О распределении абсолютных значений тригонометрической суммы на коротких интервалах Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 14 Выпуск 2 (2013)

УДК 519.2+511

О РАСПРЕДЕЛЕНИИ АБСОЛЮТНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ СУММЫ НА КОРОТКИХ ИНТЕРВАЛАХ

И. С. Тимергалиев, Р. Н. Бояринов (г. Москва)

Посвящается памяти профессора Г. И. Архипова

Аннотация

Доказаны теоремы о распределении абсолютных значений тригонометрической суммы с лакунарной последовательностью натуральных чисел на коротких интервалах.

Ключевые слова: тригонометрические суммы, короткие интервалы, распределение значений, лакунарные последовательности.

ON THE DISTRIBUTION OF ABSOLUTE VALUES OF THE TRIGONOMETRIC SUM ON SHORT INTERVALS

I. S. Timergaliev, R. N. Boyarinov (Moscow)

Abstract

The theorems on the distribution of absolute values of the trigonometric sum with lacunary sequence of natural numbers on short intervals are proved.

Keywords: triginometric sums, short intervals, values distribution, lacunary sequence.

В работах [1]—[4] изучается распределение абсолютных значений тригонометрической суммы вида S(а) = ^2 e2niaFx, где Fx— лакунарная последова-

x<P

тельность натуральных чисел.

Настоящая работа посвящена изучению распределения значений величины \S(а)| на коротких интервалах.

Рассмотрим

£■

Х<Р

2піаРх

2к

—2піта

ва,

где Ех — лакунарная последовательность, то есть > в > 1; Ех,ш Е Z и существует такое А > 0, что Ех < Авх.

Из соотношения

е2жіап ва

{0:

1, если п = 0;

0, если п — целое,п = 0

следует, что

£■

ХР

,2піаРх

2к

— 2піта

ва

£

е2піа{Рх1 +...+Рхк —Ру1 —...—Рук —т) ва = Т

0 х1,...,Хк,У1,...,Ук<Р

где Тт — количество решений уравнения ЕХ1 + ... + ЕХк = ЕУ1 + ... + ЕУк + т.

Следуя М.П. Минееву, назовем систему чисел х\,... ,Хк основной, если при і = 3 \х% — Хз \ > Т, где Т —некоторое натуральное число. В противном случае система Х\,... ,Хк называется вспомогательной.

В дальнейших рассуждениях нам понадобится следующая лемма

Лемма 1. Пусть Ж,к,т1,... ,тк — натуральные числа, а ЕХ — последовательность натуральных чисел такая, что РрХ1 > в > 1. Тогда для количества решений гк N) уравнения N = т1ЕХ1 +... + тк ЕХк в целых числах х\,... ,хк > 1 справедлива следующая оценка гк(Ж) < скк!, где с = втт.

Доказательство см. в ([1], [2] стр. 16). Верна следующая теорема

Теорема 1. Пусть ЕХ — лакунарная последовательность натуральных чисел такая, что Рр+1 > в > 1, ЕХ < АвХ, к — фиксированное натуральное число, Р — растущее натуральное число, Тт това уравнения

ЕХ1 + ... + ЕХк = ЕУ1 + ... + ЕУк + т

в целых числах 1 < хі,уз < Р. Тогда верно следующее неравенство

количество решений диофан-

(1)

Тт < (2т + 1)скк!Р + 2скк!С2кТР

-)к— 1

где 7

ча)

1п в

+ 1,с в— 1 ’ Сі 2А ,С2 кР1 ,К

иТ

Ч-)

1п в

+1.

1

1

1

1

Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что т > 0.

Сначала рассмотрим вспомогательные системы чисел уі,... у к. Ясно, что таких систем будет не более Ск Рк-1Т. Из леммы 1 следует, что количество решений уравнения (1), в которых либо система уі,... у к, либо система хі,... Хк является вспомогательной, либо вспомогательными являются обе системы, не превзойдет 2скк\С^ТРк-1.

Рассмотрим основные системы у і,... у к и хі,... Хк. Будем считать, что они упорядочены по убыванию: х1 > х2 > ... > хк и у1 > у2 > ... > ук. Следовательно верны неравенства

хз < хі - (в - 1)Т, уз < уі - (в - 1)Т, 1 < 8 < к.

В силу неравенства > в > 1, получаем, что

Рх

Рх

<

Р

Ув

<

хі

в(з-і)Т} РУ1- в(з-і)Т

(2)

при 1 < в < к.

Запишем уравнение (1) в следующем виде

Рх

х1

(

РР

1 + 1 Х2 + + 1 Хк

Р

Х1

Р

Х1

) = Ру1(

1 + 12 + ... + рук ) + т.

РУ

У1

РУ

У1

)

Без ограничения общности будем считать, что х1 > у1, то есть х1 > у1 + 1. Перепишем уравнение в следующем виде:

Р

Х1

1

РХ

РХ

Хк

РХ

Х1

Р

Х1

рх.

Обозначим Н = 1 + -гР2 + ... +

гхі

С учетом неравенств (2) можно записать:

Р 1 У1 Р Р У1 ( РУ2

Рх і Р 1 Х1 У Р

Гхк гу 1 гУ1 I

Гхі Гх 1 Гх 1 '

РУ

Ук

РУ

У1

ГУ2 + + Гук

т? + ... + ру

г

У1

У1

Н.

1+

вТ - 1

То есть Н < 2, если вТ > 2. С другой стороны,

+

в*Т) --

> 1 - - -

в вТ - 1

при вТ > >2 имеем в— = в? -т < у-2=у.То есть н >1 - в- ^

I \ 1п( 4в )

И — в\ = к. Таким образом, при Т > получаем 0

Поскольку Рх 1 = т, То т < рх1 < т. Так как Рх 1 < Л[3х 1, то тА < в

< к< Н < 2.

1

1

1

1

С другой стороны в вх1 < рх1. Отсюда имеем, 1

, что вХі < тв. Обозначим

°1 = 2А и с2 = • Таким образом тс1 < вх1 < тс2. Прологарифмировав и

разделив на 1п в, получим

1п(тсі) < < 1п(тс2)

1п в

1п в

Таким образом, количество возможных значений х1 можно оценить следующим образом

(?)

#{х\} <

1п в

Из леммы 1 следует, что количество решений уравнения (1) в которых системы у1, . . . Ук и Х]_, . . . Хк является основными и х1 > у1 не превзойдет скк!^Рк-1 • Очевидно, что для случая х1 < у1 оценка аналогична. Рассмотрим случай, когда х1 = у1. Тогда уравнение (1) принимает вид

Рх2 + • • • + рхк = РУ2 + • • • + РУк + т-

Т.к. количество наборов у2, • • • ,Ук не превосходит Рк-1, то из леммы 1 следует, что количество решений такого уравнения не превосходит ск-1(к — 1)!Рк-1. Таким образом, для количества решений Тт уравнения (1) получаем

Тт < (27 + 1)скк!Рк-1 + 2скк!С2кТРк-1.

Теорема доказана.

Далее рассмотрим следующий интеграл

а,Ь

£'

Х<Р

2жгаЕх

2к

да.

Напомним, что характеристической функцией % интервала (а, Ь) называется следующая функция

{1, если а Е (а, Ь);

2, если а = а или а = Ь;

0, иначе.

В [5] было показано, что

Ха,ь(а) = Ь - а I ^ ате2жгта + К

0<\т\<М

N.

Причем для остатка КN верно неравенство

Ь

\RN\ < фN(Ь - а) + фN(а - а),

где фм (х) = 4/л/1 + N2 вт2 пх и коэффициенты Фурье функции фм (х) оцениваются следующим образом \ст\ < (пN)-1 (4 + 1п N) е-т1/м.

Положим М = N 1п N]. Тогда функцию фм можно представить в виде

фN (а) = ^ СтЄ

0<\т\<М

2пгта

+ Со + £ ств

М< \ т\

2пгта

с

Оценим Со + Е ств

2піта | М< \т\

со I ^ сте

М<\т\

2піта

^ 4 + 1п N + 4 + 1п N

пN

Е

М< \т\

ы

Є N

4 + 1п N 4 + 1п N т 4 + 1п N 4 + 1п N м+і 1

+ 2-------є-N =---------------------+ 2-------------в-^------------------ <

пN

пN

М<т

пN

пN

1 — в N

4 + 1п N 4 + 1п N N 1п N 4 + 1п N 4 + 1п N 21п N

<—-------+ 2—--------------е—^2N < —-------+ 4—---< ------,

пN пN пN пN N

начиная с некоторого N0. То есть начиная с некоторого N0 функцию фм(х) можно представить в виде

фN (а)= X] ств2піта + 2ві

о< \ т\< М

1п N

где \01 \ < 1.

В дальнейших рассуждениях будем использовать следующую теорему

Теорема 2. ([2], стр. 19) Пусть РХ — последовательность натуральных чисел такая, что > в > 1, к — фиксированное натуральное число, Р — растущее натуральное число, Ак(Р) — количество решений диофантова уравнения

Р + + Р = Р + + Р

Хі Хк Уі У

Уі

Ук

в целых числах 1 < хг,у^ < Р. Тогда при 2к2Т < Р и Т

Ч ев)

1п в

Ак (Р) = к!Рк + в2ск0 к!ТРк-і,

где \в\ < 1, со = —.

Верна следующая теорема.

Теорема 3. Пусть Fx — последовательность натуральных чисел такая,

что > в > 1, к — фиксированное натуральное число, P — растущее

Fx

натуральное число. Тогда при 2к2T < P и b — a > -—- имеет место равенство Jab = (b — a)k!Pk + (b — a)92ck0 k\TPk-l+

+402 ((27 + 1)ckk!Pk-1 + 2ckk!C2kTPk-1) ln P + 401 ln Pckk!Pk-1,

где ві К 1, Ів1І К 1, Щ К 1, c0 — , c — Д,t

-n( )

ln в

і 1.

Доказательство. Можно записать, что

J

a,b —

£■

x< —

,2niaFx

2k 1

da —

0

x<—

,2niaFx

2k

x(a) da —

(b I a)

£■

x< —

2niaFx

2k 1

da і £ am

£■

x<—

am

0< \m\< N 0

2k

2niaFx

£■

x< —

2niaFx

2k

e2mma da!

Rn da.

Поскольку

0

Є

x<—

2niaFx

2k

da — Ak(P), то

J

a,b —

(b a)(k!Pk і e2ckk!TPk-1)+ J] amTm і

0<\m\<N

£■

x< —

2niaFx

2k

Rn da.

a m Tm

0<\m\<N

Обозначим D — (2т і 1)ckk!Pk 1 і 2ckk.C^TPk 1.

Оценим

Так как Tm < D, то

Поскольку \am\ < min (b — a, ^тЛ , то £ \am\ < min ((b — a)N, . При

' ' т=1

a m Tm

0<\m\<N

N

К 2D Yl |am|.

m=1

N

то am

’ n\m\ lnN) lnN

b — a > имеем min ((b — a)N, = -nJN

2D ln N.

Оценим последнее слагаемое

и соответственно

amTm

0< \m\< N

<

1 2k 1 2k

/ 'У ^ e^niaFx a d N R К ( (^N (b a) і фN(a a)) 'У ^ e^niaFx da

J 0 x< — J 0 x< —

b

1

1

1

J I ^ Cme2nim(b-a) і J] Cme2nim(a-a) і 4в1

0 0< \m\< M

0< \ m\< M

ln N

~ж

Е-

x—

2niaFx

2k

da

1

2nimb

^ cme

0<\ m\<M 0

1

Е-

x—

,2niaFx

2k

—2nima

da+

і Ys Cme2™ J

0<\m\<M

E'

x—

,2niaFx

2k

—2nima

da і

E'

x—

2niaFx

ln N

2k

ln N

4в1^^~ da

0< \m\< M

Оценим Tm cme

0< \ m\< M

0<\m\<M

N

2nimb.

^ ^ Tmcme

0<\m\<M

2nimb

К Y D |Cme

0<\m\<M

2nimb |

D Y Icml К

0<\m\<M

К D Y (nN)-1 (4 і ln N) e-H/N — D2

0<\m\<M

4 і ln N

4 і ln N

nN

0<m<[N ln Nj

D2

nN

N < D ln N.

2nima

Аналогично можно оценить ^2 Tmcme

k<\m\<M

Получаем, что когда длина отрезка b — a > , можно записать, что

Jab = (b — a)k!Pk + (b — a)02ckk!TPk-1 + 4^D ln N + 401 ^ckk!Pk.

N

Положим N — P :

Jab — (b a)k!Pk і (b a^2c0k!TP

і4в2 ((2т і 1)ckk!Pk-1 і 2ckk!C2kTPk-1) ln P і 4в1 ln Pckk!Pk-1. Теорема доказана.

Следствие 1. Если b — a > -П-, где 0 < e < 1 и 2k2T < P,

то имеет

место равенство

Ja,b — (b a)k!Pk ( 11 в

О

(14ck(2т іІ^T P~£

,

где ІвІ К 1.

1

1

Доказательство. Заметим, что c0 — в-г — 2c. А так как 2Ck < 2k < (2т + 1)k, то

(2т + 1)ckk!Pk-1 + 2ckk!ClTPk-1 К (2т + 1)kckk!Pk-1 + (2т + 1)kckk!TPk-1 К

К 2(2т + 1)kckk!TPk-1.

При этом очевидно, что ckk!Pk-1 К (2т + 1)kckk!TPk-1 и (b — a)2c0k!TPk-1 К 2(2т + 1)kckk!TPk-1 ln P. Таким образом, имеет место равенство

Jab — (b a)k!Pk + в2(2т + 1)k ck k!TPk-1 ln P + в28(2т + 1)k ck k!TPk-1 ln P+ +в14(2т + 1)kckk!TPk-1 ln P — (b a)k!Pk (1 + в14C(2J + УTln P) .

V (b a)P J

С учетом того, что b a У —п— получаем требуемое утверждение.

Следствие 2. При b — a У -п—^ имеет место следующее неравенство Jab К (b — a)ckk!Pk (4т + 4T + 5),

Доказательство. Из леммы І следует, что Ak(P) к ckk!Pk Так как ln P К (b — a)P и 2Ck < 2k, то

((2т + 1)ckk!Pk-1 + 2ckk!ClTPk-1) ln P К (b — a)ckk!Pk ((2т + 1) + 2kT) К

К (b — a)(2c)kk!Pk ^ +2+ Tj

k

и ln Pckk!Pk-1 К (b — a)2^k!Pk. Итого:

Ja,b К (b — a)ckk!Pk ^2 + 4т + 2 + 4T + 2^ .

Оценим меру ц больших значений суммы S— (a) — e2niaFx. ц — , где

x<— b-a

v — mes{a Є (a; b) : IS— (a)| У Хл/P} — мера a, для которых выполняется неравенство в скобках.

Теорема 4. Для меры ц больших значений суммы S— (a) верно неравенство

ц < 3(4т + 4T + 5) • є coe, ln( 0k)'

где c0 — e-l, т — из теоремы 1 и T

ln в

+1.

Доказательство. Очевидно, что при А > \[P будет верно, что v = 0. Поэтому можно считать, что А < \[P. Рассмотрим А > sjcke. Тогда

b

v -A2kPk = -^-(A^P)2k <J-^ ! \S-(a)\2k <-1- Jab <

b a b a b a — b a

< скк!Рк (47 + 4Т + 5), откуда следует, что ц < (47 + 4Т + 5)

? Г А2 1 \2 і 7 ^ А2 гл

Для к = — верны неравенства---------------1 < к < — .С учетом данных нера-

^ сое 1 1 сое — сое ^ гл г

венств получаем:

, _ _ л2

і < (47 + 4Т + 5) • е < (47 + 4Т + 5) • е ■ е с°є < 3(47 + 4Т + 5) ■ е с°є. Если Л < у/с^е, то воспользуемся тривиальной оценкой ц < 1. При таких Л

л2

верно, что 1 < +5) < 3(47 + 4Т + 5)е-сое. Теорема доказана.

Положим Бр(а) = ^2 е2пгаРх. Рассмотрим случайную величину £ =

x

x—

Sp (а)

V—

Теорема 5. Если длина отрезка Ь — а > -р^, где 0 < е < 1, то найдется такое Р0, что для любого Р > Р0 справедливо равенство

Рр(„) = 1 — е-«2 + ^ {Нр| < 1620^1п р,

уе 1п Р

где Рр (а) — функция распределения величины п = 31п (е(2^ + 1)) и с— константа из теоремы 2.

Доказательство. Рассмотрим момент порядка 2к рассматриваемой случайной величины.

1

^ = Р• ь-а!^ (а)|“ = Рк-ь-а ^

о

Воспользуемся следствием 1, получаем:

м52‘ = и (1 + в14ск(Р+ 1)кТ) = к! (1 + /р)) ,

гДе /(р)

= 1Аск{2~+1)кт и равенство верно для всех к из промежутка 1 < к <

р_

2Т.

Заметим, что при 1 < к < 31п ^с21+\)) 1п Р верно, что ск(2у + 1)к < Ре/3, а значит начиная с некоторого Р\ верно, что f (Р) > Ре/2. Таким образом, при

1 < к <

— — 3 in (c(2j+i))

ln P имеем, что

M£

2k

k! (— + p^) ■

где \в\ < 1.

Заметим, что начиная с некоторого Р2 верны неравенства

Е

+ 1 < — ln Р.

П

Таким образом для всех Р > Р0 = max(Pi, Р2) выполняются условия следствия

1 теоремы 1 из [6] , откуда и следует утверждение теоремы.

— ln Pє/2 + 1 = є — ln P

п 2п

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бояринов Р. Н., Чубариков В. Н. О распределении значений функций на последовательности Фиббоначи // Доклады РАН. 2001. Т. 379, № 1. С. 9— 11.

2. Бояринов Р. Н. О распределении значений сумм арифметических функций: дис. ... канд. физ.-мат. наук. М.: МГУ, 2002.

3. Бояринов Р. Н., Нгонго И. И., Чубариков В. Н. О новых метрических теоремах в методе А. Г. Постникова // Современные проблемы теории чисел и ее приложения: Труды IV Международ. Конф. Тула, 2002. С. 5—31.

4. Бояринов Р. Н. О распределении абсолютных значений тригонометрической суммы // Дискрет. математика 2012. Т. 24, № 1. С. 26—29.

5. Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н. Лекции по математическому анализу. М.: Дрофа, 2004.

6. Бояринов Р. Н. О скорости сходимости распределений случайных величин // Доклады РАН. 2010. Т. 435, № 3. С. 295—297.

Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова Поступило 14.05.2013