Теорема Борсука-Улама для квазиобратимых операторов. Некоторые приложения Текст научной статьи по специальности «Математика»

где I = (5^) - единичная п х п -матрица, т. е. все главные миноры матрицы I — |Л| должны быть положительными.

В настоящем сообщении указан признак устойчивости, когда имеет место свойство (2) (сравни с [4]).

Теорема1. Для того чтобы матрица А была матрицей Ляпунова в дискретном смысле, необходимо, если она вещественная и неотрицательная, и достаточно — в общем случае, — чтобы были выполнены следующие два условия:

1) все главные миноры матрицы I — |А| были неотрицательные, т. е.

Лі ••• гр\ V*1 ••• ip)

(I — |^.|) I . p ^ 0,1 ^ i1 < ••• < ip ^ n,p = 1,2,^^,n,

2) ранг матрицы I — |^| равен ее главному рангу, т. е. рангу, подсчитанному при помощи только главных (а не всех) миноров:

rang(I — |^|) = main rang(I — |^|).

Последнее условие в теореме является наиболее тонким, в то время как для симметричной матрицы A оно выполнено автоматически.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. 576 с.

2. Перов А.И.,Грязнова Т. С. Детерминантный признак сжатия // Современные методы теории функций и смежные проблемы. Воронеж: ИПЦ ВГУ. 2013. С. 183-184.

3. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1969. 368 с.

4. Перов А.И. Дискретная теория устойчивости неотрицательных матриц. Препринт № 45. Воронеж: НИИМ ВГУ, 2012. 62 с.

Gryaznova T.S. ABOUT SIGN OF STABILITY IN DISCRETE SENSE We offer a sign of stability, which is based by determinantal criterion of Mezler.

Key words: theory of nonnegative matrix; determinantal criterion of Mezler.

УДК 517.988.6

ТЕОРЕМА БОРСУКА-УЛАМА ДЛЯ КВАЗИОБРАТИМЫХ ОПЕРАТОРОВ.НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ.

© С.С. Губина

Ключевые слова: сюръективный оператор; квазиобратимый оператор; нечетное отображение.

Рассматривается новый вариант бесконечномерной теоремы Борсука-Улама, в которой сюръективный оператор А является квазиобратимым и приводится одно приложение этой теоремы.

2496

Пусть Еі,Е2 —банаховы пространства, А: О (А) С Е\ — —линейный сюрьективный

оператор, f : X С Е1 — Е2 — некоторое оторажение. Рассмотрим следующее уравнение:

А(х) = f (х). (1)

Обозначим N (А, f) множество решений уравнения (1).

Определение! Будем говорить, что сюрьективный оператор А является квазиобратимым, если существует непрерывное отображение р: Е2 — Еі, такое, что А(р(у)) = У для любого у Є Е2. В этом случае отображение р будем называть квазиобратным к оператору А.

В дальнейшим будем предполагать, что оператор А квазиобратим и р является отображением квазиобратным к А.

Примеры квазиобратимых операторов и их свойства приведены в [1].

Определение 2. Будем говорить, что отображение f является А -вполне непрерывным, если оно непрерывно и для любого ограниченного множества V С Е2 и любого ограниченного множества В С X множество f (В П А-1^)) является компактным.

Известно, что замкнутый линейный сюрьективный оператор является квазиобратимым (см. [2]).

Пусть Бг (0) — сфера радиуса т с центром в нуле пространства Еі, отображение

f : Бг (0) — Е2 является А -вполне непрерывным нечетным отображением. В статье [2] до-

казывается следующая теорема.

Теоремаї. Если йгш(Кет(А)) ^ 1, то уравнение (1) на сфере Бг (0) имеет непустое множество решений и

dim(N(А, f)) ^ йгш(Кет(А)) — 1.

Рассмотрим приложение этой теоремы в теории дифференциальных уравнений.

О решениях дифференциальных уравнений. Пусть Т - произвольное положительное число, [0, Т] — отрезок числовой прямой Я, С[о)т] пространство непрерывных векторнозначных функций, определенных на отрезке

[0,Т], со значениями в Яп. Пусть заданы линейные непрерывные функционалы

Ьі : С[о т] —— Я, і = 1,..., к

причем 0 ^ к < 2п. Будем предполагать, что отображение Ь : С[0,т] — Як,

Ь(х()) = (Ь1(х(-)),..., Ьк(х( ))), является вполне непрерывным оператором.

Пусть Р2Щ = в + 7 | £ Є [0,Т], в, 7Є Яп} — множество линейных вектор-функций на отрезке [0,Т]. Будем предполагать, что отображение Ь удовлетворяет следующему условию: сужение оператора Ь на подпространство Р2Щ является сюрьективным оператором.

Обозначим О(М) — множество дважды непрерывно дифференцируемых функций на промежутке [0,Т}, оператор М : Б(М) С С[0 ,Т] — С[0,Т] х Як определен соотношением

М (х(-)) = (х"(-),Ь(х(-))),

норма С\от] х Як определена по правилу: ||(х,-и)|| = ЦхЦо + |М|діь• Справедлива следующая лемма.

Л е м м а 1. При сделанных предположениях оператор М имеет ненулевое ядро 'размерности 2п — к, является сюрьективным и квазиобратимым оператором.

Рассмотрим дифференциальное уравнение:

х" = f (і,х,х'), (2)

2497

где f: R1 х Rn х Rn ^ Rn — непрерывное отображение, удовлетворяющее следующему условию

f (t, —x, —y) = —f (t,x,y).

Нас будет интересовать задача существования решений уравнения (2), определенных на отрезке [0,T] и удовлетворяющих следующим условиям:

Li(x(-)) = 0,i = 1, 2,...,к (3)

max ЫЩ = N, (4)

i€[0 , T]

где N - некоторое фиксированное положительное число.

Обозначим n l([0,T]) множество решений задачи (2, 3, 4). Дадим операторную трак-

товку задачи (2), (3), (4).

Пусть f: D(M) ^ C[0 ,т] — оператор суперпозиции, опеределенный следующим образом:

y(t) = f(x)(t) = f (t,x(t),x'(t))-

Рассмотрим оператор g : C[0,T] ^ C[0,T] х Rk такой, что g(x) = (f(x), 0).

Л е м м а 2. Оператор g является нечетным и M -вполне непрерывным.

На основе предыдущих лемм и теоремы доказывается следующее утверждение: Теорема 2. При сделанных предположениях множество n l([0,T ]) = 0 и

dim(Y,nl([0, T])) ^ 2n — к — 1.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гельман Б.Д., Рыданова С.С. Об операторных уравнениях с сюрьективными операторами // Вестник ВГУ. Серия: физика, математика. 2012. № 1. С. 93-98.

2.Рыданова С.С. Теорема Борсука-Улама для квазиобратимых операторов // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна - 2012. 2012. С. 193-195.

Gubina S.S. THEOREM BORSUK-ULAM FOR QUASIINVERTIBILITY OPERATORS. SOME APPLICATIONS

The new version of the infinite-dimensional Borsuk-Ulam, which surjective operator A is a quasireversible and is an application of this theore is discussed.

Key words: surjective operator; quasiinvertibility operator; odd mapping.

УДК 517.977.1

ВНУТРЕННИЕ АППРОКСИМАЦИИ МНОЖЕСТВ ДОСТИЖИМОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ С ФАЗОВЫМИ

ОГРАНИЧЕНИЯМИ

© М.И. Гусев

Ключевые слова: управляемая система; множество достижимости; фазовые ограничения; метод штрафных функций.

Рассматривается задача об аппроксимации множеств достижимости нелинейной управляемой системы с фазовыми ограничениями, заданными в виде неравенства или системы неравенств. Изучается аналог метода штрафных функций, состоящий в замене исходной системы с фазовыми ограничениями вспомогательной системой без ограничений, посредством сужения множества скоростей исходной системы. Доказана сходимость аппроксимирующих множеств в хаусдорфовой метрике и получена оценка скорости сходимости.

2498