Об одном аналитическом методе решения задачи о динамическом ламинарном пограничном слое в автомодельном случае Текст научной статьи по специальности «Математика»

Том XLIV

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

2013

№ 5

УДК 533.6

ОБ ОДНОМ АНАЛИТИЧЕСКОМ МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О ДИНАМИЧЕСКОМ ЛАМИНАРНОМ ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ В АВТОМОДЕЛЬНОМ СЛУЧАЕ

В. Н. ЛАПТИНСКИЙ

Предложен новый подход к анализу уравнения Фолкнера — Скэн. Даны оценки и алгоритмы построения аналитического решения этой задачи.

Ключевые слова: уравнение Фолкнера — Скэн, аналитическое решение.

ВВЕДЕНИЕ

В конце XIX века в развитии науки о движении жидкости получилось несоответствие между некоторыми результатами теоретической гидродинамики, исходящей из уравнений Эйлера, составленных им для движения жидкости без трения, и экспериментальными данными прикладной гидродинамики (так называемой гидравлики). Исследования пограничных слоев, начатые Прандтлем в 1904 г., позволили объяснить и устранить причину указанного несоответствия. Связав теорию с практикой, Прандтль положил начало направлению, основанному на предложенном им эффективном подходе к уравнениям Навье — Стокса (вязкой жидкости), дальнейшее развитие которого привело к большим достижениям в аэродинамике, механике, теплофизике, энергетике и т. д. Тем самым было показано, каким образом силы трения, обусловленные малым коэффициентом вязкости (например, воды), оказывают сильное влияние на процесс движения жидкости. Фактически Прандтль показал, каким образом проявляет себя вязкость при больших числах Рейнольдса и каким путем можно упростить дифференциальные уравнения Навье — Стокса для получения их приближенных решений в случае малой вязкости. Вообще

только идея Прандтля о пограничном слое и сделала доступными для теоретического изучения такого рода явления [1, с. 15].

Явлению пограничного слоя посвящено много теоретических и экспериментальных исследований (см. книги [1 — 6] и приведенную в них библиографию). К настоящему времени разработаны аналитические и численные методы решения соответствующих задач в случае ламинарного течения; в случае турбулентного течения методы расчета пограничных слоев являются в основном полуэмпирическими [1, с. 520], [6, с. 7]. Однако следует отметить, что для ряда гидродинамических задач, например, в задаче об оценке охлаждающей способности кристаллизаторов при непрерывном литье металлов и сплавов, данное явление мало изучено, хотя решение этих задач имеет большое значение для расчета затвердевания отливок даже в ламинарном случае.

Данная работа посвящена созданию метода решения задачи о динамическом ламинарном пограничном слое в автомодельном случае на основе подходов [7, гл. 1, 3, 5], [8 — 12]. При этом используются

< 1

ЛАПТИНСКИЙ Валерий Николаевич

доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник Института технологии металлов НАН Беларуси

другие методы анализа краевых задач теории дифференциальных уравнений, в частности, метод интегральных уравнений. До настоящего времени эта задача решалась в основном численными методами [13 — 17]. Работа написана на основе результатов, приведенных в [18, 19], ее продолжение и развитие изложено в [20, 21].

1. МЕТОДИКА РЕДУКЦИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ К ЭКВИВАЛЕНТНЫМ ИНТЕГРАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ

Указанную задачу рассмотрим в обозначениях [4, с. 177], [5, с. 106]:

/"" + ^ Г" + т[\ - Г2 ) = 0, (1)

/ = 0, /" = 0 при ^ = 0, Г = 1 при ^ = , (2)

где / — безразмерная функция тока; ^ — безразмерная (автомодельная) переменная; ^ = к/— ,

у \х

при этом скорость на внешней границе пограничного слоя — = Схт (С, т — постоянные).

Важным структурным элементом предлагаемого подхода является методика получения эквивалентных интегральных уравнений для краевой задачи (1), (2), которую целесообразно записать в следующем виде:

dx dxл т +1 ! 2 Л /„ч

—L = х, —- = X, —3 =--XX + т (х-1), (3)

dt 2 dt 3 dt 2 1 3 V 2 /

х1 (0) = 0, х2 (0) = 0, х2 (<») = 1, (4)

где г = х1 = /, х2 = /" , хз = /".

Сначала опишем эту методику применительно к общему случаю. Рассмотрим нелинейное уравнение вида

^ = + хеГ, (5)

где ^еС(/хДГХЙ), /еС(/х Д1"); / = [0,7), £> = {х е Мй : ||х|| < р), 0<Г<оо, 0<р<оо. Для системы (5) рассмотрим начальную задачу с условием

х(0) = х0 . (6)

Пусть х = х ^) — решение задачи (5), (6), определенное на всем промежутке [0, Т). Наряду с задачей (5), (6) будем изучать задачу:

^ = х^))— (7)

—[=0 = Е, (8)

где Е — единичная матрица.

Следуя подходу [7, гл. 1], задачу (5) — (8) можно свести к эквивалентной системе интегральных уравнений:

t

и(t, х(t)) = Е +1Л(т, х(т))—(т, х(т))dт, (9)

0

X(t) = их^))

х0 +|и 1 (т, х(т))/(т, х(т))а 1

(10)

где t е[0, Т).

Как видно, этот способ получения уравнений (9), (10) основан на использовании нелинейных аналогов матрицы Коши [7 — 9]. Эти уравнения могут быть получены разными способами. Наиболее простой из них состоит в следующем: вместо уравнения (7) на решении х = х{() задачи (5), (6) рассмотрим линейную нестационарную систему

£=рт г(0)=*

где Р^) = А(t, х^)). Интегрируя эту систему, получим:

V ^ ) = Е + | Р (т)У (т) а т.

о

В силу единственности решения имеем тождество V^) = и(^ х^)), следовательно, соотношение (9) имеет место.

Далее рассмотрим тождество

^ = Р^)х^) + /^, х(t)).

Отсюда по формуле Лагранжа — Коши (см., например [22, с. 77]) получим тождество:

х (t ) = V ^ )

х0 + { V- 1(т)/(т, х(т))Л

= и ^, х (t))

х0 +|и 1(т, х(т))/ (т, х(т))^1

поэтому соотношение (10) также имеет место.

Обратный переход от (9), (10) выполняется весьма просто: сначала вычисляем значения х, и при t = 0, а затем дифференцируем по t обе части тождеств (9), (10).

Система (9), (10) является связанной системой нелинейных интегральных уравнений и весьма сложной для анализа. Однако подходы, изложенные в [7, 10, 11, 23], позволяют провести конструктивный анализ этой системы аналитическими методами, а именно: если х(/) — приближенное решение задачи (5), (6), то для построения приближенных аналитических решений уравнения (9) можно воспользоваться методом вариации параметра [7, гл. 1], согласно которому, наряду с задачей (7), (8), рассматривается задача:

^ = ^)и,

и1=о = Е,

(11)

(12)

где X — вещественный параметр, А^) = А(^ х^)); здесь для удобства принято более наглядное обозначение для А^, х(t)).

Указанный метод основан на переходе от начальной задачи (11), (12) с фиксированным параметром X к соответствующей начальной задаче для системы дифференциальных уравнений с варьируемым параметром и фиксированным t, а именно:

BU

—=P(t, X)U, (13)

U x=o = E- (14)

где

TO

P(t, X) = ^XkPk(t),

k=0

t t P0 (t ) = { A(x) d x, Pr+1 (t ) = {[ A(x), Pr (x)] d x, r = 0,1,2,...

о 0

В [7, гл. 1] изложены аналитические алгоритмы построения матрицы U на основе анализа задачи (13), (14).

Замечание 1. В случае, когда нелинейная начальная задача имеет вид

dx

^ = /(',*), (15)

x(to ) = Xo, (16)

где / е С^0'1^/х D, ffi" j. для получения соответствующего эквивалентного интегрального уравнения можно воспользоваться матрицей ф(^ to, Xo ) типа Коши, определяемой как решение матричного интегрального уравнения [8, 9]:

t

fc(t; to, Xo) = E - |ф(х; to, Xo) f (x, x (t; to, Xo)) d x, (17)

to

где f'x (x, X) — матрица Якоби для f (x, X), (to, Xo )e I x D.

К этому уравнению следует присоединить векторное интегральное уравнение для X = X(t; to, Xo), аналогичное уравнению (10):

t

X(t; to, Xo) = Xo + ^(x; to, Xo) f (x, X(t; to, Xo))dx, (18)

т. е. и в данном случае приходим к системе связанных интегральных уравнений относительно величин Ф, х. Для конструктивного анализа этой системы (и системы (9), (10)) целесообразно воспользоваться подходами [7, 10, 11, 23]. Локальная эквивалентность этой системы нелинейной задачи (15), (16) очевидна. В линейном случае соотношения (17), (18) приводят к известной формуле Коши [22]. Системы (9), (10); (17), (18) представляют собой основу для получения соответствующих эквивалентных интегральных уравнений типа [7] широкого круга краевых задач. Отметим еще, что задача Коши для автономной системы

сЪс

— = /(х), х(/0) = х0; хеГ

t

o

эквивалентна интегральной задаче [24]:

г

х(Г, ^ х0) — х0 + |и(т; ¿о, х0)йт/(х0),

и(г; ¿о, хо ) = Е /'(х(т; ¿о, хо ))и(т; ¿о, хо )йт, ¿о

где /'(х) — матрица Якоби для / (х) . Эта интегральная задача весьма важна для изучения пе-

риодических решений автономных систем.

Далее наряду с (3), (4) рассмотрим следующую задачу:

йхл

' — хо

■ = х

йх3 , / 2 Л

■ — -ах1х3 + ЬI х2 -1),

т +1

а — -

Л Л Л

х1 (о) — о, х2 (о) — о, х3 (о) — X, записав ее в векторно-матричном виде:

Лх—а( х) х+/(х),

Ь — т,

х ( о) — х,

о,

(19)

(20)

(21) (22)

где

х —

Г х ^ Г о о о > х2

х2 II о о о II х 3

V х3 ) о- ах1) Ь (х2

хп —

Г о ^ о

Пусть х — х(^) — решение задачи (21), (22), определенное на промежутке [о, да) . Существование такого решения для значений X из достаточно широкого промежутка может быть доказано известными методами теории дифференциальных уравнений (см., например, [11, 25]) и следует из физического смысла задачи.

Рассмотрим матричное дифференциальное уравнение

Ли—А( х (' ))и

с начальным условием

Ч—о — Е •

(23)

(24)

Решение задачи (23), (24) имеет вид:

и ( х (')) —

Г1 о о ^ о 1 о 0 0

(25)

где

(0=1Х1

I

о

I

2

о

Используя вспомогательную задачу (23), (24), запишем для (21), (22) эквивалентную систему интегральных уравнений типа (9), (10), а именно:

г

и ( х (г)) = Е +1 Л( х (т))и ( х (т)) й т,

о

(26)

х (г ) = и (х (г))

Хо +|и-1 ( х (т)) / ( х (т)) й т

при этом матрица и (х (г)) дается соотношением (25), вектор хо — соотношением (20). Далее запишем систему (26) в координатной форме:

г г

х1 (г) = {х2 (т)йт, х2 (г) = |х3 (т)йт,

о о

г г

—а | х1 (т) й т г —а | х1 (о) й о

х3 (г ) = Хе о + Ь| е т (х2 (т) — 1) й т,

(27)

о

присоединив к ней условие

| х3 (т) й т = 1. (28)

Получили систему интегральных уравнений, эквивалентную задаче (3), (4).

В данной работе для анализа системы (26) используется вспомогательная функция типа [7, 12], определяемая как решение начальной задачи:

= ф2 — ах1ф + (а — 2Ь ) х2, (29)

ф(о ) = Ь/ X. (30)

Идея получения уравнения (29) описана ниже. Вывод этого уравнения можно выполнить различными способами: естественным и искусственными.

Решение задачи (19), (20) зависит от параметров т, X, которые в дальнейшем опускаем для удобства изложения. Поскольку точного аналитического решения задачи (19), (20) в конечном виде не существует, будем использовать приближенные. Тогда из (28) получим приближенные численные значения X корня X этого уравнения. Очевидно, точность корня X определяется эффективностью алгоритмов построения приближенных аналитических решений задачи (19), (20). Эти решения можно строить с помощью различных методов. Один из таких методов состоит в следующем. Задача (19), (20) эквивалентна системе интегральных уравнений:

г I

х1 (г) = {х2 (т)йт, х2 (г) = |х3 (т)йт,

о о (31)

г г

х3 (г) = X — а|х1 (т) х3 (т)йт + Ь !(х22 (т) — 1)йт.

х3

о

о

Присоединив к (31) условие (28), получим интегро-функциональную задачу, эквивалентную краевой задаче (3), (4). Один из подходов к решению системы (31) состоит в применении к ней различных итерационных методов. Классический метод последовательных приближений, примененный к (31), дает алгоритм:

Х1,п (*) = |Х2,п—1 (т)4т, Х2,п (*) = |Х3,п—1 (т)4т,

0 0 (32)

* *

Х3,п (*) = Х — а|Х1,п—1 (т) Х3,п—1 (т)4т + ЬКх2,п—1 (т) — 1)4т

Используя функциональное условие (28), получим соответствующее уравнение для нахождения приближенных значений X:

00

|х3;й(х)й?х = 1 (п = 1,2,...). (33)

о

Алгоритм (32) дает локальное решение задачи (19), (20), поэтому неудобен для теоретического анализа и практического применения из-за сингулярности задачи.

Используя в (31) вычислительную схему метода [7, гл. 3], приходим к следующему алгоритму:

г

х1,п (*) = |Х2,п (Т)4т> Х2,п (*) = |Х3,п (Т)4^

0 0

( г

Х3,п (*) = Х — аIХ1,п—1 (т) Х3,п—1 (т)4т + Ь|(Х1,п—1 (т) — 1)4т

(34)

0

с условием (33). Полагая в (34)

( t \

Х1,0 = _ ф Х2,0 = 1, Х3,0 = ехР а

-|ф(т)4 т

V 0 у

получим последовательно

*

—|ф(т) 4 т / —|ф(о) ¿о / т —|ф(!)

Х31 = Хе 0 , Х21 = х|е 0 йт, Х11 = х|йт|е 0 (35)

0 0 0

где функция ф(*) определяется как решение вспомогательной задачи (29), (30). Значение параметра X, согласно (28), разыскивается из трансцендентного уравнения:

т

х —|ф(о)

х|е 0 4т-1 = 0. (36)

0

Нетрудно проверить, что соотношения (35), (36) дают точное решение краевой задачи (1), (2). Это выполняется подстановкой (35) в (1) с учетом условия (2) на основе (36). Выкладки достаточно громоздкие, поэтому они опущены. В соответствии с [7, гл. 1], этот способ получения вспомогательной задачи (29), (30) является естественным. Существуют два искусственных способа, но они в методическом отношении уступают естественному, в силу его общности.

Идея применения подхода [7, гл. 1] для получения такого представления решения задачи (1), (2) легко усматривается в случае т = 0, когда уравнение (1) принимает вид:

/'" = — 1 //" . (37)

Это уравнение Блазиуса для случая безградиентного обтекания плоской пластины. Из (37) с учетом начальных условий (20) имеем:

1 г 1 т 1 а

—/(т) л , / (о) ао г т — -1 /(,) А

/ "(г) = Хе о , / "(г ) = Х| е о й т, / (г ) = Х| й т| е о й о. (38)

о о о

Соотношения (38) аналогичны соотношениям (35), при этом в (29), (30) следует положить

ф = 1 / и изменить соответствующим образом условие (30): ф(о) = о.

Более эффективным является метод [7, гл.5]. Используя в (27) вычислительную схему этого метода, получим

г г

х1,п (г) = Iх2,п (т)йT, х2,п (г) = Iх3,п (т)йT,

о о

* * (39)

—а|х1, п—1(т) йт г —а|х1, п—¡(о) йо

х3,п (г) = Хе о ' + Ь|(х2,п—1 (т) — 1)е т ' йт.

о

К (39) на основании (28) следует присоединить функциональное условие (33).

Если начальное приближение в (39) строить в виде хи) =1 ф, х2о = 1 на основе точного

, а ,

решения вспомогательной задачи (29), (30), то алгоритм (33), (39) на первом итерационном шаге дает точное аналитическое решение системы уравнений (27) с интегральным условием (28). Это решение имеет вид:

а т г

г т —|ф( л) г —|ф(о) йо —|ф(т) йт

х1 (г) = Х|йт| е о йо, х2 (г) = Х| е о йт, х3 (г) = Хе о (40)

о о о

или, на основании соотношения (36),

х3 (г)- / "(г ) = -еТ-, (41)

X —|ф(о)йо

I е о йт

г

-|ф(т) й т

о

т

г —|ф(о)йо

I е о йт

х2 (г)- /" (г ) = ^-, (42)

X —|ф(о)йо

I е о йт

о

Х (* )■ / (* И

1 е

- |ф(!)

ё с

I'

-|ф(с)4с

4 т

4т, 0 < * <х.

(43)

С помощью алгоритма (33), (39) можно получить достаточно точные приближенные аналитические решения задачи (1), (2). Например [18], полагая

_Ъ 1 2 1

Х1,0 = » + Х* , Х2,0 =1, аХ 2

| т т+1. 3 — —т+--Хт3

получаем

*

х1Д =Х|(* — т) е и 12

о о

При этом значение Х является корнем уравнения

х —|т т+т±1Хт3 ^

* | т т+1. 3

* — —т+--Хт3

4т, х21 =Х|е Vх 12 т, х31 =Хе Х 12

, т т+1. 3 —| —*+-ХГ

Х| е ^ 12 4т — 1 = 0.

С помощью [10, 11] можно установить (в случае т = 0 это очевидно), что при 0 < т <х, 0 < Х0 < Х < х функция ф = ф(*, т, Х) определена для всех значений t из промежутка [0, х) , при этом ф(*, т, Х)> 0 в данном промежутке. Заметим, что из (1) на основании формул (41) — (43) имеем при £ >0, т > 0, Х> 0:

п2

т +1 г 1 — /'' ^ Л

ф =-/ + т—-— >у > 0.

2 /

(44)

Поскольку правая часть (44) при * >0, 0<т <х, Х> 0 неотрицательна, то неотрицательной является и функция ф = ф(*,т,Х), при этом ф(*,т,Х)>0 при *>0, 0<т <х, Х>0 .

Поскольку задача (29), (30) не имеет точного аналитического решения, то возникает необходимость в использовании алгоритмов построения ее приближенных решений ф = , на основе которых вместо соотношений (36) получим следующее:

х|

—|ф(с>)й?с>

4 т — 1 = 0.

(45)

Решая трансцендентное уравнение (45), найдем приближенное значение А, с заданной точностью. Используя различные аналитические представления функции ср^, т. , например, в виде полиномов различных типов, можно получить достаточно точные приближенные решения [20, 21]; затем приближенные решения задачи (3), (4):

—|ф(с>)й?с>

^ = 0 ¿/с, х2(7) = х|е 0 ¿/х, х3(7) = Хе

-|ф(х)й?х

(46)

0 0

где А, определяется из уравнения (45). Точность решения (46), очевидно, определяется точностью соответствующего алгоритма построения функции ф(*,т, Х) .

0

0

0

о

0

2. ПОЛУЧЕНИЕ ОЦЕНОК ОБЛАСТИ ЛОКАЛИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

Важным структурным элементом излагаемого подхода является получение оценок области локализации решения исследуемой задачи. Эти оценки получим на основе метода вспомогательных функций [7], развитого в работах [8 — 12].

Выше установлено, что решение задачи (1), (2) представимо в виде (41) — (43), где вспомогательная функция ф определяется из системы интегральных уравнений

/ —/ф(о) йо / —/ф(о) йо —/ф(т) йт

х1 (г) = x|(г-т)е о йт, х2(г) = X|е о йт, х3 (г) = Хе о о о

Ь г

ф(г) = — + |Гф2(т) — ах1 (т)ф(т) + (а — 2Ь)х2(т) йт (о< г <х),

(47)

дополненной условием (36). Функцию ф можно строить из решения задачи

йх1 йх^ йх3 1 ( 2 л \

—L = х, —- = х, —3 = —ахх + ЬI х — 1)

Л 2 Л 3 Ж 1 3 V 2 /

йх.

йх

йг

йг

йф = ф2 — ах1ф + (а — 2Ь ) х2, х1 (о) = о, х2 (о) = о, х3 (о) = Х, ф(о )=Ь/ X.

Учитывая функциональное условие

(48)

(49)

(50)

(51)

I х3 (т) йт = 1

XI

—/ф(о) йо

й т = 1

(52)

получим решение задачи (1), (2) в виде (41) — (43). Соотношения (48) — (52) представляют собой систему дифференциальных уравнений относительно функций х1, х2, х3, ф, подчиненных соответствующим условиям.

Для построения приближенных решений системы (47) можно использовать различные способы (итерационные, разложения в ряды и др.). При этом сначала следует построить приближенные решения этой системы (зависящие от X), а затем решить трансцендентное уравнение (36) относительно X.

Из (49), (51) на основании (47) приходим к задаче Коши для интегро-дифференциального уравнения относительно вспомогательной функции ф:

(

й ф- = ф2 — aXф|

о

йг

—|ф( л) йл

I е 0 йо

\

* —|ф(о) йо

йт + (а — 2Ь ^ е 0 йт,

о

(53)

ф(о )=ь/ X.

(54)

Таким образом, при данном подходе решение задачи (1), (2) полностью определяется вспомогательной функцией ф = ф(г, т, X), которая находится из (52) — (54). Иными словами, найдя решение ф задачи (52) — (54) и подставив его в соответствующие формулы (47), получим решение задачи (1), (2).

Поскольку это решение является аналитическим, то прежде чем создавать алгоритмы его построения, сначала следует получить оценки области локализации решения, а затем сопоставить их с практически точным численным решением. Тем самым будут определены подходы к разработке самих алгоритмов построения искомого решения и их эффективность.

На основе анализа структуры соотношений (47) заключаем, что сначала следует получить оценку для вспомогательной функции ф. Обратимся к задаче (49), (51) и рассмотрим случай (а — 2Ь) > 0 (0 < т < 1/3). С помощью формулы Коши имеем:

ф(г ) = <

—а | Х1 (х)ё х

г а |х1 (о)ё<

[е 0 ~2

0

ф2 (х) + (а — 2Ь ) х2 (х)

ё х

(55)

Из структуры (47), (55) видно, что ф(г, т, Х)> 0 при г > 0, 0 <т < 1/3, 0 <Л0 <А,<<». Как

видно, этот способ дает более узкую область (по т) неотрицательности функции ф, чем способ, используемый для получения соотношения (44).

Далее выполним в (55) интегрирование по частям:

ф( г ) = Т

^ —а [х^(х)ёх г —а[ Х1(о)ё<

х

+ 1 е

о

ф2 (х) ё х + (а — 2 Ь )

х1 (г) — а | е

0

г —а[ Х1(а)ёо

X2 (х) ё х

V

(56)

Из (56) имеем интегральное неравенство:

г

ф(г)<-е 0

^ —а | Х1 (х)ёх г —а [х1 (о)ё<

+ |е х 0

ф2 (х) ё х + (а — 2Ь ) х1 (г).

(57)

Конструктивную глобальную оценку для ф(г) можно получить из (47), (57) по методике [10, 11, 23]. Из (57) следует неравенство

ф(г) < Ь + (а — 2Ь)хх (г) + [ф2 (х)ёх. X

(58)

С помощью теории интегральных неравенств (см., например, [22]) из (47), (58) по методике [10, 11, 23] можно получить локальную оценку для ф( г).

Из (41) имеем, возможно, грубую, но весьма простую оценку:

-|ф(х)ёх

е 0

Хз (г)-Г (г ) = -^-<

■ = х.

—|ф(о)Ж

[е 0 ёх [

—|ф(<о) ё о

ё х

(59)

Из (42), (43) имеем соответственно:

г —|ф(о)ёо

ё х

х2 (г)- / ' (г )= 0

< 1,

—|ф(о)ёо

ё х

(60)

е

0

1

х (' )■ / (' И

[

— [ф(¡) ёя

ё с

1

-|ф(с)ёс

ё х

ёх < t, 0 < t < да.

(61)

На основании (59) — (61) имеем следующие оценки: / ^) < t, / '(t) < 1, / "(t) < X. Используя их, из (58) получим более простое неравенство:

ф^) < — + (а - 2Ь)t + [ф2 (х)ёх

из которого по методике [10, 11, 23] нетрудно получить простую локальную оценку для ф^). Формулы (59) — (61) дают простые оценки решения задачи (1), (2).

Приведем более сложные, но достаточно точные оценки. Пусть Х1 (t), х2 ^), х3 (t) — решение задачи (27), (28). Из анализа структуры правых частей в (41) — (43) видно, что х ^), Х2 ^), Хз ^)> 0 при t е(0, да); это подтверждается также физическим смыслом задачи.

Из (42) видно, что функция х2 = х2 ^) является монотонно возрастающей в указанном интервале, при этом

0 < х2 ^)< 1, t е[0, да)

(62)

0

0

Нш х2 (t ) = 1. (63)

t ^да

и

Поэтому из третьего соотношения в (27) на основании (62), (63) следует интегральное неравенство

t

—а [ хц(х) ё х

х3(t)<Хе 0 , 0< t <да. (64)

Поскольку это неравенство содержит две неизвестные функции Х1 (t), Х3 (t), подлежащие анализу, то его следует изучать вместе с соотношениями для х ^), Х2 (t) в (27). Тогда система

соотношений (27), (64) становится замкнутой. Из вида граничных условий следует, что качественный анализ должен включать как локальное поведение решения в правосторонней окрестности точки t = 0, что определяет его локальные структурные свойства, так и асимптотическое поведение при t ^да, что определяет его глобальные структурные свойства. Поэтому вполне естественным является разбиение промежутка [0, да) точкой t = ^ на два промежутка

[0, t0], да), где 0 < ^ <да. Тогда в промежутке [0, ^ ] будем изучать локальную структуру и асимптотическое поведение при t ^+0, а в промежутке да) — нелокальную структуру и асимптотическое поведение при t ^да решения задачи.

Сначала изучим локальные структурные свойства решения. Поскольку последние определяются в основном поведением решения задачи (48), (50) в окрестности точки t = 0, то целесооб-

разно сначала получить разложения этого решения в степенные ряды по степеням t. Из уравнений (48) на основании (50) имеем:

X! (X) = 1XX2 -1Ы3 -...,

(65)

х2 (X) = ХХ -!Ы2 -...,

х3 (X ) = Х- Ы -...

(66)

(67)

Согласно [25, гл.3], степенные ряды (65) — (67) сходятся в некоторой окрестности точки X = 0. Из соотношений (65) — (67) получим соответственно:

Нш Х^ = I я, Нш Х2

(X )

х^+о X2 2 ^+0 X

= X, Нш хз (X) = X .

X ^+0

(68)

Соотношения (68) описывают асимптотическое поведение решения при X ^+0 . Изучим некоторые свойства решения в правосторонней окрестности точки X = 0. Из системы (48) на основании (50) имеем систему интегральных уравнений, эквивалентную задаче (48), (50):

А/2 1 X Г

х1 (X) = — +1 - -О2 -ах1 (-) хз (-) + Ь (4 (-)-

2 2-

(69)

X

х2 (X) = XX + {(X - -) -ах1 (-)х3 (-)+ Ь (х22 (-) -1)

0 "

(70)

X

х3 (X) = X + {^-ах1 (-) х3 (-) + Ь (х22 (-) -1)

(71)

Используя [25], можно доказать, что система уравнений (69) — (71) локально однозначно разрешима. Однако следуя методике [10, 11, 23], можно получить нелокальные условия ее однозначной разрешимости.

Из уравнений (69) — (71) на основании (41) — (43) приходим к оценкам

х1 (X )< 1XX 2, х2 (X )<XX, х3 (X )<Х,

(72)

которые эффективны для достаточно малых значений t, но не отражают взаимосвязь между функциями Х1 (X), х2 (X), Х3 (X). Чтобы установить такую связь, обратимся к системе интегральных уравнений (31), эквивалентной задаче (48), (50). Очевидно, система (31) эквивалентна системе уравнений (69) — (71).

Из первого уравнения (31) имеем:

X (X) = { х2 (-) й - = Xх2 (X) -{-х3 (-) й

Поскольку Х3 (X) > 0, то отсюда следует неравенство

х1 (X)< Xх2 (X), 0 < X < X0,

(73)

0

из которого на основании (31) получим оценку

—(г)<г, 0<г<г0, (74)

согласующуюся с (61).

Далее из второго уравнения системы (31) получаем с помощью интегрирования по частям

—2 (г) = |—3 (т)йт = г х3 (г) +|т| а—1 (т)—3 (т) + Ь (1 - —1 (т)) йт.

О " '

Отсюда следует неравенство х2 (г) > г х3 (г), 0 < г < г0, и далее оценка

, ч (г) 1

,(г)< < - о < г < г0. (75)

Из (31) с учетом (75) получим:

:(т)

1 —о

-2 (г) = X2 (8) + {-3 (т)йт < — 2 (в) + | 2 ( )йт < — 2 (в) + 1п —,

В В т В

—2(г)> —2(в)>0, 0<в<г<г0.

(76)

Отсюда, 0 < —2(в)< —2 (г)< —2(в) + 1пг, 0 <в< г < г0.

Заметим, что хотя оценки (73) — (76), возможно, грубые, но в сочетании с соотношениями (68) все же дают наглядное представление о поведении решения задачи (48), (50) на промежутке [0, г0 ].

Заметим далее, что из (27) на основании (64) нетрудно получить:

т

г —а йо

—1 (г)<х|(г — т)е 0 йт,

т

г —а | —-(о) йо

—2 (г)<А,| е 0 йт,

—а | —-(т) йт

—(г)<Хе 0 , 0<г<г0.

Очевидно, эти оценки не являются конструктивными, поскольку первое соотношение неявно определяет оценку для (г), для получения которой требуется решить соответствующее

интегральное неравенство.

Теперь рассмотрим глобальные структурные свойства решения задачи (48), (50). Асимптотическое поведение при г ^ решения этой задачи, а также соответствующие его структурные свойства будем изучать на основе соотношений (27), (64) с помощью неравенства

+ = (77)

которое справедливо для всякой функции класса С1 [а,р), удовлетворяющей условию (а < £ < р) , в частности, условию ¿(7) >0, если е С2 [а, р).

х

0

0

Из (64) имеем:

. X 0 <

-а|х1 (х)йх -а | х1 (х)йх -а { х1(х)йх

о X0

х3 (X ) < Хе 0 = Хе 0

На основании (77) запишем оценку:

X(X)> Х1 ^) + х2(Xо)(X-Xо), 0 <Xо <X <да.

Отсюда получим соотношение

X (X - X )2 -а{ х1 (х)йх < -ах1 (x0 )(x - !0 ) - ах2 (x0 )(-—

0 < X0 < X < да.

(78)

(79)

Используя (79), далее получим из (78)

¡(X) < Хе

-а { х1(х)йх

ахl(x0 )(x-x0 )-ах2 (x0 )

(X-Xо )2

2 , 0 < и < X < да.

(80)

Из соотношения (80) можно получить приемлемые оценки типа (62) для х2 (X). В самом деле, из второго соотношения в (27) на основании (80) имеем:

М Г и \ {Х1(Х) йХ Г -ач('0 )(х-Ю )-ах2 (% _

х2(X) = х2(X0)+I х3(х)йх<х2^) + Хе 0 I е 2 йх<

-а { х1(х)йхда ^ )(х_Xо )-ах2^

< х2(x0) + Хе 0 {е 1(0)( 0) 2(0) 2 йх, 0 <!(, <X <да.

x о

Несобственный интеграл в правой части (81) является табличным:

Га \

да 2 1 —

г e-a(х-Xо)-P(х-Xо) йх* е 4Р

{ е ф йФ

/ \ (2X2 (/ / \

где в данном случае а = сщ (/0 ). р = —^—-, при этом х2 (/0 ) ~ 1 при /0 2> 1.

На основании этого из (81) получим оценку

(81)

-а { х1(х)йх ^ х2 (0< х2 (X0 ) + Хе 0

,4Р

2 [е-2 й ф

, 0 < !0 < X < да.

(82)

Из первого соотношения в (27) с помощью теоремы о среднем приходим к соотношениям:

X ^0 ) = { Х2 (х)йх = Х2 (^ (о <^< Xо), (83)

о

X

2

2

а

0

"0 'I

I (т)йт = (л)г0 = г01 —2(5)йs = —0Ц—2(ц) (0<ц<л<г0),

при этом х2(|д)>5>0 (согласно (76)) и х1(г()>А>0 (согласно (83)). Из (83), (84) при

имеем:

'и

х1(^0)>1, |х1(х)й?Т>1.

(85)

Значит, а 1, р « — при 1. Далее нетрудно показать, что

* (г0<

,4Р

I е Ф йф

<1

при /0 > 1. Иначе Л'(/0) « 1/а при /0 2> 1. Таким образом, выбором точки /0 второе слагаемое в

правой части (82) можно сделать сколь угодно малым и тем самым прийти к явной оценке типа (62). На основании этого с учетом (62) можно утверждать, что оценка (82) является вполне приемлемой и может быть использована для получения эффективной оценки функции —- (г) из первого соотношения в (27). Тогда получим:

(г )< (г0) +

—а | —-(т)йт ^ ,(г0 ) + ^е 0

,4р

| е Ф йф

(г — г 0 ),

(86)

0 < г0 < г < да.

На основании изложенного выше, неравенства (80), (82), (86) являются достаточно эффективными. Более точную, но громоздкую оценку можно получить с учетом (81). Замечание 2. Вместо (83), (84) можно получить следующие формулы:

—1 (г0 ) = —1 (в) + —2 О0(г0 —в), —2 (£)> —2 (в)> 0 (0 <В<^< г0 );

г0

| —1 (т)йт = —1 (в)г0 + г0(л —в) —2(о), —2(о) > —2(в) > 0 (0<в<о<л<г0); 0

г0 в

| —1 (т)йт = | —1 (т)йт + —1 (в)(г0 — в) + —2(ц)(г0 — в)(л — в) (0<в < ц< л < г0),

представляющие собой полезную детализацию для получения соотношений (85).

Замечание 3. Хотя интеграл в правой части (81) сходится и является табличным, его вычисление не приводит к наглядным и удобным для применения оценкам. Очевидно, что из них можно получить более простые и удобные для применения оценки. Поскольку на основании (80)

г0

—а | —1(т)йт

—3 (г)<Хе 0 е"а—1(г0 )(г—г0), 0 < г0 < г < да,

0

2

а

то

!0

-а { х1(х)йх X

х2 (X )< х2 (X0 ) + Хе о { e~aXl(Xо Xх-0 )й

0

и

_ -а { х1(х)йх

Х2 (X) < Х2 (Xо ) + е 0 (1 - е" ^ *^)).

ах,

1 (Xо)

(87)

Теперь из (87) получим весьма простую и эффективную оценку

х2 ^ )< х2 (X0 ) +-^Г е

(X0 )

^ -а { х1(х)йх

ах,

0 < !0 < X < да,

(88)

из которой на основании (83), (84) можно получить:

х2 (X) < х2 ^ ) +-е~а ^(ц), 0 < X,, < X < да.

2 () 2 (0) ах2 ф Xо , 0

(89)

Неравенство (88), согласно (85), близко к (82) при достаточно больших значениях !о и согласуется с (62). Поэтому из первого неравенства в (27) на основании (88), (89) имеем:

х1 ^)< х1 (^ )

'X x0)-

^ -а { х^х)йх

ах-,

( Xо )

^ - Xо),

(90)

Х1 (X) < Х1 (Xо ) + {Х2 (Xо ) +е~а ^(>4 [ ах2 (£)X0 1

(X - !0 ), 0 < !0 < X <да.

Очевидно, оценки (90) и (86) — одного типа.

Отметим, что на основании (87) можно получить более точную, но громоздкую оценку типа (90).

Замечание 4. Другие простые неравенства можно получить из (80), (81), (86). Поскольку

, (X) < Хе

-а I х1(х)йх -ах2(ю )(X_X0) 0 о

2 , 0 < X0 < X < да,

(91)

то

, ч , ч -а 0 х1(х)йх ' -ах2(Xо

х2х2(Xо) + Хе 0 I е

2 й х<

-а | х1(х) й хда -ах2 (x0

< х2 (!0 ) + Хе 0 I е 2 йх.

х

г

0

Вычислив несобственный интеграл в (92), получим далее:

Х2 (*)< Х2 (*0 ) + Х

2ах2(^ )

* 0

—а | Х^т)ёх 0

к

и

Х2 (*)< Х2 (*о ) + Х

К_е~а *0ЛХ2 И

2ах2 (*о )

(94)

Несложный анализ оценок (93), (94) показывает, что при достаточно больших значениях *о они согласуются с (62), но уступают по точности (88), (89). Тем не менее оценки (93), (94) вполне приемлемы для практического применения.

Используя (93), (94), с помощью первого соотношения в (27) получим:

Х1 (*)< Х1 (*0 ) +

*0

—а | Х1(х)ёх

2аХ2 (*0 )

(*— *0 ),

Х1 (*) < Х1 (*0 ) +1Х2 (*0 ) + ^(Ц)}(' — *0 ), 0 < *0 < * <

Изложенные результаты представляют собой основу для получения алгоритмов [20, 21] построения приближенных аналитических решений задачи (1), (2) в связи с расчетом толщин динамического и теплового пограничных слоев, а также соответствующего коэффициента теплоотдачи [26]. При этом рассмотрение автомодельного случая позволяет выбрать эффективный угол атаки для охладителя в струйном кристаллизаторе.

3. ВОЗМОЖНЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ И РАЗВИТИЕ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

И МЕТОДА

Приближенные формулы для /"(л), /'(л), /(л), полученные с помощью приведенных алгоритмов, могут быть реализованы для решения практических задач теории пограничного слоя, поскольку величина А, = /"(0) используется при вычислении касательного напряжения Х0 (Х)

на стенке, / '(л) (вместе с /"(0)) — при расчете толщины 5( х ) динамического пограничного слоя, /(л) (вместе с /'(л)) — при вычислении безразмерной температуры в тепловом пограничном слое, а также при вычислении локального коэффициента теплоотдачи (см., например, [4 с. 178]). Оценки для этих величин можно получить на основе раздела 2.

В частности, установлено, что системное приближение

/ "(л) = Хе

, т т+1. з

(95)

л —Г т^+т+^з ^ / '(л) = х| е^ 12 ) ^,

0

Л _f m 4+m+V ^ f = e Vx 12 (97)

где X — корень уравнения

о

I Hi HI I i . -

-I —x+-Xx3

xj e Vx 12 Jdx-1 = 0, (98)

вполне приемлемо при получении соответствующих формул для расчета указанных величин. Например, при m = 0 (U = const) на основе (95), (98) имеем X = 0.342, поэтому

( тт- V/2

V У

Хс (х) = 0.342 ^ ; (99)

на основе (96) с учетом этого значения X получим

8(х) = 4.596У . (100)

Отметим, что, согласно методу К. Польгаузена, числовые коэффициенты в (99), (100) должны быть равны соответственно 0.343, 5.83 [5, с. 344]. С помощью формул (96), (97) можно выполнить расчеты толщины теплового пограничного слоя и локального коэффициента теплоотдачи. В следующих работах предполагается привести более точные (но сложнее по конструкции) приближения, а также дать полный анализ эффективности разработанных алгоритмов при 0 < т < 1; 0 10.

Подходы [12, 18] использованы для разработки основ аналитического метода решения уравнений

ды ды 1 dp д2ых ых—х + ы —х =---- + у—(101)

дх у ду р dх ду

ды ды,,

^ + _у = 0, (102)

дх дУ

с граничными условиями [3, с.95]

Ых|у=0 = а Ыу|у=0 = 0; Ых|у=8( х)= и (х). (103)

Задача (101) — (103) представляет собой проблему Прандтля для динамического ламинарного пограничного слоя конечной толщины 8( х) в случае стационарного плоского несжимаемого

течения жидкости (см., например, [1, с. 127, 194], [5, с. 331]). Заметим, что замена (103) на условие [3, с. 95]

ых|у=0 = ыу|у=0 = 0; Ых 1у=8( х) = (1 "8)и (х)

существенно не повлияет на точность расчета толщины пограничного слоя в силу произвольной малости величины в > 0 .

Основные структурные элементы метода (в порядке выполнения):

построение вспомогательной функции / (х, у) с заданной точностью на основе разработанных алгоритмов;

о

получение и решение обыкновенного дифференциального уравнения относительно 5( x) ;

получение (с использованием 5( x)) формулы для вычисления касательного напряжения

х0 (x) на обтекаемой стенке;

построение функций ux, uy на основе функций f, 5 (для последующего анализа задач

о тепловом и диффузионном пограничных слоях [4, с. 168]).

Для иллюстрации применения этого метода рассмотрен случай безградиентного обтекания плоской пластины (U = const). Выведены следующие формулы для функций 5( x), То (x):

5( x ) =

2vx сpU

\i/2

(104)

Tnl x

( x ) = Ц

U

5( x )

1 P.

(105)

где

i i (i p = J f(s)(i - sf(s)) ds - - Jf (s)ds

V о

i

1 = -

2

\2 i

V о

J f ( s ) ds -J(i - s ) f2 (s)ds,

при этом имеет место соотношение

1

Ф+У = { I (5 )(1 -I (5)) Ж.

о

Здесь / (5) — точная вспомогательная непрерывная функция, получаемая на основе разработанных алгоритмов. Это редуцированная форма функции I(х, у). При решении прикладных задач аэро- и гидродинамики, теплофизики в (104), (105) могут быть использованы приближенные соотношения для I (5) , в частности, известные соотношения для закона распределения скорости [1, с. 197].

На основе первого приближения к вспомогательной функции (I(5) = 5) из (104), (105) получены следующие выражения для 5(х) и То (х) :

5( x ) = 4

-2

.( x ) = -

У/2

x

V У

(106)

(107)

Формула (106) сравнима по точности с известными приближенными формулами [1, с. 197],

1/2

[5, с. 337], если учесть, что практически точное значение коэффициента при (ух/и) равно 4.91 (мх = 0.99и) [27]. Формула (107) точнее известных приближенных формул [1, с. 197], [5, с. 336].

В случае плоского сжимаемого пограничного слоя анализ соответствующей граничной задачи с помощью описанного метода связан с увеличением объема вычислений. Установлено, что данный метод применим для решения задач о сжимаемых пограничных слоях в турбулент-

ном течении: динамическом, тепловом и диффузионном (см., например, 1, с. 630], [4, с. 216]), при этом, разумеется, усложняются вычислительные схемы соответствующих алгоритмов. Таким образом, согласно этому методу, анализ задач о ламинарном и турбулентном пограничных слоях не имеет принципиальных различий с вычислительной точки зрения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Результаты данной работы состоят в следующем:

разработаны способы редукции исследуемой краевой задачи к эквивалентным интегральным уравнениям, основанные на использовании нелинейной матрицы Коши;

предложены способы построения приближенных решений указанной задачи; получены оценки области локализации решения; дано применение полученных результатов; предложены пути развития разработанного метода.

Эти результаты могут быть использованы при решении соответствующих практических задач.

ЛИТЕРАТУРА

1. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. — М.: Наука, 1974.

2. Авдуевский В. С. и др. Основы теплопередачи в авиационной и ракетно-космической технике. — М.: Машиностроение, 1975.

3. Кутателадзе С. С. Основы теории теплообмена. — М.: Атомиздат, 1979.

4. Теория тепломассообмена. Учебник для вузов / Под ред. А. И. Леонтьева. — М.: Высшая школа, 1979.

5. Емцев Б. Т. Техническая гидромеханика. — М.: Машиностроениие, 1987.

6. Репик Е. У., Соседко Ю. П. Турбулентный пограничный слой. Методика и результаты экспериментальных исследований. — М.: Физматлит, 2007.

7. Лаптинский В. Н. Конструктивный анализ управляемых колебательных систем. — Минск: ИМ НАН Беларуси, 1998.

8. Лаптинский В. Н. Матрица типа Коши для нелинейных дифференциальных систем // VIII Белорусская матем. конф.: тез. докл. междунар. конф. — Минск: ИМ НАН Беларуси, 2000. Ч. 1, с. 125.

9. Лаптинский В. Н. Об одном представлении решений нелинейных дифференциальных систем // Дифференц. ур-я и сист. компьют. алгебры: тез. докл. междунар. матем. конф. — Брест: БрГУ, 2000, с. 42 — 43.

10. Л а п т и н с к и й В. Н. К задаче об ограниченных на полуоси решениях нелинейных дифференциальных систем // Весщ НАН Беларуси Сер. ф1з.-мат. навук. 2008. № 1, с. 13 — 15.

11. Лаптинский В. Н. Об асимптотическом поведении решений нелинейных дифференциальных систем // Дифференц. уравнения. 2008. Т. 44, № 2, с. 205 — 210.

12. Лаптинский В. Н. К методу вспомогательных функций в теории дифференциальных уравнений // X Бел. матем. конф.: тез. докл. междунар. науч. конф. Ч. 2. — Минск: ИМ НАН Беларуси, 2008, с. 39.

13. Hiemenz K. Die Grenzschicht an einem in den gleichformigen Flussigkeitsstrom... — Gottingen, 1911.

14. Howarth L. On the solution of the laminar boundary layer equations // Proc. Roy. Soc. London, Ser. A. 1938. V. 164, N 919, p. 547 — 579.

15. Hartree D. R. On an equation occurring in Falkner and Skan's approximate treatment of the equations of the boundary layer // Proc. Camb. Phil. Soc. 1937. V. 33, Pt II, p. 223 — 239.

16. Forbrich C. A. Improved solutions to the Falkner — Skan boundary-layer equation // AIAA J. 1982. V. 20, № 9, p. 1306.

17. Katagiri M. On accurate numerical solutions of Falkner — Skan equation / Japan Aerospace Exploration Agency. 1986. NII — Electronic Library Service, p. 65 — 70.

18. Лаптинский В. Н. Конструктивный метод анализа задачи о ламинарном пограничном слое и его применение к расчету охлаждающей способности кристаллизаторов при непрерывном литье. Ч. II / Препринт. — Могилев, Ин-т технол. металлов НАН Беларуси, 2010. № 1 2, 28 с.

19. Лаптинский В. Н. Конструктивный метод анализа задачи о ламинарном пограничном слое и его применение к расчету охлаждающей способности кристаллизаторов при непрерывном литье. Ч. III / Препринт. — Могилев, Ин-т технол. металлов НАН Беларуси, 2010. № 1 9, 27 с.

20. Лаптинский В.Н., Романенко А. А. Конструктивный метод анализа задачи о ламинарном пограничном слое и его применение к расчету охлаждающей способности кристаллизаторов при непрерывном литье. Ч. IV / Препринт. — Могилев, Ин-т технол. металлов НАН Беларуси, 2010. № 20, 25 с.

21. Лаптинский В. Н., Романенко А. А. Конструктивный метод анализа задачи о ламинарном пограничном слое и его применение к расчету охлаждающей способности кристаллизаторов при непрерывном литье. Ч. V / Препринт. — Могилев, Ин-т технол. металлов НАН Беларуси, 2011. № 25, 40 с.

22. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. — М.: Наука, 1967.

23. Лаптинский В. Н. Об ограниченных на полуоси решениях нелинейных дифференциальных систем // Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33, № 2, с. 275 — 277.

24. Лаптинский В. Н. О разрешимости периодической краевой задачи для нелинейных автономных систем // Еругинские чтения — 2011: тез. докл. XIV междунар. науч. конф. по дифференц. уравнениям. — Новополоцк: Полоц. гос. ун-т, 2011, с. 54.

25. Е р у г и н Н. П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. — Минск: Наука и техника, 1979.

26. Лаптинский В. Н., Марукович Е. И., Стеценко В. Ю. Конструктивный метод анализа задачи о ламинарном пограничном слое и его применение к расчету охлаждающей способности кристаллизаторов при непрерывном литье. Ч. VI / Препринт. — Могилев, Ин-т технол. металлов НАН Беларуси, 201 1. № 26, 27 с.

27. Л а п т и н с к и й В. Н., Р о м а н е н к о А. А., С т е ц е н к о В. Ю. Конструктивный метод анализа задачи о ламинарном пограничном слое и его применение к расчету охлаждающей способности кристаллизаторов при непрерывном литье. Ч. VII / Препринт. — Могилев, Ин-т технол. металлов НАН Беларуси, 2012. № 29, 41 с.

Рукопись поступила 24/X 2011 г. Переработанный вариант поступил 27/V2013 г.