О распределении значений сумм характеров абелевых групп и коротких показательных сумм Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 511.37

UDC 511.37

О РАСПРЕДЕЛЕНИИ ЗНАЧЕНИИ СУММ ХАРАКТЕРОВ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП И КОРОТКИХ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ СУММ

Тимергалиев Ирек Саматович

Московский Государственный Университет им.

М.В. Ломоносова, Москва, Россия e-mail: irek_tim@mail.ru

В статье доказаны теоремы о распределении значений сумм характеров абелевых групп и коротких показательных тригонометрических сумм по «сдвигам» интервалов суммирования. Получены асимптотические формулы для дробных моментов этих сумм

Ключевые слова:СУММЫ ХАРАКТЕРОВ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП, ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ СУММА, МЕРА, РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ, ДРОБНЫЕ МОМЕНТЫ

TO THE QUESTION OF VALUE DISTRIBUTION OF THE SUMS OF ABELIAN GROUP’S AND SHORT EXPONENTIAL TRIGONOMETRIC SUMS

T imergaliev Irek Samatovich

Lomonosov Moscow State University, Moscow, Russia e-mail: irek tim@mail.ru

Theorems of the value distribution of the sums of Abelian Group’s characters and short exponentail triginimetric sums are proved in this article. Asymptotic formulas of these sums’ fractional moments are proved

Keywords: SUMS OF ABELIAN GROUP’S CHARACTERS, TRIGONOMETRIC SUM, MEASURE, VALUES DISTRIBUTION, FRACTIONAL MOMENTS

В настоящей работе мы продолжаем исследования, начатые в [1-14]. В [15] была доказана теорема о распределении абсолютных значений сумм характеров абелевых групп, а в [16] получено распределение значений короткой показательной рациональной тригонометрической суммы. Возникают вопросы об оценке скорости сходимости к предельному распределению. Данная статья посвящена ответу на эти вопросы.

Рассмотрим бесконечную последовательность конечных абелевых групп Сп. таких что Пт = со, где зп — количество примарных

п^со

циклических подгрупп в разложении группы С.п, и величину вида 1 ^ ,

£

aEGy,

где суммирование ведется по образующим

примарных циклических подгрупп в разложении группы Сп. а X — характер абелевой группы Сп. Обозначим через Оп порядок группы Сг.

Пусть та (п) = — Е С,? Сг) — моменты рассматриваемой случайной

пп х

величины. Докажем справедливость следующей теоремы.

Теорема 1. Пусть (%) — величина, определенная выше. Тогда для 1 < ?- < , 5:. имеет место асимптотическая формула

т2г(п) = г \ + 6-----,

5?г

где |б| < 1.

Доказательство. Вычислим момент порядка 2г случайной величины (X) для каждого т > 1:

т.

2гУ

2г _1_ 1'

Як

а1,...,аг,Ь1„..,Ьг£Сп у

Имеет место равенство

1 V , (1,если £ = а;

О (0, в противне

г

Тогда

Д ЕСт1

2г

-1 —&г)

з1...

т.

\ 11) —

2Г^ __________________

я 1 ^ ■■ и с&р I. и &]" £

д■ ■ Iдт-’ —

Найдем количество решений уравнения а1 ...аг = Ьг ...Ьг.В силу

однозначности разложения на примарные сомножители набор чисел Ь1г..., Ъг является перестановкой а1г ...,аг. Если а 1г..., аг — различные, то таких наборов будет ровно (яп — 1)... (яп — г + 1), а число решений уравнения

Если среди чисел а1г..., аг есть хотя бы два одинаковых, то число таких наборов не превосходит

решений уравнения а1 ...аг = Ь1 ...Ьг среди таких наборов не превосходит К

Пусть теперь г < Обозначим

1

-Ф-З-Ь-ЧгУ

= з,.

Г +

Поделив это равенство на и прологарифмировав его, получаем

г- 1

Лг=1

___ ^ 2

Так как верно неравенство к < г — 1 < то 1----------->1 —1=, и, считая, что

5 Л

> -, заключаем

Я* - 5л

Поскольку 1п Г1 ——) > — то с учетом полученного выше неравенства

У ^ Х-~п

имеем

г-1

<7 * J ^ ^

к=1

Из последнего неравенства следует

г(г— 1)

*л <

_1£=Й г( г_! ) гз

А с учетом того, что е >1 —-—- >1-----------------------------------------, получаем

яп ял

неравенство

її 1— <5,

— Г +

Таким образом, для г < верна формула

171

2 г У

где |0| < 1. Теорема доказана.

Заметим, что при г < у верно, что 1

Ш2г(п) = r\ | 1 + 9

где |£| < 1.

Оценим меру pL больших значений суммы Sn(x) = E

), где

Д Е Gy,

суммирование, как и прежде, ведется по образующим примарных циклических подгрупп в разложении группы G.1V Здесь ft = — и

v = (z) I — — количество X, для которых выполняется

неравенство в скобках.

Теорема 2. Для меры [1 больших значений суммы Sn Qf) верно неравенство

_Л^

{I < Зе в .

Доказательство. Очевидно, что при Я > ^Js~n будет верно, что v = 0. Поэтому можно считать, что Я < ,/s;,. Рассмотрим Я > у'е. Тогда

d. s"“d.

IS )^г <

\2т

D,

Пусть г < sn. Воспользовавшись тривиальной оценкой m2r(n) < г\, получим

V

-ЯЧг<г!^<г% откуда следует, что /^ <

Для г = ] верны неравенства -— 1 < г < — < —.

С учетом данных неравенств получаем:

£ е

_

р, < е~т < е ■ е в < Зе в .

Если Я < Vе, то воспользуемся тривиальной оценкой < 1. Так как при

я2

таких Я оценка 1 < Зе * верна, то теорема доказана.

Справедлива следующая теорема о скорости сходимости распределения рассматриваемой случайной величины.

Теорема 3. Пусть %п(х) — величина, определенная выше. Тогда найдется такое п0, что для любого п> щ справедливо равенство-.

Рп(Х) = 1 - е~л2 + Пп)

г. /-тч 1 >- -- л ■ п ■ 3 2401п1пз-п

где г.п {л) — функция распределения величины (X) и | к.п | <

Доказательство. Согласно доказанному выше, при г < верно

, , , 1

т2г(п) = г! I 1 + в

Положим N = [^] + 1- Очевидно, что N < */,5тг. Таким образом,

применив следствие 1 теоремы 1 ([17, 20]), получим утверждение теоремы. Докажем справедливость следующей теоремы о дробных моментах.

Теорема 4. Пусть ^(х) — величина, определенная выше. Тогда найдется такое п0, что для любого п> п0 и 0 < а < ^ 1п справедливо

равенство'.

где Г(-) — гамма-функция Эйлера, \6 < 1 и

гНг, О < а < 30;

К2г 30 < а <

>22

N

й3,

> 2 2

N

где

*! =

2 <а“2*

д+ 2

а ’

Д3 = 27-г(| + 1)

(

219а2'

ал

\

Д3 = 23-г(| + 1)1

1115,

127

|\

СИ-2

)

Доказательство. Воспользуемся тем, что при г < верно равенство

, 1

т2г(п) = г! I 1 + 8

где |0| < 1.

Положим Р = — Поскольку

+1 < V.

12* ^ ^ то можно применить теорему 1 из [18, 20].

В нашем случае оЪу = у!, <5 = 1 и

требуемое утверждение.

Далее рассмотрим сумму вида 5„(х; Л.)

.т.., откуда получаем

2>7Г1

I 5 ■= . и

х<п< дг+^

(?е:Н)

нормированную случайную величину =

, где р — простое,

\'1г

= 1, д — первообразный корень по модулю р, х,п, а, к — натуральные

Л

числа, х < р. Также Іігп к(р) = +оо и 1гд <р.

' р — + со '

В дальнейшем нам понадобится следующая теорема

Теорема 5. Пусть Рх — последовательность натуральных чисел такая, что > (3 > 1, к. — фиксированное натуральное число, Р —

растущее натуральное число, Т — натуральное число, для которого верно неравенство ^ < (1 — 1 {р)2>Ак (Р) — количество решений диофантова

уравнения

+ ■■ + Рхь = + "■ + Руъ

в целых числах 1 < хиу^ < Р. Тогда при 2 к2Т < Р

где |0| < 1, с0 = 2^

0-1

Доказательство теоремы см. в [19] (стр. 19).

Далее, как и прежде, ша (р) = —V ££ — моменты

рассматриваемой случайной величины. Верна следующая теорема.

Теорема 6. Пусть — величина, определенная выше. Тогда

существует такое ръ что для всех р > р1 и для 1 < г < ^ имеет место

асимптотическая формула

5- 4Г

т2гУ

{ Ь-4'\

= п{1 + в—)

где |0| < 1.

Доказательство. Вычислим момент порядка 2г случайной величины для каждого г > 1. При этом будем следовать доказательству из [16].

т.

2гУ

р—1

}г 2 г _

1<х<р-1

1 V

р — 1

1<х<р-1

аЭ 2п1—— 6 V

з:+т

0<т£^ Н V-1

2 г

кг р—1

2ъ££-(вт*+-+дтГ-дтг+1-

т1,...,т2Г= 1 дг= 1

Поскольку х пробегает приведенную систему вычетов по модулю р, ад — первообразный корень, то адх тоже пробегает приведенную систему вычетов по модулю р.

Имеет место следующее равенство:

_ Ьо

2тгг----

е V

Ь= 1

■К1'

если о = 0(шо(1р); в противном

Поэтому

1 11

шгг^Р)-^А1-^р_1А2>

где Л1 — количество решений сравнения

д™ 1 _|--|_ дтг = дШг+1. 4-I- ^т2г(то(1^

аЛ2 = к2г — Аг.

Поскольку кдп < р, вместо сравнения

д™ 1 _|--|_ дтг = д-тг+1 4-|- £Гт2Г(т0(1р)

можно рассмотреть равенство

-|-_|- дтг — дт2Г

Применим теорему 5. В нашем случае Рх = дх, соответственно, (3 = д >2, Р = Ь., к = г. Все условия теоремы 5 выполняются, а значит при

Т < К и — < (1 — зт

имеем

где |£| < 1 ,с0 =

а-1

Тогда Л2 = к2г — г\к

111

и

к кгр — 1

1 Нг

+

к р — 1 р—1 Положим Т = 2. Так как д > 2, то с0 < 4 и, таким образом, для г <

ч/й

1 /г1

+

Г!

/г р—1 р—1

\‘И

Тогда существует такое ръ что для всех р>р1 и г < — можно

записать

/ 5 ■ 4Т \

= н(1 + 0—)

т

2г'

Теорема доказана.

Оценим меру /і. больших значений суммы 5., (ж). Здесь и = где

р р-1

V = #{:\:: |^р (ж) | > ?с4к} — количество X, для которых выполняется неравенство в скобках.

Теорема 7. Для меры /і. больших значений суммы (х) верно неравенство

< 3 ■ Є 2в.

Доказательство. Очевидно, что при Я > д/Л будет верно, что у = 0. Поэтому можно считать, что Я < л[к. Рассмотрим Я > лр2е. Тогда

р-1

Л кг =

\2г

(х) \2г = кгт2г

р—1 р—1

р — 1.

.Iя =1

В ходе доказательства теоремы 6 было получено, что

771

2 Н

1 1 1

“ НгАі~К?'р- 1Л2>

где Л1 — количество решений уравнения

дТП1 д'ІЩ- _ дГПг+1 дт2.Гш

В [19, стр. 17] было показано, что уравнение такого типа имеет не более

стг\кг решений, где с = -2—. Так как д > 2, то с < 2 и, таким образом, верна

а-1

оценка

771

2г'

1

<—^ < 2Тт\ < кг 1

"■У

Для г = верны неравенства

------1 < г < — <

2в 2в в

С учетом данных неравенств получаем:

< е

_Г < Є ■ Є 29 < 3 ■ е 2е.

Если Я < л/2е, то воспользуемся тривиальной оценкой /і < 1. Так как

л2

при таких Я оценка 1 < 3 ■ є « верна, то теорема доказана.

1пЛ

Для дальнейших рассуждений положим к = ліпр. Для г < — верны

4

неравенства

1оЬ

4Г < е 4 1п4 = е 2 2 =

1пЫп.4

1п4 1 2 <

5 '

Существует такое р2, что для всех р > р2 верно неравенство — < —. Таким

образом, с учетом теоремы 6, при р > имеет место следующее выражение:

где р0 = тзх(р1гр2)г и при г <

1пЛ

т.

2т\

= г! I 1 + 0

где |0| < 1.

Справедлива следующая теорема о скорости сходимости распределения рассматриваемой случайной величины.

Теорема 8. Пусть 4 — величина, определенная выше, где к = ^\т\.р. Тогда найдется такое р0, что для любого р > р0 справедливо равенство'. Рр(А) = 1 - е~л2 +

где ¥„ (Я) — функция распределения величины и | /? | <

б4801п1п1пр

/ 1п1пр 1п1пр

Ш

2г'

Доказательство. Согласно доказанному выше, при г <--------верно

3

= г! 1 + 0

Пусть N = -1п(?/1пр) + 1. Поскольку — ]

1.4 ] 1_1б

1 Ыпр

- 1 -, то

воспользоваться следствием 1 теоремы 1 из [17, 20], из которого требуемая теорема.

Теорема 9. Пусть 4 — величина, определенная выше, где к = ^ Тогда найдется такое р0, что для любого р >р0и 0 < а < ^ 1п 1п р справедливо равенство'.

где Г() — гамма-функция Эйлера, |0| < 1 и

(Я1г 0 < а < 30;

можно

следует

< а <

»23

>23

где

д+ 2

а

Я3 = 23 ■ г(|+ і)

'2 “/ ■”г \ 227 Доказательство. Воспользуемся тем, что при р > р0 и при г < верно равенство

Іпіпр

771

2г'

где

= г1\1 + 8

< 1

Положим р = — Поскольку

[2і

1п і

+ 1 <

8

то можно применить теорему 1 из [18, 20].

В нашем случае и2л/ = V', <5 = 1 и требуемое утверждение.

;, откуда получаем

Литература

1. Бояринов Р.Н., Чубариков В.Н. О распределении значений функций на последовательности Фибоначчи// ДАН. 2001. Т.379. № 1. С. 9-11.

2. Бояринов Р.Н. Центральная предельная теорема для равномерного распределения дробных долей быстрорастущих последовательностей// Вестник МГУ. Сер.1, мат. мех.

2001. № 5. С. 52-54.

3. Бояринов Р.Н., Нгонго И. С., Чубариков В.Н. О новых метрических теоремах в методе А. Г. Постникова// Актуальные проблемы теории чисел: Труды IV Межд. Конф.; Тульский государственный педагогический университет. Тула. 2002. С. 5-31.

4. Бояринов Р. Н. О распределении значений сумм, связанных с быстрорастущими последовательностями// Вестник МГУ. Сер.1, мат. мех. 2003. № 2. С. 57-58.

5. Boyarinov R.N., Chubarikov V.N., Ngongo I.S. Asymptotic formulas for fractional moments of special sums// Чебышевский сборник , т. 4, вып. 4. 2003. С.173-183.

6. Бояринов Р. Н. О распределении значений аналога дзетовой суммы// Вестник МГУ. Сер.1, мат. мех. 2004. № 3. С. 55-56.

7. Бояринов Р. Н. О скорости сходимости к предельному показательному распределению// Чебышевский сборник , т. 6, вып. 1. 2005. С.50-57.

8. Бояринов Р.Н. Аргумент дзета-функции Римана// Чебышевский сборник, т. 11, вып. 1. 2010. С. 54-67.

9. Бояринов Р. Н. О скорости сходимости к предельному распределению// Вестник МГУ. Сер.1, мат. мех. 2011. № 2. С. 20-27.

10. Бояринов Р.Н. Вероятностные методы в теории аргумента дзета-функции Римана// Теория вероятностей и ее применения, Т.56. № 2. 2011. С. 209-223.

11. Бояринов Р.Н. О распределении абсолютных значений тригонометрической суммы// Дискр. матем. Т.4, № 1. 2012. С. 26-29.

12. Тимергалиев И. С. О распределении значений сумм Клостермана// Вестник МГУ. Сер.1, мат. мех. 2013. № 5. С. 37-41.

13. Тимергалиев И.С., Бояринов Р.Н. О распределении абсолютных значений тригонометрической суммы на коротких интервалах// Чебышевский сборник т.14, вып 2. 2013. С. 154-163

14. Тимергалиев И.С., Бояринов Р.Н. О распределении значений неполных сумм Гаусса// Чебышевский сборник Т.14, вып 3. 2013 С.132-138

15. Бояринов Р.Н., Нгонго И.С., Чубариков В.Н. О моделировании случайных величин на последовательности конечных абелевых групп// Вестник МГУ. Сер.1, мат. мех. 2004. № 2. С. 69-71.

16. Нгонго И.С. О распределении значений коротких сумм: Дисс. канд. физ.-мат. наук. М., 2002, 82 с.

17. Бояринов Р.Н. О скорости сходимости распределений случайных величин// ДАН.2010. Т.435. № 3. С. 295-297.

18. Бояринов Р.Н. О дробных моментах случайных величин// ДАН.2011. Т.436. № 3. С. 299-301.

19. Бояринов Р. Н. О распределении значений сумм арифметических функций: дисс. канд. физ.-мат. наук. М., 2002, 84 с.

20. Бояринов Р. Н. Вероятностные методы в теории чисел и приложения в теории аргумента дзета-функции Римана: дисс. доктора физ.-мат. наук. М., 2012, 277 с.

References

1. Bojarinov R.N., Chubarikov V.N. O raspredelenii znachenij funkcij na posledovatel'nosti Fibonachchi// DAN. 2001. T.379. № 1. S. 9-11.

2. Bojarinov R.N. Central'naja predel'naja teorema dlja ravnomernogo raspredelenija drobnyh dolej bystrorastushhih posledovatel'nostej// Vestnik MGU. Ser.1, mat. meh. 2001. № 5.

S. 52-54.

3. Bojarinov R.N., Ngongo I.S., Chubarikov V.N. O novyh metricheskih teoremah v metode A. G. Postnikova// Aktual'nye problemy teorii chisel: Trudy IV Mezhd. Konf.; Tul'skij gosudarstvennyj pedagogicheskij universitet. Tula. 2002. S. 5-31.

4. Bojarinov R.N. O raspredelenii znachenij summ, svjazannyh s bystrorastushhimi posledovatel'nostjami// Vestnik MGU. Ser.1, mat. meh. 2003. № 2. S. 57-58.

5. Boyarinov R.N., Chubarikov V.N., Ngongo I.S. Asymptotic formulas for fractional moments of special sums// Chebyshevskij sbornik , t. 4, vyp. 4. 2003. S. 173-183.

6. Bojarinov R.N. O raspredelenii znachenij analoga dzetovoj summy// Vestnik MGU. Ser.1, mat. meh. 2004. № 3. S. 55-56.

7. Bojarinov R.N. O skorosti shodimosti k predel'nomu pokazatel'nomu raspredeleniju// Chebyshevskij sbornik , t. 6, vyp. 1. 2005. S.50-57.

8. Bojarinov R.N. Argument dzeta-funkcii Rimana// Chebyshevskij sbornik, t. 11, vyp. 1. 2010. S. 54-67.

9. Bojarinov R.N. O skorosti shodimosti k predel'nomu raspredeleniju// Vestnik MGU. Ser.1, mat. meh. 2011. № 2. S. 20-27.

10. Bojarinov R.N. Verojatnostnye metody v teorii argumenta dzeta-funkcii Rimana// Teorija verojatnostej i ee primenenija, T.56. № 2. 2011. S. 209-223.

11. Bojarinov R.N. O raspredelenii absoljutnyh znachenij trigonometricheskoj summy// Diskr. matem. T.4, № 1. 2012. S. 26-29.

12. Timergaliev I.S. O raspredelenii znachenij summ Klostermana// Vestnik MGU. Ser.1, mat. meh. 2013. № 5. S. 37-41.

13. Timergaliev I.S., Bojarinov R.N. O raspredelenii absoljutnyh znachenij trigonometricheskoj summy na korotkih intervalah// Chebyshevskij sbornik t.14, vyp 2. 2013. S. 154-163

14. Timergaliev I.S., Bojarinov R.N. O raspredelenii znachenij nepolnyh summ Gaussa// Chebyshevskij sbornik T.14, vyp 3. 2013 S. 132-138

15. Bojarinov R.N., Ngongo I.S., Chubarikov V.N. O modelirovanii sluchajnyh velichin na posledovatel'nosti konechnyh abelevyh grupp// Vestnik MGU. Ser.1, mat. meh. 2004. № 2. S. 69-71.

16. Ngongo I.S. O raspredelenii znachenij korotkih summ: Diss. kand. fiz.-mat. nauk. M.,

2002, 82 s.

17. Bojarinov R.N. O skorosti shodimosti raspredelenij sluchajnyh velichin// DAN.2010. T.435. № 3. S. 295-297.

18. Bojarinov R.N. O drobnyh momentah sluchajnyh velichin// DAN.2011. T.436. № 3.

S. 299-301.

19. Bojarinov R. N. O raspredelenii znachenij summ arifmeticheskih funkcij: diss. kand. fiz.-mat. nauk. M., 2002, 84 s.

20. Bojarinov R. N. Verojatnostnye metody v teorii chisel i prilozhenija v teorii argumenta dzeta-funkcii Rimana: diss. doktora fiz.-mat. nauk. M., 2012, 277 s.