Об операторных уравнениях с сюръективными квазиобратимыми операторами Текст научной статьи по специальности «Математика»

Сумин Виктор Иванович, Воронежский институт ФСИН России, г. Воронеж, Российская Федерация, доктор технических наук, профессор кафедры управления и информационно-технического обеспечения, email: [email protected]

Sumin Viktor Ivanovich, Voronezh Institute of the Federal Penitentiary Service (VIFSIN), Voronezh, the Russian Federation, Doctor of Techniques, Professor of the Management and Information Technology Department, email: [email protected]

УДК 517.988.6

ОБ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЯХ С СЮРЪЕКТИВНЫМИ КВАЗИОБРАТИМЫМИ ОПЕРАТОРАМИ

© С.С. Губина

Ключевые слова: квазиобратимый оператор; сюръективный оператор; топологическая степень; операторное уравнение.

В настоящей статье изучается операторное уравнение с линейным сюръективным оператором А, который может быть не замкнут, но обладает непрерывным правым обратным отображением. Рассматривается теорема существования множества решений операторного уравнения А(х) = /(х) , где А — линейный сюръективный оператор, а / — вполне непрерывное отображение, и приводятся приложения этой теоремы.

Пусть Е\ ,Е2 — банаховы пространства, А : О (А) С Е\ —► Е2 — линейный сюръек-тивный оператор.

Определение1. Будем говорить, что оператор А является квазиобратимым, если у оператора А существует правое обратное непрерывное отображение р : Е2 ^ Е\, т. е. такое отображение р, что А(р(у)) = у для любого у € Е2 .В этом случае отображение р будем называть квазиобратным к оператору А .

В дальнейшем будем пологать, что оператор А : О (А) С Е\ —► Е2 квазиобратим и р является отображением квазиобратным к А .

Примеры квазиобратимых операторов и их свойства приведены в [1], [2], [3].

Пусть V С Е\ — ограниченное открытое множество, / : V ^ Е2 — непрерывное отображение. N (А, /) — множество решений уравнения А(х) = / (х).

Определение 2. Будем говорить, что отображение / является (А,р) -вполне непрерывным, если композиция р о / является вполне непрерывным отображением.

Теорема1. Пусть существует такое квазиобратное к оператору А отображение р, что отображение / является (А, р) -вполне непрерывным отображением и д = р о / : V ^ Е\ не имеет неподвижных точек на дV .

Если топологическая степень — Я, дV) = 0 , то N (А, /) = 0.

Если же кроме этого <Ит(Квг(А)) > 0, то N (А, /) П дV = 0 и йгт^ (А, /)) ^ ^ (Ит(Квт(А)).

При доказательстве этой теоремы используются свойства топологической степени вполне непрерывных отображений [4] и теоремы о топологической размерности множества неподвижных точек многозначных отображений, доказанные в работе [5]. Доказательство теоремы 1 см. [1].

Рассмотрим следствие из теоремы 1.

ll20

Пусть Вя[0] — замкнутый шар радиуса К с центром в нуле пространства Е\ . Пусть существует число т > 0 такое, что для любого у € Е2 выполняется неравенство:

||р(у)|| < т||у||.

Обозначим ||р|| = гп/ {т | у € Е2, ||р(у)|| ^ т||у||} .

Теорема 2. Пусть / : Е1 ^ Е2 является (А,р) -вполне непрерывным отображением. Если существуют такие числа с ^ 0 и й ^ 0, что ||/(х)|| ^ с||х|| + й для любого х € Е1 и с||р|| < 1, то N (А, /) = 0 .

Если, кроме того, йгт(Кет(А)) > 0, то (гт^(А,/)) ^ йгт(Кет(А)) .

Доказательство. Пусть К — некоторое положительное число. Очевидно, что для любого х € В я [0] выполнено неравенство

||р(/(х))|| < ||р||||/(х)11 < ||р||с||х|| + ||р||(.

Также заметим, что если ||р||сК + ||р||( < К, то

К> ММ 1 - ||р||с'

Таким образом, если К > ^Дс , то композиция р о / : Вя[0] ^ Вя[0] и на границе шара Вя[0] не имеет неподвижных точек. Тогда

7(г - р о /, Вя[0]) = 1.

Так как число К может принимать любые достаточно большие значения, то утверждение теоремы вытекает из теоремы 1. Теорема доказана.

Рассмотрим применение теоремы 1 к изучению вырожденных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах.

Пусть Е\, Е2, Еп+1 —банаховы пространства,

Аг : Б(Аг) С Ег ^ Е+1,

где г = 1, 2, ...,4 являются замкнутыми сюръективными линейными операторами. Определим оператор

С = Ап о Ап_1 о ... о А1.

Областью опеределения этого оператора является множество

Б(С )= А_1(А_1(...(А_^1(^(Ап)))...)).

Пусть хо € В(С) — некоторая точка, Вд[хо] — замкнутый шар радиуса К с центром в хо , Вя[х0] = {х € Е1 | ||х — х0|| ^ К} , / : [0,Т] х Вя[х0] ^ Еп+1 — вполне непрерывное отображение.

Рассмотрим задачу:

С(х'(г)) = /(г, х(г)),х(0) = хо.

Решением задачи на промежутке [0, Н] , 0 <Н ^ Т, называется непрерывно дифференцируемая функция х* : [0, Н] ^ В(С) С Е1 такая, что

С х (г)) = / (г,х*(г))

для любого t € [0, h] и x*(0) = x0.

Имеет место следующая теорема.

Теорема 3. При сделанных предположениях существует число h0 > 0 такое, что задача C(x'(t)) = f (t,x(t)),x(0) = x0 имеет 'решение на промежутке [0, ho] .

ЛИТЕРАТУРА

1. Гельман Б.Д., Рыданова С. С. Об операторных уравнениях с сюръективными операторами // Вестник Воронежского Государственного Университета. Серия: Физика. Математика. Воронеж, 2012. № 1. С. 93-98.

2. Рыданова С. С. Об одном классе операторных уравнений // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2011. Т. 16. Вып. 4. С. 1173-1174.

3. Губина С.С. Теорема Борсука-Улама для квазиобратимых операторов. Некоторые приложения // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2013. Т. 18. Вып. 5. С. 2496-2498.

4. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М., 1975.

5. Гельман Б.Д. Топологические свойства множества неподвижных точек многозначных отображений // Математический сборник. 1997. Т. 188. № 12. С. 33-56.

Поступила в редакцию 9 июня 2015 г.

Gubina S.S. ABOUT OPERATOR EQUATIONS WITH SURJECTIVE QUASI INVERTIBLE OPERATORS

This article examines operator equation with a linear surjective operator A which can be not closed, but has a continuous right inverse mapping. The existence theorem for the solutions set of the operator equation A(x) = f (x), where A is a surjective linear operator, and f is a completely continuous mapping, is proven; the applications of the theorem are considered.

Key words: quasi invertible operator; surjective operator; topological degree; operator equation.

Губина Светлана Сергеевна, Военный учебно-научный центр военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина», г. Воронеж, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, преподаватель кафедры математики, e-mail: [email protected]

Gubina Svetlana Sergeevna, Air Force Academy named after Professor N.E. Zhukovsky and Yu.A. Gagarin, Voronezh, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Lecturer of the Mathematics Department, e-mail: [email protected]

УДК 517.977.1

ОБ ОДНОМ АНАЛОГЕ МЕТОДА ВНЕШНИХ ШТРАФНЫХ ФУНКЦИЙ В ЗАДАЧАХ ДОСТИЖИМОСТИ ПРИ КУСОЧНО-ГЛАДКИХ ФАЗОВЫХ

ОГРАНИЧЕНИЯХ

© М.И. Гусев

Ключевые слова: управляемая система; пучок траекторий; множество достижимости; фазовые ограничения; метод штрафных функций.

Рассматривается задача о построении внешних аппроксимаций пучков траекторий нелинейной управляемой системы с фазовыми ограничениями. Изучается аналог метода штрафных функций, состоящий в замене исходной системы с фазовыми ограничениями вспомогательной системой без ограничений.