Об одном алгоритме вычисления оптимального параметра совместности Текст научной статьи по специальности «Математика»

Заметим, что из условия 1 следует условие Слейтера. Обозначим через h(A, B) хау-сдорфово расстояние между ограниченными множествами A,B С К”. Теорема1. Если m = 1, ограничения задачи удовлетворяю условиям 1, 2 и х0 — внутренняя точка S, то существуют k0 > 0, M > 0 такие, что для любого k>k0 справедливо неравенство

h(Gk(9), 0(9)) < Ml . (2)

Теорема 2. Пусть функции gi(x), i = 1,m, выпуклы и удовлетворяют условиям 1, 2 и х0 — внутренняя точка S. Тогда существуют k0 > 0, M > 0 такие, что для любого k>k0 справедливо неравенство (2).

ЛИТЕРАТУРА

1. Куржанский А.Б., Филиппова Т.Ф. Об описании пучка выживающих траекторий управляемой системы // Дифференц.уравнения/ 1987. Т. 23/ № 8. С. 1303-1315.

2. Гусев М.И. О методе штрафных функций в задаче построения множеств достижимости управляемых систем с фазовыми ограничениями // Тр. ИММ УрО РАН/ 2013. Т. 19/ № 1. С. 81-86.

3. Stern R.J. Characterization of the State Constrained Minimal Time Function // SIAM J. Control and Optimization 2004. V. 43. № 2. P. 697-707.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена в рамках программы Президиума РАН «Динамические системы и теория управления» при поддержке УрО РАН (проект 12-П-1-1019) и гранта РФФИ 12-01-00261.

Gusev M.I. INTERNAL APPROXIMATIONS OF REACHABLE SETS OF NONLINEAR CONTROL SYSTEM WITH STATE CONSTRAINTS

The paper is devoted to the problem of approximating of reachable sets of a nonlinear control system with state constraints given by the system of inequalities. An analog of a penalty function method is proposed which consists in replacing of the primary system by auxiliary system without state constraints. It is shown that a reachable set of the primary system may be approximated in Hausdorff metric by the reachable sets of auxiliary system and the estimates of the rate of convergence are given.

Key words: control system; reachable set; state constraints; penalty function method.

УДК 519.853.4

ОБ ОДНОМ АЛГОРИТМЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОГО ПАРАМЕТРА СОВМЕСТНОСТИ

© Б.В. Дигас

Ключевые слова: невыпуклая оптимизация; регуляризация; итерационный алгоритм. Рассматривается задача вычисления минимального значения скалярного параметра, при котором зависящая от этого параметра система невыпуклых неравенств имеет решение в пределах заданного множества. Само это решение также подлежит нахождению. В случае, когда оно не единственно, достаточно найти любое из решений. При этом точные данные о системе и о множестве допустимых решений неизвестны, доступны некоторые их приближения. Для решения задачи предлагается регуляризирующий итерационный алгоритм, основанный на принципе экстремального сдвига Н.Н. Красов-ского.

2500

Пусть задана некоторая невозрастающая последовательность {цк }°° неотрицательных чисел такая, что

цк ^ 0 при k ^ ж, (1)

а также множества X =[po,P] х Z, где P>po, Z — выпуклый компакт в К”. Обозначим X1 = [po,P] х O^1 (Z). Здесь символ O^(Z) означает ц-окрестность множества Z в

евклидовой n -мерной метрике.

Рассмотрим следующую оптимизационную задачу:

p —> min,

hs(p,x) ^ 0 (s = 1,...,m), (2)

(p, x) e X.

Здесь непрерывные функции h : X1 ^ Rm выпуклы и липшицевы по х :

\h(p,xi) - h(p,X2)\«m ^ L|xi - X2|Rm y(p,xi), (p,X2) e X1.

Требуется решить задачу в условиях, когда функции hs(p,x) и множество Z известны неточно, а именно, доступны лишь приближения hk(p,x) такие, что

\h(p,x) - hk(p,x)\Rm ^ Цк V(p,x) e X1, sup{\hk(p,x)\Rm : k ^ 1, (p,x) e X1} ^ K,

и Zк С К” такие, что

X(Zk, Z) < Цк.

Здесь % — хаусдорфово расстояние между множествами. Множества Zк являются выпуклыми компактами, а функции hk : X1 ^ Кт обладают теми же свойствами, что и h. Обозначим

dist(p,x; X*) = inf{\p - p*\ + \x - x*\r™ : (p*,x*) e X*}, (p e [po,P], x e К”),

где X* — множество всех решений (p*,x*) задачи (2). Будем обозначать через {■, •)|m скалярное произведение в Кт, а символом « + » — положительную срезку.

Заметим, что задача (2) является некорректно поставленной, поскольку бесконечно малые возмущения исходных данных могут приводить к конечным отклонениям решения. Применим для ее решения следующий регуляризирующий алгоритм, основанный на методе агрегирования ограничений, предложенном в [1] для задач выпуклой оптимизации и развитом в [2] для невыпуклой оптимизации при точных данных.

На 0 -м шаге алгоритма полагаем p1 = p0 и фиксируем произвольное x1 e Z1.

На k -м шаге (k = 1,...), когда становится доступной информация о Zk+1 и hk+1, вычисляем проекцию

xk = pmjZk+i xk, (3)

а также находим

решение задачи

(pk+\uk+l) (4)

p —> min,

pk ^ p ^ P, (5) (hk(pk, xk)+, hk(p, u))Rm ^ 2K^k, u Є Z k+\

2501

после чего полагаем

xk+1 = xk + 5k+1(uk+1 - хк), (6)

где

m

5к+1 = arg mrn^Ehks+1{pk,xk + 5(uk+1 - xk)) +). (7)

^ ^ s=1

Теорема 1. Пусть p1 = p0, xl e Z1, и (pk ,xk) (k = 2,...) определены по алгоритму (3)-(7), а информационные погрешности удовлетворяют соотношению (1). Тогда (pk,xk) сходится к множеству решений задачи (2):

lim dist(pk,xk; X*) = 0.

k^°

ЛИТЕРАТУРА

1. Кряжимский А.В., Осипов Ю.С. К регуляризации выпуклой экстремальной задачи с неточно за-

данными ограничениями. Приложение к задаче оптимального управления с фазовыми ограничениями // Некоторые методы позиционного и программного управления: Сб. науч. тр. Свердловск, 1987. C. 34-54.

2. Digas B.V., Ermoliev Yu.M., Kryazhimskii A.V. Guaranteed optimization in insurance of catastrophic

risks. IIASA Interim Report IR-98-082, 1998.

Digas B.V. ON ONE ALGORITHM CALCULATING OPTIMAL CONSISTENCY PARAMETER

The work is devoted to a problem of computing a minimal value of a scalar parameter that provides a solution from a given set to a system of nonconvex inequalities. The solution itself is also subject to finding. In the event of non-unique solution, it is sufficient to find an arbitrary one. Accurate data on the system and on the admissible solutions set are unknown, some approximations being available. A regularizing solution algorithm based on the N.N. Krasovskii’s extremal shift principle is suggested.

Key words : nonconvex optimization; regularization; iterative algorithm.

УДК 517.958, 539.4

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КРИТИЧЕСКИХ СОСТОЯНИЙ

ПЛАСТИЧЕСКОГО СЛОЯ

© В.Л. Дильман, А.И. Носачева

Ключевые слова: нелинейные уравнения гиперболического типа; пластический слой. Разработаны и исследованы математические модели критических состояний неоднородных соединений с пластичной прослойкой на основе приближенных решений граничных задач для системы нелинейных уравнений в частных производных гиперболического типа. Найдены силовые критерии разрушения таких соединений.

В докладе разрабатывается и исследуется комплекс математических моделей напряженного состояния дискретно неоднородной полосы, содержащей прямоугольный слой из менее прочного, чем основной материала, в критический момент нагружения. Слой ортогонален направлению растягивающей полосу нагрузки. Используется схема [1] решения возникающих при этом недоопределенных краевых задач для систем уравнений гиперболического типа:

д&х + дтху д&у + дтху (_ _ )2 + 2 4 (1)

дХ + =0’ ну + Ж = <>' (ах -°у) +Ат*у = А- (1)

2502