О распределении значении неполных сумм Гаусса Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 14 Выпуск 3 (2013)

УДК 519.2+511

О РАСПРЕДЕЛЕНИИ ЗНАЧЕНИИ НЕПОЛНЫХ СУММ ГАУССА

И. С. Тимергалиев, Р. Н. Бояринов (г. Москва)

К 75-летию профессора А. Л. Шмелькина

Аннотация

Доказана теорема о распределении значений неполных сумм Гаусса. Получены асимптотические формулы для дробных моментов этих сумм.

ON THE DISTRIBUTION OF ABSOLUTE VALUES OF INCOMPLETE GAUSSIAN SUMS

I. S. Timergaliev, R. N. Boyarinov

Abstract

The theorems on the distribution of absolute values incomplete Gauss sums are proved. Asymptotic formulas of the fractional moments of incomplete Gauss sums are proved.

Пусть p — простое, c — целое, (c; p) = 1, числа h и x целые в пределах

0 < h < p и 0 < x < p, а x(n) — комплексный характер по модулю p. Пусть

x+h

Sh(x) = Y, x(n) • e2nicn/p.

n=x+1

Рассмотрим нормированную неотрицательную величину

С = Cv(x)

Sh(x)

Vh

В работах [1], [2] доказаны асимптотические формулы для четных моментов величины £. В настоящей работе уточнены остаточные члены в асимптотических формулах и доказаны теоремы о распределении значений величины £

с равномерными оценками остаточного члена в формуле для функции распределения величины £. При рассуждениях будем следовать работе [2].

р-1

Пусть та(р) = - ^2 £ра(х) — а-й момент рассматриваемой случайной вели-

Р х=0

чины.

Нижеследующие утверждения будем доказывать при к = [1п р].

Теорема 1. Существует такое р0 > 0, что при всех р > р0 и для всех г < \[к для четных моментов рассматриваемой случайной величины £ верно равенство

( 4г! \

т2т(р) = гм 1 + 9к ) •

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что х принимает значения из интервала

0 < х < р с одинаковой вероятностью 1 /р. Тогда момент порядка 2г случайной величины £Р(х) будет равен

1 р-1 1 р-1

т2г (р) = (х) = \8Ь(х)\2Г =

р х=0 рк х=0

1 ( (х + П\) ■ • • • ■ (х + пг)

р'1' =1Н(х + п'+1> ■ • • • ■ (х + Пг).

е2пгс(и1+...+иг-иг+1-...-П2г )/р к р-1 ,

.......'"'ЕхЬ

х — 0 '

1 ^ е2пгс(п1+...-П2г)/р ^ х,( (х + П1) ■ • • • ■ (х + п')

1

> е2Пгс(п1+...-п2г)/Р \ X 4 ' У '

рк' =1 {=0 V (х + пг+1) ■ ••• ■ (х + п2') )

= рк 31 + 32 + '

где в сумму 38, в = 1, 2, 3 входят наборы (п1, • • • , п2г) из класса К3. Класс К1 состоит только из тех наборов, для которых ((г+1, • • •, (2г) есть перестановка набора (%1, •••,%' )• В класс К2 входят только те наборы, для которых рациональная функция, стоящая под знаком характера, является т-ой степенью, где т — минимальное натуральное число, такое что хт = Х0 (так как х — комплексный характер, то т > 3). Кроме того, набор из К2 не входит в К1, то есть ((г+1, • • •, (2г) не является перестановкой набора ((1, • • • , (г)• Все оставшиеся наборы отнесем к классу К3.

Рассмотрим каждое слагаемое отдельно.

1 з = 1 1 = 1 гр

рк' 1 = ркг ^ р = кг ^ = кг 1,

(п1,...,п2г )&К1 (п1,...,п2т )&К1

где Т1 — количество наборов в классе К1. Очевидно, что

г!к(к - 1)(к - 2) ••• (к - г + 1) < Т < г!кг •

Обозначим

П = к(к - 1)(к - 2)... (к - г +1) = к' ^1 - ^ ...(1 - Г—^ .

Поделив равенство на к' и прологарифмировав его, получаем равенство

1п П = Е 1п (1 - к)

к=1 4 7

Так как верно неравенство к < г - 1 < V, то 1 - к > 1 - ^ • Тогда при

к > 4, получаем:

к/к ^ к ^ 2к

1 — к к — у/к к

Поскольку верно, что 1п (1 - к) > -~[/~к , то с учетом полученного выше

к

неравенства имеем следующее:

ьп >ы = _г(г —

кг ^ к к к=1

откуда следует неравенство на Ц :

кГе- ^ < п.

Г , получаем что

_г(г-1) г(г-1) г2

А с учетом того, что е ь > 1-----------4 . у > 1 — -Г-,

кг ^ 1 — < к(к — 1)(к — 2)... (к — г + 1).

к

Таким образом, верны следующие неравенства

г'(і — ГРі < Ат ¿1 < г! <г\(і +

\ к / ркг \ к

или ^ ¿1 = г! + в • г! Г, где 0 <в < 1.

Оценим 32. Пусть f (х) = (х + п1) •... (х + пг) и д(х) = (х + пг+1) •... (х + п2г). В силу того, что (ді,...,д2г) Є К2, то f(х) = ¿(х)^(х),д(х) = ¿(х)дт(х), где ¿(х) — многочлен, делители которого являются многочленами степени меньшей, чем т. Степени многочленов f и д можно представить в виде г = ¿+ті0, где й — степень многочлена ¿(х), — степень многочленов ^ и д0. Тогда количество

наборов в классе К2 не превосходит

г\2клк2і° = г!2кг~(т~2)і°.

Следовательно

1 1 1 г! 2

1 3 = 1 \ ^ е2пга(п1+...-п2г)/р < _г!<2к'-(т-2)^^0 < '

рк' 2 к' ^ < кг ! < к •

(п1,...,п2г )€К

Пусть теперь (п1, • • • , п2г) £ К3. В силу оценки А.Вейля

Р 1 ( (х + щ) ■ • • • ■ (х + пг) '

(х + пг+1) ■ •• • ■ (х + п2г),

х=0

< 2г^/р.

Отсюда имеем

^3з < к22гу/р = 2гкг ■ р

рк' рк'

Таким образом, верно, что т2г(р) = г! + 9 (^г!к + к + • Из неравенств

г2 ^ 2'! 2гкг ^ г!2 ^

к < к, которое верно для всех г, и < -к, которое выполняется при г <

уДпр и к = [1пр], следует требуемое утверждение.

Оценим меру л больших значений суммы Бк(х): л = р, где V = #{х :

\зд\ > — количество х, для которых выполняется неравенство в скоб-

ках.

Теорема 2. При X > 0 для меры л больших значений суммы Бк(х) верно неравенство

_2Х

Л < 15 ■ е е .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Очевидно, что при X > у/Т будет верно, что V = 0. Поэтому можно считать, что X < V Рассмотрим X > е. Тогда

1 р- 1

^Х2гкг = ^(Х^к)2' < У №н(х)\2г = кгт2г(р)•

р р р {=0

Оценим т2' (р) = ркг (3 + ,12 + 3) сверху с учетом оценок полученных в

ходе доказательства теоремы 1:

г!2 2гк'

т2'(р) < г! + — +-------< 2г!2 < 2г2',

к V?

для всех р начиная с некоторого р0. Получаем, что л < 2 (л) •

Г

Л,

Для г = [Л] верны неравенства Л - 1 < г < Л < V. С учетом данных неравенств получаем:

г\ су 2\ 2\

Л < 2е < 2е ■ е-е < 15 ■ е-е.

Если 0 < X < е, то воспользуемся тривиальной оценкой л < 1. При таких X верно, что 1 < Щ < 15е-е. Теорема доказана.

2

Теорема 3. Пусть £р(х) — величина, определенная выше• Тогда найдется такое р0 > 0, что для любого р > р0 справедливо равенство:

Рр (X) = 1 - е Л + Нр, где FР(X) — функция распределения величины £р(х) и \НР\ < 810(1^/111|'11П1Рр) •

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть к = [1пр].

В теореме 1 было показано, что существует такое р1, что для любого р > р1 можно записать т2т(р) = г! (1 + 94^).

Пусть г < (11111111 Р)2. Тогда 1п г < 1п1п1пр. Следовательно, г 1п г < 1:Ц11'1111'11р,. Существует такое р2, что для любого р > р2 верно

2 1п 1п р 1

г! < гг < е1п1п1пр < (1пр)3

Таким образом, для р > тах(р0; р1) и при г < верно равенство:

т2- (р) = г! ^1 + в ^—р^

1п 1пр

+ 1. Так как <N < (1П^ 1пр)2 и для данного

где \9\ < 1.

Положим ^ ^1П1П1ПР)2

N выполнены условия теоремы 1 из [3], [5], то

Рр(X) = 1 - е Л + Нр,

где \Я I ^6 ( ^ ^ (1п1п1пр)2 )+1) + 1 + 3 (1° ЬЬр)2 )

где \НР \ < 6 I / 1°1п р + 1°1° Р 2 + •

\ V (1п1п1п р)2 2 (1°1п1п р)2 /

Существует р3 такое, что для всех р > р3 верна цепочка

2 1п 1п р 2 1п 3 1

3(1п1п1п р)2 1п р(1п1п1п р)2 (1п р) 4 1

л/Ьр л/Шр л/Ьр (1пр) 4

Существует р4 такое, что для всех р > р4 верна цепочка

1п 1п р 1п 2

2 (1п1п1пр)2 = (1пр) (1п1п1пр)2 > 1п1пр.

С учетом того, что

134 (Ь (( + 1) < 135(1п 1п 1пр)2

1п 1пр ^/\п\пр ’

(1п 1п 1пр)2

для всех р > р0 = тах(р1,р2,р3,р4) получаем

\Нр\< 810(^п£.

1п 1п р

Докажем справедливость следующей теоремы о дробных моментах:

Теорема 4. Пусть £р(х) — величина, определенная выше• Тогда найдется такое р0 > 0, что для любого р > р0 и 0 < а < ф 1п1п1пр справедливо равенство:

та (р) = Г(0.5а + 1) + 9Н, где Г(-) — гамма-функция Эйлера, \9\ < 1 и

Н1, 0 < а < 30

Нр = ^ Н2, 30 < а <

Н3, < а < 251п1п1пр

Пі = 2—

а + 2

210 ( 226 1п 1п 1п 1п р \

\ 1п1п1п р I

( ) а + 2

^ ^ ( 218а2 1^ л-/1п1п1п р)\ 2

Ъ = 2 • Г (| + ^--------------------------------]

ІІ., = 23 • Г (I + 1) ехр (— .

3

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть к = [1пр]. Повторяя рассуждения, проведенные при доказательстве теоремы 3, получим, что существует такое р0 > 0, что при р > р0 и при г < 1п1п1п р верно равенство

т2' (р) = г]{г+9 тпр)'

где \9\ < 1.

Положим р = 24. Поскольку

—1п 1п 1п р

+ 1 < 1п 1п 1п р,

то можно применить теорему 1 из [4], [5].

В данном случае а2и = V!, 8 = 1 и f (р) = 1п1п р, откуда получаем требуемое утверждение.

Заметим, что более лучший результат можно получить из общей теоремы о дробных моментах из [5].

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. ЖимбоЭ.К., Чубариков В. Н. О распределении арифметических функций по простому модулю // Дискрет. мат. 2001. Т. 13, №3. С. 32—41.

2. ЖимбоЭ. К. О распределении значений модулей неполных сумм Гаусса //

Вестник Московского Университета. Сер. Математика. Механика. 2001. № 2.

С. 67—69.

3. Бояринов Р. Н. О скорости сходимости распределений случайных величин // Доклады РАН. 2010. Т. 435, №3. С. 295—297.

4. Бояринов Р. Н. О дробных моментах случайных величин // Доклады РАН. 2010. Т. 436, №3. С. 299—301.

5. Бояринов Р. Н. Вероятностные методы в теории чисел и приложения в теории аргумента дзета-функции Римана: дис. ... д-ра.физ.-мат. наук. М.: МГУ, 2012.

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова Поступило 14.09.2013