Об одном алгоритме интегрирования определяющих соотношений пластичности Текст научной статьи по специальности «Физика»

[2] Ерофеев В. И., Клюева Н. В., Шешенин С. Ф. Упругие волны в твердых смесях. - Н. Новгород: Изд-во «Интелсервис», 2002. — 86с.

[3] Ломакин Е.В., Работнов Ю.Н. Соотношения теории упругости для изотропного разномодульного тела // Изв. АН СССР. Механика тв. тела. - № 6. - 1978. - С. 29-34.

NONLINEAR STATIONARY WAVES IN A DAMAGED MEDIUM

KL Erofeyev, A. V. Sharabanova

Within the framework of nonlinearly-elastic damaged medium with microstructure propagation of plane stationary elastic shear waves are analysed. Relations between the main parameters of wave (velocity, amplitude) and the material damage have been established.

УДК 539.3

А. В, Золотое, аспирант.

Ю. Г. Коротких, д. ф.-м. н., профессор, ВГАВТ.

603600, Нижний Новгород, ул. Нестерова, 5. E-mail: der(а),aqua-sci.nnov.ru

ОБ ОДНОМ АЛГОРИТМЕ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ СООТНОШЕНИЙ ПЛАСТИЧНОСТИ

С позиции механики поврежденной среды развит алгоритм определяющих соотношений, описывающих процессы накопления повреждений в конструкционных материалах (металлах и их сплавах) при многоосных непропорциональных путях комбинированного термосилового нагружения. В целях качественной оценки развитых определяющих соотношений проведено исследование вида траектории деформирования на долговечность металлов. Показано, что развитый вариант определяющих соотношений правильно отражает основные эффекты упругопластического деформирования и накопления повреждений при произвольных траекториях деформирования.

Введение. В течение длительного срока службы в материале конструктивных элементов оборудования и систем инженерных объектов, работающих в условиях нестационарного термосилового нагружения, реализуются процессы накопления усталостных повреждений, приводящие к ухудшению начальных прочностных характеристик конструкционных материалов, образованию и развитию дефектов. В течение значительного периода наработки эти процессы происходят скрытно. Кроме того, как правило, наиболее опасные зоны, определяющие ресурс элемента, являются недоступными для средств неразрушающего контроля. Для гарантированной безопасности эксплуатации инженерных объектов с точки зрения прочности, обоснованного продления их сроков службы за проектные необходимо контролировать темпы развития поврежденности в наиболее опасных зонах конструктивных элементов (выработанный ресурс), а также прогнозировать развитие этих процессов до предельных состояний (остаточный ресурс) для планируемой модели эксплуатации на продлеваемый период.

Для осуществления контроля за выработанным и остаточным ресурсом, выявления неиспользованных индивидуальных запасов элементов по долговечности, снижения степени опасности возникновения внезапных аварийных ситуаций по условиям

прочности необходимо прогнозировать развитие поврежденности в опасных зонах оборудования и систем по фактической истории их термосилового нагружения. Математическое моделирование реальных процессов деградации материала для каждой контролируемой зоны по различным физическим механизмам, соответствующим условиям эксплуатации (малоцикловая, многоцикловая усталость, длительная прочность и т. д.), с учетом их взаимодействия осуществляется с помощью методов и моделей механики поврежденной среды.

Сложность решения проблемы оценки ресурса инженерных объектов тесно связана со сложностью процессов, происходящих в конструкционных материалах в эксплуатационных условиях. Понимание закономерностей этих процессов позволит построить адекватную математическую модель, которая может служить основой для анализа величины поврежденности материала в опасных зонах конструктивных узлов в зависимости от конкретных параметров кинетики напряженно-деформируемого со-стояния (НДС), определяющихся условиями эксплуатации объекта - т. е. в конечном итоге, создать теоретическую основу для разработки методов и алгоритмов оценки ресурса объекта в зависимости от индивидуальной истории его эксплуатации.

Исчерпание остаточного ресурса является следствием развития процессов деградации материала конструктивных узлов по различным механизмам [2]. Эти процессы многостадийны и зависят от истории деформирования материала.

Долгое время исследования в области механики деформируемых сред в основном были направлены на разработку уравнений состояния, описывающих эффекты деформирования для различных процессов истории изменения механической нагрузки и температуры. Стимулом к их разработке, с одной стороны, являлось практическая необходимость оценки НДС элементов конструкций в условиях эксплуатации, с другой - появление ЭВМ и мощных современных методов решения краевых задач механики сплошных сред, таких как метод конечных элементов (МКЭ), позволяющих определять НДС конструктивных элементов и конструкций в целом практически для любых сложных функциональных зависимостей между тензором напряжений и деформаций при произвольных механических и термосиловых нагрузках.

В настоящее время становится актуальной проблема расчетной оценки современных процессов деформирования и разрушения для ответа на вопрос: где и в какой момент при заданной истории изменения нагрузки и температуры в теле впервые возникнут макроскопические трещины и как эти трещины будут развиваться в дальнейшем? Поскольку процессы накопления повреждений тесно связанны с кинетикой НДС, то точность расчетных оценок прочности и ресурса конструктивных элементов будет зависеть от того, насколько данные уравнения состояния адекватно описывают кинетику НДС в заданных условиях эксплуатации. Такие параметры процесса вязкопластического деформирования, как вид траектории деформирования, вид напряденного состояния, история его изменения и др. существенно влияют на скорости протекания процессов накопления повреждений. Можно сказать, что в настоящее время развитие уравнений состояния и, в частности, уравнений термопластичности, должно определятся потребностями механики разрушения и должно быть направлено на описание основных эффектов, существенно влияющих на скорости процессов накопления повреждений. Цель исследований в данной области - не столько уточнение различных формулировок, необходимых для определения макроскопических деформаций по заданной истории нагружения, сколько стремление разобраться в основных закономерностях процессов определяющих и подготавливающих разрушение.

Определяющие соотношения термопластичности. Определяющие соотношения термопластичности, развитые в [2-4], базируются на следующих основных положениях:

1. Тензор деформаций и скоростей деформаций включает упругие деформации (не зависящие от истории нагружения и определяется конечным состоянием процесса) и пластические (зависящие от истории процесса нагружения), т. е. обратимой и необратимой составляющих.

2. Начальная поверхность текучести для различных температур описывается поверхностью текучести в форме Мизеса. Эволюция изменения поверхности текучести описывается изменением её радиуса Ср и перемещением её центра ру .

3. Справедлив принцип градиентальности вектора скорости пластических деформаций к поверхности текучести в точке нагружения.

4. Изменение объема тела упруго е у ~ 0.

5. Рассматриваются начально изотропные среды. Учитываются только анизотропия, вызванная процессами пластического деформирования.

При формулировке основных соотношений для начально изотропных сред тензоры напряжений сг^у, деформаций е{- и их приращения разложим на шаровые

а, Дсг, е, Ае и девиаторные <т'у, Аа'у, е'у, Ае'у составляющие:

= (Ту + о&у; Дсту = До-у + Дабу; а = сгкк /3;

еу = е’у + еду; Аеу = Де' + Деду; е = екк /3.

В упругой области связь между шаровыми и девиаторными составляющими тензоров напряжений и деформаций устанавливается с помощью закона Гука:

«г = ЗХ[в-а(7’-Г0)1 а’„=2 Ое',

Да = ЗА:[Де-Д(а7,)]+ —<т, Дст' =2вАе,„ + —<,

К с

где Т - температура; Т0 - начальная температура; К(т) - модуль объемного сжатия; 0{Т) - модуль сдвига; а(г) - коэффициент линейного теплового расширения материала.

Для описания эффектов монотонного и циклического деформирозания в пространстве напряжений вводится поверхность текучести, уравнение которой имеет вид:

Рр = (риР,]У2 ~Ср= 5у = ~Ру- (2)

Для описания сложных циклических режимов деформирования в пространстве напряжений вводится поверхность циклической «памяти». Уравнение поверхности «памяти», позволяющей определить при расчетах монотонные процессы деформирования от циклических имеет вид:

р„„=(рГрГ)К. (3>

где ртх)&х - максимальный за историю нагружения модуль вектора ру .

Для радиуса поверхности текучести формулируется эволюционное уравнение:

Ср =к(ж»,г)я(^)+а,(е, -с„)г(^)1г+97.г. (4)

Здесь дх{хт,Т) - параметр, зависящий от температуры; ач - постоянная, определяющая скорость процесса стационирования петли гистерезиса циклического де-

формирования материала; Qs - стационарное значение радиуса поверхности текучести при данных /ЭщахИ Т; Ят{хт^) ~ модуль температурного изменения радиуса поверхности текучести; % - полная длина траектории пластического деформирования; %т - длина траектории на монотонных участках пластического деформирования материала.

В (4) первый член определяет монотонное изотропное упрочнение материала, второй - циклическое, а третий при изменении температуры Т.

Операторы ) и г{рр) позволяют автоматически провести разделение процессов монотонного (Н -1, Г ~ 0) и циклического деформирования (Я = О, Г = 1)

Уравнение для смещения поверхности основано на гипотезе А. А. Ильюшина, заключающейся в том, что упрочнение зависит от истории деформирования лишь на некоторой ближайшей части траектории (запаздывание векторных свойств). Эволюция внутренней переменной рц, описывающей анизотропию упрочнения пластического деформирования, принимается в виде:

где >0 н g2> 0 - модули анизотропного упрочнения (функции температуры).

Для описания эволюции поверхности «памяти» необходимо сформулировать эволюционное уравнение для р.тах;

Последний член уравнения (7) описывает затухание памяти о предыдущем циклическом деформировании материала.

Компоненты тензора скоростей пластических деформаций определяются из закона градиентальности вектора скорости пластических деформаций к поверхности текучести в точке нагружения:

где А - коэффициент пропорциональности, определяемый из условия происхождения новой поверхности текучести в конце этапа нагружения через конец вектора девиато-ра напряжений.

В уравнениях (4) - (7) материальные параметры дх(хт,Т), 8т ■>

тяжению-сжатию цилиндрических образцов по специальным программам нагружения [3],

Рр = 0 А РуРу > 0 Рр <Ъ'/РуРу <0

(5)

Рц ВгРцХ -е;Р,,[т)

(6)

Р™* = Р',Р',Н^) - &гРшск (г) - %гРтахГ^Р) УРтпРтпУ1

(7)

(8)

ё\(Т)> 8г{т). 8ъ (г) определяются из специальных базовых экспериментов по рас-

Алгоритм интегрирования определяющих соотношений термопластичности

Определение основных характеристик процесса термоупругопластического деформирования (параметров состояния), которые в общем случае описываются тензорами а у, бу, е?, Ру и скалярами р^, хт > Х> Ср и Т, может осуществляться двумя способами [5, 6].

Первый способ заключается в интегрировании определяющих соотношений по времени, для выполнения которого можно использовать любой из способов решения задачи Коши [6]. Это достаточно точный метод нахождения решения дифференциальных уравнений, но при решении краевых задач, например, с помощью МКЭ возникают сложности из-за «разбухания» задачи и значительного увеличения времени вычислительного процесса.

Второй способ определяющих параметров состояния сводится к написанию определяющих соотношений термопластичности в приращениях, которые зависят от выбранного шага A^ = ?„+! - 1п. Шаг по времени At может корректироваться при прохождении сложных участков траектории деформирования (например, изломе траектории) или же задаваться постоянным в течение всего расчетного времени при условии устойчивости дозволенной погрешности вычислений. Такой подход наиболее удобен при решении краевых задач механики деформируемого твердого тела и используется в данной работе.

Алгоритм интегрирования уравнений термопластичности на этапе нагружения

= tn+} -1п состоит в следующем. Пусть в момент времени / = /„ известны параметры состояния: р1?\Т(п\С{рп\ р™*п\ х^, Х{п) ■ Пусть так же из-

вестны функции: О(г(^^И/))1а(г(0),г1(7’(^г2(г(^9г0г*(^г(0)» гДе ~ температура в момент времени <( < /пих.

За отрезок времени At = 1Г1+] - (п температура получила приращение

АТ = 7,(н+1) , а компоненты тензора деформаций приращение Аву - -е\р .

Требуется определить в момент времени *л+,: е$"+^, е^пП), Р^/+]), р™х(я+1),

/^(я+1) у(«+1) у(»+1)

^ р > Л т ’Л

1. Вычисляются шаровая и девиаторные компоненты тензора деформаций:

е<»+|) =е<»>/3,

е^=е^-е^%. (9)

2. Вычисляются приращения девиаторных компонент тензора деформаций:

де;.=е;с"+1)-е'^. (ю)

3. Определяется вектор приращения девиаторных компонент тензора напряжений (вектор догрузки):

ДСТ',=2СД4+^Ц<">. (11)

4. Определяются изменения компонент тензора микронапряжений за счет изменения температуры:

8т

&8\ Ag2 8\ 82 )

{АТ)

ЬРц = ~ХтР,,"‘(АТ),

.4^1 =г,(7’!"+1))-?,(7’<”))дг2 =е2(г('1+1>)-е2(г(">) (12)

5. Определяются компоненты вектора 5^ (вектор 0*А на рис. 1):

я* =ет^ )^1+^-(1_?1.(дг))Л; +204, Ав = с(тп+1)-с(гп) $*=($*Я*)2'

6. Вычисляется длина отрезка О А (рис. 1):

ВЛ = 5* ~(с(рл) +?тАг)

(13)

(14)

7. Проверяется условие текучести:

если 5* ~(срп) + дтАт)< 0, то поведение материала на данном этапе упруго,

Ае'у = Ае\-, <т;^"+1) = а,»"* + Дет*.; все компоненты, зависящие от пластического деформирования материала сохраняются и осуществляется переход к пункту 10;

если $* +^ГД7’)> 0, то на данном этапе имеет место упругопластическое

деформирование материала.

8. Определяются Де£, Ар,*,, АСр, Ах и др. (рис. 1):

О А - Т)Ь + ЪА

1А = 2с(де?Ле£ У2 = 2С\ЛС^])

м> дс, +(др?>др!1)^ +М^; Дс, -9^{1С<Г‘»)

А (2) (и) А Ру

ЬРу--82 р1аХ\ -------г ~

= -^2

д^=Л(д^ ^ = Л(ясГ>)

5* -(с'“> +?гдг)= 2с(яс'"+1>)+г,(яс^1 >)-гг ^А^лс'г1’)-

+^И"+1))1

= <?* (*« ’ ■ )+ (а -с?’ )

Определяется значение операторов //(/^) и ):

(15)

_ тах(л)

V

(16)

Р вычисляется, если Рр = - Рты = О-

1, при /Гд = О V {3 > О

<0’

(дс<"+1>)=

-(с‘п)+дгД7-)

II /2

?1 \з®2 5' + \3,!

Определяем

Дж =

; дс*")=9,д^

с<»+1) ^с*”1 +ДС<") + 9гДГ, с<"> =с“ +£дс

1

М}) =г1(т’("+,)К< =г,(г(”+1)]^Г1))^1-;

О

АрР*-е2(т<’*»)р1;>^(лс<;<»}

(Я)

(2)

(17)

(18)

_____ £(«+1)

Вектор О,/, - 8*: — = 5**.

и 5* V

Г.*(Я+1>

£<*(»+П(—(п + 1)

^(Я + 1) _ '> Р_____

1/ '

2

Вычисляются:

>0+1) _ п(п+1) 1 с(«+1) сг(у -ру + ^ .

Далее вычисляется:

<т(и+1) = 2К.{г{п+])\е(п+1) -а(г(и+1) -г0| Затем вычисляются:

~(п+1) _ л.'(п+1)

у

Вычисляются пластические деформации:

(19)

(20) (21) (22)

Вычисляется :

Р^АРин(рр)

АРтах =

іріГріґР

-ЄтР(^{ЬТ}-83р^АХг{Рр),

(24)

Ар,і =Др^+Ар™,

,(»+!)

(25)

Ртах — Ртах "^^Ртах- (26)

В результате выполнения очередной итерации, запоминаются величины: 4"+1), 4"+1), е*"+1) , 4п+1), р<£>, х{:+1). ^(л+1), С<"+,), Г("+ц и процесс вычислений повторяется, пока не будет достигнуто конечное время .

Рис. 1. Схема для вычисления параметров на шаге (п+1)

Эволюционное накопление повреждений. В [2] приведено эволюционное уравнение накопления повреждений при малоцикловой и многоцикловой усталости (МЦУ, МнЦУ):

- /„ №7 (і - «і р )■'' {г„) +^ Л (р)г°- (1 - Г' (г, }■ (27)

г„ +1 ' г' га +1 ' '

а., +1

Анализ процессов МЦУ и МнЦУ, проведенный с помощью уравнения (27) показал, что можно принять:

•е /,(/?)=/е О?)=/(Д

(28)

где ар,ае,гр,ге - материальные параметры, зависящие от температуры Т, /(/?) -

функция параметра /? (/?~а/аи, <ти учитывающая влияние вида

напряженного состояния на скорость накопления повреждений;

где - значение IV в конце первой стадии процесса накопления повреждений [3], У/у - значение №е, соответствующее пределу усталости, IV^ и IV^ - значение энергий IV и IVе, соответствующие образованию микроскопической трещины, когда

процессы МЦУ и МнЦУ развиваются изолированно.

Когда процессы МЦУ и МнЦУ равнозначны и протекают одновременно, учитывая, что данные процессы являются следствием нестационарных макроскопических и микроскопических деформаций, более обоснованно принять суммирование повреждений от МЦУ и МнЦУ на энергетическом уровне:

В области МЦУ 2е «Xр и 2 ~ 2 р . В области МнЦУ 2 р-§ и 2 = 2Р. В переходной области 2 определяется (30). Кроме этого, анализ экспериментальных данных показал, что необходимо учитывать влияние на скорость нак4опления повреждений кривизны траектории деформирования [], которая характеризуется углом 0 между текущим вектором девиатора деформаций е'у и его приращением Де';:

Окончательное приращение поврежденности на этапе нагружения от МЦУ и МнЦУ представим в виде:

2 = 2р+2е> АХ^АХр + А2е.

(30)

соэ© ~

(31)

¥ = [с08@ +(1-005 06)1 1 < Ь ^ 10-

(32)

Лф = Ч* 1<ф)2а О-в»)**' (г+1)

(33)

или

Ьш = Ч^Л/(р)2а(\-аУ{А2).

Интегрируя (33) или суммируя (34) по этапам нагружения, получим:

или

® = 1 - 1 - (а + IJZ Чк Л Wi {М/с)

1

r+1

Вводя переменную у, у — AZ :

или

А =

(a + \)\4f(fi)ZadZ

а+1

(36)

(37)

А =

(a + l)Z%fMz?{AZk)

_____1 ____________

й+0

а+1

получим:

(38)

ш = ]-\-у«"р. (39)

Для лучевых путей нагружения4>к =1, fk{p) = const (/?* = const), Тк - const:

* = У = /*(/»* )Z. (40)

При ЧИСТОМ кручении ^ - 1 , fk(Pk )= 1 J Рк ~ 0 :

W-Wako

(41)

& АР ~ ^акр

Таким образом, является количественной характеристикой некоторого ]-ого

процесса накопления повреждений и показывает, во сколько раз темп накопления повреждений при данном >ом процессе отличается от темпа при чистом кручении.

Структура уравнения (39) совпадает со структурой уравнений накопления повреждений, полученных другими авторами:

а> = \-

N

N f

v j ;

(42)

Уравнение (42) получено для частного случая регулярного циклического нагружения (растяжение-сжатие). Для этого случая в уравнении (39) параметр « у » может быть выражен через отработанное количество циклов:

N

У-—{ (43,

и уравнение (42) является частным случаем уравнения (39) при регулярном циклическом нагружении.

Рис. 2. Экспериментальные данные и расчетные усталостные кривые при регулярном циклическом нагружении (растяжение-сжатие)

.1100° 1000° 95СР

*1-т о_=0| Э®'

О 200 400 600 800 1000 -а,*, МПа

• mix 'г

Рис. 3. Значения параметра (1-т) усталостных кривых как функции температуры

На рис. 2 для сплава Ж приведены экспериментальные данные (звездочки) и расчетные усталостные кривые при регулярном циклическом нагружении (растяжение-сжатие), рассчитанные с помощью (42), аа = сгм - аср - амплитуда напряжений, ам -максимальное напряжение цикла, <тср- среднее напряжение цикла. Прослеживается достаточно хорошее совпадение расчетных и экспериментальных данных. На рис. 3 представлены значения параметра (1-т) для уравнения (42), соответствующие кривым усталости на рис. 2, как функции амплитуды напряжений в цикле при различных температурах. На рис. 4 представлены результаты суммирования повреждений для указанного сплава (крестики - эксперимент, сплошная линия - расчет), выполненые по уравнению (42), а1м = 439 МПа, а2м = 345 МПа. Прямая линия соответствует линейному суммированию повреждений

(44)

0.5

1

0

0.5 1

Рис. 4. Суммирование повреждений

-0.5

-1.0

0.5

1.0

0

2

5

3

-0.5 -0.25 0 0.25 0.5

Рис. 5. Траектория деформаций тонкостенного трубчатого образца

Приведенные данные являются косвенным подтверждением адекватности сформулированных эволюционных уравнений (33) - (39) реальным процессам накопления усталостных повреждений.

В работе [6] приведены экспериментальные данные для стали А-Ш 304 по непропорциональному циклическому деформированию (осевое растяжение-сжатие и знакопеременное кручение тонкостенного трубчатого образца) по траектории 1-2-3-4-5-6-7-8 (рис. 5). Такая траектория была выбрана вследствие того, что она содержит широкий диапазон углов излома траектории деформирования в точках 1-7. На рис. 6 приведена экспериментальная траектория напряжений, на рис. 7 и 8 - диаграммы ап ~ е12 и 0-11 ~ е\\ Для траектории деформаций рис. 5. Результаты расчета для траектории деформаций (рис. 9), аналогичной траектории (рис. 5) приведены на рис. 11 -траектория напряжений, на рис. 12 - траектория координат центра поверхности текучести, на рис. 13 - диаграмма сгп ~ еи, на рис. 14 - диаграмма сг12 ~ еи ■ Сопоставление экспериментальных и расчетных данных показывает, что предложенный вариант уравнений состояния качественно описывает все особенности изменения тензора напряжений в точках излома 2, 3,4, 5, 6,7.

Рис. 6. Экспериментальная траектория напряжений

Рис. 8. Экспериментальная зависимость (7ц ~ е11 8

I

Рис. 10. Расчетная траектория пластических деформаций для траектории деформаций рис. 9

0Лб^,МПй

О- *р(г, МП о

Рис. 12. Расчетная траектория координат центра поверхности текучести для траектории деформаций рис. 9

Рис. 13. Расчетная зависимость сг12 ~ е12 для траеюории деформаций рис. 9

0.16^2, МПа

Рис. 14. Расчетная зависимость сг11 ~ для траектории деформаций рис. 9

Список литературы

[1] Машиностроение. Энциклопедия. Т.ТУ-З. Надежность машин. - М.: Машиностроение, 1998.

[2] Коротких Ю.Г., Волков И.А., Маковкин Г А. Математическое моделирование процессов деформирования и разрушения конструкционных материалов (монография). Ч. 1. - Н. Новгород: ВГАВТ, 1996. - 191 с.

[3] Казаков Д.А., Капустин С.А., Коротких Ю.Г. Моделирование процессов деформирования и разрушения материалов и конструкций. - Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 1999. - 226 с.

[4] И.Ю. Гордлеева. Оценка применимости определяющих соотношений механики поврежденной среды при многоосных напряженных состояниях и произвольных траекториях деформирования. Автореферат диссертации кандидата технических наук-Тула: ТГУ, 1999.

[5] Маковкин Г.А. Обоснование применимости модели пластичности с комбинированным упрочнением для процессов сложного нагружения материалов и анализа прочности конструкционных материалов. Дис.... канд. физ.-мат. наук-Н. Новгород: 1992.

[6] Охаси, Киваи, Каито. Неупругое поведение нержавеющей стали 310 при многоосных непропорциональных циклических нагружениях при повышенной температуре // Теоретические основы инженерных расчетов - Т. 107. - 1985. - № 2. - С. 6-15.

ABOUT INTEGRATION ALGORITHM FOR DETERMINING RATIO OF PLASTICITY

A. V. Zolotov, Y. G. Korotkikh

The algorithm of determining relations that describe accumulating processes of damages for constructional materials (metals and their alloys) at polyaxial nonproportional trajectories of combined is developed from a position of a mechanics of defective medium. With the purpose of a qualitative estimation of the developed determining relations the form examination of a deformation trajectory on longevity of metals is carried out. The developed variant of determining relations correctly reflects main effects of an elasto-plastic deforming and accumulation of damages at arbitrary deformation trajectories.