Об одной системе сравнений Архипова-Карацубы Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 17 Выпуск 3

УДК 511.3

ОБ ОДНОЙ СИСТЕМЕ СРАВНЕНИЙ АРХИПОВ А^КАРАЦУБЫ

X, М, Салиба

Аннотация

Доказано, что система сравнений Архипова-Карацубы по любому простому модулю, большему степени форм в ней, разрешима при любых правых частях и при числе переменных, превосходящих величину 8(n + 1)2 log2 n + 12(n + 1)2 + 4(n + 1), где n — степень форм этой системы.

Ключевые слова: диофантовы уравнения, сравнения Архипова-Карацубы.

Библиография: 9 названий.

ON ONE ARKHIPOV^KARATSUBA'S SYSTEM OF

CONGRUENCIES

il.M. Saliba Abstract

The Arkhipov-Karatsuba's system of congruencies by arbitrary modulo, greater than a degree of forms in it, has a solution for any right-hand parts, and for the number on unknowns exceeding the value 8(n + 1)2 log2 n + 12(n + 1)2 + 4(n + 1), where n is the degree of forms of this system.

Keywords: diophantine equations, Arkhipov-Karatsuba's system. Bibliography: 9 titles.

Настоящую статью автор посвящает памяти выдающихся математиков Геннадия Ивановича Архипова (12.12.1945-14.03.2013) и Анатолия Алексеевича Карацубы (31.01.193728.09.2008), образ которых у автора тесно связан с Московским университетом.

1. Введение

Мы продолжаем исследования аддитивных проблем теории чисел [1] - [9]. В качестве аддитивных слагаемых в них берутся простейшие формы степени n от двух независимых переменных x и y гада xn,xn-1y,... ,xyn-1 ,yn. Г. И. Архипов и А. А. Карацуба [2] изучали вопрос о разрешимости системы диофантовых уравнений

'xn + ••• + xn = No, xn-1yi + •••+ xn-1yfc = Ni, ... ... ... ...

xiyn-1 + ••• + xfc yn-1 = Nn-1, ,уп + ••• + Уп = Nn,

в натуральных числах xi,..., xk, yi,..., yk при фиксированном числе слагаемых k = k(n).

Как известно, необходимые и достаточные условия для существования решений системы диофантовых уравнений состоят из арифметических условий, связанных с разрешимостью соответствующей системы сравнений по любому модулю и условий порядка, отвечающих за разрешимость подобной системы уравнений в вещественных числах (см., например, [1], [3], [4], [5], [7]). В работе [2] в основном обсуждаются условия порядка. Здесь изучаются некоторые аспекты арифметических условий.

Пусть n > 2, k, v, No,..., Nn — натуральные, p > n — простое число, Tv — число решений системы сравнений Архипова - Карацубы

'xn + ••• + xn = No,

xn-1yi + •••+ xn-1 Ук = Ni,

<............ (mod pv) (1)

xiyn-1 + ••• + xk yn-1 = Nn-1, ,уП + ••• + уП = Nn,

где неизвестные xi,..., xk пробегают полную систему вычетов по модулю pv. Заметим,что разрешимость системы сравнений (1) при v = 1 влечет ее разрешимость при любом натуральном числе v.

В настоящей статье доказано следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть p > n. Тогда при k > k > 8(n + 1)2 log2 n + 12(n + 1) + 4(n + 1) и при No, . . . , Nn (1)

2. Доказательство теоремы

Будем следовать схеме рассуждений, предложенной А. А. Карацубой [6]. Нам понадобятся следующие вспомогательные утверждения.

Лемма 1. Пусть n < p < 8n2,k > k > 8(n + 1)2 log2 n + 12(n + 1)2 + 4(n + 1). Тогда T > 1.

Доказательство. Пусть, как и раньше, переменные xi,..., xk, yi,..., yk пробегают полную систему вычетов по модулю p, переменные ui,..., Uk, Vi,..., Vk — натуральные чиела от 1 до U = 2(n + 1), в следующей системе сравнений

' (ui + Vi)xn +-----+ (Uk + Vk )xn = No,

(ui + Vi)xn-iyi + ■ ■ ■ + (Uk + Vk )xn-iyk = Ni,

.....................(mod pv) (2)

(ui + Vi)xiyn-i +-----+ (uk + Vk )xk уП-1 = Nn-i,

(Ui + Vi)yn + ■ ■ ■ + (uk + Vk )yn = Nn.

T

T = p-(n+1) it it it it Wk(ao,...,an)x

«0=1 «1 = 1 «„-1 = 1 «„ = 1

( n .aoNo + aiNi +-----+ an-iNn-i + anN„

x exp —2ni-

p

где

/о • (« + v)(aoxn + aixn 1y +-----+ an-ixyn 1 + anyn)'

w(ao,...,an) = 2ni-p

u=1 v=1 x=1 y=1

Очевидно, имеем Ш (0,..., 0) = и 2р2. Пусть теперь (ао,...,ап) = (0,..., 0). Тогда для |Ш(а0,..., ап)| справедлива оценка

р р

|W (ao,...,an)| lx

x=1 y=1

u u

X^exp ( 2niJ

u=1v=1

. (u + v)(aoxn + a1xn 1y +-----+ an-1xyn 1 + anyn)

P

= W1.

Обозначим символом J (Л) число решений следующего сравнения aoxn + a1xn 1y + an-1xyn-1 + anyn = Л (mod p). Имеем

+

W1 = £ J (Л)

a=1

u

£

u=1

2ni ^

e p

Для величины 7(А) неодим оценку 7(А) < р + п(р — 1). Далее, получим

W1 < (p(n + 1) - n)£

a=1

u

£

u=1

2ni ^

e p

= p(p(n + 1) — n)U.

Таким образом

Т = (и2р2)кр-(га+1) + 0((п + 1)р2и)к = и2кр2к-п-1 + 0рп+!((п + 1)и-1)к) , |0| < 1.

Достаточно доказать, чторга+12-к < (п+1) log2 р < к—1. Поскольку р < 8п2, последнее

неравенство будет следовать из оценки к — 1 > (п + 1) log2 (8п2), то есть.

к > 2(п + 1) log2 п + 3(п + 1) + 1.

Следовательно, при к > 2(п +1) ^2 п + 3(п +1) +1 имеем Т > 1. Наконец, отсюда находим, что при к > 8(п + 1)2 log2 п + 12(п + 1)2 + 4(п + 1) величина Т1 > 1. Лемма доказана. Лемма 2. При р > 8п2 и при к > 4(п + 1) п + |) +2 имеем Т1 > 1.

Т1

Т1 = р-(га+1) £ ■ ■ ■ £ (ао,..., а„) ехр (^ + ''' + ^

«0 = 1 «п = 1

P

где

p р

S(ao,..., an) = У] У] exp

ж=1y=1

aoxn + a1xn 1 y +-----+ an-1xyn 1 + any

P

n- 1

Отсюда получим £(0,..., 0) = р2. Пусть теперь (ао,..., ап) = (0,..., 0). Тогда оценим |£(а0,..., ап)|. Производя замену переменной у = ¿ж, а затем используя оценку А.Вейля, найдем

Р-1

|S (ao, ...,an)| < p + У]

Ж=1

p

У] exp (2nixn(a0 + a1 z + ■ ■ ■ + anzn))

y=0

< P +(p — 1)VP, N< 1.

X

2

2

Стало быть,

Т1 = р2к-(п+!) + ^(р + (р - 1)п^Р)к = р2к-п-1(1 + 01рга+1(р-1 + пр-1/2)к). Докажем, что рга+1(р-1 + пр-1/2)к < 1/2. Имеем следующую цепочку неравенств

1 k pn+1(2np-1/2)k < -, k + 1 + (n + 1 — -) log2 p + k log2 n < 0.

Поскольку n + 1 — k/2 < 0 и p < 8n2, достаточно проверить неравенство

k

k + 1 + (n + 1 — -) log2 (8n2) + k log2 n < 0,

или

2 > 2(n + 1^log2n + 0 +1, k > 4(n + 1) (tog2n + 0 +2.

Лемма доказана.

Утверждение теоремы есть непосредственное следствие лемм 1 и 2.

3. Заключение.

k

p > n показана разрешимость ее для любых No,..., Nn, то есть при p > n отсутствуют

p < n

В заключение автор приносит глубокую благодарность своему учителю профессору

В. Н. Чубарикову за полезные обсуждения.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Виноградов И. М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел . 2-е изд., исправл. и доп. - М.: Наука, ФИЗМАТЛИТ, 1980, 144 с.

2. Архипов Г. И., Карацуба А. А. Многомерный аналог проблемы Варинга// Докл. АН СССР, 1987, 295, №3, с.75-77.

3. Архипов Г. И. О значении особого ряда в проблеме Гильберта - Камке// Докл. АН СССР, 1981, 259, №, с.265-267.

4. Архипов Г. И. О проблеме Гильберта - Камке// Изв. АН СССР. Сер.мат., 1984, 48, №1, с.3-52.

5. Архипов Г. И., Чубариков В. Н. Об арифметических условиях разрешимости нелинейных систем диофантовых уравнений// Докл. АН СССР, 1985, 284, №1, с.16-21.

6. Карацуба А. А. Об одной системе сравнений// Матем. заметки, 1976, 19, №3, с.389-392.

7. Arkhipov G. I., Chubarikov V. N., Karatsuba A. A. Trigonometric Sums in Number Theory and Analysis. De Gruvter Expositions in Mathematics;39. — Berlin-New York.: Walter de Gruvter, 2004* pp 554.

8. Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. И. Лекции по математическому анализу. 5-е изд., перераб. — М.: Дрофа, 2007, 640 с.

9. Салиба X. M., Чубариков В. H. Об одном обобщении суммы Гаусса // Вестник Моск. ун-та. Сер.1. Мат.,Мех., 2009, №2, с.76-80.

Lebanon, Notre Dame Universitv-Louaize (NDU) Получено 17.04.2016 г. Принято в печать 13.09.2016 г.