 1 справедлива следующая оценка гкN) ^ скк!, где

с = -в° в-1 •

Доказательство см. в [1], [2] стр. 16, [3] стр. 7-8. Пусть Тт — количество решений уравнения

-х1 + ... + —хк = -у1 + ... + —Ук + Ш,

где т — целое число, отличное от нуля.

В работе [12] с использованием леммы 1 доказана следующая теорема.

Теорема 1. Пусть -х — лакунарная последовательность натуральных чисел такая, что ^ в > 1, -х ^ Авх, к — фиксированное натуральное число, Р — растущее натуральное число, Тт — количество решений диофан-това уравнения

-х1 + ... + -хк = -У1 + ... + -Ук + т (3)

в целых числах 1 ^ Хг,у^ ^ Р. Тогда верно следующее неравенство

Тт ^ (27 + 1)скк!Рк-1 + 2скк\С2кТРк-1,

где 7

К

1п в

+ 1,с = -—1, С1 = £ ,С2 = Кк ,К = 1 (1 - 1) и Т

1п( —1 )

1п в

+ 1.

Уравнения вида (2) будем называть уравнением первого типа, а уравнение вида (3) — второго типа.

Цель данной работы — дать новое доказательство уточненной теоремы о количестве решений диофантова неоднородного уравнения второго типа с неизвестными из лакунарной последовательности натуральных чисел.

Существенную роль в нашем исследовании будет играть метод М. П. Мине-ева основных и вспомогательных систем. Следуя М. П. Минееву, система чисел Х\,... ,Хк называется основной, если для любых г,] (г = ]) выполняется неравенство \Хг — х2\ ^ Т, где Т —некоторое натуральное число. В противном случае система х1,... ,хк называется вспомогательной.

В работах [4, 6] рассматриваются связанные вопросы и применение указанных оценок к исследованию тригонометрических сумм.

2. Число основных и вспомогательных систем

Прежде всего определим число основных систем Ыкрртт, то есть таких наборов натуральных чисел х1,... ,Хк, что выполнены соотношения х^ ^ Р (1 ^ ] ^ к), для любых г,] (г = ]) выполняется неравенство Х — х^ \ ^ Т.

Назовем основную систему Х1,... ,Хк канонической, если выполнены соотношения Х1 > Х2 > ... > Хк. Количество канонических основных систем обозначим через Кк,р,т.

Из любой канонической основной системы перестановками членов получается к! различных основных систем, а из любой основной системы перестановками можно получить только одну каноническую основную систему. Отсюда следует, что Мк,р,т = к!Кк,р,т.

Ясно, что наименьшая каноническая основная система имеет вид

Х1 = 1 + (к — 1)Т >Х2 = 1 + (к — 2)Т> ...> Хк-1 = 1 + Т >Хк = 1.

Поэтому при Р ^ (к — 1)Т имеем Ыкрртт = Кк,р,т = 0.

Далее нам потребуются числа и многочлены Бернулли (см. [7] стр. 256 - 273, [8] стр. 45 - 46).

По определению числа Бернулли задаются равенствами:

соответственно, многочлены Бернулли

п

Во(х) = 1, Вп(Х) = ^ СПХп- (п > 1).

и=0

Для степеней натурального ряда справедлива формула р-1

Е

х=0

х^ = к+1(р):в+1 (и > 1),

V + 1

или

р

Е

х=1

х

ви+1(Р +1) - Ви+1 ви+1(р) + (V + 1р - Ви+1

V + 1

V + 1

(V > 1).

Определим многочлены Ски (х) для натуральных х равенствами:

х

СН1(х) = х, СК(х) = 52 СК,-1(у) (V ^ 2).

У=1

Лемма 2. Для .многочленов СНи(х) справедливо равенство

V- 1

СК (х) = 52 Оги,х = 52 СК»х» +

х"

где

Ск

V, »

»=1

Г 1

V.'

V-1

Chv-l,\в\ + СН V— 1,1

Х=1 V- 1

»=1

при ¡1 = V,

при ¡1 = 1, V > 1,

сы

Е л+11,АСх+Вх+1—» + СК—1при V> 1' 1 < ¡1 < V'

л=»—1 1'

при ¡1 = V =1.

доказательство. Проведем индукцию по V. Получим

х XV

^+1(х) = ^

У=1 У=1 »=1

V

СК+1 (х) = 52 Ск (у) = ^52 Ск^у = 52 ^,»52 у» =

»=1 У=1

СК

£ ^ В»+1(х++\- в»+ = 12 С+1 (52 СЛ+1В»+1—лхл + 1 + 1х I =

»=1

1 +1

11 + 1

= (± СК,»в») х + 2 2 С+» С»»+1в»+1—л) хл + 2

\»=1 ) Л=2 \»=Л—1 1 + ) »=1

( V \ V ( V Ск \ 7м+1

[52^,»в» + СК,1 х + £ £ ^СЛ+1в»+1—л + СК,Л хл + \»=1 ) л=2 \»=л—1 1 + ) + )!

V

поэтому

V

СЪи+\,1 = Chv,»В» + 1 »=1

и

^ СИ 1

С1г„+1,\ = ^^ —-~1 С^ В»+\-\ + С1г„,\ (1 <\<и +1), Оги+1,и+1 = -—+ , »=х-г — + 1 -и + 1)!

что доказывает лемму. □

Теорема 2. При Р > -к — 1)Т для количества основных систем справедливы соотношения

Кк,р,т = ^ СНк,»(Р — -к — 1)Т)» + -Р -к 1)Т)

к-1

СИ,. -Р - (к - 1)Т)» + -Р — -1 к!

к-1

Щр,т = (Р — -к — 1)Т )к + к! ^ СНк,»(Р — -к — 1)Т)». (7)

»=1

Доказательство. Ясно, что К1, р,4 = Р, так как условия основной системы и канонической являются тривиальными (отсутствуют) и любое натуральное х с 1 ^ х ^ Р образует каноническую основную систему.

При к > 1 рассмотрим каноническую систему х\ > х2 > ... > х,. Ясно, что х1 — любое из условий -к — 1)Т + 1 ^ х ^ Р.

При фиксированном значении х\ числа х2 > ... > х, образуют каноническую основную систему при замене Р на х\ — Т. Поэтому их будет ровно

Кк-г,х1-т,т. Следовательно, имеет место рекуррентное соотношение

р

Кк, р, т = ^^ Кк-1, х-т , т ■ х=(к-1)Т +1

По индукции покажем, что справедливо равенство Кк,р,т = СИк-Р —-к—1)Т). Действительно, при к = 1 имеем К1, р ^ = Р = СИ1-Р — -1 — 1)Т) и утверждение справедливо. Далее,

рр Кк+1, р , т = Кк,х-т,т = СИк-х — Т — -к — 1)Т) =

х=кт+1 х=кт+1

р-кт

= ^ СИк -х) = СИк+1 -Р — кТ)

х=1

и утверждение доказано для любого натурального к.

Применяя лемму 2, получим равенство (6), из которого непосредственно вытекает равенство (7). □

Обозначим через т^рт количество вспомогательных систем, то есть таких систем Х\,... ,Хк натуральных чисел, что выполнены соотношения Xj ^ Р (1 ^ ] ^ к), и найдутся г,] (г = ]), для которых выполняется неравенство \хг — Xj\ < Т.

Лемма 3. При к ^ 2 выполняется оценка

1 Т — 1

Крт ^ С2Рк-1Т ( 2 — 1 —

(2 — 1 — ^)

Доказательство. Пусть система х1,...,хк вспомогательная, тогда найдутся номера г и ] такие, что 1 ^ хг — Xj < Т или хг = Xj.

В первом случае номера г и ] можно выбрать к (к — 1) способами, переменные хи (и = ], г) могут независимо принимать любое значение от 1 до Р, переменная хг — от 2 до Р, а переменная Xj — не более тт(хг — 1, Т — 1) различных значений от хг — 1 до тах(хг — Т + 1,1).

Во втором случае номера г и ] можно выбрать С¡2 способами, переменные хи (и = ], г) могут независимо принимать любое значение от 1 до Р, переменные хг = Xj и одновременно принимают Р различных значений от 1 до Р.

Поэтому

трт ^ к(к — 1)Рк-2 | V(Т — 1) + У> — 1) | + СкРк-1

(р т-1 \

£(Т — 1) + ^> — 1) + С2Рк

х=Т х=2 )

к(к — 1)Рк-2^ (Р — т + 1)(Т — 1) + (Т — 2)2(Т — + ск Рк~1

(2 — Т — V)

С2Рк-1Т ( 2 - - -

□

3. Свойства основных канонических систем

Обозначим через Хк(Р,Т) множество всех основных канонических систем х = (х1,... , хк). Таким образом имеем:

{

Хк (Р,Т) = I х = (х1, ...,хк)

1 ^ хк < ... <х1 ^ Р, х^ — Xj+1 ^ Т,] = 1,... ,к — 1

}

На множестве основных канонических систем задан естественный лексикографический порядок: х > у тогда и только тогда, когда найдется номер ] ^ к такой, что хи = уи при V < ] и Xj > yj. Величину ] = ] (х, у) будем называть индексом порядка.

Ясно, что максимальный элемент хтах = (Р, Р — Т,... , Р — (к — 1)Т), а минимальный элемент хт;п = (1 + (к — 1)Т,... , 1 + Т, 1).

Зададим на множестве основных канонических систем Xк(Р, Т) функционал Р (х) равенством

к

Р (х) = £ Рх„.

v=1

1П( )

Лемма 4. При Т > функционал Р(х) монотоннен на множестве

основных канонических систем Хк(Р,Т); то есть из х > у следует Р(х) > > Р(у). При этом справедливы неравенства

в - 1 4

<Р(х) — Р(у) < 3 РХ], (9)

где 3 = 3 (х, у) — индекс порядка.

Доказательство. Обозначим через х+ наибольшую основную каноническую систему ъ такую, что 3(ъ, х) > 3(х, у), а через х- наименьшую основную каноническую систему ъ такую, что 3(х, ъ) > 3(х, у). Нетрудно видеть, что х+ = = (х\,... ,Х],Х] — Т,... ,Х] — (к — 3)Т) и х- = (х\,... ,Х], 1 + (к — 3 — 1)Т,..., 1 + +Т, 1).

Аналогично, обозначим через у+ наибольшую основную каноническую систему ъ такую, что 3(х, ъ) = 3(х, у), а через у- наименьшую основную каноническую систему ъ такую, что 3(х, ъ) = 3(х, у). Нетрудно видеть, что у+ = = (х\,... — 1,х] — 1 — Т,... ,Х] — 1 — (к — 3 )Т) и у- = (х1,. . . , Х]-1, 1 + (к— —з)Т, 1 + (к — 3 — 1)Т,..., 1 + Т, 1).

Из сделанных определений следует, что

х+ ^ х ^ х- > y, 3(х+ у) = 3(х у) = j(x-, у)

] ^ ^ о 1 J \ ] > ^ / .у \ и / ^ У 3

х > у+ > у > у-, 3(х у+) = 3(х у) = 3(х у-).

Переходя к значениям функционалов, получим

Р(х+) ^ Р(х) > Р(х-) > Р(у), Р(х) > Р(у+) ^ Р(у) > Р(у-).

Поэтому

Р(х+) — Р(у-) > Р(х) — Р(у) > Р(х-) — Р(у+). Далее имеем:

к-] к-]

Р (х+) — Р (у-) = Рх, + £ Рх,-VТ ^ Р+Т,

и=1 v=0

к-]-1 к

Р(х-) — Р(у+) = Р*3 + £ Р1^Т ^ РХ]-1-иТ.

v=0 v=0

Из определения лакунарной последовательности имеем неравенства

—Х + 1

в

Отсюда следует, что

— Х ■ -I— Х •

77 ^ ХА Т7 <-' Х

-хА-ит ^ т;77г , -хА-1-ит ^

и

- (х+) — - (у-) ^ —ха • и + >; ^

(1+I *>)

в т(к-1+1) — 1 — ХА / ^гл _ N ^т/г. < — ХА

(вт — 1)вт(к-]) А вт — 1'

— (Х-) - — (у+) > ^ (1 — ^ = —ХА • (1 - в£ — цв^ )

При Т > ^ имеем Т > ¡Щ и вт > — > 4. в- < 4.

Аналогично, имеем

вт(к-2 + 1) — 1 вт вт — Л

* < ' ^ < ' ^ < в-1

в(вт — 1)вт(к-2) в (вт — 1) в(вт — 1) в( — — 1) Зв +1' Следовательно,

вт (к-2+1) — 1 4 в — 1

1---- > 1--> --

в(вт — 1)вт(к-з) Зв + 1 2в '

так как

(Зв + 1)(в — 1) < 2в(Зв + 1) — 8в; Зв2 — 2в — 1 < 6в2 — 6в;

Зв2 — 4в + 1 = З(в — 1) ^в — 0 > 0 при в> 1.

Таким образом соотношения (9) доказаны и доказательство леммы завершено. □

Доказанная лемма позволяет существенно усилить лемму 1 для случая канонического основного решения.

Лемма 5. Пусть Ы,к — натуральные числа, а —Х — последовательность

натуральных чисел такая, что ^рг1 ^ в > 1. Тогда при Т > ^ для количества основных канонических решений г*к(Ы,Т) уравнения

N = —Х, + ... + —Хк (10)

в целых числах х1,... ,хк ^ 1 справедлива следующая оценка гк^) ^ 1.

доказательство. Действительно, если х = (х1,... ,хк) — основное каноническое решение уравнения (10), то -(х) = N. Если у — другое основное каноническое решение, то у = х и по лемме 4 - (х) = - (у). Следовательно, уравнение (10) имеет не более одного основного канонического решения. □

4. Число решений диофантова уравнения первого типа для лакунарной последовательности

Рассмотрим неоднородное диофантово уравнение первого типа вида

N = -х1 + ... + -хк (11)

для лакунарной последовательности -1, -2,....

Уравнение (11) будем называть каноническим, если выполнено дополнительно условие упорядоченности х1 ^ х2 ^ ... ^ хк.

Через гк N) обозначим количество решений уравнения (11), а через г*кN) — количество решений канонического уравнения. Ясно, что Гк(^ ^ к!гк(^. Очевидно, что Гк N) равно числу представлений натурального N в виде сумм к слагаемых из лакунарной последовательности, а гк(N) равно числу канонических представлений натурального N в виде сумм к слагаемых из лакунарной последовательности, то есть невозрастающей последовательностью слагаемых.

Нетрудно видеть, что максимальное значение N, имеющего представления со слагаемыми хи ^ Р, есть к-р. Так как количество систем х = (х1,... ,хк) с хV ^ Р (1 ^ V ^ к) равно Рк, а к-р ^ к-1вр-1, то для большей части значений N величина гк N) = 0.

В силу важности леммы 1 приведем доказательство модифицированного утверждения для числа решений уравнения (11).

Лемма 6. Для числа решений уравнения (11) справедлива оценка

гк N ^ к! ^. (12)

Доказательство. Проведем доказательство по индукции. При к =1 справедливо равенство

г1(N)Л1, при N e{Fl,F2,...},

) 1 0, при N¿{-1,-2,...}

и утверждение леммы справедливо.

Пусть к > 1. Обозначим через п номер, такой что -п ^ N < -п+1. В силу неравенств (1) имеем

1п N - 1п А 1п N - 1п -1 - п -1

---1 <п ^ --1 + 1, в ^ Т7.

1п в 1п в N

Обозначим через УкN) множество всех у таких, что Е(у) = N, тогда справедливо равенство

£ N = £ £

у&к (м) V=1 уеук (м)

Так как все переменные равноправные, то

у^ = у^ Еу^

^ N ^ N

у&к (м) уеУк (м)

для любых 1 ^ V, ^ ^ к и

ГкN) = к £ N = к £ N- ъ)■

У&к (м) 3=1

Воспользуемся оценкой Е ^ 1 ^ и индукционным предположением,

получим

п 1 (в- ^\к-2 гкN) ^ к £ в-1 (к - 1)^в^т) =

= к'(^)(й< к! (И)"

и лемма доказана. □

5. Число решений диофантова уравнения второго типа для лакунарной последовательности

Так как уравнения

ъх1 + ... + ЪХк = ^ + ... + Ъук + т

и

ЪХ1 + ... + ЪХк = ЪУ1 + ... + Ъук — т

имеют одинаковое количество решений при 1 ^ Хз,уз ^ Р (1 ^ ] ^ к), то без ограничения общности можно считать, что т > 0.

Будем говорить, что решение ЪХ1,..., ЪХк, Ъу1,..., Ъук диофантова уравнения (3)— основное, если и х1,... ,Хк, и у1,... ,ук — основные системы. В противном случае, когда либо х1,... ,Хк, либо у1,... ,ук, либо обе системы вспомогательные, то и решение ЪХ1,..., ЪХк, ЪУ1,..., Ъук называется вспомогательным.

Обозначим через Тт(к, Р, Т) число основных решений уравнения (3), а через Тт(к, Р,Т) число вспомогательных решений, тогда

Тт = Тт(к, Р, Т) + тт(к, Р, Т). (13)

Лемма 7. Для количества вспомогательных решений уравнения (3) справедливо неравенство

Тт(к, Р, Т) ^ 2С2Рк-1Т (2 — Т — Ц^) к^в—Г) . (14)

Доказательство. Пусть х1,... ,хк — фиксированная вспомогательная система, для которой РХ1 + ... + РХк > т, тогда для натурального

N1 = ^Х1 + ... + Рхк — т

решения уравнения

Ру! + ... + Рук = N1 (15)

будут задавать вспомогательные решения РХ1,..., РХк, РУ1,..., Рук диофантова

уравнения (3). По лемме 6 таких решений уравнения (15) не более скк!. Поэтому,

применяя лемму 3, получим, что число вспомогательных решений, для которых

х1, . . . , хк — вспомогательная система, будет не более

/ „ \ к—1 1 Т — а, в — N

а. Р>- 1т (2 _ 1 _)'

Аналогично, если у1,... ,ук — произвольная фиксированная вспомогательная система и натуральное N = РУ1 + ... + РУк + т, то решения уравнения

Рх1 + ... + РХк = N2 (16)

будут задавать вспомогательные решения РХ1,..., РХк, РУ1,..., РУк диофантова уравнения (3). По лемме 1 таких решений уравнения (16) не более скк!. Поэтому, применяя лемму 3, получим, что число вспомогательных решений, для которых у1, . . . , ук — вспомогательная система, будет не более

( Е \ к—1 ск Р к—1т (2-4- Т — ^ к Л 0 — Г

Т (2 — 1 — «( в—1)'

к - \ - Т Р I - \ 0 — 1

Объединяя обе оценки, получим утверждение леммы. □

1п( 4в )

Лемма 8. При Т > для количества Тт(к,Р,Т) основных решений

уравнения (3) справедлива оценка

' 77 \ к—1

в - ^

0 N

Тт(к,Р,Т) ^ к • (к!)2

+3) (§—?)'

1п8 — 1п3 + 1п А — 1п Р1

1Пв

СЬк—1(Р — (к — 2)Т). (17)

Доказательство. Из любого основного решения РХ1,..., РХк ,РУ1,... ,РУк диофантового уравнения (3) перестановками можно получить только одно основное каноническое решение Рх*,..., Рх*к, РУ*,..., РУ*, то есть такое, где х1 > ... > х*к, ук > ... > ук,. Наоборот, из любого основного канонического решения можно получить ровно (к\)2 различных основных решений.

Кроме этого заметим, что в силу неоднородности уравнения, соглашения о положительности свободного члена т и леммы 4 для решения х, у имеем х > у. Поэтому для любого основного канонического решения х, у определен индекс порядка 3 = 3(х, у).

Обозначим через Т^](к,Р,Т) количество основных канонических решений уравнения (3), для которых индекс порядка равен 3. Согласно предыдущему получим

к

Тт(к,Р,Т) = (к\)2^ Т^ (к, Р, Т). (18)

]=1

Пусть х, у основное каноническое решение с индексом порядка 3 уравнения (3), тогда согласно лемме 4 получим

в - 1 4

^Рх3 < Р(х) — Р(у) = т < зРх3.

Отсюда и из неравенств (1) следует, что

в — 1 4

Ч^Р^-1 <т< зАвх,

1п т + 1п 3 — 1п4 — 1п А 1п т + 1п2 — 1п Р1 — 1п(в — 1)

-Г^-< х3 <-т+Г---1 + 2

1п в 1п в

поэтому количество различных значений Х] не превосходит величины

" Ь8 — 1п3 + 1п А — Ь Р1

С

1п в

+ 3.

Так как при фиксированном значении основной канонической системы х величина Гк(Р(х) — т) равна количеству всех систем у, удовлетворяющих уравнению Р(х) = Р(у) + т, то величина к\гк (Р(х) — т) будет не превосходить согласно лемме 5 величины

Ч # Г

Если х = (х1,... ,Хк) — основная каноническая система, то и система ъ = (х-\_,... ,Х]-1,Х]+1,... ,Хк), получающаяся выкидыванием 3-ой компоненты, будет основной канонической системой. Поэтому количество основных канонических систем х с ограничением на 3-ую компоненту, что она принимает не более С значений, будет не превосходить величины СКк-1,р,т.

Так как последняя оценка не зависит от ], то для числа основных решений уравнения (3) получаем

что доказывает утверждение леммы. □

Теорема 3. Для количества решений уравнения (3) справедлива оценка

доказательство. Действительно, при указанном значении параметра Т выполнены условия леммы 8, поэтому из лемм 7 и 8 следует утверждение теоремы. □

6. Заключение

Общий взгляд на применение диофантовых уравнений с показательной функцией содержится в работах А. Г. Постников [11] и М. П. Минеева [9, 10]. Было бы интересно получить результаты, аналогичные теоремам настоящей работы для функций с более медленным ростом на бесконености, чем показательная функция.

1. Бояринов Р. Н., Чубариков В. Н. О распределении значений функций на последовательности Фиббоначи // Доклады РАН. 2001. Т. 379. № 1. С. 9—

2. Бояринов Р. Н. О распределении значений сумм арифметических функций: дис. ... канд. физ.-мат. наук. М.: МГУ, 2002.

3. Бояринов Р. Н., Нгонго И. И., Чубариков В. Н. О новых метрических теоремах в методе А. Г. Постникова // Современные проблемы теории чисел и ее приложения: труды IV Междунар. Конф. Тула, 2002. С. 5—31.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

11.

4. Бояринов Р. Н. О распределении абсолютных значений тригонометрической суммы // Дискрет. мат. 2012. Т. 24, № 1. С. 26—29.

5. Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н. Лекции по математическому анализу. М.: Дрофа, 2004.

6. Бояринов Р. Н. О скорости сходимости распределений случайных величин // Докл. РАН. 2010. Т. 435, № 3. С. 295—297.

7. А. О. Гельфонд Исчисление конечных разностей. — М.: Наука, 1967. 376 с.

8. Н. М. Коробов Теоретико-числовые методы в приближённом анализе. — М.: МЦНМО. 2004. — 288 с.

9. Минеев М. П. Диофантово уравнение с показательной функцией и его приложение к изучению эргодической суммы // Изв. АН СССР. Сер. Мат. 1958. Т. 26, №5. С. 282-298.

10. Минеев М. П. О проблеме Тарри для быстрорастущих функций // Мат. сб. 1958. Т. 46(88), № 4. С. 451-454.

11. Постников А. Г. Избранные труды / Под ред. В. Н. Чубарикова. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 512 с.

12. И. С. Тимергалиев, Р. Н. Бояринов О распределении абсолютных значений тригонометрической суммы на коротких интервалах // Чебышевский сборник. 2013. Т. 14, вып. 2. С. 154-163.

REFERENCES

1. Boyarinov, R. N. & Chubarikov, C. N. 2001, "About the distribution of values of functions on a sequence of Fibbonaci" , Dokl. RAS, vol. 379, № 1, pp. 9—11. (Russian)

2. Boyarinov, R. N. 2002, "About the distribution of values of sums of arithmetic functions" , Thesis ... c.f.-m.s. Moscow: MSU. (Russian)

3. Boyarinov, R. N., Ngongo, I. I. & Chubarikov, V. N. 2002, "About new metric theorems in method A. G, Postnikova" , Modern problems of number theory and its applications: proceedings of the IV Int. Proc. Tula, pp. 5—31. (Russian)

4. Boyarinov, R. N. 2012, "On the distribution of absolute values of of trigonometric sum" , Increments. Mat., vol. 24, № 1, pp. 26—29. (Russian)

5. Arkhipov G., I., Sadovnichy V. A. & Chubarikov V. N. 2004, "Lectures on mathematical analysis" , M: Drofa. (Russian)

6. Boyarinov, R. N. 2010, "On the rate of convergence of the distributions of random variables" , Dokl. Russian Academy of Sciences, vol. 435. № 3, pp. 295— 297. (Russian)

7. Gelfond, A. O. 1967, "Calculus of finite dierences" , Moscow: Nauka, 376 p. (Russian)

8. Korobov, N. M. 2004, "Number-Theoretic methods in approximate analysis" , Moscow: MCCME. 288 p. (Russian)

9. Mineev, M. P. 1958, "Diophantine equation with exponential function and its application to the study of the ergodic sum" , Izv. A. S. SSSR, ser. Math., vol. 26, №. 5, pp. 282-298. (Russian)

10. Mineev, M. P. 1958, "The problem Tarri for the fast-growing functions" , Mat. Proc., vol. 46(88), no. 4, pp. 451-454. (Russian)

11. Postnikov, A. G. 2005, "Selected works / edited by V. N. Chubarikov." , Moscow: FIZMATLIT, 512 p. (Russian)

12. Temirgaliev, I. S. & Boyarinov, R. N. 2013, "On the distribution of absolute values of trigonometric sums at short intervals" , Chebyshev sb., vol. 14, is. 2, pp. 154-163. (Russian)

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова. Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого Поступило 5.12.2014