Об одном аналоге метода внешних штрафных функций в задачах достижимости при кусочно-гладких фазовых ограничениях Текст научной статьи по специальности «Математика»

для любого t € [0, h] и x*(0) = x0.

Имеет место следующая теорема.

Теорема 3. При сделанных предположениях существует число h0 > 0 такое, что задача C(x'(t)) = f (t,x(t)),x(0) = xo имеет 'решение на промежутке [0, ho] .

ЛИТЕРАТУРА

1. Гельман Б.Д., Рыданова С. С. Об операторных уравнениях с сюръективными операторами // Вестник Воронежского Государственного Университета. Серия: Физика. Математика. Воронеж, 2012. № 1. С. 93-98.

2. Рыданова С. С. Об одном классе операторных уравнений // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2011. Т. 16. Вып. 4. С. 1173-1174.

3. Губина С.С. Теорема Борсука-Улама для квазиобратимых операторов. Некоторые приложения // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2013. Т. 18. Вып. 5. С. 2496-2498.

4. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М., 1975.

5. Гельман Б.Д. Топологические свойства множества неподвижных точек многозначных отображений // Математический сборник. 1997. Т. 188. № 12. С. 33-56.

Поступила в редакцию 9 июня 2015 г.

Gubina S.S. ABOUT OPERATOR EQUATIONS WITH SURJECTIVE QUASI INVERTIBLE OPERATORS

This article examines operator equation with a linear surjective operator A which can be not closed, but has a continuous right inverse mapping. The existence theorem for the solutions set of the operator equation A(x) = f (x), where A is a surjective linear operator, and f is a completely continuous mapping, is proven; the applications of the theorem are considered.

Key words: quasi invertible operator; surjective operator; topological degree; operator equation.

Губина Светлана Сергеевна, Военный учебно-научный центр военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина», г. Воронеж, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, преподаватель кафедры математики, e-mail: [email protected]

Gubina Svetlana Sergeevna, Air Force Academy named after Professor N.E. Zhukovsky and Yu.A. Gagarin, Voronezh, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Lecturer of the Mathematics Department, e-mail: [email protected]

УДК 517.977.1

ОБ ОДНОМ АНАЛОГЕ МЕТОДА ВНЕШНИХ ШТРАФНЫХ ФУНКЦИЙ В ЗАДАЧАХ ДОСТИЖИМОСТИ ПРИ КУСОЧНО-ГЛАДКИХ ФАЗОВЫХ

ОГРАНИЧЕНИЯХ

© М.И. Гусев

Ключевые слова: управляемая система; пучок траекторий; множество достижимости; фазовые ограничения; метод штрафных функций.

Рассматривается задача о построении внешних аппроксимаций пучков траекторий нелинейной управляемой системы с фазовыми ограничениями. Изучается аналог метода штрафных функций, состоящий в замене исходной системы с фазовыми ограничениями вспомогательной системой без ограничений.

В работе рассматривается метод построения трубки траекторий (множества достижимости) нелинейной управляемой системы с фазовыми ограничениями. Предполагается, что фазовые ограничения заданы аналитически семейством выпуклых непрерывно дифференцируемых функций. Суть предлагаемого метода состоит в замене исходной системы вспомогательной управляемой системой без фазовых ограничений, правая часть уравнений которой зависит от малого параметра (параметра штрафа). Трубки траекторий вспомогательной системы аппроксимируют сверху трубки траекторий исходной системы с фазовым ограничением при стремлении параметра штрафа к нулю. Рассматриваемый метод можно считать аналогом метода внешних штрафных функций в задачах оптимального управления. Метод получения оценок точности аппроксимации использует результаты [1]. Ранее в работах [3, 4] был рассмотрен аналог метода барьерных функций для аппроксимации множеств достижимости изнутри.

Рассматривается управляемая система

= , ¿0 < г < ¿1, х(^) = х0, (1)

х(£) € Мп . В качестве управлений рассматриваем измеримые функции и : [¿0,^1] ^ и, где и — компакт в Мг .

Будем далее считать, что отображение /(х, и) : Мп х и ^ Мп удовлетворяет условиям: 1) /(х, и) непрерывно и локально липшицево по х равномерно по и ; 2) условие подлиней-ного роста: ЗС > 0, ||/(х,и)|| < С(1 + ||х||), (х,и) € Мп х и .

Пусть фазовые ограничения для системы (1) заданы в виде х(г) € Б, где Б = {х € Мп : дДх) ^ 0, г = 1,..., т} , дДх), г = 1,..., т, — выпуклые непрерывно дифференцируемые функции с липшицевыми градиентами. Считаем, что х0 € Б. Введем следующие обозначения: I(х) = {г : дДх) = 0} , ВД — шар, содержащий траектории системы (1) с заданным начальным состоянием х0 € Б, д(х) = тах^^дДх) . Будем далее предполагать, что выполнены следующие условия.

Предположение 1. В точках х € дБ П Вд градиенты УдДх), г € I (х), положительно линейно независимы.

Предположение2. Существуют а > 0, р > 0 и липшицева функция /(х) определенная на множестве БД = {х : 0 ^ д(х) ^ а}ПВД такие, что тах^е/(ж) (Уд^(х), /(х)) < —р, /(х) € ео^(х), Ух € БД .

Считая последнее предположение выполненным, рассмотрим управляемую систему

х(г) = /е(х(г),и(г)), ¿0 < г < ¿1, х(^) = х0, (2)

где /е(х, и) определена на множестве {х € Мп : д(х) ^ а} П ВД следующим образом:

/£(х и) = / Мд(х))/(х,и) + (1 — Мд(х))) /(х) при д(х) >0,

[ /(х,и) при д(х) ^ 0.

Здесь Л,£(т) : Мп ^ М - непрерывно дифференцируемая функция такая, что 0 ^ Л,£(т) ^ 1, Л,£(т) = 1 при т < 0 , Л,£(т) = 0 при т > е.

Пусть Хс)(-) — пучок траекторий системы (1), удовлетворяющих на [¿0,^1] фазовым ограничениям, Х£(-) — пучок траекторий системы (2), ^(0) , С£(0) — соответствующие множества достижимости (сечения пучков траекторий) в момент 0 € [¿0,^1] .

Теорема1. Пусть ограничения задачи удовлетворяют предположениям 1,2. Тогда 1) при 0 < е < а отображение /£(х, и) непрерывно на {х € Мп : д(х) ^ а} П Вд х и и липшицево по х 'равномерно по и € и;

2) для любого управления u(-) решение xs(t) системы (3) с начальным условием xs(t0) = = x0 продолжимо на [t0,0] и удовлетворяет неравенству g(x£(t)) ^ е, t € [t0,0] ;

3) для каждого 0 < е < а имеет место включение X0(-) С Xs(-) . Существует константа L > 0 такая, что h(X0(-), X£(-)) ^ Le (h(G0(9),Ge(d)) ^ Le), где h — хаусдорфово расстояние между подмножествами в пространствах C[t0, 11] и Rn соответственно.

Рассмотрим линейную по управлению систему

x = f (x,u(t)) = f1(x) + f2(x)u(t), u(t) € U, t0 ^ t ^ t1, x(t0) = x0,

где f1(x) , f2(x) — непрерывно дифференцируемые отображения. Будем далее предполагать, что ограничения на управление u(t) заданы невырожденным эллипсоидом в Rr : U = {u € Rr : (u — u)TQ(u — u) ^ 1}, Q - положительно определенная симметричная матрица, u € Rr - центр эллипсоида. Будем считать, что m = 1, то есть S = {x € Rn : g1(x) ^ 0} , где функция g1(x) не обязательно выпукла.

Теорема 2. Если выполнено предположение 1 и в точках x € dS П Br выполняется неравенство minueu(Vg1(x),f (x,u)) < 0, то существует отображение f(x), удовлетворяющее условиям предположения 2.

Доказательство теоремы опирается на результаты работы [4] и носит конструктивный характер (предлагает метод построения отображения f(x)).

ЛИТЕРАТУРА

1. Bressan A., Facchi G. Trajectories of differential inclusions with State Constraints // J. Differential Equations. 2011. V. 250. № 2. P. 2267-2281.

2. Гусев М.И. Внутренние аппроксимации множеств достижимости нелинейных управляемых систем с фазовыми ограничениями // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2013. Т. 18. Вып. 5. С. 2498-2500.

3. Гусев М.И. Внутренние аппроксимации множеств достижимости управляемых систем с фазовыми ограничениями // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. Екатеринбург, 2013. Т. 19. № 4. С. 73-88.

4. Sontag E.D. A 'universal' construction of Artstein's theorem on nonlinear stabilization// System and Control Letters. 1989. V. 13. P. 117-123.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ 15-01-05951.

Поступила в редакцию 27 апреля 2015 г.

Gusev M.I. ON EXTERNAL PENALTY FUNCTIONS APPROACH IN REACHABILITY ANALYSIS UNDER PIECEWISE SMOOTH STATE CONSTRAINTS

The paper is devoted to the problem of external approximating trajectory tubes of a control system with state constraints. An analog of external penalty function method which consists in replacing the primary system by auxiliary system without state constraints is proposed.

Key words: control system; trajectory tube; reachable set; state constraints; penalty function method.

Гусев Михаил Иванович, Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН, г. Екатеринбург, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, заведующий отделом, e-mail: [email protected]

Gusev Mikhail Ivanovich, Institute for Mathematics and Mechanics named after N.N. Krasovskii of UB RAS, Ekaterinburg, the Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Head of Division, e-mail: [email protected]